1 第16讲 w收敛与 w ? 收敛 教学目的： 掌握弱收敛与弱 * 收敛的概念和基本性质。 授课要点： 1 序列弱收敛的定义和基本性质。 2 序列弱 * 收敛的定义和基本性质。 3 强弱序列有界性，闭性，完备性，紧性的比较。 有了共轭空间的知识，现在让我们引入一种新的收敛概念 . 定义 1 设 X 是线性赋范空间， X ? 是 X 的共轭空间， n x ， x X∈ ， 若对于每个 f X ? ∈ ， ( ) ( )lim n n f xfx →∞ = ，则称序列 { } n x 弱（ ω）收敛 于 x ,记为 lim n n x xω →∞ = ? ，或 n x x ω ?? → 。 以往所讲的依范数收敛，有时又称为强收敛 .必要时记之为 s n x x?? → 。 定理 1 弱收敛序列的极限是惟一的 . 证明 设 n x X∈ ， w n x x?? → ， w n x y?? → ，则 f X ? ?∈ ， () ( ) n f xfx→ ， () ( ) n f xfy→ .于是 ( ) ( )f xfy= ， 由 Hahn－ Banach 定理的推论知道 x y= . 定理 2 设 X 是线性赋范空间， ,, , nn x xy y X∈ ， , n λ λ∈Φ， w n x x?? → ， w n yy?? → ， n λ λ→ ，则 w nn x yxy+??→+， w nn x xλ λ?? → . 这一结论表明弱极限运算是线性的. 证明 f X ? ?∈ ，直接计算得到 ( )()( ) ( ) ( ) ( ) nn n n f x y fx fy fx fy fx y+= + → + = +， 2 () ( ) ( ) ( ) nn n n f xfxfxfxλ λλλ=→=， 即是所要的结论 . 定理 3 若 s n x x?? → ，则 w n x x?? → . 证明 对于每个 f X ? ∈ ， () ( ) nn f xfxfxx?≤ ? ， 若 0 n xx?→，则 () ( ) n f xfx→ ，故得之 . 例 1 弱收敛的序列可能不是强收敛的 . 设 () p n elp∈ ＞1 ， 0, ,01,0, n n e ?? ?? = ?? ?? ""  ， 1n≥ . 对于每个 ( ) ( ) 11 1 pq fl lpq ? ?? ∈ =+=，不 妨设 () 12 ,,f ηη= " ，其中 1 q n n η ∞ = ∞ ∑ ＜ ，于是 0 n η → . 此时 ( ) 0 nn fe η=→,故 0 w n e ?? → . 但 1 n p e = ，故 0 n e → . 定理 4 在有限维空间中，强收敛和弱收敛是一致的 . 证明 只须证明其中任一弱收敛序列是强收敛的 . 实际上，若 ()k x ， ( )0 n x ∈Φ ， ( ) ( )0k w x x?? → ，由于 ( ) nn ? Φ →Φ ，取线性泛函 i f ， 当 { } 1 ,, n x xx= " 时， () ii f xx= ， ( )1, ,in= " 。则 ( ) n i f ? ∈Φ ， () ( ) ()kk ii f xx= ， () ( ) ()00 ii f xx= , 由于 () ( ) () ( ) 0k ii f xfx→ 即 ( ) ( ) ( )( ) 0 1, , k ii x xk i n→→∞=" ，换句话说， ()k x 依坐标收敛于 ()0 x ，故 ( )k x 必依范数收敛于 ( )0 x . 尽管一般来说弱收敛序列不必强收敛，但下面定理反映出弱收敛 与强收敛的联系是紧密的 . 3 定理 5 若 0 w n x x?? → ，则存在 { } n x 中元素的凸组合构成的序列 { } n y （即 1 n ii k nnn i yrx = = ∑ ； 0 i n r ≥ ， 1 1 n i k n i r = = ∑ ） ， 0 s n yx?? → . 证 明 考虑集合 { };1 n Ecoxn= ≥ ，只须证明 0 x E∈ . 由凸集的隔离定理，对于紧集 { } 0 x 和闭凸集 E ，存在 f X ? ∈ 和两 实数 12 ,rr（ 12 rr＜ ）使得 () ( ) 012 Re Ref xrr fy＜＜＜ ， yE? ∈ . 特别地，取 n yx= 可知这是与 f X ? ?∈ ， 0 () () n f xfx→ 矛盾的 . 为了进一步刻划弱收敛，让我们引入自然嵌入算子的概念 . 首先 我们有 定理 6 对于每个 xX∈ ，在 X ? 上定义泛函 x ?? 　，使 () ( )x ffx ?? = ， f X ? ?∈ ， 则 x X ?? ?? ∈ 并且 x x ?? = . 证 明 由定义， 12 ,f fX ? ?∈， ,α β∈Φ， ( ) ( )( ) 12 12 x ff ffxαβ αβ ?? +=+ ( ) ( ) 12 f xfxαβ=+ ( ) ( ) 12 x fxfαβ ?? ?? =+， 故 x ?? 　是线性泛函 . 由于 () ( )x ffxxf ?? =≤ ， 4 所以 ()x fx ?? ≤ ， x X ?? ?? ∈ . 对于 0x≠ ，由 Hahn－ Banach 定理的推论，存在 f X ? ∈ , 1f = 并 且 ()f xx= ，从而 ( ) ( )x xf fx x ?? ?? ≥== , 故 x x ?? = . 当 0x= 时，取 0x ?? = . 定义 2 称算子 :JX X ?? → ， Jx x ?? = ， () ()x ffx ?? = ， f X ? ?∈ ( )321? ? 是从 X 到 X ?? 的自然嵌入算子 . 若 ( )JX X ?? = ，称 X 是自反空间 . 定理 7 自然嵌入算子是从 X 到 X ?? 的子空间上的等距同构 . 证 明 若 11 Jx x ?? = ， 22 Jx x ?? = ，则 f X ? ?∈ ， ( )() 11 x ffx ?? = ， () ( ) 22 x ffx ?? = ，从而由定义 ( )( ) ( ) ( ) 12 1 2 x xf xf xfαβ α β ?? ?? ?? ?? +=+ ( ) ( ) 12 f xfxαβ=+ ( ) 12 f xxαβ=+ , 即 () 12 1 2 Jx x x xαβ α β ?? ?? +=+ 12 Jx Jxα β= + ， J 是线性的 . 5 由定理 1 知 Jxx x ?? ==. 设 { },YJxxX=∈, 则 YX ?? ? 为线 性子空间， J 是从 X 到 Y 上的等距同构 . 将等距同构的空间看作同一空间，我们可以将 X 看作 X ?? 的线性 子空间，即 X X ?? ? . 容易知道，当 X 是 Banach 空间时， X 是 X ?? 的 闭线性子空间 . 若 X 不是完备的，考虑 X ?? 的闭子空间 ()JX，一方 面 ()JX为 Banach 空间，另一方面 X (即 ( ) JX)在 ()JX中稠密，故 可以将 ()JX看成 X 的完备化空间 . 这样，借助于二次共轭空间，我 们得到了线性赋范空间的一种完备化方法 . 定义 3 设 X 为线性赋范空间， X ? 是 X 的共轭空间 . 称集合 E X? 是弱 ()w 有界集，若对于每个 f X ? ∈ ，存在 0 f M ＞ 使得 f x M≤ ， xE? ∈ . 定理 8 集合 E X? 是 w有界集，当且仅当 E 是有界集 . 证明 若 E 有界，即存在 0M＞ ， x M≤ ， xE∈ ，则对于每个 f X ? ∈ ， ( ) f f xfxfMM≤≤=， xE? ∈ E 是 w有界集 . 反之，若 E 是 w有界的， J 是从 X 到 X ?? 的自然嵌入，则 ()JE是 X ?? 的子集 .对于每个 f X ? ∈ ， () () f x ffxM ?? =≤, ( )x JE ?? ?∈ ， ()JE在 X ? 上点点有界，根据共鸣定理 (注意 X ? 为 Banach 空间 )，存 6 在 0M＞ ， x M ?? ≤ ， ( )x JE ?? ?∈ ，但 Jx x x ?? ==， xE?∈ ,故 x M≤ ， xE? ∈ ， E 是有界集 . 定理 9 w n x x?? → 当且仅当下面两条成立： (1) 1 sup n n x ≥ ∞＜ ； (2) 存在 GX ? ? ， spanG 在 X ? 中稠密，并且对于每个 fG∈ ， ( ) ( ) n f xfx→ . 证 明 若 w n x x?? → ，显然 { } n x 是 w 有界集，由定理 3 ， 1 sup n n x ≥ ∞＜ ，后半部分结论自然成立，必要性得证 . 反之，设 () n x Mn≤?，不妨也设 x M≤ ，当 ( )() n f xfx→ 对 于 G中的所有 f 成立时，由于极限运算的线性，对于 spanG 中的每 个 f 仍然成立 .现在若 f X ? ∈ ，对于任意的 ε? ＞0 ，取 f′∈ spanG ， ff ε′? ＜ ，关于 f′，存在 0 n ，当 0 nn≥ 时 ( ) ( ) n fx fx ε′′? ＜ , 从而 () () ( ) ( ) ( ) ( ) nnnn f xfx fxfx fxfx′′′?≤ ? + ? ( ) ( )f xfx ′+? nn f fx f fxε′′≤? ++? ()21.M ε+＜ 7 故 w n x x?? → . 例 2 ()1 p lp∞＜＜ 中的序列 () () ( ) nn i x xw= 收敛于 () () () 00 i x x= 的 充要条件是 : (1) () 1 sup n p n x ≥ ∞＜ ; （ 2） 1,i? ≥ ( ) ( ) ( ) 0 . n ii xxn→→∞ 实际上，由 () ( ) 11 1 pq llpq ? ?? =+=，设 0, ,0,1,0, i i f ?? =?? ?? ""  ， { };1 i Gf=≥，则 q i f l∈ 并且对于每个 i， () ( ) () 1, 2, nn ii fx x n==" ， () ( ) ()00 . ii f xx= 最后， spanG 在 q l 中是稠密的，对照定理 8 即得出所要的结论 . 例 3 [ ]() ,1 p Lab p∞＜＜ 中的序列 ( ) nn x xt= 弱收敛于 () 00 x xt= 的充要条件是 （ 1） 1 sup n p n x ≥ ∞＜ ； （2）并且对于每个 [ ] 0 ,tab∈ ，　 () () 00 0 lim tt n aan x tdt x tdt →∞ = ∫∫ . 实际上，设 [] [ ] { } , ;, at Gtabχ=∈，其中 [],at χ 是区间 [ ] ,at的特征函 数。显然 [] [ ] , , q at Labχ ∈ ( ) 11 1pq ?? + = ，并且由 Lebesque 积分理论， 8 spanG 在 [ ], q Lab中稠密。现在记与 [] 0 ,at χ 相应的泛函为 0 t f ，则 () [] () () 0 0 0 00, , bt t at aa f x x tdt x tdtχ== ∫∫ () [] () () 0 0 0 , . bt tn n nat aa f xxtdxtdχ== ∫∫ 对照定理 8 即得出所要的结论 . 例 4 [ ],Cab 中的序列 { } n x 弱收敛于 0 x 的充要条件是 1 sup n n x ≥ ∞＜ ，并且对于每个 [ ],tab∈ ， ( ) ( ) 0n x txt→ . 实际上，对于每个 [ ],tab∈ ，定义 ( ) ( ) t f xxt= ，则 t f 是 [ ] ,Cab上 的线性泛函，并且 () ( ) t f xxtx=≤，故 1 t f ≤ ， [ ] , t f ab ? ∈ . 若 0 w n x x?? → ，必有 1 sup n n x ≥ ∞＜ 并且 ( ) ( ) 0tn t f xfx→ ，即 () ( ) 0n x txt→ ()n→∞ . 反之，对于每个 [ ] ,f ab ? ∈ ，存在 () [ ] 0 ,at V ab ? ∈ ，使得 () () () b a f xxtdtα= ∫ ， ( ) [ ],x tCab?∈ 若定理中所说的条件成立， 即 n x M≤ 并且 ( ) ( ) 0n x txt→ , [ ] ,tab?∈ ， 由 Stiltjes－ Lebesque 控制收敛定理得 () () () () 0 lim . bb n aan x td t x td tαα →∞ = ∫∫ 即 ( ) ( ) 0 lim n n f xfx →∞ = ， f 是任意的，故 0 w n x x?? → . 9 定义 4 设 X 是线性赋范空间， X ? 是 X 的共轭空间， n f , f X ? ∈ ， 若 xX∈ ， () () n f xfx→ ，则称序列 n f 弱星 (w*）收敛于 f ,记为 lim n n f wf ? →∞ =? 或 w n f f ? ?? → . 定理 10 w ? 收敛序列的极限是惟一的 . 证明 设 w n f f ? ?? → ， w n f f ? ′?? → ， .则 ? xX∈ ， ( )() n f xfx→ ， () ( ) n f xfx′→ ，于是 () '(), ,f xfxxX= ?∈ 故 '.f f= 定理 11 设 n f ， f X ? ∈ ， w n f f?? → ，则 w n f f ? ?? → . 证明 若 w n f f?? → ，则 x X ???? ?∈ ， () ( ), n x fxf ?? ?? → 但 X X ?? ? ， xX?∈ 若 Jx x ?? = ，则 () ( ) ( ) ( ), nn f xxf xf fx ?? ?? =→= 故 w n f f ? ?? → . 例 5 w ? 收敛而不 w收敛的泛函序列 . 设 1 n el∈ ， n e 如同例 1. 由 于 1 0 cl ? = ， () 12 0 ,,x xx c? =∈"" ， ( ) 0 nn ex x= → ，故 0 w n e ? ?? → . 另一方面， ( ) 1 ll ? ∞ = ，取 ( ) 0 1,1,x l ??∞ = ∈"" ，则 ( ) 0 1 n xe ?? = . 故 0 w n e → . 定理 12 设 X ? 是 X 的共轭空间， n f ， f X ? ∈ ，则 *w n f f?? → 当 10 且仅当 1 sup n n x ≥ ∞＜ 并且存在 E X? ，span E 在 X 中稠密，对于每个 xE∈ ， ( )() n f xfx→ . 证明与定理 9 类似，此处略 . 定义 5 线性赋范空间 X 中的子集 A 称为是弱序列闭集，若 n x A?∈， 0 w n x x?? → 时， 0 x A∈ . 称 A是弱序列紧集，若 A中任一无 穷序列有子序列弱收敛于 A中元。空间 X 称为是弱序列完备的，若 X 中的每个弱 Cauchy 序列 (即 f X ? ?∈ ， ( ) n f x 是 Cauchy 序列 )都是弱收 敛序列 . 在前面我们已经证明过一个集合的弱有界与按范数有界等价 . 现 在我们证明 定理 13 设 X 是线性赋范空间， A X? 是凸集，则 A是 (强 )闭集 当且仅当 A是弱序列闭集 . 特别地，一个线性子空间是闭的当且仅当 它是弱序列闭的 . 证明 设 A 是弱序列闭的， n x A∈ ， 0 s n x x?? → ，自然有 0 w n x x?? → ，由弱序列闭性 0 x A∈ ，故 A是（强）闭的 . 反之，若 A (强 )闭， n x A∈ ， 0 w n x x?? → ，由定理 5，存在 { } n x 的 凸组合构成的序列 { } n y ， 0 s n yx?? → ，但 A是凸集，所以 n yA∈ ， A （强）闭，故 0 x A∈ . 于是 A弱序列闭 . 定理 14 线性赋范空间中的每个弱序列紧集是弱序列闭的 . 证明 设 A 是弱序列紧的， n x A∈ ， 0 w n x x?? → ，则存在子列 0 k w n x xA′?? →∈，由弱序列极限的惟一性 00 x xA′= ∈ . 定理 15 若 X ? 是可分的， X 必为可分的 . 11 证明 注意在第一章第 7 讲中我们已经知道 *XX或是可分的当 且仅当其单位球是可分的. 设 ( ) p SX ? 是 X ? 的单位球面， 12 ,,ff" 是 () p SX ? 中的可数稠密子集，由于 ( ) 1 sup nn n ffx ≥ = =1， 取 n x ， 1 n x = ，使 () 1 2 nn fx＞ ( )1, 2,n= " ． 记 E = span{ } n x ，则 E X= . 若不然，有 0 \x XE∈ ，则 ( ) 0 ,dxE＞0 ， 根据第二章第 14 讲推论 5，存在 f X ? ∈ ， 1f = ， ( )( ) 00 ,f xxEρ= 并且 () ( )0f xxE=?∈，于是 ( ) p f SX ? ∈ ．但 1n? ≥ ， () () () 1 2 nnnnnn f f fx fx fx?≥ ? = ＞ , 这与 { } n f 在 () p SX ? 中稠密矛盾 . 例 5 定理 15 的逆不真 . 我们已经知道 ( ) 1 ll ? ∞ = ， 1 l 是可分的，但 l ∞ 不是可分的 . 定理 16 设 X 是可分线性赋范空间，则 X ? 中的任一有界序列 { } n f 存在子序列 { } k n f ， * . k w n f fX ? ?? →∈ 特别地， X ? 的闭单位球 是 w ? 序列紧的 . 证明 不妨设 { } n x 在 X 中稠密， 1 n f ≤ ． 12 由 ( ) 11n f xx≤ ，取子序列 ( ) 1 1, 2, i fi= " 使 ( ) 11i f x 收敛，又由 () 12 2i f xx≤ ，取 { } 1i f 的子序列 ( ) 2 1, 2, i fi= " 使 ( ) 22i f x 收敛， " ． 一般地有 ki f 使得 ( ) ki k f x 收敛 ( ) i→∞ ，取对角线上的一列函数 为 ()1, 2, kk fk= " ，则 kk f 在每一点 i x 收敛 . 由于 { } i x 在 X 中稠密，对于每个 xX∈ 和任意的 ε＞0 ，存在 i x 使 得 i xx ε? ＜ ，由不等式 (以下简记 kk 为 k， ss 为 s ) () () ( ) ( ) ( ) ( ) ns kk k s f xfx fxfx fx fx′ ′′?≤?+? ( ) ( ) ss f xfx′+?， ( ) ( ) kks f xx fx fx′ ′′≤?+? s f xx′+ ? 取 0 n 足够大，使当 0 ,ks n≥ 时， ( ) ( ) ks fx fx ε′′? ＜ ，则上式变为 ( ) ( ) , ks fx fx ε? ＜3 于是 k f 在 X 上处处收敛 . 现在设 () ( )lim k k f xfx →∞ = ，则 f 是线性的，并且 ( ) ()lim k k f xfxx →∞ ≤≤， 故 f X ? ∈ ，由 f 的定义即知 *w k f f?? → . 由上述内容可以看出，弱收敛的概念与强收敛既有联系又有区别 . 13 记住这些联系与区别在理论上和应用上都是重要的 . 当把它们应用于 不同的研究对象时，会引出形形色色彼此相同的或不同的方法或结果 . 例如应用于向量值函数时，我们会得到强连续与弱连续，强可导与弱 可导，强解析与弱解析，强可积与弱可积的概念 . 在很多情况下它们 是不同的，不过，下面我们要讨论的定义在复平面 C的开集中的向量 值函数的两种解析性是等价的 . 设 X 是复线性赋范空间， ?是复平面 C 中的开集， ( )uz是定义 在 ?中取值于 X 的向量值函数，称 u 在 ?中是（强）解析的，若 0 z?∈?,　 0 z r? ＞0 ， n aX∈ 使得 () ( ) 0 0 n n n uz a z z ∞ = =? ∑ ， 0 0 z z zr? ＜ 依 X 中范数收敛，称 u 在 ?中是弱解析的，若上述级数弱收敛，即 　 () ( )( ) 0 0 n n n x uz x a z z ∞ ?? = =? ∑ ， 0 0 z z zr? ＜ 收敛 . 由强解析容易得出弱解析，下面定理保证了相反的关系也能成立 . 定理 17 设 X 是 Banach 空间，若 (形式 )幂级数 () 0 0 n n n azz ∞ = ? ∑ ， n aX∈ 在 00 z zr? ＜ 中弱收敛，则此级数在 00 z zr? ＜ 中依范数收敛 . 证明 对于 00 z zr?z: ＜ ， 取 10 0 z zr? 1 z: ＜ 并且 010 z zzz? ?＜ ． 由上述幂级数的弱收敛性， x X ? ? ?∈ ， ()( ) 0 lim 0 n n n xa zz ? →∞ ? = ，故 () { }0 ;1 n n azz n?≥弱有界，从而范数有界。不妨设 14 0 ,1 n n azz M n? ≤≥ 于是 0 010 00 10 n n n nn n zz azz azz zz ∞∞ == ? ?= ?? ? ∑∑ 0 0 10 n n zz M zz ∞ = ??? ≤∞ ?? ? ?? ∑ ＜ . 由比较定理， 0 0 n n n azz ∞ = ? ∑ 收敛， X 是完备的，故 ()( ) 0 0 n n n azz ∞ = ? ∑ 依 范数收敛， z是 00 z zr? ＜ 中任一点 , 所以结论成立 . 思考题 1. 若集合 *EX? 是 *w 有界的 , E是否范数有界 . 2. 设 X 是 Banish 空间 , (,),KBXY? 证明下面三条等价 : (1) sup . TK T ∈ <∞ (2) ,sup . TK xX Tx ∈ ?∈ <∞ (3) ,*,sup(). TT xXfY fTx ∈ ?∈ ∈ <∞