第二章
点、直线、平面的投影
一,投影的方法
第一节 投影的方法及其分类
空间物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上产
生影子,这种现象称之为投影。经过科学抽象,找出
影子和物体之间的关系,就形成了投影法。
二,投影法的分类
投影法
中心投影法
平行投影法
斜投影法
正投影法
平行投影法
第二节 点的投影
P
b?●
●A
P
过空间点 A向投影面 P作垂线,
与投影面的交点即为点 A在 P面上
的投影。
B1
●B2
●B3

一、点在一个投影面上的投影
a?●
已知点在一个投影面上的
投影不能确定点的空间位置。
因此,研究点的投影须采用多
面投影。
二、点在两投影面体系中的投影规律
1)点的正面投影和水平投影的连线垂直于 OX轴
2)点的 正面投影 到 OX轴 的距离反映该点到 H面的距离;点的
水平投影 到 OX轴的距离反映该点到 V面的距离。

′′
W
H
V
oX
a?●
a●
a?●
A●
Z
Y
三、点的三面投影
a?点 A的正面投影
a点 A的水平投影
点 A的侧面投影 a?
投影面展开得到投影图
点在三投影面体系中的投影规律:
( 1)点的正面投影和水平投影的连线垂直
于 X轴,即 a' a⊥X 轴。
( 2)点的正面投影和侧面投影的连线垂直
于 Z轴,即 a′a″⊥Z 轴。
( 3)点的水平投影到 X轴的距离等于点的
侧面投影到 Z轴的距离,即 aax= a" aZ。
例:已知点的两个投影,求第三投影。
● a?●

a?
a
ax
az
d’
d
e
e’
f’ f’’
e’’
f
d’’
z
x YW
YH
0
例:已知点的两投影,求其第三投影。
a
a’ a’’
四、点的坐标与投影
水平投影 反映 A点 X和 Y的坐标
正面投影 反映 A点 X和 Z的坐标
侧面投影 反映 A点 Y和 Z的坐标
1.直线对一个投影面的投影特性
一、直线的投影特性
A
B




a
b
直线垂直于投影面
投影积聚为一点
直线平行于投影面
投影反映线段实长
ab=AB
直线倾斜于投影面
投影比空间线段短
ab=ABcosα


A
B


a
b
α
A
M
B●
a≡b≡m●


第二节 直线的投影
2.直线对三个投影面的投影特性
投影面平行线
投影面垂直线
正平线(平行于V面)
侧平线(平行于W面)
水平线(平行于H面)
正垂线(垂直于V面)
侧垂线(垂直于W面)
铅垂线(垂直于H面)
与三个投影面都倾斜一般位置直线





线
b?
a?
ab
a?
b? b?
a
a?
b?
b
a?
水平线 侧平线正平线
γ
实长
实长 实长
β γ
α α
β
b
a?
a
a? b? b?
( 1) 投影面平行线
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长,
并反映直线与其他两投影面的倾角。
② 其他两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
投 影 特 性:
铅垂线正垂线 侧垂线
② 其他两个投影反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。
① 在其垂直的投影面上,投影有积聚性。
投影特性,

c?(d?)
c
d
d? c?

a?
b?
a(b)
a?
b?
●e?
f?
e f
e?(f?)
( 2)投影面垂直线
与三个投影面都成倾斜位置的直线称为一般位置直线 。 它的
三个投影均为倾斜位置, 既不反映实长, 也不反映与投影面所成的
夹角 。 γβ WXWb'
H
b
X
B
a
O
α
Y
b"
a
b
Y
H
V
a'
a"
A
Z
b'
a'
O
a"
b"
Y
( 3)一般位置直线
直线是点的集合 。 因此, 如果点在直线上, 则点的各个
投影必在该直线的同名投影上, 并将直线的各个投影分割成
和空间相同的比例 。
即,A C,C B = a c, c b= a?c?, c?b? = a?c?, c? b? c'
a
B
c
b
H
b
b'
X
V
a'
C
c'
O
A
b'
X
c
a
a'
O
二、直线上的点
例 1:判断点 C是否在线段 AB上。
a
bc
a?
b?
c?① c?②
a
b
c
a?
b?

点 C在直线 AB上 点 C不 在直线 AB上
例 2:判断点 K是否在线段 AB上。
a?
b?
● k?
解法二:
因 k?不在 a? b?上,
故点 K不在 AB上。
a
b
k
a?
b?
k?


a
b
k
a?
b?
k?


解法一:
因 K点分线段 AB不成定
比,故 K点不在 AB上
一、平面的表示法






a
b
c
a?
b?
c?
不在同一直线
上的三个点






a
b
c
a?
b?
c?
直线及直线
外一点
a
b
c
a?
b?
c?






d●
d?

平行两直线
a
b
c
a?
b?
c?






相交两直线 平面图形
用几何元素表示平面
第三节 平面 的投影






a
b
c
a?
b?
c?
平行 垂直 倾斜
二、平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
投影反映实形 投影积聚成直线 投影为类似形
⒉ 平面在三面投影体系中的投影特性
平面在三面投影体系中的位置可分为三类七种,
投影面垂直面
投影面平行面
一般位置平面
特殊位置平面
正垂面
侧垂面
铅垂面
正平面
侧平面
水平面
与三个投影面
都倾斜
垂直与某一投影
面与其他两投影
面倾斜
平行某一投影
面与其他两投
影面垂直
投影面平行面
投影面平行面的
投影特性:
1,在它所平行的
投影面上的投影反
映实形。
2,其他两个投影
面上的投影分别积
聚成直线。
投影面垂直面
投影面垂直面的
投影特性:
1,在它垂直的投影
面上的投影积聚成直
线。该直线与投影轴
的夹角反映平面与两
投影面夹角。
2,其他两个投影面
上的投影有类似性。
对三个投影面都处于倾斜位置的平面叫
一般位置平面。其三个投影都是小于实形的
类似形。
X
b"b'
X
b
H
b'
B
a
c
Y
O
C
b"
c"
W
b
c
H
Y
a
O
Y
W
c'
a'
V
A
a"
Z
a'
c'
Z
c"
a"
一般位置平面
⒈ 平面上的直线
三、平面上的直线和点
判断直线
在平面内
的方法
若一直线过平面上的
两点,则此直线必在
该平面内。
若一直线过平面上的一
点,且平行于该平面上
的另一直线,则此直线
在该平面内。
a
b
c
b?
c?
a?
a
b
c
b?
c?
a?
d?
m
n
n?m?
d
例 1:已知平面由直线 AB,AC所确定,
试在平面内任作一条直线。
解法一 解法二
例 2:在平面 ABC内作一条正平线,使其到 V
面的距离为 15mm。
n?m?
nm15
c?
a?
b?
c
a
b
先找出过此点而又在平面内的一条直线作
为辅助线,然后再在该直线上确定点的位置。
例 1:已知 K点在平面 ABC上,求 K点的水平投影。
b
a
c
c?
a?
k?
b?

k●
2.平面上的点
利用平面的积聚性求解
例 2 已知点 M,N在平面 ABC上, 求
作另一投影 m', n.
利用在面内作辅助线求解