第一章 线性赋范空间
本章是为了介绍泛函分析中的一些基本概念并提供全书的基础知识．
正如前言中所提到的，泛函分析的基础建立在集合的两种结构之上，一种是
代数结构即线性结构，另一种是拓扑（本书中体现为度量）结构．本章将首先介
绍线性空间、度量空间、赋范空间、内积空间以及拓扑空间的公理系统，讨论它
们之间的相互关系；然后给出某些经典的赋范空间的例子；在此基础上着重叙述
度量空间的两个重要概念——完备性和紧性以及它们的某些应用．
第 1 讲 线性空间
教学目的：掌握线性空间的定义和基本结构性质。
讲解要点：
1 了解线性空间的公理体系，认识线性空间的广泛性。
2 掌握线性无关与基底的概念，弄清这 一概念与线性代数中有限维
空间相应概念的联系与区别。
3 了解凸包与张成的子空间的概念与属性。
我们以 Φ 代表标量域，即实数域 R 或复数域 C ．
定义 1 设 X 是某个集合，其中规定了两种运算（ “加法”与“数乘” ） ，使得
（Ⅰ） X 关于加法构成交换群．即 Xyx ∈? , ，存在 Xu∈ ，称 u 为 x 与 y 之和：
yxu += ．满足
（ 1） xyyx +=+ ．
（ 2） )()( zyxzyx ++=++ ．
（ 3） 存在 X∈0 使得任意的 Xx∈ ， xx =+0 ．
（ 4） 对于每个 Xx∈ ，存在 Xx ∈′ 使得 0=′+ xx ．记 xx ?=′ ，称 x′是 x的负元．
（Ⅱ） 数乘运算可行． 即 Xx∈? ， Φα∈ ， 存在 Xv∈ ， 称 v 为 α 与 x的积： xv α= ． 满
足 Φβα ∈, ， Xyx ∈, ，
（ 1） xx=1 ，
（ 2） xx )()( αββα = ，
（ 3） yxyx ααα +=+ )( ，
xxx βαβα +=+ )( ．
则 X 称为线性空间或向量空间，其中的元称为向量．
当 R=Φ 时，称 X 是实线性空间．
当 C=Φ 时，称 X 为复线性空间．
线性空间的子集合 E ，若对于同样的标量域构成线性空间，则称 E 是 X 的线性子空
间．显然 E 是 X 的线性子空间当且仅当 Eyx ∈? , ， Φβα ∈, 则 Eyx ∈+βα ．
我们采用以下记号：当 Xx∈ ， XEE ?
21
, ， Φα∈ 时，记
}:{
1111
ExxxEx ∈+=+ ，
}:{
1111
ExaxaE ∈= ，
},:{
22112121
ExExxxEE ∈∈+=+ ．
称 Eα 是 E 的倍集，称
21
EE + 是
1
E ，
2
E 的（线性）和集．
注意，应该把线性空间的子集之间的这些运算与集合论中的“并”与“交”运算区别开
来． 就运算性质来说， 一般地， 当 XE ? 时， EEE +?2 ， 其中的包含关系可能是严格的． 此
外，对于 XE ?? ， E? 有明确的意义；若 ?≠E ，则 ?≠? EE 等等．
线性空间 X 中的元素
n
xx ,,
1
null 称为是线性无关的，若 Φ∈?
n
aa ,,
1
null ，当
0
11
=++
nn
xaxa null
时 0
1
===
n
aa null ． X 的子集合 E 称为是线性无关集，若 E 中任意有限多个元素都线性无
关． 不是线性无关的集合称为是线性相关的． 若 E 线性无关并且 XE =span ， 则称 E 是 X 的
基底—— Hamel 基．此时若 E 仅由有限个元素
n
xx ,,
1
null 组成，则称 X 是 n 维空间，记为
nX =dim ．若 E 由无穷多个元素构成，称 X 为无穷维的，记为 ∞=Xdim ．当 }0{=X 时，
记 0dim =X ．
例 1 n维空间
n
Φ ．
X 中的每个元是一个 n数组 ),,(
1 n
xxx null= ， Φ∈?
i
x ， ni ≤≤1 ，定义
),,(),,(),,(
1111 nnnn
yxyxyyxx ++=+ nullnullnull ，
),,(),,(
11 nn
axaxxxa nullnull = ， )( Φ∈a ．
这些 n数组构成线性空间，其维数为 n．即 nX =dim ．
例 2 无穷序列空间
∞
Φ ．
X 中的每个元都是一个无穷序列 ),,(
21
nullxxx = ， Φ∈
n
x ，定义
),,(),,(),,(
22112121
nullnullnull yxyxyyxx ++=+ ，
),,(),,(
2121
nullnull axaxxxa = ， )( Φ∈a ，
则无穷序列空间是线性空间，其维数是无穷的，即 ∞=Xdim ．
例 3 函数空间．
设 ? 为任一点集， X 是在 ? 上定义的函数全体，规定 )(tff = ， )(tgg = 时，
)()())(( tgtftgf +=+ ，
)())(( taftaf = ， )( Φ∈a ．
容易验证 X 是线性空间．
今后对于有限维空间，无穷序列空间和函数空间将分别采用以上规定的线性运算．许多
在经典分析、代数、复变、实变、微分方程中遇到的空间都是线性空间。
注意：定义 1 与线性代数中关于线性空间的叙述是一致的，但是其内涵要比线性代数中
广泛得多。因为在线性代数中限定所考虑的对象为 n数组。这一点很重要，例如在线性代数
中有一个结论：任何 1+n 个向量必线性相关。对于现在的空间，这一结论却不必成立。
利用 Zorn 引理可以证明： 任一线性空间必存在极大线性无关集合， 这一集合即是 X 的
Hamel 基．换句话说，任一线性空间必存在 Hamel 基．
凸集和子空间是线性空间中时常用到的子集． X 的子集 E 称为是凸的，若 Eyx ∈? , ，
10 ≤≤ r ， Eyrrx ∈?+ )1( ．对于任一集合 XE ? ，记
11
co : , 0, 1, 1, 2,
nn
ii i i i
ErxxEr rn
==
??
=∈≥==
??
??
∑∑
null ，
称 Eco 是 E 的凸壳．其中形如
∑
=
n
i
ii
xr
1
的元素称为
n
xx ,,
1
null 的凸组合．记
?
?
?
?
?
?
=∈∈=
∑
=
null,2,1,,:span
1
naExxaE
ii
n
i
ii
Φ ，
称 Espan 是由 E 张成的子空间，其中形如
∑
=
n
i
ii
xa
1
的元素称为
n
xx ,,
1
null 的线性组合．
凸集、 Eco 和 Espan 都有直观的几何意义。读者应能很好地加以理解。
命题 1
（ 1） Eco 是 X 中的凸集，它是 X 中包含 E 的所有凸集的交集．
（ 2） Espan 是 X 的线性子空间，它是 X 中包含 E 的所有线性子空间的交集．
证明 这里仅证（ 1） ． （ 2）的证明更简单．
1° Eco 是凸集．实际上 Eyx, co∈? ，不妨设
∑
=
=
n
i
ii
xrx
1
，
∑
=
=
m
j
jj
ysy
1
，
其中 Eyx
ji
∈, ， 0≥
i
r ， 0≥
j
s ， 1
1
=
∑
=
n
i
i
r ， 1
1
=
∑
=
m
j
j
s ．对于任意的 r ， 10 ≤≤ r ，
∑∑
==
?+=?+
m
j
jj
n
i
ii
ysrxrryrrx
11
)1()1( ，
由于 1)1()1(
11
=?+=?+
∑∑
==
rrsrrr
m
j
j
n
i
i
；上式是
ji
yx , 的凸组合，由 Eco 的定义知道
Eyrrx co)1( ∈?+ ．故 Eco 是凸集．
2°对于任一凸集 A， A中任意 n个元素的凸组合仍在 A中．
用数学归纳法，当 2=n 时，只要 Axx ∈
21
, ， 1
21
=+rr ， 0>
i
r ，则 Axrxr ∈+
2211
，这由
定义直接得出． 再设 kn= 时成立，我们证明 1+= kn 时也成立．实际上若 Axxx
kk
∈
+11
,,,null ，
0>
i
r ， 1
1
1
=
∑
+
=
k
i
i
r ，注意 1
1
1
1
=
?
∑
=
+
k
i
k
i
r
r
，由归纳假设
A
r
xr
x
k
i
k
ii
∈
?
=
∑
=
+
1
1
1
，
从而 Axrxrxr
k
i
iikkk
∈=+?
∑
+
=
+++
1
1
111
)1( ．
3°设 },{ Λλ
λ
∈E 是包含 E 的全体凸集，由
λ
EE ? ，显然
λ
EE coco ? ．由 2°，
λλ
EE =co ，从而
λ
Λλ
EE
∈
? ∩co ． 另一方面由 1°， Eco 是包含 E 的凸集，从而对于某个
Λλ ∈
0
，
0
co
λ
EE = ，于是
λ
Λλ
λ
λλ
λλ
EEEEE
∈≠
=?= ∩∩∩ )(co
0
00
．
总之，
λ
Λλ
EE
∈
= ∩co ．
思考题
1、设 X 是线性空间， ,,0,xXk k∈∈Φ≠ 证明
,,.x XXXXXkXX±= ±= =
2、利用定义证明例 1，例 2，例 3 中的空间都是线性空间。
3、参考书末的附录，试证明 Hamel 基的存在性。
（提示：设 X 不是仅有 0 元构成，记 X 中全体线性无关子集全体为 F，以集合包含关
系为 F 上的半序，则 F 成为半序集。验证其中的每个全序子集族之并是这个全序子集族的
上界。根据 Zorn 引理， F 有极大元，此极大元就是 X 的 Hamel 基。读者在第一次阅读时可
以隔过这一问题）
4、设 X 是线性空间，证明 E X? 是 X 的线性子空间当且仅当
,, .E EEα βαβ?∈Φ+?
5、设 X 是线性空间，证明 E X? 是 X 的凸子集当且仅当
,0,ts?> () .tsEtEsE+ =+
