1
第六章 互感电路
第一节 互感及互感电压
第二节 耦合电感的伏安关系
第三节 耦合电感的连接及等效变换
第四节 耦合电感的 T型连接及等效变换
第五节 空心变压器
2
6-1、互感及互感电压
(空芯耦合线圈 )
u1
i1
u2
i2
N1,i1 ?11 =?1N1i1 ?11 =?1N12i1 =L1i1
?s1
?21 =?2N2i1 ?21 =?2N22i1 =M21i1
N2,i2 ?22 =?2N2i2
?12 =?1N1i2
?s1
?22 =?2N22i2
?12 =?2N22i2
=L2i2
=M12i2
dt
diL
dt
du 1
11111 ?
??
dt
diM
dt
du 1
212121 ?
??
M21,互感系数
dt
diL
dt
du 2
22222 ?
??
dt
diM
dt
du 2
121212 ?
??
M12,互感系数
M12 = M21 =M
3
二、同名端：
u1
i1
u2
i2 i1 i2
u1 u2
当电流 i1, i2分别从两个线圈对应的端纽流入
时，磁通相互加强，则这两个端纽称作为同名端。
意 义,若电流 i1由 N1的,?,端流入，则在 N2
中产生的互感电压 u21的正极在 N2的,?”端。
?
?
??
? 同名端规定：
4
三、电路符号：? 同名端判断：
1 1’
1、已知线圈绕向判断
2、未知线圈绕向判断
2 2’
1 1’ 2 2’
L1 L2
L1 L2
M
M
?
?
?
?
四、耦合系数：
21 LL
MK ?
意义：表示线圈磁耦合的紧密程度。
?? 1
1’
2
2’
5
6-2 耦合电感的伏安关系
一、时域关系
二、频域关系
dt
tdiLtu )()( 1
11 ?
dt
tdiMtu )()( 1
2 ?
dt
tdiM )(2?
dt
tdiL )(2
2?
2111
??? ?? IMjILjU ??
2212
??? ?? ILjIMjU ??
i1 i2
u1 u2L1 L2
1
?U 2?U
1
?I
2
?I
6
6-3 耦合电感的连接及等效变换
一、串联
L = L1 +L2+2M
MLLL 221 ???
1、同向串联 （顺接）
2、反向串联 （反接）
L1 L2
?U
?I
L = L1 +L2-2M
?
（顺接取正，反接取负）
7
二、并联
2、异侧并联
L1 L2
MLL
MLLL
221
2
21
??
??
? （同侧取负，异侧取正）
MLL
MLLL
221
2
21
??
??
MLL
MLLL
221
2
21
??
??
1、同侧并联
8
??? 21 UU 和例 1,图示电路,?=100rad/s,U=220V。求
解：
j300
j500
j1000
300200
0220
jI ?
???? Aj ???? 31.5661.0
???? ??? IIjIjU 1 0 05 0 03 0 0
1 V???? 74.1194.136
???? ??? IIjIjU 1 0 05 0 01 0 0 0
2 V??? 38.2204.311
???? 02 2 0U设
9
解,)2(
2121 MLLjRRZ ????? ?
顺接：
反接：
481.81?IU 212 XR ?? 302 ?I
P R? 756.75
1 ?X
429.31?IU 222 XR ?? 7066.92 ?X
MXX ?421 ?? ?4 21 XXM ??? mH07.53?
例 2,两个耦合线圈，接到 220V,50Hz正弦电压上。
顺接时 I=2.7A,P=218.7W；反接时 I=7A。求互感 M=?
?
?
?
?
??
2
1
jXR
jXR
10
例 3,图示电路,?=4rad/s,C = 5F,M=3H。求
输入阻抗 Z。当 C为何值时阻抗 Z为纯电阻？
Z
解：
3264
364 2
???
???L H
4
15?
1505.010 jjZ ???
)(95.1410 ??? j
互感元件为同侧并联，有
若改变电容使 Z为纯
电阻性，则有
151 ?C? FC 60
1??
11
6-4 耦合电感的 T型连接及等效变换
一,T型连接
同侧 T型连接 异侧 T型连接
L1 - M L2 - M
M
12
二、去耦等效电路
同侧 T型连接
异侧 T型连接
?1 ?2
?3
L1 - M L2 - M
M
21113
??? ?? IMjILjU ??
311 )(
?? ??? IMjIMLj ??
12223
??? ?? IMjILjU ??
322 )(
?? ??? IMjIMLj ??
32223 )(
??? ??? IMjIMLjU ??
31113 )(
??? ??? IMjIMLjU ??
321
??? ?? III
L1+M L2+M
-M
13
同侧 T型
异侧 T型
L1 - M L2 - M
M
L1 + M L2 + M
-M
小结：
14
例 1,图示电路,?=10rad/s。 分别求 K=0.5和 K=1时,
电路中的电流 ?1和 ?2以及电阻 R=10?时吸收的功率,
?1 ?2
解,去耦等效电路
（ 1） K=0.5,M = 0.5H,有
????? ??? 010)(55 211 IIjIj
010)(55 2212 ???? ???? IIIjIj
AI ???? 87.813.111
AI ????? 87.2 1 642
WP 160?
（ 2） K=1,M = 1H,有
???? ?? 01001010 21 IjIj
0)1010(10 21 ??? ?? IjIj
AI ????? 452101 ????? 180102I
WP 1000?
15
例 2,求图示三个耦合线圈的去耦等效电路 。
31231211 MMMLL ????
?
31231222 MMMLL ????
?
31231233 MMMLL ????
?
解：
16
解,1) 判定同名端：
2) 去耦等效电路：
3) 移去待求支路 Z，有：
????? 010414 48 jjU oc
V??? 61.1011.6
414
)48(62
j
jjZ
o ?
???
67.26.3 j??
??
4) 戴维南等效电路：
*
oZZ ??
)(67.26.3 ??? j
WRUP
o
oc
m 59.24
2
??
例 3,图示电路，求 Z为何值可获最大
功率？其中：
Vttu )1.5310c o s (210)( 4 ???
17
6-5 空芯变压器
一、组成,
N1,初级线圈（原边线圈）
N2,次级线圈（副边线圈）
芯架：非导磁材料
二、电路模型：
三、电路方程：
SM UIjXIZ
??? ??
2111
02221 ?? ?? IZIjX M
SUIMjILjR
??? ???
2111 )( ??
0)( 2221 ???? ?? IZLjRIMj L??
1111 LjRZ ???令 MX M ??
LZLjRZ ??? 2222 ?
R1,L1 R2,L2
18
四、等效电路
1、初级等效电路
1111 LjRZ ???
22
2
11 Z
XZ M??
其中,
（次级对初级的反射阻抗）
11Z
11Z?
?1
SM UIjXIZ
??? ??
2111
02221 ?? ?? IZIjX M
22
2
11
1
Z
X
Z
U
I
M
s
?
?
?
?
1111 ZZ
U s
???
?
（初级回路自阻抗）
19
2、次级等效电路
22Z?
22Z
10
?? IjX
M
其中,
LZLjRZ ??? 2222 ?
11
2
22 Z
XZ M??
11
10 Z
UI S
?
?
? ——次级开路时的初级电流
SM UIjXIZ
??? ??
2111
02221 ?? ?? IZIjX M
11
2
22
11
2
Z
X
Z
Z
UjX
I
M
sM
?
?
?
?
?
2222
1
ZZ
IjX oM
??
?
?
?
（次级回路自阻抗）
（初级对次级的反射阻抗）
20
五、空芯变压器倒相作用
初级等效电路电流：
可见：同名端改变时，电流 ?1不变,?2倒相。
六、含空芯变压器电路的分析
1、去耦等效法
2、初、次级等效法
次级等效电路电流：
1111
1
ZZ
UI S
??
?
?
?
2222
10
2
ZZ
IjXI M
??
??
?
?
21
七、自耦空芯变压器
1、组成：
3、去耦等效电路,
2、电路模型：
L1 + M
L2 + M
–M
22
例 1,图示电路,?=1000rad/s,U=50v,L1 =10mH,
L2 =2mH,M =4mH 。 求,1） 输入阻抗 Zi ; 2） 求电路中
的电流 ?1,?2和 ?； 3） 求 L1上的电压,
?2
?
?1
解：
)(64 6414 mHL ?? ????
mH2?
?? 2jZi
AjI 25??? AjI 751 ??? AjI 502 ??
去耦等效电路：
???? 050U设
??? ???
111 )( IjMIMLjU V??? 050
23
例 2,图示电路,?=1000rad/s,US=20v,M =6H 。求 C=?
时 ?与电源电压同相，并求 ?=？
?
2
?
sU
?2
?o 0H 4H
6H
解,化简等效电路：
去耦等效电路：
2
?
?
? soc UU ?? 2oZ
?inZ
C
jkjkj
C
jkjkj
Z in
?
?
1
46
)
1
4(6
??
?
?
?与电源电压同相，应有：
014 ?? Ck ? FC ?41?
0146 ??? Ckk ? FC ?101?
24
含互感元件电路分析应注意：
1、列方程时不要漏掉互感电压；
2、注意同名端与互感电压的关系；
3、去耦等效条件以及联接方式；
4、应用戴维南定理时，内外电路应无耦
合。
25
本章要点：
一,基本概念,耦合、互感、耦合系数、同名端、空心变压器。
二、电路计算：
1,含互感元件电路分析计算：
（ 1）直接法：
列方程时不要漏掉互感电压；
注意同名端与互感电压的关系；
（ 2）去耦等效法,去耦等效法条件、联接方式和参数计算；
2,含变压器电路分析计算：
（ 1）含理想变压器电路 （电压、电流、阻抗变换关系）
注意,应用戴维南定理时，内外电路应无耦合。
第六章 互感电路
第一节 互感及互感电压
第二节 耦合电感的伏安关系
第三节 耦合电感的连接及等效变换
第四节 耦合电感的 T型连接及等效变换
第五节 空心变压器
2
6-1、互感及互感电压
(空芯耦合线圈 )
u1
i1
u2
i2
N1,i1 ?11 =?1N1i1 ?11 =?1N12i1 =L1i1
?s1
?21 =?2N2i1 ?21 =?2N22i1 =M21i1
N2,i2 ?22 =?2N2i2
?12 =?1N1i2
?s1
?22 =?2N22i2
?12 =?2N22i2
=L2i2
=M12i2
dt
diL
dt
du 1
11111 ?
??
dt
diM
dt
du 1
212121 ?
??
M21,互感系数
dt
diL
dt
du 2
22222 ?
??
dt
diM
dt
du 2
121212 ?
??
M12,互感系数
M12 = M21 =M
3
二、同名端：
u1
i1
u2
i2 i1 i2
u1 u2
当电流 i1, i2分别从两个线圈对应的端纽流入
时，磁通相互加强，则这两个端纽称作为同名端。
意 义,若电流 i1由 N1的,?,端流入，则在 N2
中产生的互感电压 u21的正极在 N2的,?”端。
?
?
??
? 同名端规定：
4
三、电路符号：? 同名端判断：
1 1’
1、已知线圈绕向判断
2、未知线圈绕向判断
2 2’
1 1’ 2 2’
L1 L2
L1 L2
M
M
?
?
?
?
四、耦合系数：
21 LL
MK ?
意义：表示线圈磁耦合的紧密程度。
?? 1
1’
2
2’
5
6-2 耦合电感的伏安关系
一、时域关系
二、频域关系
dt
tdiLtu )()( 1
11 ?
dt
tdiMtu )()( 1
2 ?
dt
tdiM )(2?
dt
tdiL )(2
2?
2111
??? ?? IMjILjU ??
2212
??? ?? ILjIMjU ??
i1 i2
u1 u2L1 L2
1
?U 2?U
1
?I
2
?I
6
6-3 耦合电感的连接及等效变换
一、串联
L = L1 +L2+2M
MLLL 221 ???
1、同向串联 （顺接）
2、反向串联 （反接）
L1 L2
?U
?I
L = L1 +L2-2M
?
（顺接取正，反接取负）
7
二、并联
2、异侧并联
L1 L2
MLL
MLLL
221
2
21
??
??
? （同侧取负，异侧取正）
MLL
MLLL
221
2
21
??
??
MLL
MLLL
221
2
21
??
??
1、同侧并联
8
??? 21 UU 和例 1,图示电路,?=100rad/s,U=220V。求
解：
j300
j500
j1000
300200
0220
jI ?
???? Aj ???? 31.5661.0
???? ??? IIjIjU 1 0 05 0 03 0 0
1 V???? 74.1194.136
???? ??? IIjIjU 1 0 05 0 01 0 0 0
2 V??? 38.2204.311
???? 02 2 0U设
9
解,)2(
2121 MLLjRRZ ????? ?
顺接：
反接：
481.81?IU 212 XR ?? 302 ?I
P R? 756.75
1 ?X
429.31?IU 222 XR ?? 7066.92 ?X
MXX ?421 ?? ?4 21 XXM ??? mH07.53?
例 2,两个耦合线圈，接到 220V,50Hz正弦电压上。
顺接时 I=2.7A,P=218.7W；反接时 I=7A。求互感 M=?
?
?
?
?
??
2
1
jXR
jXR
10
例 3,图示电路,?=4rad/s,C = 5F,M=3H。求
输入阻抗 Z。当 C为何值时阻抗 Z为纯电阻？
Z
解：
3264
364 2
???
???L H
4
15?
1505.010 jjZ ???
)(95.1410 ??? j
互感元件为同侧并联，有
若改变电容使 Z为纯
电阻性，则有
151 ?C? FC 60
1??
11
6-4 耦合电感的 T型连接及等效变换
一,T型连接
同侧 T型连接 异侧 T型连接
L1 - M L2 - M
M
12
二、去耦等效电路
同侧 T型连接
异侧 T型连接
?1 ?2
?3
L1 - M L2 - M
M
21113
??? ?? IMjILjU ??
311 )(
?? ??? IMjIMLj ??
12223
??? ?? IMjILjU ??
322 )(
?? ??? IMjIMLj ??
32223 )(
??? ??? IMjIMLjU ??
31113 )(
??? ??? IMjIMLjU ??
321
??? ?? III
L1+M L2+M
-M
13
同侧 T型
异侧 T型
L1 - M L2 - M
M
L1 + M L2 + M
-M
小结：
14
例 1,图示电路,?=10rad/s。 分别求 K=0.5和 K=1时,
电路中的电流 ?1和 ?2以及电阻 R=10?时吸收的功率,
?1 ?2
解,去耦等效电路
（ 1） K=0.5,M = 0.5H,有
????? ??? 010)(55 211 IIjIj
010)(55 2212 ???? ???? IIIjIj
AI ???? 87.813.111
AI ????? 87.2 1 642
WP 160?
（ 2） K=1,M = 1H,有
???? ?? 01001010 21 IjIj
0)1010(10 21 ??? ?? IjIj
AI ????? 452101 ????? 180102I
WP 1000?
15
例 2,求图示三个耦合线圈的去耦等效电路 。
31231211 MMMLL ????
?
31231222 MMMLL ????
?
31231233 MMMLL ????
?
解：
16
解,1) 判定同名端：
2) 去耦等效电路：
3) 移去待求支路 Z，有：
????? 010414 48 jjU oc
V??? 61.1011.6
414
)48(62
j
jjZ
o ?
???
67.26.3 j??
??
4) 戴维南等效电路：
*
oZZ ??
)(67.26.3 ??? j
WRUP
o
oc
m 59.24
2
??
例 3,图示电路，求 Z为何值可获最大
功率？其中：
Vttu )1.5310c o s (210)( 4 ???
17
6-5 空芯变压器
一、组成,
N1,初级线圈（原边线圈）
N2,次级线圈（副边线圈）
芯架：非导磁材料
二、电路模型：
三、电路方程：
SM UIjXIZ
??? ??
2111
02221 ?? ?? IZIjX M
SUIMjILjR
??? ???
2111 )( ??
0)( 2221 ???? ?? IZLjRIMj L??
1111 LjRZ ???令 MX M ??
LZLjRZ ??? 2222 ?
R1,L1 R2,L2
18
四、等效电路
1、初级等效电路
1111 LjRZ ???
22
2
11 Z
XZ M??
其中,
（次级对初级的反射阻抗）
11Z
11Z?
?1
SM UIjXIZ
??? ??
2111
02221 ?? ?? IZIjX M
22
2
11
1
Z
X
Z
U
I
M
s
?
?
?
?
1111 ZZ
U s
???
?
（初级回路自阻抗）
19
2、次级等效电路
22Z?
22Z
10
?? IjX
M
其中,
LZLjRZ ??? 2222 ?
11
2
22 Z
XZ M??
11
10 Z
UI S
?
?
? ——次级开路时的初级电流
SM UIjXIZ
??? ??
2111
02221 ?? ?? IZIjX M
11
2
22
11
2
Z
X
Z
Z
UjX
I
M
sM
?
?
?
?
?
2222
1
ZZ
IjX oM
??
?
?
?
（次级回路自阻抗）
（初级对次级的反射阻抗）
20
五、空芯变压器倒相作用
初级等效电路电流：
可见：同名端改变时，电流 ?1不变,?2倒相。
六、含空芯变压器电路的分析
1、去耦等效法
2、初、次级等效法
次级等效电路电流：
1111
1
ZZ
UI S
??
?
?
?
2222
10
2
ZZ
IjXI M
??
??
?
?
21
七、自耦空芯变压器
1、组成：
3、去耦等效电路,
2、电路模型：
L1 + M
L2 + M
–M
22
例 1,图示电路,?=1000rad/s,U=50v,L1 =10mH,
L2 =2mH,M =4mH 。 求,1） 输入阻抗 Zi ; 2） 求电路中
的电流 ?1,?2和 ?； 3） 求 L1上的电压,
?2
?
?1
解：
)(64 6414 mHL ?? ????
mH2?
?? 2jZi
AjI 25??? AjI 751 ??? AjI 502 ??
去耦等效电路：
???? 050U设
??? ???
111 )( IjMIMLjU V??? 050
23
例 2,图示电路,?=1000rad/s,US=20v,M =6H 。求 C=?
时 ?与电源电压同相，并求 ?=？
?
2
?
sU
?2
?o 0H 4H
6H
解,化简等效电路：
去耦等效电路：
2
?
?
? soc UU ?? 2oZ
?inZ
C
jkjkj
C
jkjkj
Z in
?
?
1
46
)
1
4(6
??
?
?
?与电源电压同相，应有：
014 ?? Ck ? FC ?41?
0146 ??? Ckk ? FC ?101?
24
含互感元件电路分析应注意：
1、列方程时不要漏掉互感电压；
2、注意同名端与互感电压的关系；
3、去耦等效条件以及联接方式；
4、应用戴维南定理时，内外电路应无耦
合。
25
本章要点：
一,基本概念,耦合、互感、耦合系数、同名端、空心变压器。
二、电路计算：
1,含互感元件电路分析计算：
（ 1）直接法：
列方程时不要漏掉互感电压；
注意同名端与互感电压的关系；
（ 2）去耦等效法,去耦等效法条件、联接方式和参数计算；
2,含变压器电路分析计算：
（ 1）含理想变压器电路 （电压、电流、阻抗变换关系）
注意,应用戴维南定理时，内外电路应无耦合。
