1 第 20 讲 正交投影 　　　 教学目的：掌握正交投影算子和正交分解的基本性质。 讲解要点： 1 投影定理以及投影算子的初步性质。 2 投影算子的特征及其运算。 3 空间的正交分解。 定义 1 设 H 是内积空间， HE ? 是线性子空间， Hx∈ . 若存 在分解 21 xxx += ，其中 Ex ∈ 1 ， Ex ⊥ 2 ，则称 1 x 为 x在 E 上的投影， 记为 1 xxP E = . 定理 1 设 H 是内积空间， HE ? 是线性子空间， x H∈ ， Ex ∈ 1 ， 则以下诸条件等价： （ 1） 1E Px x= . （ 2） 1 inf zE x xxz ∈ ?= ?, (4-2-1) （ 3） zE?∈ , 实变量函数 2 1 ()f xx zλ λ=?+ 在 0=λ 有最小值。 证明 )2()1( ? x 有分解 12 x xx= + ，其中 Ex ∈ 1 ， Ex ⊥ 2 ， 则 zE?∈ ， 1 x zE?∈ ， 21 x xz⊥ ? ，于是 22 12 x zxzx?=?+＝ 22 12 x zx?+ ≥ 2 2 x ＝ 2 1 x x? 注意到 Ex ∈ 1 ，故 1 inf zE x xxz ∈ ?= ?。 )3()2( ? 注意 )(λf 是 λ 的连续函数并且 Ezx ∈?λ 1 ， )(λf 在 0=λ 的最小性即（ 4-2-1） . 2 )1()3( ? Ez∈? ，取 λ 为实变量，则 λ λ λ )0()( lim)0( 0 ff f ? =′ → 22 11 0 lim x xzxx λ λ λ → ?+ ?? = = ( ) 2 11 0 lim ( , ) ( , )x xz zx x z λ λ → ?+?+ = 2 Re 1 (,)x xz? . (4-2-2) )(λf 在 0=λ 是可微的 . 由于 0=λ 是最小值点，故 Re 1 (,)x xz? =0. 同样地， 将 z 换为 iz 得出 Im 1 (,)x xz? =0， 从而 1 (,)x xz? ＝ 0. Ez∈ 是 任意的，最后得出 1 x xE?⊥. 故 1E Px x= 。 定理 2（投影定理） 设 H 是 Hilbert 空间， HE ? 为是线性子空 间，则 x H?∈ ， E Px存在且唯一。 证明 若 x E∈ ，则 E Px＝ x .若 x E? , 取 Ex n ∈ 使得 n yx? → (, )yE dρ = ，由于 22 ()() mn n m x x xx xx?=??? ＝ 22 2( ) nm xx xx?+? － 4 2 2 nm x x x + ? ≤ )(2 22 mn xyxy ?+? － 4 2 d 0→ , }{ n x 是 Cauchy 序列。不妨设 0 xx n → ， E 闭，所以 Ex ∈ 0 . 现在 0 lim n n x xxxd →∞ ?= ?==inf zE x z ∈ ? ， 由定理 1， E Px＝ 0 x 。 由于 Hilbert 空间是严格凸的， 0 x 是唯一的最佳逼近元。 其实为了得到最佳逼近元，定理 2 中的集合 E 可以是任一闭凸子 集， 0 x 的存在唯一性结论及其证明都不改变。定理 2 和定理 1 还说明 空间一点到闭子空间（闭凸集）的投影，恰恰是这一点关于闭子空间 3 （闭凸集）的最佳逼近元。不仅如此，在 Hilbert 空间上我们还可以定 量地计算出一点到最佳逼近元的距离。 例 1 设 H 是 Hilbert 空间， HE ? 是线性子空间， dim nE = , n ee ,, 1 null 是 E 的一组规范正交基，则 Hx∈? ， ∑ = = n i iiE eexxP 1 ),( 并且 (, )dxE= 22 12 1 ((,). i i xxe ∞ = ? ∑ (4-2-3) 若 }{ n e 是 H 中的规范正交集， }{ n espanE = ，则 1 (, ) Eii i Px xee ∞ = = ∑ 并且 22 12 1 (, ) ( (, )) . i i dxE x xe ∞ = =? ∑ (4-2-4) 实际上，令 ∑ = = n i ii eexx 1 1 ),( ， 12 xxx ?= ，则 Ex ∈ 1 , z E?∈ ， 1 (, ) n ii i zzee = = ∑ , 实际计算得到 21 1 ( ,) ( ,) (,) ( ,) 0xz xxz xz xz=? = ? = 故 Ex ⊥ 2 ，从而 ∑ = == n i iiE eexxxP 1 1 ),( . 由投影定理 1 22 2 11 (, ) ( )dxE x x x x=?= ? = 12 2 2 1 ((,) n j j xxe = ? ∑ . 思考题 若 12 ,,eenull 是 E 的规范正交基 , 证明类似的结论成 立 . 推论 1 设 H 是 Hilbert 空间 , EH? 是闭线性子空间 , 记从 H 到 E 的投影算子是 ,P 则 (1) EHP →: 是线性算子 . (2) 1.P ≤ 若 { }0E = , 则 0;P = 若 { }0≠E , 则 .1=P (3) () ( ), () ( ).E RP NI P NP RI P= =? =? 称 E 是 P 的投影子空间 . 4 证明 null 1 设 2121 , yyyxxx +=+= , 其中 11 2 2 ,,,x yExy E∈ ⊥ , 则 ),()( 2211 yxyxyx βαβαβα +++=+ 其中 11 yx βα + ,E∈ 而 ,0),(,0),(, 22 ==∈? zyzxEz 故 22 2 2 (,)(,)(,)0.xyz xz yzα βα β+=+ = 所以 Eyx ⊥+ 22 βα , 于是 .)( 11 PyPxyxyxP βαβαβα +=+=+ P 是线性的 . null 2 ,x H?∈ 若 21 xxx += 是正交分解 , 则 2 x = 2 1 x + 2 2 x . 从 而 2 Px = 2 1 x ≤ 2 x , Px ≤ x , P ≤1. 若 { }0=E , 则 Hx∈? , 0=Px , 故 0=P . 若 { }0≠E , 则有 Ex ∈ 1 , 1 1 =x 使得 11 xPx = , P 1 Px≥ = 1 x =1, 从而 P =1. null 3 由于 )(PRy∈ 当且仅当 21 xxy += 时 0 2 =x , 此即 0=?Pyy 从而 )( PINy ?∈ , 反过来也一样 , 另一式子可同样证明 . 定理 3 设 H 是 Hilbert 空间 , E H? 是线性子空间 , 记 {}ExHxE ⊥∈= ⊥ , , 则 (1) ⊥ E 是 H 的闭线性子空间 . (2) 若 E 是闭的 , 则 EE = ⊥⊥ . (3) 若 E 是闭的 , 则 ⊥ ⊕= EEH , 即 ⊥ += EEH , { }0=∩ ⊥ EE . (4-2-5) (4) 若 E 是闭的 , EHP →: 是投影算子 , 则 ⊥ E = )(PN . 通常称 ⊥ E 是 E 的正交补空间 . 由于 (4-2-5), 称 H 是 E 与 ⊥ E 的 5 直和 . 换句话说 , (3) 表明 Hilbert 空间的每个闭子空间存在正交补空 间 . 证明 null 1 若 ⊥ ∈Eyx, , 则 Ez∈? , zx ⊥ , zy ⊥ , 从而 ),( zyx βα + = ),( zxα + ),( zyβ =0, 故 yx βα + ⊥ ∈E , ⊥ E 是线性子空间 . 若 ⊥ ∈Ex n , xx n → , 则 Ez∈? , 0),( =zx n . 由内积关于变元的 连续性 , ),( zx = 0),(lim = ∞→ zx n n , 故 zx ⊥ , ⊥ ∈Ex , ⊥ E 是闭的 . null 2 设 E 是闭的 , 则由 ⊥ ⊥ EE 知道 EE ⊥⊥ ? . 另一方面 , 若 ⊥⊥ ∈Ex , 则 ⊥ ⊥ Ex . 若 21 xxx += , Ex ∈ 1 , Ex ⊥ 2 , 则 ⊥ ∈Ex 2 , 从 而 0),( 2 =xx . 于是 =+= ),(),( 22122 xxxxx 0),( 2 =xx , 故 0 2 =x , 1 xx = E∈ , 即 EE ⊥⊥ ? . 最后 ⊥⊥ = EE . null 3 由定理 2, Hx∈? , 21 xxx += , 其中 Ex ∈ 1 , Ex ⊥ 2 . 即 ⊥ ∈Ex 2 从而 ⊥ += EEH . 另一方面 { }0=∩ ⊥ EE . 故 ⊥ ⊕= EEH . null 4 Hx∈? , 21 xxx += 其中 Ex ∈ 1 , Ex ⊥ 2 . 故 ⊥ ∈Ex 当且仅 当 0 1 =x , 即 0=Px 或 )(PNx∈ . 从而 )(PNE = ⊥ . 思考题 若 H 是内积空间， HNM ?, . （ 1） 若 NM ⊥ ，则 ⊥ ? NM ， ⊥ ? MN . （ 2） 若 NM ? ，则 ⊥⊥ ? NM . （ 3） ⊥⊥ = )(MM . 定义 2 (1) 称线性算子 XXT →: 是幂等的 , 若 TT = 2 . (2) 设 H 是内积空间 , 称 )(HBT ∈ 是自伴算子 , 若 ),( yTx = ),( Tyx , Hyx ∈? , . (4-2-6) 定理 4 设 H 是 Hilbert 空间 , )(HBP∈ , 则下列诸条件等价 : 6 (1) P 是投影算子 . (2) PP = 2 并且 P 是自伴的 . (3) PP = 2 并且 )()( PRPN ⊥ . (4) 若 H 是复空间 , 以上条件还等价于 ),( xPx = 2 Px , Hx∈? . (4-2-7) 证明 (1)?(2). 首先设 P 是从 H 到闭线性子空间 E 上的投影 算子 , Hx∈? , EPx∈ , 故 xP 2 = )(PxP = Px . 于是 PP = 2 . 其次 , ,x yH?∈, 2121 , yyyxxx +=+= , Eyx ∈ 11 , , Eyx ⊥ 22 , , 则 ),( yPx = ),( 211 yyx + = ),( 11 yx = ),( 121 yxx + = ),( Pyx . P 自伴 . (2)?(3). 若 (),x NP∈ 则 0,Px= 若 )(PRy∈ 则 1 x H? ∈ , 1 Pxy = . 于是 ),( yx = ),( 1 Pxx = ),( 1 xPx =0 即 )()( PRPN ⊥ . (3)?(1). 令 )( PINE ?= , E 是 H 的闭线性子空间 , 现在验证 P 是从 H 到 E 上的投影算子 . 首先证明 )(PRE = , 实际上 )(PRy∈? , ,x H? ∈ Pxy = xP 2 = . 从而 0))(( =? PxPI , 即 ()0,IPy? = ().yNIP∈ ? 反之 y?∈ ()NI P? 则 0)( =? yPI ， )(PRPyy ∈= , 故 )()( PINPR ?= . Hx∈? , 记 )( PxxPxx ?+= . 显然 EPRPx =∈ )( . 又 xPIP )( ? = )( PxxP ? =0, 于是 )(PNPxx ∈? . 由 )()( PRPN ⊥ 得到 EPRPxx =⊥? )( . 所以 P 是从 H 到 E 上的投影算子 . 现在设 H 是复空间 . (2)?(4). 2 Px = ),( PxPx = ),( 2 xxP = ),( xPx . 7 (4)?(2). 对于 H 上的任一线性算子 A, 容易验证下面极化恒等 式成立： ),(4 yAx = )),(( yxyxA ++ － )),(( yxyxA ?? (( ), ) (( ), )iAx iy x iy iAx iy x iy+++??? (4-2-8) 若 Hx∈? ， ),( xPx ＝ 2 Px ，则 ),( xPx 是实数 . 令 PA= , 实际计算 知道： ),( yPx ＝ ),( xPy ＝ ),( Pyx ， P 是自伴的 . 于是 ),( 2 xxP ＝ ),( PxPx ＝ ),( xPx , Hx∈? . 令 PPA ?= 2 ，则 0),( =xAx , Hx∈? ，再利用极化恒等式得到 0),( =yAx , Hyx ∈? , . 于是 0=A ，即 PP = 2 ， P 是幂等的， （ 2）成立 . 整个定理得证 . 若 P 是投影算子，则 ),( xPx ＝ ),( 2 xxP ＝ ),( PxPx 0≥ ， Hx∈? 利用这一点我们可以在投影算子之间建立一种半序关系 : 若 , EM PP分 别是从 H 到闭线性子空间 E 和 M 上的投影算子，并且 ),( xxP E ≥ ),( xxP M ， Hx∈? (4-2-9) 则记为 ME PP ≥ （或 EM PP ≤ ） . 定理 5 设 ME PP , 分别是 Hilbert 空间中的投影算子。则以下诸条 件等价： （ 1） . M E PP≤ （ 2） ME Px Px≤ , Hx∈? . （ 3） M E? . （ 4） ME PP ＝ EM PP ＝ M P . 8 （ 5） ME PP ? 是投影算子 . 证明 )2()1( ? 22 (,)(,) MM E E Px Pxx Pxx Px=≤=. 故 ME Px Px≤ , Hx∈? . )3()2( ? 若 Mx∈ ，则 xxP M = ， 222 xxPxP ME =≥ ＝ 22 xPxxP EE ?+ 故 0=? xPx E 或 xxP E = . 即 Ex∈ ，所以 EM ? 。 )4()3( ? Hx∈? ， EMxP M ?∈ ， 故 xPP ME ＝ xP M 或 ME PP ＝ M P . 另一方面，设 2 xxPx E += ， Ex ⊥ 2 从而 Mx ⊥ 2 . 又设 2 xxPx M ′+= ， Mx ⊥′ 2 ，故 Mxx ⊥′? 22 xPxP ME ? ＝－ Mxx ⊥′? )( 22 。 若记 += xPxP ME )( xPxP ME ? ，则 此 式 为 xP E 关于线性子空间 M 的正 交分解式，从而 xPP EM ＝ xP M 或 EM PP ＝ M P . )5()4( ? 此时 =? 2 )( ME PP 22 MEMMEE PPPPPP +?? ＝ MMME PPPP +?? ＝ ME PP ? ， ME PP ? 是幂等的。 由于 ME PP , 的自伴性， ? Hyx ∈, ),)(( yxPP ME ? (,) E Pxy= － ),( yxP M ＝ ),( yPx E － ),( yPx E ＝ ))(,( yPPx ME ? . ME PP ? 是自伴的，故 ME PP ? 是投影算子。 )1()5( ? 由 ),( xxP E － ),( xxP M ＝ ),)(( xxPP ME ? ＝ 0)( 2 ≥? xPP ME 得之 . 定理 6 设 ME PP , 分别是 Hilbert 空间中的投影算子。则以下诸条 件等价： 9 （ 1） ME ⊥ . （ 2） )()( ME PRPR ⊥ . （ 3） ME PP ＝ 0（称 E P 与 M P 正交） . （ 4） ME PP + 是投影算子 . 证明 )2()1( ? 由 EPR E =)( ， MPR M =)( 得到 )()( ME PRPR ⊥ . )3()2( ? Hyx ∈? , ， ),(),( yPxPyPPx MEME = ＝ 0， 故 yPP ME ＝ 0，从而 ME PP ＝ 0. )4()3( ? Hx∈? ，由 ME PP ＝ 0 得 0= EME PPP ，于是 ),( 2 xPPxPPxPP EMEMEM = ＝ ),( 2 xPPxP EME ＝ ),( xPPxP EME ＝ ),( xPPPx EME ＝ 0. 故 0= EM PP . 现在 2 )( ME PP + ＝ 22 MEMMEE PPPPPP +++ ＝ ME PP + . 又 Hyx ∈? , ， ),)(( yxPP ME + ＝ ),( yxP E ＋ ),( yxP M ＝ ),( yPx E ＋ ),( yPx E ＝ ))(,( yPPx ME + . 所以 ME PP + 是投影算子 . )1()4( ? 由 ME PP + ＝ 2 )( ME PP + ＝ 22 MEMMEE PPPPPP +++ ＝ MEMMEE PPPPPP +++ 知道 EMME PPPP + ＝ 0 (4-2-10) 左乘 E P ，则 0=+ EMEME PPPPP . 右乘 E P ，则 0=+ EMEME PPPPP . 于是 EMME PPPP = , 由式（ 4-2-6） ， EMME PPPP = . 10 x M?∈ ， xxP M = ，故 xPxPP EME ==0 。 Ex ⊥ 所以 EM ⊥ . 思考题 若 21 ,PP 是投影算子，则 21 PP 是投影算子当且仅当 21 PP ＝ 12 PP . 引理 设 H 是 Hilbert 空间， { } n P 是 H 上的一列投影算子并且 n P 点点收敛于 P ，即 Hx∈? ， 0→?PxxP n ，则 P 是投影算子 . 证明 Hx∈? , ∞→n lim xP n = Px . 由 Banach-Steinhaus 定理 , P 是 有界线性算子 . 又 yH?∈ , ),( yPx = ∞→n lim ),( yxP n = ∞→n lim ),( yPx n = ),( Pyx P 是自伴的 . 另一方面 xPP )( 2 ? = xPPPPPPPP nnnn )( 22 ?+?+? ≤ ))(( PxPP n ? + n P xPP n )( ? + xPP n )( ? 0→ 故 xPP )( 2 ? =0, Hx∈? , 即 PP = 2 . P 是幂等的 . . 定理 7 设 H 为 Hilbert 空间 . (1) 若 { } i Q 是一列两两正交 ),0( jiQQ ji ≠= 的投影算子 , 则存在 投影算子 P 使得 1 n i i Qx Px = → ∑ 点点成立 . (2) 若 { } i E 是一列单调上升 ( , ij EEij?≤)的闭线性子空间并且 1 i i EE ∞ = = ∪ , 则 n E Px→ E Px点点成立 . 证明 null 1 记 ∑ = = n i in QP 1 , 由定理 6, 利用数学归纳法不难证明 n P 是投影算子 . 由正交性 ),( xQxQ ji = ),( xxQQ ij =0 ( ji ≠ ) 故 11 2 x ≥ 2 xP n = ),( 11 ∑∑ == n j j n i i xQxQ = ∑ = n ji ji xQxQ 1, ),( = 2 1 ∑ = n i i xQ . 所以 2 1 i i Qx ∞ = <∞ ∑ . 又 2 1 ∑ += m ni i xQ = 2 1 xQ i m ni ∑ += 0(, )nm→→∞, 所以 xQ n i i∑ =1 是 Cauchy 序列 . H 完备 , 令 Px = ∞→n lim xQ n i i∑ =1 , 由引理 , P 是投影算子 . null 2 由定理 6, 1i E P + ? i E P 是投影算子并且 ij EE PP = i E P ( ji < ). 故 ( 1i E P + ? i E P ) ( 1j E P + ? j E P )= 1i E P + ? 1+i E P + i E P ? i E P = 0. 又 1 E P ( 1i E P + ? i E P ) = 1 E P ? 1 E P =0. 于是 12 13 2 ,,, EE EE E PP PP P? ? null 是一列两两正交的投影算子序列 . 由 null 1 , Hx∈? , n E P =x xP E 1 + ∑ ? = 1 1 n i ( 1+i E P - i E P ) Pxx → . P 为投影算子 . 现在验证 E PP = . 记 L PP = . 我们证明 EL = . 实际上 , 1≥?n , EE n ? . 由定理 5, 对于每个 Hx∈ , xP n E ≤ xP E . 令 ∞→n , 则 xP L = ∞→n lim xP n E ≤ xP E , 于是 LE? . 另一方面 , 当 nk ≥ 时 k Ex∈ , 故 k E P =x x . 令 ∞→k , 则 12 L Px= ∞→k lim k E P =x x . 所以 Lx∈ , 从而 . n ELn? 是任意的并且 n E 单 调增加 , 于是 1 n n EL ∞ = ? ∪ , L闭 , 所以 1 n n EEL ∞ = = ? ∪ . 总之 , EL = , 故 EL PPP == .