第 7 讲 紧性与有限维空间 可分性 教学目的：掌握单位球的紧性与空间维数的关系，以及可分的概念。 授课要点： 1、 有限维空间的同构性。 2、 有限维空间单位球的紧性特征。 3、 可分性与可分空间。 现在让我们转到有限维空间的特殊性质．在上一讲推论 3 中已经知道，对于有限维空间 来说， 判别紧集的条件十分简单． 实际上我们将会看到， 这种情况是有限维空间所独有的． 这 里我们先给出一个同构性定理，在第 4 讲中我们曾定义了两个空间同构的概念． 定理 1 设 X ， Y 是线性赋范空间， YXT →: 是到上的线性映射，则 T 是 X 到 Y 上的 同构当且仅当存在正数 a， b 使得 |||||||||||| xbTxxa ≤≤ ， Xx∈? ． （ 1） 若 X 与 Y 同构，当一个是完备空间时，另一个也是． 证 明 充分性．若对于任意的 Xx∈ 所说的不等式成立，则当 21 TxTx = 时， 0||)(|||||| 2121 =?≤? xxTxxa ， 从而 21 xx = ， T 是一一的．若 Xxx n ∈, ， xx n → ，则 0|||||||| →?≤? xxbTxTx nn ， TxTx n → ， T 是连续的．若 n y ， Yy∈ ， yy n → ，不妨设 nn Txy = ， Txy = ，则 0|||||||||||||||| 11 →?=?≤?=? ?? yyTxTxxxayTyTa nnnn ，　 于是 yTyT n 11 ?? → ， 1? T 连续．总之 X ， Y 同构． 必要性．设 T 是从 X 到 Y 上的同构映射，若不存在 0>b 使得 |||||||| xbTx ≤ )( Xx∈? ，此 时对于任意的 n，有 Xx n ∈ ， |||||||| nn xnTx > ，令 |||| n n n xn x x =′ ，则 0 1 |||| →=′ n x n ， 从而 0→′ n x ．但 ∞→>=′ n xn Tx xT n n n |||| |||| |||| ， 这说明 T 不是连续的．矛盾即证明存在 0>b ， |||||||| xbTx ≤ ， Xx∈? ．同样地，由 1? T 连续， 存在 0>a ， |||| 1 |||| 1 y a yT ≤ ? ， Yy∈? ，令 Txy = 即得 |||||||| Txxa ≤ ． 最后的结论是明显的． 线性空间 X 上的两个范数 1 ||||? ， 2 ||||? 称为是彼此等价的，若存在 0, >ba 使得 121 |||||||||||| xbxxa ≤≤ ， Xx∈? （ 2） 由上面定理及其证明可以得出以下推论． 推论 1 线性空间 X 上的两个范数 1 ||||? ， 2 ||||? 是彼此等价的，若对于任何 Xx n ∈ ， 0|||| 1 → n x 当且仅当 0|||| 2 → n x ． 定理 2 设 X 是线性赋范空间， Y 是 X 的线性子空间， nY =dim ， n Φ 是 n 维欧氏空 间．若 YF n →Φ: 是到上的（或一一的）线性映射，则 F 是 n Φ 到 Y 上的同构并且 Y 是 X 的 闭子空间． 证 明 令 n k k e Φ∈= )0,,0,1,0,,0( null nullnullnullnullnull null ， nk ,,1null= ， kk yeF =)( ，则 ∑∑ == = n k kk n k kk yeF 11 )( αα ． 由于 F 为一一映射， 0)( =xF 时必有 0=x ，于是 0= k α ， nk ,,1null= ，这说明 n yy ,, 1 null 线性 无关， 所以 F 是到上的． （另一方面， 若 F 不是一一的， 则 n yy ,, 1 null 线性相关， nF n <)(dim Φ ， F 不是到上的． ）由 2 1 2 1 2 1 2 111 )||()||||(||||||||)(|| ∑∑∑∑ ==== ≤≤ n k k n k k n k kk n k kk yyeF ααα ， 假设 2 1 2 1 )||||( ∑ = = n k k yb ，则 n n Φααα ∈=? ),,( 1 null ， ||||||)(|| αα bF ≤ ．所以 F 是连续的． 考虑函数 ||)(||),,( 1 1 ∑ = = n k kkn eFf ααα null ， n n Φααα ∈=? ),,( 1 null 则 f 是 n元连续函数． }1||;{ 1 2 == ∑ = n k k E αα 是 n Φ 中的有界闭集从而是紧集，由上一讲定理 4 （ 3） ， f 可以达到上，下确界．不妨设 }),,();,,(inf{),,( 11 00 1 Eff nnn ∈== ααααααβ nullnullnull ． 因为 n yy ,, 1 null 线性无关，仅当 0 1 === n αα null 时 0),,( 1 = n f αα null ，但 ),,( 00 1 n αα null 位于 E 上， 故 0>β ． 现在对于每个非 0 的 n n Φαα ∈),,( 1 null ，令 2 1 2 1 )||( ∑ = =′ n k k k k α α α ， 则 E n ∈′′ ),,( 1 αα null ，从而 βα ≥′ ∑ = ||)(|| 1 n k kk eF 或者 2 1 1 2 1 )||(||)(|| ∑∑ == ≥ n k k n k kk eF αβα ， 即 ||)(|||||| ααβ F≤ ， n Φα∈? ． 由定理 1， F 是从 n Φ 到 Y 上的同构映射．由于 n Φ 完备，故 Y 完备．作为 X 的子空间， Y 是闭子空间．证毕． 设 X ， Y 为线性赋范空间， nYX == dimdim ，则存在到上的一一映射 XT n →Φ: 和 YF n →Φ: ，使得（ 1-4-9）成立．由此我们得到 推论 2 （ 1）同维数的有限维线性赋范空间彼此同构． （ 2）有限维线性空间上的任意两个范数等价． （ 3） 任何有限维线性赋范空间完备．线性赋范空间的任何有限维线性子空间是闭的． 最后，让我们证明有限维空间的一个特征． 引理（ Riesz） 设 X 是线性赋范空间， XE ? 是闭线性子空间，若 XE ≠ ，则 )10( <<? εε ，存在 Xx ∈ 0 ， 1|||| 0 =x 使得 ε>= ∈ ),(inf),( 00 xxdExd Ex ． 证 明 取 EXx ~ ∈ ， E 闭，故 0), ~ ( >= dExd ．因为 dd >ε/ ，取 Ex ∈′ ，使得 ε/|| ~ || dxx <′? ．令 || ~ || ~ 0 xx xx x ′? ′? = 则 1|||| 0 =x ．对于任意的 Ex∈ ， E 为子空间，故 Exxxx ∈′?+′ || ~ || ，此时 x xx xx xx ? ′? ′? =? || ~ || ~ |||| 0 xxxxx xx || ~ || ~ || ~ || 1 ′??′? ′? = /( / ) .ddε ε>= 即 ε>),( 0 Exd ． 定理 3 设 X 是线性赋范空间，则以下条件等价： （ 1） ∞<Xdim ． （ 2） X 中每个有界闭集是紧集． （ 3） X 的闭单位球 }1||||;{ ≤∈= xXxS X 是紧集． （ 4）单位球面 }1||||;{)( == xxXS p 是紧集． 证 明 只须证明（ 4） ?（ 1） ．若反设 ∞=Xdim ，取 Xx ∈ 1 ， 1|||| 1 =x ，记 }{span 11 xY = ， 则 1dim 1 =Y ．由定理 7， 1 Y 是闭线性子空间， XY ≠ 1 ．由 Riesz 引理，存在 Xx ∈ 2 ， 1|||| 2 =x ， 2 1 ),( 12 >Yxd ．记 },{span 212 xxY = ，则 2dim 2 =Y ， 2 Y 闭并且 XY ≠ 2 ．从而有 3 x ， 1|||| 3 =x ‖， 2 1 ),( 23 >Yxd ，…．由此得到序列 }{ n x ， )(XSx pn ∈ ，当 nm ≠ 时， 2 1 |||| >? nm xx ． }{ n x 没有 收敛子序列．故 )(XS p 不是紧集．矛盾说明 ∞<Xdim ．　 最后让我们介绍集合的可分性概念．当一个集合为可分集时，研究起来较为方便． 定义 设 X 是度量空间， XA? ．称集合 A 是可分的，若存在可数集 XB ? 使得 AB ? ．当 X 本身可分时，称 X 是可分空间． 命 题 紧集、相对紧集和完全有界集都是可分的． 证 明 只需要证明完全有界集的情况．取 0↓ k ε ，设 )()( 1 ,, k n k k xx null 是 A 的有限 k ε 网，令 }1,1;{ )( k k i nikxB ≤≤≥= ，则 B 是可数集并且 Ax∈? ，有 ),( )( k k i xOx ε∈ ，故 xx k i → )( ，于是 AB ? ． 例 1 0 c ， c ， p l )1( ∞<≤ p ， ],[ baP ， ],[ baC ， ],[ baL p )1( ∞<≤ p 都是可分空间． 考虑集合 }1,);,0,,,{( 1 ≥∈= nQrrrB in nullnull ，即 B 是由至多有限多个坐标不为 0 并且每个 坐标都是有理数的元素构成． 易知 B 是可数集． 对于任意的 0 )( cxx n ∈= 和 0>ε ， 由于 0→ n x ， 先取 0 n 使得 ε<|| n x ， 0 nn>? ． 再取有理数 0 ,, 1 n rr null 使得 ε<? ≤≤ ||max 0 1 ii ni rx ． 记 ),0,,,( 0 1 nullnull n rry = ， 则 By∈ 并且 ε<?≤?=? >≤≤≥ |}|max|,|maxmax{||max|||| 00 11 i ni ii ni ii i xrxyxyx ．这说明 B 在 0 c 中是稠密 的，故 0 c 可分． 对于 c ，记 ),1,1( 0 null=e ， };{ 0 QrerBB ii ∈=′ ∪ ．若 cxx n ∈= )( ，不妨设 ax n → ．先取 0 n 使 得 ε<? || ax n ， 0 nn>? ，再取有理数 0 ,,, 1 n rrr null 使得 ε<? || ar ， ε<? ≤≤ ||max 0 1 ii ni rx ，令 ),,,,( 0 1 nullnull rrry n =′ ，此时 By ′∈′ 并且 ε2|||}|max|,|maxmax{|||| 00 1 <?+??≤′? >≤≤ araxrxyx i ni ii ni ， 故 c 可分． 对于 p l ，由于 p n lxx ∈= )( 时， ∞< ∑ ∞ =1 || i p n x ，先取 0 n 使得 p ni p n x ε< ∑ ∞ += 1 0 || ，再取有理数 0 ,, 1 n rr null 使得 p n i p ii rx ε<? ∑ = 0 1 || ，仍记 ),0,,,( 0 1 nullnull n rry = ，注意此时 p ly∈ 并且整个 p lB? ，此 外 p ni p n n i p ii p p xrxyx ε2|||||||| 11 0 0 <+?≤? ∑∑ ∞ +== ，或 || || 2 p p xy ε?< 由此知道 p l 是可分的． 对于其余的空间，容易知道有理系数多项式的全体依照 ],[ baP 的范数是其中的可数稠密 子集，所以 ],[ baP 可分． 根据 Weierstrass 定理， ],[ baC 中的每个元（连续函数）可用多项式一致逼近，实际上即 是依照 ],[ baC 中的范数逼近．所以 ],[ baP 在 ],[ baC 中稠密．另一方面容易验证，当 A 在 B 中 稠密， B 在 C 中稠密时， A 一定在 C 中稠密．于是有理系数多项式的全体在 ],[ baC 中稠密， ],[ baC 是可分的． 最后根据 Lyzin 定理， ],[ baC 在 ],[ baL p 中稠密，于是 ],[ baL p 是可分的． 例 2 ∞ l 、 ],[ baL ∞ 不是可分空间． 这里仅证明 ∞ l ．考虑 ∞ l 中坐标仅由 0， 1 两个数组成的序列全体构成的集合 A ． A 不是 可数集，实际上它和区间 )1,0[ 中的实数可以建立一一对应关系．为了明白这一点，只需注意 )1,0[ 中的实数的二进位表示，实现了 A 与 )1,0[ 之间的一一对应．所以 A 具有连续统的势． 现在若可数集 B 在 ∞ l 中稠密，则 B 中存在点 0 x 使得以 0 x 为中心， 2/1 为半径的球 )2/1,( 0 xO 至少包含 A 中的两个不同点，注意 A 中的不同点 1 y ， 2 y 在 ∞ l 中的距离等于 1，所 以 12/12/1),(),(),(1 020121 =+<+≤= xydxydyyd 矛盾说明 ∞ l 不可分． 对于赋范空间，可分性还有一些等价说法 . 定理 4 设 X 是线性赋范空间，则下列三条件等价： (1) X 可分 . (2) 闭单位球 { } ;1 X SxXx=∈ ≤可分 . (3) 单位球面 ( ) { };1 p SX xXx=∈ =可分 . 证 明 (1) ? (2) 若可数集 A在 X 中稠密，则 X AS∩ 是 X S 中的可数稠密集 . (2) ? (3) 若 A 是 X S 中的可数稠密集， xA? ∈ ， 0x≠ ，令 x x x ′= ， ()00 ′= 则 { };A xx A ′′=∈是 () p SX中的可数稠密集 . 实际上， ( ) p x SX?∈ , ‖ x ‖ =1 ，若 0 n xx?→，则 1 n xx→=，故 n n n x x xx x ′ ?= ? n nn n x xx x xx x ≤?+? 11 1 n nn xx x≤?+? 0→ , (3)? (1) 设 12 ,x x null 是 () p SX中的可数稠密集，记 { } ;1,2 n Brxr n==null是有理数， ， 则 B 是 X 中的可数稠密集 . 实际上，对于每个 xX∈ ， 0x≠ ， () p x x SX x ′=∈ . 若 () np x SX∈ ， n x x′→ 取 n rx→ ，则 nn rx B∈ ， nn rx x→ ，故 B 在 X 中稠密 . 思考题 1、 不用推论 2（ 2）的结论，具体地建立 n Φ i p （ ， ）范数之间的不等式. 这里 1,p≤<∞ 1 1 1 1 (), max , ( , , ) p n p i p i n in in xx xxxxx = ∞ ≤≤ = =?=∈Φ ∑ null . 2、就 2n= 的情况，画出 222 ∞ ΦΦΦiii 12 （ ， ）,（ ， ）,（ ， ）以及 更多的 2 Φ i p （，） 的单位球 .