第 3 讲 赋范空间的例
教学目的：通过实际例子认识多种形式的赋范空间，了解根据需
要定义适当范数是现代数学中常用的和基本的方法。
授课要点：
1、 几个常用的经典空间范数的构造方式。
2、
p
L 与
p
l )1( ∞<≤ p 空间的 Holder, Minkowski 不等式。
在§ 1 中我们已经举出过一些赋范空间的例子．在泛函分析中有一些很早以前就受到人
们重视并且被事实证明是十分重要的赋范空间，例如空间
p
L ，
p
l )1( ∞<≤ p ，这里将扼要
加以介绍．在实变函数论中，我们还接触到过有界变差函数类，绝对连续函数类，满足
Lipschitz 条件的函数类以及有号测度类等等． 这些函数类或测度类可以应用适当方式使之成
为赋范空间．此外我们还将介绍一些在其他学科中用到的空间．
例 1 空间 ()
p
L μ )1( ∞<≤ p ．
设 ),,( μΣ? 是正测度空间， )(?μ 有限或无穷． () (,,)
pp
LLμ μ=?Σ 是使得
∞<
∫
?
μd|)(|
p
tf 的可测函数全体，并且将 ..ea 相等的函数视为同一元．若 ],[ ba=? ， μ 是
? 上的 Lebesque 测度，则记 ),,( μΣ?
pp
LL = ．
1° ()
p
L μ 是线性空间．
若 ,f g∈ ()
p
L μ ，即 ∞<
∫
?
μd|)(|
p
tf ， ∞<
∫
?
μd|)(|
p
tg ，则对于几乎所有的 ?∈t ，
))()((2}))(,)(max{2()()(
pp
pp
p
tgtftgtftgtf +≤≤+
于是
∞<+
∫
?
μd|)()(|
p
tgtf ，
即 ()
p
fgLμ+∈ ．此外，显然 ()
p
fLα μ∈ ，故 ()
p
L μ 是线性空间．
2°设 1>p ， 1
11
=+
??
qp ，若 ()
p
fLμ∈ ， ()
q
gLμ∈ ，我们证明
()( )
q
q
p
pp
tgtftgtf
11
d|)(|d|)(|d|)()(|
∫∫∫
≤
???
μμμ （ 1）
成立。称此式为 H?lder 不等式，称 p ， q为一对共轭数．
我们从 Young 不等式开始，设 0, >ba ，则
q
b
p
a
yyxxBAab
qp
b
q
a
p
+=+=+≤
∫∫
??
0
1
0
1
dd ． （ 2）
现在设
( ) 0d|)(|||||
1
>=
∫
p
p
p
tff
?
μ ，
()0d|)(|||||
1
>=
∫
q
q
q
tgg
?
μ ，
（在
p
f |||| 与
q
g |||| 至少一个为 0 的情况下， H?lder 不等
式的成立是显然的） ．作函数
p
f
tf
ta
||||
)(
)( = ，
q
g
tg
tb
||||
)(
)( = ，
利用 Young 不等式得到
q
tb
p
ta
tbta
qp
|)(||)(|
|)()(| +≤ ．
从而
∫∫∫
+≤
???
μμμ d|)(|
1
d|)(|
1
d|)()(|
qp
tb
q
ta
p
tbta
∫∫
+=
??
μμ d
||||
|)(|1
d
||||
|)(|1
q
q
q
p
p
p
g
tg
qf
tf
p
1
11
=+=
qp
．
换回到函数 f ， g ，则知（ 1）成立．
3°设 1≥p ， ,()
p
fg Lμ∈ ，则 Minkowski 不等式成立
ppp
gfgf |||||||||||| +≤+ . （ 3）
实际上，当 1=p 时，
∫
+=+
?
μd|)()(|||||
1
tgtfgf
∫∫
+≤
??
μμ d|)(|d|)(| tgtf
11
|||||||| gf += ．
现设 1>p ．当 ,()
p
fg Lμ∈ 时， ()
p
fgLμ+∈ ，此时 ||()
p
qq
fg Lμ+∈ ．由 H?lder
不等式
q
q
p
p
q
p
gffgff ||||||||||d|||| +≤+
∫
?
μ ，
0 a
b
a′ x
y
1?
=
p
xy
图
q
q
p
p
q
p
gfggfg ||||||||||d|||| +≤+
∫
?
μ ，
所以
∫∫
?
++=+
??
μμ d||||d||
1pp
gfgfgf
∫∫
??
+++≤
??
μμ d||||d||||
11 pp
gfggff
∫∫
+++=
??
μμ d||||d||||
q
p
q
p
gfggff
q
q
p
pq
q
p
p
gfggff |||||||||||||||||||| +++≤
( )
q
p
pp
gfgf
1
d||)||||||(||
∫
++=
?
μ
由此式得出
()
pp
q
p
p
gfgfgf ||||||||d||||||
1
1
+≤+=+
?
∫
?
μ ．
4°当 1≥p 时，以
p
f |||| 为范数， ()
p
L μ 成为线性赋范空间．
实际上， 0|||| ≥
p
f ．若 0|||| =
p
f ，则 0)( =tf ， ..ea ，将 ..ea 相等的函数视为同一元，
即 0=f ．显然
pp
ff |||||||||| αα = 成立。再由 3°三角不等式成立。所以
p
f |||| 是 ()
p
L μ 上的
范数．
5°当 2=p 时，定义
∫
=
?
μd)()(),( tgtfgf ，
2
, Lgf ∈ ．
则 ),( ?? 是
2
()L μ 上的内积，此时
2
()L μ 成为内积空间．
值得注意的是 Minkowski 不等式中等号成立的条件．不妨设 f ， g 均不为 0 元，由于
Young 不等式中等号成立当且仅当 )(ab ?= ，故 H?lder 不等式中等号成立当且仅当
q
p
tfktg |)(||)(| = ， ..ea ，其中 0>k 为常数．在证明 Minkowski 不等式时用到函数 || f 与
q
p
gf || + 以及 || g 与
q
p
gf || + ，故等号成立当且仅当
q
p
q
p
fkgf ||||
1
=+ ，
q
p
q
p
gkgf ||||
2
=+ ，
..ea ．此时必有 )()( tcgtf = ， ..ea 其中 c 为非负常数．
例 2 空间 ()L μ
∞
．
仍设 ),,( μΣ? 为测度空间，记 ()L μ
∞
是在 ? 上与一个有界函数几乎处处相等的可测函
数全体，称此种函数为本性有界可测函数．若 ],[ ba=? ， μ 为 ? 上的 Lebesque 测度，则记
],[ baLL
∞∞
= ．
1 ° ()L μ
∞
是线性空间．例如，若 f 在
1
\ E? 上有界， g 在
2
\ E? 上有界，
0)()(
21
== EE μμ ．则 fα 与 gf + 分别在
1
\ E? 与 )(21
EE ∪? 上有界． 0)(
21
=EE ∪μ ，故
,()ff g Lα μ
∞
+∈ ， ()L μ
∞
是线性空间．
2°对于任意的
∞
∈Lf ，定义
|)(|supinf||||
0)(
tff
Et
E
E
?
μ
?
∈
=
?
∞
= ． （ 4）
∞
|||| f 称为 f 的本性最大模或本性上确界．有时记
|)(|supess|||| tff
t ?∈
∞
= ．
我们证明，将 ? 上 ..ea 相等的函数视为同一元，则
∞
?|||| 是 ()L μ
∞
上的范数．
实际上对于每个 ()fLμ
∞
∈ ，存在 ??
0
E ， 0)(
0
=Eμ 使得 |)(|sup||||
0
tff
Et ?∈
∞
= ．换句话
说，
∞
|||| f 可以在某个与 ? 几乎相等的集合上达到．为此，取 ??
n
E 使 0)( =
n
Eμ ，
n
ftf
Et
1
|||||)(|sup
0
+≤
∞
∈?
．
记
n
n
EE
∞
=
=
1
0
∪ ，则一方面 0)(
0
=Eμ ，故由
∞
|||| f 的定义
∞
∈
≥ |||||)(|sup
0
ftf
Et ?
．
另一方面
n
ftftf
n
EtEt
1
|||||)(|sup|)(|sup
\0
+≤≤
∞
∈∈ ??
．
0
E 与 n 无关，故
∞
∈
≤ |||||)(|sup
0
ftf
Et ?
．于是
|)(|sup||||
0
tff
Et ?∈
∞
= ．
现在验证
∞
?|||| 是 ()L μ
∞
上的范数．
（ 1）显然 0|||| ≥
∞
f ．若 0|||| =
∞
f ，则 ???
0
E ， 0)(
0
=Eμ 使得在
0
\ E? 上， 0|)(| =tf ，
即 0)( =tf ， ..ea 将 ..ea 为 0 的函数视为 0 元，则 0=f ．
（ 2）显然
∞∞
= |||||||||| ff αα ．
（ 3） 设 ,()fg Lμ
∞
∈ ， ??
21
,EE ， 0)()(
21
== EE μμ 并且 f ， g 分别在
1
\ E? ，
2
\ E?
上达到本性最大模，则
|)(|sup|)(|sup||||||||
21
\tgtfgf
EtEt ?? ∈∈
∞∞
+=+
|)(|sup|)(|sup
)(\)(2121
tgtf
EEtEEt ∪∪ ?? ∈∈
+≥
|)()(|sup
)(21
tgtf
EEt
+≥
∈ ∪?
∞
+≥ |||| gf ．
3°将 ..ea 相等的函数视为同一元， ()L μ
∞
依范数
∞
|||| f 成为线性赋范空间．
4°若
1
()fLμ∈ ， ()gLμ
∞
∈ ，容易验证有
∞
≤
∫
||||||||d
1
gffg
?
μ ． （ 5）
例 3 空间
p
l )1( ∞≤≤ p ．
考虑无穷序列空间中的元，
p
l )1( ∞<≤ p 是使 ∞<
∑
∞
=1
||
n
p
n
x 的元素全体．
∞
l 是使
∞<
≥
||sup
1
n
n
x 的元素全体．定义
∞<?
?
?
?
?
?
=
∑
∞
=
p
n
p
np
xx
1
1
|||||| ， )1( ∞<≤ p
||sup||||
n
n
xx =
∞
. （ 6）
则
p
l 是线性赋范空间．
实际上当 ∞<< p1 时，利用 Young 不等式（ 2）可以得出 H?lder 不等式
q
n
q
n
p
n
p
n
n
nn
yxyx
1
1
1
11
|||||| ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
≤
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
， （ 7）
其中
p
n
lxx ∈= )( ，
q
n
lyy ∈= )( ，并且 1
11
=+
qp
．然后可以证明当 ∞<≤ p1 时， Minkowski
不等式成立
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
nn
yxyx
1
1
1
1
1
1
|||||| ?
?
?
?
?
?
+?
?
?
?
?
?
≤?
?
?
?
?
?
+
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
， （ 8）
总之，对于 ∞≤≤ p1 ，
p
||||? 是
p
l 上的范数．
特别地，当 2=p 时，若规定
∑
∞
=
=
1
),(
n
nn
yxyx ，
2
, lyx ∈? ，
则 ),( ?? 是
2
l 上的内积，
2
l 是内积空间．
空间
p
l 可以看成
p
L 的特殊情况．取 N=? （全体正整数） ， Σ 由 N 的全体子集构成，
对于每个 Σ∈E ， )(Eμ 是 E 中元素的个数．此时 ),,( μΣN 是测度空间， ()
pp
Llμ = ．
思考题
1、证明当 ∞<)(?μ 时，若 ∞≤≤≤ qp1 ，则
1
LLLL
pq
???
∞
．
但当 ∞=)(?μ 时，
p
L 与
q
L 互不包含．
2、 对于 ∞≤≤≤ qp1 ，证明
∞
??? llll
pq1
．
3、 证明 }0}{;0sup{}0}{;0inf{|||| >>>==>>=
∞
CfCCfCf μμ
例 4 空间 c 与
0
c ．
用 c 表示收敛的标量序列的全体，即
}lim,);({ 存在
n
n
nn
xxxxc
∞→
∈== Φ ．
定义
||sup||||
1
n
n
xx
≥
= ， cxx
n
∈=? )( ，
则 c 是线性赋范空间．
0
c 是收敛于 0 的标量序列全体，即
}0lim,);({
0
=∈==
∞→
n
n
nn
xxxxc Φ ，
0
c 上的范数与 c 中的范数相同，
0
c 也是线性赋范空间．从而
0
c 是 c 的线性子空间．另外 c 又
可以看成
∞
l 的线性子空间．
例 5 空间 ],[ baV 与 ],[
0
baV ．
],[ baV 是 ],[ ba 上的有界变差函数全体，对于每个 ],[ baVf ∈ ，定义
)(|)(||||| fVaff
b
a
+= ． （ 9）
其中 )( fV
b
a
为 f 在 ],[ ba 上的全变差
∑
=
?=
n
i
ii
b
a
afbffV
1
|)()(|sup)(
π
，
这里 π 代表 ],[ ba 的任一分划 bbabaa
nn
=<≤≤<= null
11
．
],[ baV 按函数空间的运算是线性空间，我们验证它是赋范空间．实际上，
1°显然 0|||| ≥f ．若 0|||| =f ，则 0)( =af ， 0)( =fV
b
a
．此时 0|)()(|sup
1
=?
∑
=
n
i
ii
afbf ，
其中上确界是对任一组分划而取的．故 ],[ bat∈? ， 0)()( == aftf ，即 0=f ．
2°显然 |||||||||| ff αα = ．
3°对于任一组分点，
∑∑∑
===
?+?≤+?+
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
agbgafbfagfbgf
111
|)()(||)()(||))(())((|
)()( gVfV
b
a
b
a
+≤ ．
关于所有分划取上确界得到
)()()( gVfVgfV
b
a
b
a
b
a
+≤+ ．
又
|( )( )| | ( )| | ( )|f ga fa ga+≤+，
所以
|| || || || || ||f gfg+≤ + ．
特别地，记 }),(,0)(];,[{],[
0
中右连续在bafafbaVfbaV =∈= ，则 ],[
0
baV 是 ],[ baV 的线性
子空间， ],[
0
baV 上的范数是
)(|||| fVf
b
a
= ．
例 6 设 ),( Σ? 是可测空间， 其中 ? 是某个集合， Σ 是由 ? 的子集构成的 σ 代数． 设 Μ
是定义在 Σ 上的实值（不必非负）或复值有界变差测度的全体．当 Μ∈vu, ， Φα∈ 时，定
义
)()())(( AvAuAvu +=+ ， )())(( AuAu αα = ， Σ∈?A ，
则 Μ 是线性空间．若以全变差
∑
=
=
n
i
i
Au
1
|)(|sup|||| μ
π
， Μ∈?u
作为 Μ 上的范数，这里 },,{
1 n
AA null=π 是 ? 到 Σ 的一个分划，其中每个 Σ∈
i
A ，上确界是
关于所有如此的 π 而取的．则 Μ 是赋范空间．
例 7 设 ? 是
n
R 中的一个区域， 10 ≤<α ，称函数 Rf →?: 满足 Lipschitz 条件，若存
在 0>L 使得
α
|||)()(| yxLyfxf ?≤? ， ?∈? yx, ．
记此种函数的全体为 )(?
α
C ．容易验证 )(?
α
C 是线性空间．若以
Lipa
f |||| 记满足上述不等式
的 L的下确界，则
Lipa
faff |||||)(||||| +=
是 )(?
α
C 上的范数．
现在，让我们再举出一些在某些学科中用到的例子．
例 8 在 Fourier 分析中常遇到绝对收敛 Fourier 级数的问题．考虑满足下述条件的
Fourier 级数全体
A }||;{
int
∞<==
∑∑
∞
?∞=
∞
?∞= n
n
n
n
aeaf ，
对于每个 ∈f A，定义
∑
∞
?∞=
=
n
n
af |||||| ，则 (A ||)||, ? 是线性赋范空间．
例 9 在调和分析中， Hardy 空间具有重要地位．设 D 是复平面上的单位圆盘，对于每
个 Dz∈ ，
θi
rez = ， 10 <≤r ， πθ 20 <≤ ．考虑在 D 中解析的函数 )()(
θi
refzf = ． Hardy
空间
p
H 是由这样的解析函数构成的，
}d|)(|sup;{
2
0
10
∞<=
∫
<≤
π
θ
θ
pi
r
p
reffH ，
p
pi
r
H
reff
p
1
2
0
10
d|)(|
2
1
sup|||| ?
?
?
?
?
?
=
∫
<≤
π
θ
θ
π
．
{; sup| ()| }
zD
Hf fz
∞
∈
= <∞ ，
|)(|sup|||| zff
Dz
H
∈
=
∞
．
可以证明，当 ∞≤≤ p1 时，
p
H 是线性赋范空间．
例 10 空间 )(
)(
?
k
C ．设 ? 是 n维空间
n
R 中的有界闭集，具有连通的内部， k 是非负
整数． )(
)(
?
k
C 是在 ? 上具有直到 k 阶连续偏导数的 n元函数集合．以 ),,(
1 n
ααα null= 表示 n
重指标，其中的每个
i
α 是非负整数．记
n
n
n
xxx
α
α
α
α
α
α
?
?
?
?
=
?
?
null
1
1
1
，
n
ααα ++= null
1
|| ．
对于函数 )(),,()(
)(
1
?
k
n
Cxxuxu ∈= null ，令
α
α
?α
x
u
u
xk
?
?
=
∈≤
maxmax||||
||
．
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
u
x
u
0
0
（ 10）
此时， ||||? 是 )(
)(
?
k
C 上的范数．
)(
)(
?
k
C 是在微分方程理论中常常用到的空间．在一维的情况，记为 ],[
)(
baC
k
，在变分
方法中也经常遇到．
例 11 空间 )(
~
,
?
pk
H ．这里 k 是非负整数， ∞<≤ p1 ．对于上例中的 )(
)(
?
k
C ，不用式
（ 10）作范数，而令
p
k
p
pk
xx
x
u
u
1
||
,
d)(||||
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
∑
∫
≤α
?
α
α
, （ 11）
则
pk,
||||? 也是 )(
)(
?
k
C 上的范数．若 2=p ，定义
∑
∫
≤
??=
k
xxvxuvu
||
d)()(),(
α
?
αα
， )(,
)(
?
k
Cvu ∈?
则 )(
~
,
?
pk
H 成为内积空间．这一空间将直接导致 Sobolev 空间，后者是微分方程理论中用到
的重要空间．
很多空间都可以纳入赋范空间的框架，这说明研究一般赋范空间的性质是十分重要
的．另一方面针对不同对象定义不同的范数（在可能的条件下） ，既是研究目的所需要的，
也是应该加以培养的技巧．
思考题
验证例 6－例 11 所述的空间是赋范空间。
