《泛函分析》pdf讲义：泛函分析43

1 第21讲 共轭算子与一、五线性泛函 教学目的：掌握 Hilbert 空间上几类常用算子的性质。 讲解要点： 1 Hilbert 空间上线性泛函与线性算子的表现定理。 2 自伴算子的基本性质。 3 酉算子与正常算子的概念与属性。 定理1 (Riesz表现定理) 设H是Hilbert空间. (1) yH? ∈ , )(xf = ),( yx是H上的连续线性泛函并且 f = y . (4-3-1) (2) 若f是H上的连续线性泛函, 则存在唯一的Hy∈使得 )(xf = ),( yx , Hx∈? (4-3-2) 证明 D 1 设Hxx ∈ 21 , , Φ∈βα, , 则 )( 21 xxf βα + = ),( 21 yxx βα + = α ( yx , 1 )+ β ( yx , 2 ) =α )( 1 xf + β )( 2 xf . f是线性的. 又由不等式)(xf = ),( yx ≤ x y , f ≤ y , f连续. 若0=y , 显然f = 0 = y . 若0≠y , 取yx = , 则()f y = ),( yy = 2 y , 故f ≥ )( y y f = y . 总之, f = y . D 2 若0,f = 取0=y即可. 若0,f ≠ 设)( fNE = , E是H 的闭极大真子空间, 设 ⊥ ⊕= EEH , { }0≠ ⊥ E . 取 ⊥ ∈Ez , 1=z , 2 则0)( ≠zf , 令zzfy )(= , ⊥ ∈Ey . 由于x H? ∈ , z zf xf x )( )( ? E∈ ,于 是 0 = ( z zf xf x )( )( ? , y ) = ),( yx ?( () () f x z f z , zzf )( ) = ),( yx ? ),)(( zzxf = ),( yx ? )(xf 即)(xf = ),( yx , Hx∈? , 由 D 1还知道 f = y . 若另有'yH∈使得)(xf = (, ')x y , Hx∈? , 则),( yx = (, ')x y , Hx∈? , 即(, ') 0,xy y?= 此时必有'.yy= 称定理1中的y为线性泛函f的表现. 记H上的连续线性泛函全体为 * H , 定理1表明从集合论的观点 来看, H与 * H是相同的. 定理2 设H是Hilbert空间, * H是H的共轭空间. (1) 若映射HHT → * : , yTf = , 其中y是f的表现. 则 )( 21 ffT βα + = )( 1 fTα + )( 2 fTβ , 1 f? , * 2 Hf ∈ , (4-3-2) T是到上的并且 * f H?∈ , Tf = f . (2) ),( TgTf = (,)f g , 1 f? , * Hg∈ . (4-3-3) (3) 若J是从H到 ** H的自然嵌入算子, J是到上的线性映 射 并且Jx = x , Hx∈? . 通常称满足(4-3-2)的T是共轭线性的. 证 明 D 1 设 11 yTf = , 22 yTf = , Φ∈βα, , 则,x H? ∈ 3 )( 1 xf = ),( 1 yx , )( 2 xf = ),( 2 yx . 于是 ( 21 ff βα + )( x )=α )( 1 xf + β )( 2 xf =α ),( 1 yx + β ),( 2 yx = ( ,x 21 yy βα + ). 即)( 21 ffT βα + = 21 yy βα + = )( 1 fTα + )( 2 fTβ .由定理1知道T是到上 的并且 Tf = y = f , * f H?∈ . D 2 由 )( gfT + = gf + , )( gfT ? = gf ? , 则 Re ),( TgTf = ])()([ 4 1 22 gfTgfT ??+ = ][ 4 1 22 gfgf ??+ = Re ),( gf . 将f换为if , 则 Re ),( TgTif = Re ),( gif . 又由T的共轭线性 ),( TgTf = ),( TgTifi . 所以 Im ),( TgTf = Re ),( TgTif = Re ),( gif = ?Im ),( gf . 从而 ),( TgTf = ),( gf , f? , * Hg∈ . D 3 设J是从H到 ** H的自然嵌入算子, 则Hx∈? , )(yJx = )(xy , * Hy∈? . 若Hxx ∈ 21 , , Φ∈βα, , 则 )( 21 xxJ βα + )(y = )( 21 xxy βα + = )()( 21 xyxy βα + = )()( 21 yJxyJx βα + = ))(( 21 yJxJx βα + y是任意的. 故)( 21 xxJ βα +＝ 21 JxJx βα +。 x H ?? ?? ?∈，由定理1，存在 ?? ∈Hy，使得),()( ??? = yffx , 4 * Hf ∈?并且 ??? = yx。若T是 D 1中的映射，不妨设xTy = ? ，由 D 2， ),()( ??? = yffx＝),( TfTy ? = )(xf . 故 ?? = xJx。J是到上的并且 ?? = xJx＝ ? y＝ ? Ty＝x . 定理得证. 这里注意HHT → ? :是共轭线性的但不是线性的. 因此按照线 性同构的观点来看，当Φ是复空间时，HH ≠ ? . 尽管 ? H与H之间存 在一一的到上的映射. 另一方面，定理2（3）与我们关于一致凸空间 的结论是一致的，即Hilbert空间是自反空间，从而Hilbert空间的闭 单位球是ω紧的等等. 定义1 设H是Hilbert空间,， Φ→×HH:?是一映射. (1) 称?是一、五线性的，若Hzyx ∈? ,,，Φ∈βα,， ),( zyx βα? +＝),( zxα?＋),( zyβ? ),( zyx βα? +＝),( yx?α＋),( zx?β . （4-3-5） (2) 称?是对称（或Hermite）的，若),( yx?＝),( xy? . (3) 称?是有界的，若存在0>C， ≤|),(| yx? yxC ?，Hyx ∈? , . 此时记其范数为 sup{| ( , ) |: 1, 1}xy x y??=≤≤. （4-3-5） 下面定理可以看成有界一、五线性泛函的表现定理. 定理3 设H是Hilbert空间, 则Φ→×HH:?是有界一、五线 性泛函当且仅当存在)(HBT ∈，使得 ),(),( yTxyx =? Hyx ∈? , . （4-3- 6） 此时有T=? . 5 证 明 充分性. 设)(HBT ∈ , 记),(),( yTxyx =?，则 Hzyx ∈? ,,，Φ∈βα,， )),((),( zyxTzyx βαβα? +=+ = ),( zTxα + ),( zTyβ = ),( zxα? + ),( zyβ? . ),(),( zyTxzyx βαβα? +=+ = ),( yx?α + ),( zx?β , 由于 ),( yx? = ),( yTx ≤ Tx y ≤ T x y . 于是? ≤ T . ?是有界的. 必要性. 若),( yx?是有界一、五线性的, x H? ∈ , 令 )(yf = ),( yx?，Hy∈?是H上的连续线性泛函. 实际上, 由定义 )(yf = ),( yx? ≤ ? x y . 由定理1, 存在Hz∈使得)(yf = ),( zy . 记HHT →: , zTx = , 则一 方面 ),( yTx = ),( yz = ),( zy = )(yf = ),( yx? , Hyx ∈? , . 另一方面, 若0≠Tx , 令 Tx Tx y = , 则 Tx = Tx TxTx ),( = x Tx Tx x x T )),(( = x Tx Tx x x ),(? ≤ ? x 故T ≤ ? . T是由?唯一决定的. 实际上, 若另有 1 T使得 ),( 1 yxT = ),( yx? = ),( yTx , Hyx ∈? , . 则由y的任意性, 必有xT 1 =Tx , 再由x的任意性得到TT = 1 . 最后由 上面证明知道T = ? . 定理4 设H是Hilbert空间, 则()ABH? ∈ , 存在唯一的 )(HBB∈使得 6 (,)Axy= (, )x By , Hyx ∈? , . (4-3-7) 证 明 令),( yx? = ( Ayx, )，则?是一、五线性泛函并且 ),( yx? = ),( Ayx ≤ x Ay ≤ A x y , ?是有界的. 由定理3, 存在)(HBB∈使得),( yx? = (,)Bxy, 于是 ( xAy, )=( Bxy, ). 交换x与y的符号即得( yAx, ) = ( Byx, ). 定义2 设H是Hilbert空间, )(HBT ∈ , 若存在)( * HBT ∈使 得),( yTx = ),( * yTx， Hyx ∈? , , 称 * T是T的伴随算子. 定理4说明, 对于任一有界线性算子)(HBT ∈ , 相应于T的伴随 算子存在. 此外, 在 $2中我们讨论过自伴算子, 自伴算子即满足 * T = T的伴随算子. 注意。与Banish空间情况略有不同的是，映射 * TT→是共轭线性的. 命 题 设H是Hilbert空间, )(HBA∈ , 以下诸条件等价: (1) 是自伴算子. (2) ),( yx? =( yAx, ) 是对称的. 若H是复空间,则以上还等价于: (3) Hx∈? , ),( xx? = ( xAx, ) 是实数 . 证 明 (1)?(2). 只需注意 ,,x yH? ∈ ),( yx? = ( yAx, ) = ( Ayx, ) = ),( xAy = ),( xy? . (2)?(1). 注意 ( yAx, )= ),( yx? = ),( xy? = ),( xAy = ( Ayx, ). (1)?(3). ),( xx? = ),( Axx = ( xAx, ) = ),( xx? . 所以),( xx?是实 数. 现在设H是复空间, 我们证明(3)?(2)成立. 实际上利用极化恒 等式可得到 7 4 ),( yx? = 4( yAx, ) = ( yxyxA ++ ),( )－( yxyxA ?? ),( ) + i ( iyxiyxA ++ ),( )－i ( iyxiyxA ?? ),( ) = ),( yxyx ++?－),( yxyx ??? + ),( iyxiyxi ++?－),( iyxiyxi ??? . 利用),( xx?是实数容易得出),( yx? = ),( xy? , 故为对称的. 例1 设 { } :1 j ejn≤≤是 n C的规范正交基, () n ABC∈ , 其中 k Ae = 1 n jk j j ae = ∑ ， 1, ,kn= " A对应的是nn×阶方阵() jk a ,其中 jk a =( , kj Aee). x? = 1 n kk k x e = ∑ , =Ax 1 n kk k x Ae = ∑ = 1 n k k x = ∑ ( 1 n jk j j ae = ∑ ). 由定理4, A的共轭阵 * A是存在的. 实际上, 由定义知道, 若 * A = () jk b ,则 jk b = ( * , kj Ae e ) = * (, ) jk eAe= (,) jk Ae e = kj a . * A是A的转置伴随矩阵. 同样地, 对于可分Hilbert空间,H 若{: 1} n en≥是H的规范正交 基，(),TBH∈ 则T表现为一个无穷矩阵 ,1 () , kj k j a ∞ = 其中 1 ,1 kkj j Te a e k ∞ = =≥ ∑ （见第三章§3例4））. 此时若 jk b = kj a , 则与() jk B b=相应的算子是 A的共轭算子. 例2 设:A []baL , 2 → [ ]baL , 2 , ( Ax )(t ) = dssxstK b a )(),( ∫ , ∈?x [ ]baL , 2 . 8 其中),( stK是bta ≤≤ , bsa ≤≤上可测且平方可积的函数. 由Holder不等式容易验证A是有界线性算子, 故 * A存在. 实际 上, xA * ( t ) = dssxtsK b a )(),( ∫ , ∈?x [ ]baL , 2 . 因为由定义, ),( * yAx = ∫ b a tx )( dtdssytsK b a )(),( ∫ = ∫ b a tx )( dsdtsytsK b a )(),( ∫ = dsdtsytxtsK b a b a )()(),( ∫∫ = dttydssxstK b a b a )())(),(( ∫∫ = ),( yAx . ,x y? ∈ [ ]baL , 2 , 若),( tsK = ),( stK , 则A是自伴算子. 定理5 设H是Hilbert空间, )(, HBBA ∈ , 则 (1) * )( BA βα + = * Aα + * Bβ . (2) ** A = A . (3) * )(AB = * B * A . (4) 2 * A = 2 A = AA * . 证明 D 1 ,xy H?∈, Φ∈βα, , =+ ),)(( yxBA βα ),( yBxAx βα + = ),(),( yBxyAx βα + = ),(),( yBxyAx ?? +βα = ))(,( yBAx ?? +βα 故 * )( BA βα + = * Aα + * Bβ . 9 D 2 Hyx ∈? ,， ),( xyA ? ＝),( yAx ? ＝),( yAx＝),( Axy , 故A＝ ?? )(A＝ ** A . D 3 )(, HBBA ∈，故)(HBAB∈， ? )(AB存在. ,xy H? ∈， ),(),( yABxyABx ? = = ),( yABx ?? . 故 * )(AB = * B * A . D 4 Hyx ∈? ,，),(),( yAxyAx ? = . 若0≠Ax，则 =Ax Ax AxAx ),( ＝ Ax 1 ),( AxAx ? ＝ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Ax Ax Ax, ≤ x Ax Ax A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ≤ xA ? ? . 所以 ? ≤ AA . 又由 D 2 , ,A AA ??? ≤= 于是.A A ? = 上式又可以写成),( 2 AxAxAx ? = ≤ 2 xAA ? ? ，故 2 1 2 sup AxA x ≤ = ≤ AA ? 。 显然AA ? ≤ ? A A＝ 2 A，故= ? 2 A 2 A＝AA ? . 定理6 设H是Hilbert空间, )(HBA∈， ? A是A的伴随算子， 则 ⊥? = )()( ARAN， ⊥? = )()( ARAN， ⊥? = )()( ANAR， ⊥? = )()( ANAR . 证明 若)(ANx∈，则0=Ax . yH? ∈， 10 0＝),( yAx＝),( yAx ? ， 故)( ? ⊥ ARx， ⊥? ∈ )(ARx，所以 ⊥? ? )()( ARAN . 反之，x?∈ ()R A ?⊥ ，),( yAx ? ＝0, Hy∈? . 从而 ),( yAx＝),( yAx ? ＝0. y任意，故0=Ax，)(ANx∈，)()( ANAR ? ⊥? 。总之()NA ()R A ?⊥ = . 由此 ⊥⊥??? == )()()( ARARAN . 同样地由第一式知 ⊥⊥?⊥ = )()( ARAN . 但显然 ⊥? )(AR＝ ⊥ ? )(AR，由§2定理3，= ? )(AR ⊥⊥ ? )(AR＝ ⊥⊥? )(AR，故 ⊥? = )()( ANAR , 第四式成立. 最后 ⊥? )(AN＝)()( ARAR = ?? . 定理7 (Lax-Milgram) 设H是Hilbert空间, Φ→×HH:? 是 一、五线性的. 若?有界并且存在0>r使得 ),( xx? ≥ r 2 x , ? Hx∈ (4-3-8) 则存在)(HBA∈ , A可逆, 1? A ≤ 1? r并且 ),( yx? = ),( Ayx ,? Hyx ∈, . 证明 由定理3知道存在)(HBA∈使得 ),( yx? = ),( yAx = ),( * yAx . 由定理中条件, 当yx =时 r 2 x ≤ ),( xx? ≤ Ax x 或者 r x ≤ Ax ,? Hx∈ . (4-3-9) 这说明A是可逆的. 同样地还有 11 r x ≤ xA * ,? Hx∈ . 即 * A也是可逆的. 从而)( * AN = { }0 . 根据定理7, )(AR = H . 又由 (4-3-9), 若 n y = n Ax y→ , 则 r mn xx ? ≤ mn AxAx ? 0→ ),( ∞→nm , 于是{} n x是Cauchy序列. H完备,不妨设 0 xx n → , 从而 y = ∞→n lim n y = ∞→n lim n Ax = 0 Ax , 即)(ARy∈ .这说明)(AR是闭的. 于是)(AR = H . A是一一的到上的, 由逆算子定理 1? A是定义在整个H上的. 令x = yA 1? , ? Hy∈ , 则 (4-3-9) 表明 r yA 1? ≤ y , 于是 1? A ≤ 1? r . 定理得证. 定理8 设H是Hilbert空间,. )(HBT ∈是自伴的, 则 T = 1 sup ≤x ),( xTx . (4-3-10) 证明 首先对于1≤x , 则 ),( xTx ≤ Tx x ≤ T 2 x ≤ T , 故 1 sup ≤x ),( xTx ≤ T . 若记(4-3-10)的右端为r , 则Hx∈? , 当0≠x时 (( ), ) xx Tr xx ≤ 12 或 ),( xTx ≤ r 2 x . 由自伴性, 实际计算知道 ( yxyxT ++ ),( )－( yxyxT ?? ),( ) = 2 ),( yTx +2 ),( xTy = 2 ),( yTx +2 ),( Txy = 4 Re ),( yTx 从而 Re( , )Tx y ≤ 4 r ( 2 yx+ + 2 yx? ) ≤ 2 r ( 2 x + 2 y ). 取 θi e使得 (,)Tx y = θi e ),( yTx = )),(( yxeT iθ ≤ 2 r ( 2 xe iθ + 2 y ) = 2 r ( 2 x + 2 y ). 实际上此式关于Hyx ∈? ,成立. 若0≠Tx ,令=y Tx x Tx , 代入上式 有 Tx ≤ r 2 x，于是rT ≤ , 总之 (4-3-10)成立. 思考题 若)(, HBBA ∈并且),(),( xBxxAx = Hx∈?， 则 BA= . 下面是两类更广泛的算子. 定义3 设H是复Hilbert空间, )(HBT ∈ . (1) 若TT * = * TT = I , 则称T是酉算子，这里I是单位算子. (2) 若TT * = * TT , 则称T是正常算子. 13 容易知道, 投影算子, 自伴算子和酉算子都是正常算子. 定理9 设H是Hilbert空间, 则 (1) T是酉算子当且仅当T是到上的并且 ),( TyTx = ),( yx , ? Hyx ∈, (4-3-11) 或者 Tx = x , ? Hx∈ (4-3-12) (2) T是正常算子当且仅当 Tx = xT * ,? Hx∈ (4-3-13) (3) )(HBT ∈是正常算子当且仅当T有分解T = 1 T + i 2 T , 其 中 1 T , 2 T是自伴算子并且 1 T 2 T = 2 T 1 T . (4) 若() n TBH∈是正常算子, 0, n TT?→ 则T是正常算子. 证明 D 1 应用极化恒等式容易知道(4-3-11) 与(4-3-12)是等价的. 由酉算子的定义, TT * x = * TT x = x ,于 是T和 * T都是到上的. 此时 ),( yx = ),( * yTxT = ),( TyTx 故式(4-3-13)成立.反过来当式(4-3-11)成立时, ? Hyx ∈, , ),( yx = ),( * yTxT , 于是TT * x = x , 即TT * = I . 同样地, * TT = I . D 2 当 (4-3-13) 成立时, ? Hx∈ , ),( TxTx = ),( ** xTxT , 从而 ),( * xTxT = ),( * xxTT , 再应用极化恒等式便得到TT * － * TT =0, 即T是正常算子. 反过来的 证明是容易的. 3 D 若 1 T , 2 T是自伴的并且 1 T 2 T = 2 T 1 T ,T = 1 T + i 2 T , 则 T * T = ) iT+T ( 21 * 21 ) iT+T ( 14 = ( 1 T + i 2 T )( 1 T - i 2 T ) = ( 1 T - i 2 T )( 1 T + i 2 T )= * T T , 所以T是正常的. 反之, 若T是正常的, 则 1 T = 2 1 (T＋ * T ), 2 T = i2 1 (T－ * T ) 是可交换的自共轭算子, 并且T = 1 T + i 2 T . 4 D 注意此时 ** 0 n TT? →并且 ** nn nn TT TT= , 由此过渡到极限 不难得到所要的结论. 例 3 考虑$ 1例3的空间],[ 2 ππ?L和正交基 { } int :0,1,2,en=±±" , 若定义]),[( 2 ππ?∈ LBT , 使得 n Te = 1+n e，n? (这里记)(te n = int e ). 则T是酉算子. 实际上为求 * T , 只需考虑 ( * T n e , m e ) = ( n e , m Te ) = ( n e , 1+m e ) = ? ? ? ?= .,0 ,1,1 其他 nm 于是必有 * T n e = 1?n e , n? . 从而知道TT * = * TT = I . 例 4 考虑复平面上的有界闭集?, 记?上的Borel测度为μ , ),( 2 μ?L是?上定义的关于μ可测并且平方可积的函数全体, 算子 :T ),( 2 μ?L → ),( 2 μ?L定义为 ( ξT )( z )= z )(zξ , 则T是正常的. 为求 * T , 只需知道∈?η ),( 2 μ?L , ( ξη * ,T ) = ( ξη,T ) = μξη dzzz )()( ∫ ? = μξη dzzz )()( ∫ ? , η是任意的, 故必有)( * zzT ξξ = . 于是 ))(( * zTT ξ = ))(( * zzT ξ = 2 z ))(( * zTT ξ = ))(( * zzT ξ = 2 z )(zξ , 15 ))(( * zTT ξ = ))(( zzT ξ = 2 z )(zξ , 所以TT * = * TT , T是正常算子. 思考题 1. 设U是酉算子, 则当T是投影算子、自伴算子、酉算子、正常算子时， 1 UTU ? 也是. 2. 设(),TBH∈ 证明 (1) * TT+是正常算子. (2) 若T是正常算子, 则,,CTI Tλ λλ? ∈+是正常算子. (3( 若,TS是正常算子并且T与 * S、S与 * T可交换， 则TS是正常的.