第二章
点、直线、平面的投影
一,投影的方法
第一节 投影的方法及其分类
空间物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上产
生影子，这种现象称之为投影。经过科学抽象，找出
影子和物体之间的关系，就形成了投影法。
二,投影法的分类
投影法
中心投影法
平行投影法
斜投影法
正投影法
平行投影法
第二节 点的投影
P
b?●
●A
P
过空间点 A向投影面 P作垂线，
与投影面的交点即为点 A在 P面上
的投影。
B1
●B2
●B3
●
一、点在一个投影面上的投影
a?●
已知点在一个投影面上的
投影不能确定点的空间位置。
因此，研究点的投影须采用多
面投影。
二、点在两投影面体系中的投影规律
1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于 OX轴
2）点的 正面投影 到 OX轴 的距离反映该点到 H面的距离；点的
水平投影 到 OX轴的距离反映该点到 V面的距离。
′
′′
W
H
V
oX
a?●
a●
a?●
A●
Z
Y
三、点的三面投影
a?点 A的正面投影
a点 A的水平投影
点 A的侧面投影 a?
投影面展开得到投影图
点在三投影面体系中的投影规律：
（ 1）点的正面投影和水平投影的连线垂直
于 X轴,即 a＇ a⊥X 轴。
（ 2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直
于 Z轴,即 a′a″⊥Z 轴。
（ 3）点的水平投影到 X轴的距离等于点的
侧面投影到 Z轴的距离,即 aax= a＂ aZ。
例：已知点的两个投影，求第三投影。
● a?●
●
a?
a
ax
az
d’
d
e
e’
f’ f’’
e’’
f
d’’
z
x YW
YH
0
例：已知点的两投影，求其第三投影。
a
a’ a’’
四、点的坐标与投影
水平投影 反映 A点 X和 Y的坐标
正面投影 反映 A点 X和 Z的坐标
侧面投影 反映 A点 Y和 Z的坐标
1.直线对一个投影面的投影特性
一、直线的投影特性
A
B
●
●
●
●
a
b
直线垂直于投影面
投影积聚为一点
直线平行于投影面
投影反映线段实长
ab=AB
直线倾斜于投影面
投影比空间线段短
ab=ABcosα
●
●
A
B
●
●
a
b
α
A
M
B●
a≡b≡m●
●
●
第二节 直线的投影
2.直线对三个投影面的投影特性
投影面平行线
投影面垂直线
正平线（平行于Ｖ面）
侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面）
正垂线（垂直于Ｖ面）
侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
与三个投影面都倾斜一般位置直线
特
殊
位
置
直
线
b?
a?
ab
a?
b? b?
a
a?
b?
b
a?
水平线 侧平线正平线
γ
实长
实长 实长
β γ
α α
β
b
a?
a
a? b? b?
（ 1） 投影面平行线
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，
并反映直线与其他两投影面的倾角。
② 其他两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
投 影 特 性：
铅垂线正垂线 侧垂线
② 其他两个投影反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。
投影特性,
●
c?(d?)
c
d
d? c?
●
a?
b?
a(b)
a?
b?
●e?
f?
e f
e?(f?)
（ 2）投影面垂直线
与三个投影面都成倾斜位置的直线称为一般位置直线 。 它的
三个投影均为倾斜位置, 既不反映实长, 也不反映与投影面所成的
夹角 。 γβ WXWb'
H
b
X
B
a
O
α
Y
b"
a
b
Y
H
V
a'
a"
A
Z
b'
a'
O
a"
b"
Y
（ 3）一般位置直线
直线是点的集合 。 因此, 如果点在直线上, 则点的各个
投影必在该直线的同名投影上, 并将直线的各个投影分割成
和空间相同的比例 。
即,A C,C B = a c, c b= a?c?, c?b? = a?c?, c? b? c'
a
B
c
b
H
b
b'
X
V
a'
C
c'
O
A
b'
X
c
a
a'
O
二、直线上的点
例 1：判断点 C是否在线段 AB上。
a
bc
a?
b?
c?① c?②
a
b
c
a?
b?
●
点 C在直线 AB上 点 C不 在直线 AB上
例 2：判断点 K是否在线段 AB上。
a?
b?
● k?
解法二：
因 k?不在 a? b?上，
故点 K不在 AB上。
a
b
k
a?
b?
k?
●
●
a
b
k
a?
b?
k?
●
●
解法一：
因 K点分线段 AB不成定
比，故 K点不在 AB上
一、平面的表示法
●
●
●
●
●
●
a
b
c
a?
b?
c?
不在同一直线
上的三个点
●
●
●
●
●
●
a
b
c
a?
b?
c?
直线及直线
外一点
a
b
c
a?
b?
c?
●
●
●
●
●
●
d●
d?
●
平行两直线
a
b
c
a?
b?
c?
●
●
●
●
●
●
相交两直线 平面图形
用几何元素表示平面
第三节 平面 的投影
●
●
●
●
●
●
a
b
c
a?
b?
c?
平行 垂直 倾斜
二、平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
投影反映实形 投影积聚成直线 投影为类似形
⒉ 平面在三面投影体系中的投影特性
平面在三面投影体系中的位置可分为三类七种,
投影面垂直面
投影面平行面
一般位置平面
特殊位置平面
正垂面
侧垂面
铅垂面
正平面
侧平面
水平面
与三个投影面
都倾斜
垂直与某一投影
面与其他两投影
面倾斜
平行某一投影
面与其他两投
影面垂直
投影面平行面
投影面平行面的
投影特性：
1，在它所平行的
投影面上的投影反
映实形。
2，其他两个投影
面上的投影分别积
聚成直线。
投影面垂直面
投影面垂直面的
投影特性：
1，在它垂直的投影
面上的投影积聚成直
线。该直线与投影轴
的夹角反映平面与两
投影面夹角。
2,其他两个投影面
上的投影有类似性。
对三个投影面都处于倾斜位置的平面叫
一般位置平面。其三个投影都是小于实形的
类似形。
X
b"b'
X
b
H
b'
B
a
c
Y
O
C
b"
c"
W
b
c
H
Y
a
O
Y
W
c'
a'
V
A
a"
Z
a'
c'
Z
c"
a"
一般位置平面
⒈ 平面上的直线
三、平面上的直线和点
判断直线
在平面内
的方法
若一直线过平面上的
两点，则此直线必在
该平面内。
若一直线过平面上的一
点，且平行于该平面上
的另一直线，则此直线
在该平面内。
a
b
c
b?
c?
a?
a
b
c
b?
c?
a?
d?
m
n
n?m?
d
例 1：已知平面由直线 AB,AC所确定，
试在平面内任作一条直线。
解法一 解法二
例 2：在平面 ABC内作一条正平线，使其到 V
面的距离为 15mm。
n?m?
nm15
c?
a?
b?
c
a
b
先找出过此点而又在平面内的一条直线作
为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例 1：已知 K点在平面 ABC上，求 K点的水平投影。
b
a
c
c?
a?
k?
b?
●
k●
2.平面上的点
利用平面的积聚性求解
例 2 已知点 M,N在平面 ABC上, 求
作另一投影 m＇, n.
利用在面内作辅助线求解
点、直线、平面的投影
一,投影的方法
第一节 投影的方法及其分类
空间物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上产
生影子，这种现象称之为投影。经过科学抽象，找出
影子和物体之间的关系，就形成了投影法。
二,投影法的分类
投影法
中心投影法
平行投影法
斜投影法
正投影法
平行投影法
第二节 点的投影
P
b?●
●A
P
过空间点 A向投影面 P作垂线，
与投影面的交点即为点 A在 P面上
的投影。
B1
●B2
●B3
●
一、点在一个投影面上的投影
a?●
已知点在一个投影面上的
投影不能确定点的空间位置。
因此，研究点的投影须采用多
面投影。
二、点在两投影面体系中的投影规律
1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于 OX轴
2）点的 正面投影 到 OX轴 的距离反映该点到 H面的距离；点的
水平投影 到 OX轴的距离反映该点到 V面的距离。
′
′′
W
H
V
oX
a?●
a●
a?●
A●
Z
Y
三、点的三面投影
a?点 A的正面投影
a点 A的水平投影
点 A的侧面投影 a?
投影面展开得到投影图
点在三投影面体系中的投影规律：
（ 1）点的正面投影和水平投影的连线垂直
于 X轴,即 a＇ a⊥X 轴。
（ 2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直
于 Z轴,即 a′a″⊥Z 轴。
（ 3）点的水平投影到 X轴的距离等于点的
侧面投影到 Z轴的距离,即 aax= a＂ aZ。
例：已知点的两个投影，求第三投影。
● a?●
●
a?
a
ax
az
d’
d
e
e’
f’ f’’
e’’
f
d’’
z
x YW
YH
0
例：已知点的两投影，求其第三投影。
a
a’ a’’
四、点的坐标与投影
水平投影 反映 A点 X和 Y的坐标
正面投影 反映 A点 X和 Z的坐标
侧面投影 反映 A点 Y和 Z的坐标
1.直线对一个投影面的投影特性
一、直线的投影特性
A
B
●
●
●
●
a
b
直线垂直于投影面
投影积聚为一点
直线平行于投影面
投影反映线段实长
ab=AB
直线倾斜于投影面
投影比空间线段短
ab=ABcosα
●
●
A
B
●
●
a
b
α
A
M
B●
a≡b≡m●
●
●
第二节 直线的投影
2.直线对三个投影面的投影特性
投影面平行线
投影面垂直线
正平线（平行于Ｖ面）
侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面）
正垂线（垂直于Ｖ面）
侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
与三个投影面都倾斜一般位置直线
特
殊
位
置
直
线
b?
a?
ab
a?
b? b?
a
a?
b?
b
a?
水平线 侧平线正平线
γ
实长
实长 实长
β γ
α α
β
b
a?
a
a? b? b?
（ 1） 投影面平行线
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，
并反映直线与其他两投影面的倾角。
② 其他两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
投 影 特 性：
铅垂线正垂线 侧垂线
② 其他两个投影反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。
投影特性,
●
c?(d?)
c
d
d? c?
●
a?
b?
a(b)
a?
b?
●e?
f?
e f
e?(f?)
（ 2）投影面垂直线
与三个投影面都成倾斜位置的直线称为一般位置直线 。 它的
三个投影均为倾斜位置, 既不反映实长, 也不反映与投影面所成的
夹角 。 γβ WXWb'
H
b
X
B
a
O
α
Y
b"
a
b
Y
H
V
a'
a"
A
Z
b'
a'
O
a"
b"
Y
（ 3）一般位置直线
直线是点的集合 。 因此, 如果点在直线上, 则点的各个
投影必在该直线的同名投影上, 并将直线的各个投影分割成
和空间相同的比例 。
即,A C,C B = a c, c b= a?c?, c?b? = a?c?, c? b? c'
a
B
c
b
H
b
b'
X
V
a'
C
c'
O
A
b'
X
c
a
a'
O
二、直线上的点
例 1：判断点 C是否在线段 AB上。
a
bc
a?
b?
c?① c?②
a
b
c
a?
b?
●
点 C在直线 AB上 点 C不 在直线 AB上
例 2：判断点 K是否在线段 AB上。
a?
b?
● k?
解法二：
因 k?不在 a? b?上，
故点 K不在 AB上。
a
b
k
a?
b?
k?
●
●
a
b
k
a?
b?
k?
●
●
解法一：
因 K点分线段 AB不成定
比，故 K点不在 AB上
一、平面的表示法
●
●
●
●
●
●
a
b
c
a?
b?
c?
不在同一直线
上的三个点
●
●
●
●
●
●
a
b
c
a?
b?
c?
直线及直线
外一点
a
b
c
a?
b?
c?
●
●
●
●
●
●
d●
d?
●
平行两直线
a
b
c
a?
b?
c?
●
●
●
●
●
●
相交两直线 平面图形
用几何元素表示平面
第三节 平面 的投影
●
●
●
●
●
●
a
b
c
a?
b?
c?
平行 垂直 倾斜
二、平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
投影反映实形 投影积聚成直线 投影为类似形
⒉ 平面在三面投影体系中的投影特性
平面在三面投影体系中的位置可分为三类七种,
投影面垂直面
投影面平行面
一般位置平面
特殊位置平面
正垂面
侧垂面
铅垂面
正平面
侧平面
水平面
与三个投影面
都倾斜
垂直与某一投影
面与其他两投影
面倾斜
平行某一投影
面与其他两投
影面垂直
投影面平行面
投影面平行面的
投影特性：
1，在它所平行的
投影面上的投影反
映实形。
2，其他两个投影
面上的投影分别积
聚成直线。
投影面垂直面
投影面垂直面的
投影特性：
1，在它垂直的投影
面上的投影积聚成直
线。该直线与投影轴
的夹角反映平面与两
投影面夹角。
2,其他两个投影面
上的投影有类似性。
对三个投影面都处于倾斜位置的平面叫
一般位置平面。其三个投影都是小于实形的
类似形。
X
b"b'
X
b
H
b'
B
a
c
Y
O
C
b"
c"
W
b
c
H
Y
a
O
Y
W
c'
a'
V
A
a"
Z
a'
c'
Z
c"
a"
一般位置平面
⒈ 平面上的直线
三、平面上的直线和点
判断直线
在平面内
的方法
若一直线过平面上的
两点，则此直线必在
该平面内。
若一直线过平面上的一
点，且平行于该平面上
的另一直线，则此直线
在该平面内。
a
b
c
b?
c?
a?
a
b
c
b?
c?
a?
d?
m
n
n?m?
d
例 1：已知平面由直线 AB,AC所确定，
试在平面内任作一条直线。
解法一 解法二
例 2：在平面 ABC内作一条正平线，使其到 V
面的距离为 15mm。
n?m?
nm15
c?
a?
b?
c
a
b
先找出过此点而又在平面内的一条直线作
为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例 1：已知 K点在平面 ABC上，求 K点的水平投影。
b
a
c
c?
a?
k?
b?
●
k●
2.平面上的点
利用平面的积聚性求解
例 2 已知点 M,N在平面 ABC上, 求
作另一投影 m＇, n.
利用在面内作辅助线求解
