1 第 12 讲 Hahn－ Banach 延拓定理 教学目的 掌握线性 泛函延拓定理的证明思想及其推论。 授课要点 1、 实空间线性泛函的控制延拓定理。 2、 复空间线性泛函的控制延拓定理。 3、 保范延拓定理。 4、 延拓定理 的推论及其意义。 对于一个线性赋范空间来说，对它上面的线性泛函知道得越多， 对这个空间本身就了解得越多（参见第 9 讲思考题 1） . 有时候为了 某种目的，要求有满足一定条件的线性泛函存在， Hahn－ Banach 定理 为这样的线性泛函的存在提供了保证 . 定义 1 设 ()DT 与 ( ) 1 DT 分别是算子 T 与 1 T 的定义域，若 () ( ) 1 DT DT? ，并且 1 ,Tx Tx= ( )x DT?∈ ，则称算子 1 T 是 T 的延拓 . 定义 2 线性空间 X 上的实泛函 ( )p x 称为是次可加的，若 ()( ) ( )p xy px py+≤ + ， ,x yX? ∈ 称为是正齐性的，若 () ( )p xpxαα= ， x X? ∈ ， 0α ≥ . 显然线性空间上的每个半范数都是次可加正齐性泛函 . 定理 1（ Hahn－ Banach） 设 X 是实线性空间， :p XR→ 是 X 上的正齐性次可加泛函， M X? 是线性子空间，则 （ 1）对于 M 上定义的每个线性泛函 0 f ，存在 0 f 从 M 到 X 的延 2 拓 f ： X R→ ， () ( ) 0 f xfx= ， x M? ∈ （ 2）若 () () 0 f xpx≤ ， x M? ∈ ，可选取 f 满足 () ( )f xpx≤ ， x X? ∈ ( )1 证 明 1 null 设 M X≠ ，取 0 \x XM∈ ，记 'M =span{ } 0 ,x M ，则 x M′′?∈ ， 0 x xtx′=+ ，其中 x M∈ ， tR∈ . 此分解式是唯一的，否 则另有 110 x xtx′= + ， 1 x M∈ ，则 ( ) 110 x xttx?=?? ，若 1 tt≠ ，则 1 0 1 x x x tt ? = ? M∈ ，与 0 x 的取法矛盾，于是 1 tt= ，并且 1 x x= . 对于任何常数 c，令 () ( ) 0 f xfxtc′ =+， 0 x xtx′? =+ . 则容易验证 f 是 M′ 上的线性泛函 . 实际上 f 是 0 f 从 M 到 M′ 的延 拓，因为当 x M′∈ 时， 0t = ，从而 ( ) ( ) 0 f xfx′ = . 2 null 我们将证明当 x M?∈ ， ( ) ( ) 0 f xpx≤ 时，适当选择 c，可使 () ( )f xpx ′′≤ ， x M′′?∈ . 实际上 ,x yM?∈，由于 () () ( ) ( ) 00 0 f xfyfxypxy+=+≤+ ( ) ( ) 00 p xx px y≤?+ +， 即 () ( ) ( ) ( ) 0000 f xpxx pxyfy??≤ +? ， 故存在 c满足 () ( ) 00 sup xM f xpxx c ∈ ??≤?? ?? ( ) ( ) 00 inf yM p xyfy ∈ ≤+?? ? ? ? ， ()2 3 我们将取这样的 c作成所要的线性泛函 . 此时若 0 x xtx′=+ ， 0t＞ ， 由 ( ) ( ) 00 p xyfyc+ ?≥对于每个 yM∈ 成立，用 1 tx ? 代替 y ，则 ()( ) 11 00 p xtx ftxc ?? + ?≥， 从而 () ( ) ( ) ( ) 00 f xfxtcpxtxpx′′=+≤+=. 若 0 x xtx′=+ ， 0t < ，由 ( ) ( ) 00 f xpxx c? ?≤对于每个 x M∈ 成 立，用 1 tx ? ? 代替 x ，则 ()( ) 11 00 f tx p txx c ?? ????≤， 即 () ( ) 00 f xpxtx tc?++≥. 从而 ( )() ( ) ( ) 00 f xfxtcpxtxpx′′=+≤+=. 当 0t = 时， 显然 () ( ) ( ) ( ) 0 f xfxpxpx′ ′==＜ . 故 f 是 0 f 从 M 到 M′上满足 ( )1 的延拓。 3 null 现在让我们应用 Zorn 引理完成定理的最后证明 . 设 G 是 0 f 的所有延拓的集合，即对于每个 gG∈ ， （ 1） g 在 X 的子空间 g M 上有定义， g M M? ， （ 2） x M?∈ ， ( ) ( ) 0 gx f x= ， （ 3） () ()gx px≤ ， g x M∈ . 在 G 中规定半序： gg′≤ 当且仅当 g g M M ′ ? ，并且 () ( )gx g x ′= () g x M∈ ，容易验证， G 确实是半序集 . 若 0 G 是 G 的全序子集，令 null 0 g gG M M ∈ = ∪ ，当 g x M∈ 时，定义 () ()hx gx= . 由于 0 G 是全序的， null M 为线性子空间：例如当 null ,x xM′∈ 时，若 g x M∈ ， 'g x M′∈ ，不妨设 'g g M M? , 则 null g x xM Mαβ′′+∈?， 此时 4 ( ) ( ) ( ) ( )'h x x g x x gx gxαβ αβ α β ′′′′+= += + ( ) ( )hx hxαβ ′=+ , h 是线性泛函 . 显然 null M M? 并且当 x M∈ 时， ( ) ( )() 0 hx gx f x== . 此外若 null x M∈ ，不妨设 g x M∈ ，则 ( ) ( ) ( )hx gx px=≤，从而 hG∈ ， hg≥ () 0 gG?∈ ， h是 0 G 的上界 . 根据 Zorn 引理， G 有极大元 f ， f 即是定理中所需要的延拓 . 为 此只需证明 . f M X= 如若不然，必存在 0 f x XM∈ ，由 1 null 有 f G′∈ ， f M′ = span 0 {, },x M ff M M′ ≠ ，故 f f′≥ , f f′≠ ，这与 f 为极大元 矛盾 . 现在我们转到复空间上的线性泛函 f . 不妨设 ( ) ( ) ( ) 12 f xfxifx=+， 其中 12 ,f f 分别是 f 的实部和虚部，根据 f 的线性，容易验证 12 ,f f 是 实线性泛函 . 又由 f 的复线性以及实际计算得到 () ( ) ( ) ( ) 12 if x f ix f ix if ix==+， () ( ) ( ) 12 if x if x f x=?. 从而 () () 21 f xfix=? ，故 () ( ) ( ) 11 f x f ix if ix=? ()2 由此知道， 复空间上任何复线性泛函可以通过它的实部表达出来 . 但应注意，对于实线性泛函 1 f ，一般来说 ( ) ( ) 11 f ix if x≠ . 定理 2 设 X 是复线性空间， p 是 X 上的半范数 . 若 M 是 X 的 线性子空间， 0 f 是 M 上的复线性泛函，满足 () ( ) 0 f xpx≤ ， x M? ∈ ， 则存在 X 上的线性泛函 F ，使得 () ( ) 0 F xfx= ， x M? ∈ ， 5 () ( )Fx px≤ ， x X? ∈ . (3) 证 明 在 M 上，设 ( ) ( ) ( ) 011 f xfxifix=?，把 M 看成实线性子 空间（同样的，把 X 看成实线性空间） ，由假设 () () ( ) ( ) 11 0 f xfxfxpx≤≤≤， x M? ∈ ， 由定理 1，存在实线性泛函 1 :FX R→ ，使得 () ( ) 11 F xfx= ， x M? ∈ ， () () 1 F xpx≤ ， x X? ∈ . 考虑复泛函 () ( ) ( ) 11 F xFxiFix=? ，由于 ()( ) ( ) 11 F xy Fxy iFixiy+= +? + ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 1 F xFyiFixiFiy=+? ? ( ) ( )F xFy=+， ,x yX? ∈ 若 α 为实数， ( )()( ) 11 F xFxiFixα αα=? ( ) ( ) 11 F xiFixαα=? ()F xα= 又 ( )()( ) 11 F ix F ix iF x=?? ( ) ( ) ( ) 11 iF x iF ix iF x=?= 由此，对于任意复数 ,α β 与任意 ,x yX∈ ， ( ) ( ) ( )F xy Fx Fyαβ α β+= + F 是复线性的 . 若 x M∈ ，则 ( )()( ) ( ) ( ) ( ) 1111 0 F xFxiFix fxifix fx=? =?= 故 F 是 0 f 的延拓 . 若设 ( ) i F xre θ = ，则 ( ) i Fe x r θ? = 为实数，此时 () ()( ) ( ) () 1 iii Fx Fe x Fe x pe x px θθθ??? ==≤=. ()F x 即是所要求的复线性泛函 . 定理 3 设 X 是（实或复）线性赋范空间， M X? 是线性子空 间， 0 f 是 M 上的连续线性泛函 . 则存在 X 上的线性泛函 f ，使得 6 () ( ) 0 f xfx= ， x M? ∈ ， 0 f f= . (4) （称 f 是 0 f 的保范线性延拓） . 证 明 令 () 0 p xfx= ， ( )p x 是 X 上的半范数并且 () ( ) 00 f xfxpx==， x M? ∈ 在复空间情况，由定理 2 ，存在 X 上的线性泛函 f ，使得 () ( ) 0 f xfx= ， x M?∈ ，并且 () ( ) 0 f xpx fx≤= ， x X? ∈ 在实空间情况，由定理 1，存在 X 上的线性泛函 f 使得 () ( ) 0 () ,f xpxpx fx xX±≤±== ?∈. 从而 () 0 f xfx≤ ， 0 f f≤ ， f 连续 . 另一方面， ( ) ( ) 00 1, 1, sup sup xxM xxM f fx fx ≤∈ ≤∈ == ( ) 1, sup xxX f xf ≤∈ ≤=， ()5 总之， 0 f f= . 注意， ()5 说明了任一线性泛函（或算子）延拓后范数不会减少。 推论 1 设 X 是线性赋范空间， 0 x X∈ ， 0 0x ≠ ，则存在 f X ? ∈ 使得 1f = ， () 00 f xx= . 证 明 考虑子空间 { } 0 ;Mxαα= ∈Φ 和 M 上的线性泛函 () 00 0 f xxαα= ， 0 f 在 M 上连续 . 实际上，对于 0 ,x xα= () 000 0 ()f xfx xxαα===， 所以 0 1f = . 又显然 () 00 0 f xx= ，由定理 3，存在 f X ? ∈ ， 1f = . 当 x M∈ 时 () () 0 f xfx= ，特别地， ( ) ( ) 0000 f xfx x==. 推论 2 设 X 是线性赋范空间， 12 ,x xX∈ ， 12 x x≠ ，则存在 7 f X ? ∈ ， () () 12 f xfx≠ . 证明 由 12 0xx?≠，根据推论 1 ，存在 f X ? ∈ ， () 12 12 0fx x x x?=?≠，故 ( ) ( ) 12 f xfx≠ . 从直观上说，推论 1 表明，对于一个非零线性赋范空间，一定存 在非零连续线性泛函 . 推论 2 则表明非零连续线性泛函是足够多的， 以至于每两个不同的点都可以由某个连续线性泛函区分开来 . 有时简 单的说， X ? 在 X 上可以区分点 . 推论 3 设 X 是线性赋范空间， 12 ,x xX∈ ，若对于任何 f X ? ∈ ， () ( ) 12 f xfx= ，则 12 x x= . 这是由推论 2 的逆否命题 . 推论 4 设 X 为线性赋泛空间， 0 x X∈ ，则 ( ) 00 1 sup f x fx ≤ = . ()6 证 明 首先由 1f ≤ ，则 ( ) 00 f xfx≤ 0 x≤ ， 于是 () 00 1 sup f f xx ≤ ≤ . 再由推论 1 ，存在 f X ? ∈ ， 1f = ， () 00 f xx= ，故 ( ) 00 1 sup f x fx ≤ ≤ , 从而等式 ()5 成立 .