第 11 讲 开映射与闭图像定理 教学目的 掌握开映射定理与闭图象定理的内容并初步学会其应 用。 授课要点 1、 开映射定理的条件、结论与证明思路。 2、 闭图象定理的条件、结论与证明思路。 3、 通过例子初步掌握其应用。 　 设 YX , 是线性赋范空间， YXT →: 是线性算子 . 我们曾经说过，若 T 是一一的，则 XTRT → ? )(: 1 是线性算子，这里 )(TR 是 T 的值空间 . 此时对于每个 )(TRy∈ ，算子方程 yTx = 有唯一解存在 , . 1 yTx ? = 若 T 是到上的，则 ,)( YTR = 此时 1? T 在整个空间 Y 上有定 义， ITT = ?1 是 X 上的恒等算子 . 若问在算子方程中 y 的微小变动是否引起 x 的变动也是微 小的，这是由 1? T 的连续性决定的 . 在微分方程理论中，存在性、惟一性和解对所给数据的 连续依赖性统称为适定问题 . 这一问题与开映射定理有关 . 另外容易知道，当 T 是一一的线 性映射时， T 是开算子恰恰相当于 1? T 是连续算子 (见第一章第 3 讲定理 4). 定义 1 设 YXT →: 是线性算子 . 若 T 将 X 中的每个开集映射为 Y 中的开集， 称 T 为 开算子 (开映射 ). 引理 1 设 YX , 是线性赋范空间，线性算子 YXT →: 是开算子当且仅当对于 X∈0 的 每个邻域 ).0( rO ， )).0(( rOT 包含 Y∈0 的邻域 .　 证 明 若 T 是开算子， ).0( rO 是 X∈0 的邻域，则 )).0(( rOT 是开集．因为 00 =T ，从 而 )).0(( rOT 是 Y∈0 的邻域 .　 反之，若 T 具有所说的性质， A 是 X 中任一开集，我们证明 )(AT 是 Y 中的开集 . 对于 每个 )(ATy∈ )，设 ,, AxTxy ∈= 则存在 .),(,0 ArxOr ?> 此时 ),0(),( rOxrxO =? 是 X∈0 的邻域，于是由所说的性质 =?TxrxOT )).(()).0(( rOT 包含 Y∈0 的邻域 . 从而 +=TxrxOT )).(()).0(( rOT 包含 Tx 的邻域 . 显然 )()).(( ATrxOT ? ， 所以 y 是 )(AT 的内点 . y 是任意的，故 )(AT 为开集， T 为开算子 .　 定理 1 (开映射定理 ) 设 X 是 Banach 空间， Y 是线性赋范空间， YXT →: 是有界线 性算子并且 )(TR 是 Y 中的第二纲集，则 T 必是开算子并且是到上的 . 　特别地，从 Banach 空间到 Banach 空间上的有界线性算子是开算子 .　 证 明 1°我们知道，对于线性赋范空间的任意子集 ,, BA BABA +?+ . 现在设 } 2 1 ;{},1;{ 1 <∈=<∈= xXxUxXxU 容易验证 1111 , UUUUU =??+ ． 由于 T 的连续性 )()()()()()()( 111111 UTUTUTUTUTUTUT ?+?+=? ． (1) 我们只要证明了 )( 1 UT 含有内点，则 )(UT 以 0 为内点 . 注意 ,Xx∈? 0→ n x ，于是存在 n 使得 1 U n x ∈ ，即 1 nUx∈ ．这说明 1 1 nUX n ∞ = ∪= ，从 而 .)()()()( 1 1 1 1 1 1 UTnUnTnUTXT nnn ∞ = ∞ = ∞ = ∪?∪=∪= )(XT 是第二纲集，故存在 n 使得 )( 1 UTn 具有非空内部，也即 )( 1 UT 具有非空内部 . 此时由 上面所说， )(UT 以 Y∈0 为内点 . 不妨设 ),0()())1,0(( δ YX OUTOT ?= ，其中 .0>δ （为 明确起见我们记 X 中 0 点的邻域为 X O ， Y 中 0 点的邻域为 Y O ． ） 由于 T 是线性的， 故 0>?r 我们有 rrOrO YY ?= ),0(),0( δδ )),0(()( rOTUT X = ． 　 (2) 2 null 现在我们证明，由（ 2）可以推出 　?) 2 ,0( δr O Y )),0(( rOT ．　 (3) 实际上， ) 2 ,0( 0 δr Oy Y ∈? , 由（ 2） ， ?) 2 ,0( δr O Y )) 2 ,0(( r OT ． 于是存在 ) 2 ,0( 1 r Ox X ∈ 使得 , 2 2 10 δr Txy <? 即 ). 2 ,0( 2 101 δr OTxyy Y ∈?= 再由（ 2）式， ?) 2 ,0( 2 δr O Y )) 2 ,0(( 2 r OT ． 于是存在 ) 2 ,0( 2 2 r Ox X ∈ 使得 , 2 3 21 δr Txy <? 即 .), 2 ,0( 3 212 null δr OTxyy Y ∈?= 一般来说， ) 2 ,0( n Xn r Ox ∈? 使得 ). 2 ,0( 1 10 + ∈???= n Ynn r OTxTxyy δ null 现在一方面 ,0lim = ∞→ n n y　所以 ).(lim 1 0 ∑ = ∞→ = n i i n xTy　另一方面 r r x i i i i =< ∑∑ ∞ = ∞ = 11 2 ， X 完备，故存在 ∑ = ∞→ = n i i n o xx 1 lim 并且　, 1 0 rxx i i <≤ ∑ ∞ = 　即 .),0( 0 UrOx X =∈ T 连续，故 ).().(lim 0 1 0 xTxTy n i i n == ∑ = ∞→ 这说明（ 3）成立 . 由引理 1， T 是开算子． 3 null 记 ), 2 ,0( δr OV Y = 像 1 null 中证明的一样，这里有 nVY n ∞ = ∪= 1 ，于是 ?∪= ∞ = )()( 1 UnTXT n . 1 YnV n =∪ ∞ = T 是到上的 .　 由于完备度量空间是第二纲集，故最后的结论是明显的 . 定理 2 (逆算子定理 ) 设 X 是 Banach 空间， Y 是线性赋范空间， YXT →: 是一一的有 界线性算子 . 若 )(XT 是 Y 中的第二纲集， 则 1? T 是定义在全空间 Y 上的有界线性算子 . 此时 Y 是 Banach 空间 .　 特别地， 从 Banach 空间到 Banach 空间上的有界线性算子若是可逆的，则逆算子是有 界的 .　 证 明 若 T 是一一的， 1? T 存在，根据开映射定理， T 是到上的开映射 , 这说明 1? T 是 有界的 . 因此 T 是 X ， Y 之间的同构 . 第一章第 7 讲定理 2 说明 Y 是 Banach 空间 .　 推论 1 设 X ， Y 是 Banach 空间， YXT →: 是一一的到上的有界线性算子，则存在 正数 ba, ＞ 0 使得　 XxxbTxxa ∈?≤≤ , （ 4） 推论 2 假设线性空间 X 上有两个范数 21 , ?? ， 并且在两个范数之下 X 都成为 Banach 空间，若存在 a ＞ 0 使得 ,, 12 Xxxax ∈?≤ 则（ 4）成立。 证 明 为不致混淆，记 ),,( 1 1 ?= XX ),( 2 2 ?= XX ．考虑恒等映射 21 : XXI → ，由 所设条件， 12 xaIx ≤ ，因此 I 是一一的到上的有界线性算子 . 由定理 2， 1? I 有界，从而 2 1 1 1 xIxI ?? ≤ ， 即 . 21 xbx ≤ 这一结论表明，如果两个范数都使 X 成为 Banach 空间，只要两个范数是可比较的，则 它们一定是彼此等价的 . 这一点与第一章第 7 讲中有限维空间的情况形成对照 . 下面两例是开映射和逆算子定理在积分方程、微分方程适定问题上的应用 . 例 1 考虑第一型 Fredholm 积分方程 ∫ += 1 0 ),()(),()( sdttxtsKsx ?λ 　 (5) 这里 λ 是某个常数， ),( tsK 是 1,0 ≤≤ ts 上的二元连续函数， ]1,0[C∈? .　方程 (5)还可以简 单地记为　 ?λ =? xKI )( ， 　 (6) 这里 ∫ = 1 0 )(),()( dttxtsKsKx 是从 ]1,0[C 到 ]1,0[C 上的线性算子 . 由本章第 1 讲例 7 可以求得 K 的范数，并且当 λ满足 1<Kλ 时，令 :V　→]1,0[C ]1,0[C ， ,?λ += KxVx 则 212121 xxKKxKxVxVx ?≤?=? λλλ 所以 V 是压缩的 . 从而在 ]1,0[C 上有惟一不动点 . 它即是方程 (6)的解 . 这说明对于每个 ∈? ]1,0[C ，算子方程 (5)存在惟一连续解，从而线性算 KI λ? 是 ]1,0[C 到 ]1,0[C 的一一映射 . 由于 ]1,0[C 是 Banish 空间，定理 2 说明 1 )( ? ? KI λ 是有界的 . 换句 话说 ?的以 ]1,0[C 中范数的微小变动，导致相应解 x 的变动也是很小的 . 例 2 考虑高阶微分方程的初值问题： 10,0)0( )()()(. )( )( )( )( 1 1 1 ?≤≤= =+++ ? ? nix tytxta dt txd ta dt txd i n n n n n null (7) 其中 ]1,0[)(,),( 1 Ctata n ∈null ．记方程的左端为 ,xD n 则 n D 是 ]1,0[ )(n C 到 ]1,0[C 的线性算子 . 我们将证明算子方程 yxD n = 关于 ∈y ]1,0[C 具有连续依赖性 . 根据初值条件，我们具体地考虑算子 :T ]1,0[ )( 0 n C → ]1,0[ 0 C ， ,xDx n null 这里 ]1,0[ )( 0 n C 是具有 n 阶连续导数并且满足 10,0)0( )( ?≤≤= nix i 的函数全体 . 对于空间 ]1,0[ )( 0 n C 应用第一章第 3 讲例 7 中的范数，容易验证它是完备的线性赋范空间 .　 首先 T 是有界的，不妨设 Mta i tni ≤ ≤≤≤≤ )(maxmax 100 , 则 　 .}1,max{ )(max}1,max{ )(max 19 10 xM txM txDTx i t n t = ≤ = ∑ ≤≤ ≤≤ （ 8） 后者即是 x 在 ]1,0[ )(n C 中的范数， n 是固定的，故 T 有界 .　 其次，若将方程改写为　 ),,',( )1()( ? = nn xxtx nullΦ 　　 （ 9） 的形式，显然 Φ 不仅关于各变元是连续的，而且除 t 之外， Φ 关于各变元具有有界的一阶 导数，从而关于这些变元满足 Lipschitz 条件 . 由 Picard 定理，对于每个 ∈y ]1,0[ 0 C 存在惟 一的 ∈x ]1,0[ )( 0 n C 使之满足 yxD n = 和初值条件 . 实际上这个存在和惟一性即说明 T 是到 上的和一一的 . 因此由逆算子定理 1? T 是连续算子 . 即 yxD n = 的解随 y 而连续变动 . 现在让我们转到闭图像定理 .　 定义 2 (1) 设 YX , 是两个集合，考虑乘积 },,);,{( YyXxyxYX ∈∈?=× 若 YXT →: 是某个映射，则称集合　 }),,{()( XxTxxTG ∈?= 是 T 的图像 .　显然 YX × 中的点 )(),( TGyx ∈ 当且仅当 .Txy = （ 2） 若 YX , 是线性赋范空间，定义　 YXyxyxyx ×∈?+= ),(,),( 则得到 YX × 上的范数， YX × 也是线性赋范空间，此时 YX × 完备当且仅当 YX , 都完备 . 若 YXT →: 是线性算子，则 ,, Φβα ∈? 　 )),(,(),(),(),( yxTyxTyTxyxTyyTxx βαβαβαβαβα ++=++=+ 所以 )(TG 是 YX × 的线性子空间 .　 称 YXT →: 是闭算子（闭映射） ，若 )(TG 是 YX × 中的闭集 .　 定理 3 (1) YXT →: 是闭算子当且仅当对于 X 中任一序列 n x ，若 ,, yTxxx nn →→ 则 Txy = . 　 （ 2） 连续算子是闭算子 .　 证 明 1° 若 )(TG 闭， Xx n ∈ ， ,, nn x xTx y→→ 则 0),(),( →?+?=? yTxxxyxTxx nnnn 　 这说明在 )(TG 中 ),(),( yxTxx nn → ， )(TG 闭导致 )(),( TGyx ∈ .　 反之，若 YXT →: 具有所说的性质， ),(),(),(),( yxyxTGyx nnnn →∈ ，则　 0),(),( →?=?+? yxTxxyTxxx nnnn , 于是 , nn x xTx y→→. 由所说条件， Txy = ，即 )(),( TGyx ∈ ， )(TG 闭 .　 2°　设 YXT →: 连续，若 ,, nn x xTx y→→ 由 T 的连续性知道 ,TxTx n → 从而 Txy = ．由 1° 知 )(TG 是闭集， T 是闭算子 .　 　　例 3 考虑本章第 1 讲例 4(2)中的空间 ]1,0[ ~ )1( C 和算子 D ，我们已经知道 D 不是有界 的，但可以证明 D 是闭算子 .　 实际上，若 ,, Xxx n ∈ 0',0 →?→? yxxx nn ， .即在 ],[ ba 上， n x 一致收敛于 x , ' n x 一 致收敛于 y . 由数学分析中求导与极限符号交换的定理　 ).( )( lim))(lim( )( ty dt tdx tx dt d dt tdx n n n n === ∞→∞→ 即 yDx = ，所以 D 是闭算子 . 定理 4 (闭图像定理 ) 设 YX , 是 Banach 空间， YXT →: 是线性算子， 若 T 是闭算子， 则 T 连续 .　 证 明 注意此时 YX × 是 Banach 空间， )(TG 是闭的，从而也是 Banach 空间 . 定义 ),(),(,),(,)(: TGTxxxTxxXTGP ∈?→ null 则容易验证 P 是线性的、一一的和到上的 . 此外 　,),(),( TxxxTxxP ≤= 故 .1≤P 根据逆算子定理， ),(),(: 1 TxxxTGXP null→ ? 有界，从而 .,),( 11 XxxPxPTxxTx ∈?≤=≤ ?? 　 即 TPT , 1? ≤ 连续 . 思考题 1、设 12 ,ii是线性空间 X 上的两个完备范数，此时若任何 1 , nn x Xx x∈ ?? → i 时都 有 2 n x x??→ i ，则反过来当 2 n x x??→ i 时，必有 1 n x x?? → i . 2、考察在 1 [0,1]L 上，以下三范数的等价性： （ 1） 1 ;i （ 2） 2 ;i （ 3） 2 1 1 2 2 0 ((12)() ).x txtdt=+ ∫