1 第 18 讲 自反空间与一致凸空间 教学目的 掌握具有明显几何特征与重要应用的一致凸空间的定义 及相关性质 . 授课要点 1 自反性的概念和常用空间的自反性. 2 自反空间的各种属性. 我们在前一讲已经定义过自反空间，当 X 自反时，自然嵌入映射 :JX X ?? → 是到上的等距映射， X 与 X ?? 等距同构 . James 曾经给出 过例子：一个 Banach 空间 X 与其二次共轭空间 X ?? 等距同构，而自 然嵌入映射 J 却不是相应的到上的等距映射，于是这样的空间 X 不是 自反空间 . 这告诉我们，自反空间定义中到上的映射 J 一定要求是自 然嵌入算子 . 例 1 n Φ ， p l ， [ ]( ) ,1 p Lab p∞＜＜ 都是自反空间 . 这里仅验证 [ ] , p Lab的自反性 . 由本章第 15 讲定理 2 的证明我们 已经知道当 11 1 pq +=时， [ ] [ ] [ ] ,,, pqp Lab Lab Lab ?? ? ==，利用那里建 立的等距同构映射复合起来可以得到 [ ] , p L ab与 [ ] , p Lab ?? 之间一一的 到上的等距同构映射 . 记此映射为 [ ] [ ] :, , pp Lab Lab? ?? → ， x x ?→ ， 我们验证 ? 即是自然嵌入 J . 实际上，对于任何 [ ] , p f Lab ? ∈ ，若 f 对 应于函数 [ ] , q L abξ∈ ， 则由第 15 讲定理 2 的证明， x ? 作为 [ ] , p Lab ? 上 的线性泛函对应地有 2 ( ) () () () () () bb xx aa f ttdt xttdtfx??ξ ξ=== ∫∫ ， f 是任意的，所以由定义 ? 即是 J . 例 2 0 c ， 1 l ， [ ] 1 ,Lab都不是自反的 . 这里仅验证 1 l ，我们知道 ( ) 1 ll ? ∞ = ，并且空间 1 l 是可分的， l ∞ 不 可分，若 1 l 自反，则必有 ( ) 1 ll ? ∞ = ，这与本章第 16 讲定理 15 的结论 矛盾 . 定理 1 若 X 是自反空间，则 X 的任一闭线性子空间 Y 是自反空 间 . 证明 设 YX? 是闭线性子空间， :JY Y ?? ′ → 是自然嵌入映射 . 对于每个 yY ???? ∈ 和 x X ?? ?∈ ，记 Y x ? 为 x ? 在 Y 上的限制并且令 ( ) ( ) Y xx yx ?? ? ?? ? = , ()1 则 x X ?? ?? ∈ ，于是存在 x X∈ ， ( )Jx x ?? = . 现在证明 x Y∈ ，若不然， Y 是闭子空间， x Y? ，则存在 0 x X ?? ∈ , () 0 1xx ? = ， ( ) 0 0xy ? = ， ( )yY?∈ . 于是 () ( ) ( )000 0 10 Y xy x x yx ?????? == = =， 矛盾，由此改记 .x y= 对于 yY ?? ?∈ ， y ? 可以延拓为 X 上的连续线性泛函 x ? ，使得 Y x y ?? = , 从而由 ()1 式得到 ( ) ( ) ( ) ( )yy xx x x y y ? ?????? == = ， 3 y ? 是任意的，故 Jy y ??? ′ == ， J′到上， Y 自反 . 利用稍微复杂一点的方法可以证明下面定理，这里将具体的证明 略去 . 定理 2 设 X 是 Banach 空间，则 (1) X 是自反的当且仅当 X ? 自反 . (2)若 X 自反， M 是 X 的闭线性子空间，则商空间 \X M 自反 . 定理 3 设 X 是线性赋范空间，则以下诸条件等价： (1) X 自反 . (2) X 中任一有界序列包含有 w收敛的子序列 . (3) X 的闭单位球 X S 是 w 序列紧集 .即 X S 中任一无穷序列有弱 收敛于 X S 中点的子序列 . (4) ? f X ? ∈ ， 0f ≠ ，存在 x X∈ ， 1x = 使得 ( ) f xf= . 证明 (1) ? (2) 设 { } n x 是 X 中任一有界序列，例如 n x M≤ () 1n? ≥ ，考虑 { } n Y span x= ， Y 是 X 的闭线性子空间 . 由 定理 1， Y 自反 . 注意到 Y 是可分的，故 Y ? 可分 .若 :JY Y ? ?? ′ = 是自然 嵌入映射， { } n x 是 Y 中的有界序列，从而 { } n Jx′ 是 Y ?? 中的有界序列 . 根据本章第 16 讲定理 16 ，有子序列 { } k n Jx′ 及 0 yY ?? ?? ∈ ， 0 k w n Jx y ? ?? ′ ?? → .由于 Y 是自反的，故存在 0 yY∈ ， 00 Jy y ?? ′ = . 即 yY ?? ?∈ ， ()( ) ()( ) 0 k n Jx y Jy y ? ? ′′→ . 现在， ? x X ?? ∈ ，设 Y yx ? ? = ，则 () ()( )( ) ()( ) 0 kkk nnn x xyx Jxy Jyy ?? ? ? ′′== → ( ) 0 yy ? = () 0 x y ? = 故 0 k w n x y?? → . (2) ? (3) 由上面证明知道， nX x S? ∈ ，有子序列 { } k n x ， 4 0 k w n x xX?? →∈， 同时有 0 lim 1 k n k xx →∞ ≤ ≤ ， 故 0 X x S∈ . X S w序列紧 . (3) ? (4) 设 0f ≠ ， f X ? ∈ . 由 ( ) 1 sup x f fx = = ，取 n x X∈ ， 1 n x = ， () 1 n f fx f n ?≤＜ . 由 (3)， { } n x 中有子序列 0 k w n x x?? → ， 0 lim 1 k k n n xx →∞ ≤≤，特别地， () ( ) 0 lim k k n n f xfx →∞ = . 但 () 1 k n k f fx f n ?≤＜ , 于是 () ( ) 0 lim k k n n f xfxf →∞ ==. 现在 ( ) 00 f xfx≤ ，故 0 1x ≥ ，从 而 0 1x = . 若 ( ) 0 i f xre θ = ， 取 0 i x ex θ? = ，则 0 1xx==，并且 () ( ) ( ) 00 i f xefx rfx f θ? ====. (4) ? (1) 一个初等的但繁复的证明由 James 作出 (见 Israel J.Math. vol 13， 1972 )，这里略去 . 例 3 [ ] 0,1C 不是自反空间 . 取 ( ) n n x tt= ， 1n≥ ，则 [ ] 0,1 n xC∈ . 由第 16 讲例 4， 若有子列 k n x 弱收敛于 x ， 则 ( ) 0xt= ， 01t＜＜ ， ()11x = . 但 [ ] 0,1xC? ， 这说明 [ ] 0,1C 的闭单位球不是 w 序列紧的 . 由定理 3(3) 知 [ ] 0,1C 不自反 . 习题二第 4 题和定理 3(4)也可以说明这个结论成立 . 定理 3(3) 说明自反空间中的任一有界闭凸子集是弱序列紧集， 这 一性质在逼近论和凸分析中有很多应用 . 5 定理 4 设 X 是线性赋范空间， E X? 是弱序列紧集， 0 \x XE∈ ， 则存在 0 yE∈ 使得 ( ) 00 0 0 inf , yE x yxydxE ∈ ?= ?= . 即 0 y 是 0 x 关于 E 的最佳逼近元 . 证明 取 n yE∈ 使得 00 inf n yE x yxy ∈ ? →?，由于 E 是弱序列紧 的，从而有子列 0 k n yyE→∈. 现在一方面 00 0 inf yE x yxy ∈ ?≥ ?. 另一方面 , 由于 f X ? ?∈ ， ( ) () 0 k n f yfy→ ，特别地取 0 f X ? ∈ 使得 0 1f = ， () 00 0 0 0 f xy xy?=?，则 () ( ) 00 000 00 lim k k n n x yfxy fxy →∞ ?= ?= ? 00 lim k k n n f xy →∞ ≤? 0 inf yE x y ∈ = ? . 于是 00 0 inf yE x yxy ∈ ?= ?. 线性赋范空间 X 上的泛函 ( ] :,X? →?∞∞(不必线性 )称为是弱下 半连续的，若对于任何 0 x X∈ 和 0 w n x x?? → ， ( ) () 0 lim n n x x?? →∞ ≤ . 定理 5 设 E 是线性赋范空间 X 中的弱序列紧集， : ER? → 是弱 下半连续泛函，则 ? 在 E 上可达到极小值，即 0 x E? ∈ 使得 6 ( ) ( ) 0 lim xE x x?? ∈ = . 证 明 首先证明 ? 在 E 上是有下界的 . 若不然， 1n?≥， n x E?∈， () n x n? ?＜ ， E 弱紧，此时存在 0 k w n x xE?? →∈，由 ? 的 下半连续性， () ( ) 0 lim k k n n xx?? →∞ ≤=?∞，这与 ? 的定义矛盾 . 其次，取 n x E′∈ 使得 ( ) ( )inf n yE x x?? ∈ ′ = ，则有子列 k n x′ ， 0 k w n x xE′′?? →∈. 由下半连续性 () ( ) () 0 lim inf k k n yE n x xx??? ∈ →∞ ′′≤=. 另一方面，显然 () ( ) 0 inf yE x x?? ∈ ′ ≥ . 故最后有 ( ) ( ) 0 inf yE x x?? ∈ ′ = . 推论 1 设 X 是自反空间， EX? 是有界闭凸子集，则 (1) x X?∈ 存在 x 关于 E 的最佳逼近元 y , inf zE x yxz ∈ ? =? . (2) 若 : X R? → 是弱下半连续的，则 0 x E? ∈ 使得 ( ) ( ) 0 inf xE x x?? ∈ ≥ . 末了，让我们介绍一致凸空间 . 定义 2 线性赋范空间 X 称为是一致凸的，若 ε? ( )02ε ≤＜ ，存 在 δ＞0 ，对于任意 ,x yX∈ ， 1x ≤ ， 1y ≤ ，只要 xy ε? ≥ ，则 1 2 xy δ + ≤ ? . ()2 7 例 4 Hilbert 空间是一致凸的 . 实际上，由平行四边形公式， ,x yX? ∈ ( ) 2222 2x yxy xy++?= + ， 若 1x ≤ ， 1y ≤ ， xy ε?≥，则 2 2 4xy ε+ ≤? ，于是 2 11 24 xy ε δ + ≤ ?=?， 其中 2 11 4 ε δ =? ? . 此外空间 p l ， [ ] , p Lab ( )1 p ∞＜＜ 也是一致凸空间 . 由定义容易知道，每个一致凸空间是严格凸的 . 例 4 由于 1 l ， [ ] 1 ,L ab， [ ] ,Cab， [ ] ,L ab ∞ ， c， 0 c 不是严格凸 的，所以也不是一致凸的 . 定理 6 Banach 空间 X 是一致凸的当且仅当 , nn x yX? ∈ ， lim lim 1 nn nn xy →∞ →∞ ==， lim 2 nn n xy →∞ + = 时， lim 0 nn n xy →∞ ? = . 证 明 首先设 1 nn xy= = ， lim 2 nn n xy →∞ + = ，若 lim nn n xy ε →∞ ?≥＞0 ，则有无穷多个 , kk nn x y 　使得 2 kk nn xy ε ?≥＞0 . 由一致凸性定义， 1 2 kk nn xy δ + ≤ ? ，这里 ( )δδε= ＞0 ，从而 lim 2 nn n xy →∞ + ＜ ，矛盾 . 现设 lim lim 1 nn nn xy →∞ →∞ ==， 取 n n n x x x ′ = ， n n n y y y ′ = ， 则 n x′ = 1 n y′ = 8 并且 lim 2 nn n xy →∞ ′′? = ，由上面证明知道 lim 0 nn n xy →∞ ′′? = ，从而 　 lim lim 0 nn nn nn nn xy xx yy →∞ →∞ ′′?= ? =. 反之，若 X 不是一致凸的，则存在 0 ε ＞0 和 , nn x y 使得 1 n x ≤ ， 1 n y ≤ ， 0nn xy ε?≥，但 1 1 2 nn xy n + ≥? ，这与定理中所说条件矛 盾 . 推论 2 设 X 是一致凸空间， n x X∈ ，若 1 n x → 并且 , lim 2 mn nm xx →∞ +=，则 , lim 0 mn nm xx →∞ ? = . 定理 7 一致凸 Banach 空间是自反的 . 证 明 对于每个 0 x X ???? ∈ ，不失一般性设 0 1x ?? = ，我们证明 存在 0 x X∈ 使得 00 Jx x ?? = ，其中 J 是自然嵌入映射。 实际上， 1n?≥，存在 n x X ? ? ∈ ， 1 n x ? = 使得 () 00 11 1 n xx x nn ?? ? ?? ? =?＞ . ()3 由 Helly 第二选择定理，对于 1 ,, n x x ? ? ""和 1 n ε = ，存在 n x X∈ 使得 ( ) ( ) 0 iin x xxx ?? ? ? = () 4 并且 0 11 1 n xx nn ?? ≤+=+. 于是 9 () () 0 11 iinin xx xx xx nn ?? ? ? ? ? =≤ +＜＜， 由此得到 lim 1 n n x →∞ = . 再由 () () () 0 1 21 iinim x xxxxx n ?? ? ? ? ?? ?=+ ?? ?? ＜2 inm x xx ? ≤+ nm x x=+ 1 1 n ?? ≤+ ?? ?? 2 , 得出 , lim 2 mn nm xx →∞ +=. 上面推论 2 说明 , lim 0 mn nm xx →∞ ? = . 换句话 说， { } n x 是 Cauchy 序列 . X 完备，不妨设 0 lim n n x xX →∞ = ∈ ，显然 0 1x = . 对于 ()4 ，固定 i，令 n→∞，则得到 ( ) ( ) 00ii x xxx ?? ? ? = ， 1i ≥ . 0 x 是惟一的 . 实际上若另有 0 x X′∈ ， 0 1x′ = ， 00 x x′ ≠ 并且 () () 00ii x xxx ?? ? ? ′= ， 1i?≥根据一致凸性必有 00 2xx′+ ＜ ，但由 () () 0000 1 21 2 ii x x xxx xx n ?? ? ? ?? ′ ′?≤ = +≤+ ?? ?? , 得出 00 2xx′+≥，矛盾 . 若 x X ?? ∈ 是任一元， 考虑序列 12 ,,,xxx ??? ",重复上面过程可得到 0 x ， 0 1x = 并且 () () 00 x xxx ?? ? ? = ， ( ) ( ) 00ii x xxx ?? ? ? = ， 1i ≥ 10 由惟一性知道 00 x x= 并且 ( ) ( ) 00 x xxx ?? ? ? = ， x ? 的任意性说明 00 Jx x ?? = ， J 到上，故 X 自反 . 推论 3 设 X 是一致凸 Banach 空间， EX? 是非空闭凸集，则 存在惟一的 0 x E∈ 使得 0 inf xE x x ∈ = . 证 明 若 0 E? ，由于 X 是自反空间，由推论 1(其中取 0x = )即 得出所要的结论，当 0 E∈ 时，取 0 0x = 即可 . 推论 4 设 X 是一致凸 Banach 空间， n x X∈ ，则 n x x→ 当且仅 当 w n x x?? → 并且 n x x→ . 证 明 必要性是明显的 . 现证充分性 . 设 w n x x?? → ， n x x→ . 若 0x = ，即 0 n x → ，故结论成立 . 若 0x ≠ ，不失一般性，设 1x = ， 取 f X ? ∈ ， 1f = ， ()f xx= ，则 ()( )22 mn fx x fx+ →=, 从而 () ,, 2lim lim mn mn mn mn f xx xx →∞ →∞ ≤+≤+ ( ) , lim 2 mn mn xx →∞ ≤ +=. 由推论 2， 0 mn xx?→. 由此得出 n x x→ . 思考题 试证明 p l 和 [,](0 ) p Lab p< <∞ 都是一致凸空间 . (在 2 p≤ <∞时 证明并应用不等式 1 2( ), ,. pp pp p x yxy xyxy ? ++?≤ + ? 在 12p<≤情况利用这一结果以及共轭范数的公式. )