第 17 讲 共轭算子与紧算子 教学目的 掌握共轭算子与紧算子的概念和基本性质。 授课要点 1 共轭算子的生成以及与原算子的对偶性。 2 紧算子的属性及常见紧算子的例。 赋范空间有共轭空间，同样地有界算子有共轭算子 . 让我们先看下面定义 . 定义 1 设 ,X Y 是线性赋范空间， ,X Y ? ? 分别是 X 与 Y 的共轭空间， T∈B(),X Y ．若线性算子 :TY X ?? ? → 满足 ()( )() Ty x y Tx ?? ? = ， x X ? ?∈ ， yY ? ? ∈ 则称 T ? 是 T 的共轭算子 . 有时我们记 () ( ),f xxf= ，则上式可以写成 ()( ) ,,Tx y x T y ??? = ． ( ) 1 定理 1 设 ,X Y 是线性赋范空间， T ∈B( ),XY ，则 (1) T ? 存在并且惟一 , (2) TT ? = ． 证 明 1° 对于每个 *yY ? ∈ ，记 ( ) ( ) ,lx Txy ? = ， l是 X 上的线性泛函，并且 () (),lx Txy y Tx ?? =≤ yTx ? ≤ ， x X? ∈ 所以 lyT ? ≤ ， ()3 这说明 lX ? ∈ . 显然 l与 y ? 有关，记为 Ty ? ? ，则 T ? 是 YX ? ? → 的算子 . 由定义知道 ( ) ( ) ( ) ,,x Ty lx Txy ?? ? == ， xX? ∈ ， yY ? ? ∈ 直接验证可知 T ? 是线性算子 . 上式表明 T ? 是 T 的共轭算子 . 若 1 T ? 也是 T 的共轭算子，则 xX?∈ ， yY ? ? ∈ ， ()( ) ( ) 1 ,,,,x Ty Txy xTy ?? ? ?? == 由 x的任意性知 1 Ty Ty ?? ?? = ，由 y ? 的任意性知 1 TT ? ? = ． 2° 由 ()3 式， ? yY ?? ∈ ， Ty l y T ?? ? =≤ ， 故 TT ? ≤ ． xX?∈ ，若 0Tx ≠ ，则存在 0 yY ? ? ∈ ， 0 1y ? = ， 0 Ty Tx ?? = ，于是 () 00 ,,Tx x T y T y x ?? ?? =≤ 若 0Tx = ，此式自然成立 . 故 0 1 sup . y TTy Ty T ? ?? ?? ? ≤ ≤≤ = 总之， TT ? = ． 由 2°还可以知道，若令 *( ) *TTσ = ，则 ( )TTTσ ? ==. 例行的验证表明 σ 是 线性映射，所以 σ 是从 B(),XY 到 B ( ) ,YX ? ? 的子空间上的等距同构 . 例 1 设 : nm T Φ→Φ是有界线性算子， 1 ,, n eenull 是 n Φ 的一组基， 1 ,, m μ μnull 是 m Φ 的 一组基， T 在基底 1 ,, n eenull 与 1 ,, m μ μnull 之下对应的矩阵为 ( ) ij a ，即 1 m iik k Te a μ = = ∑ ， ( )1, ,in= null ． （2） 令 k Y =span 111 {, , , , , } kk n eee e ?+ nullnull, 则 k Y 是闭子空间， kk eY? . 由 Hahn－ Banach 定理， 存在 ( ) n k e ? ? ∈Φ ， ( )( ),0 kk kk ee deY ? =≠． 必要时乘上一个不为 0 的常数， 可设 () 1 kk ee ? = ， 对于其余的 i e ， ( ) 0 ki ee ? = . 即 1 ,, n ee ? ? null 满足 () 1, , 0, . ki ki ki ee ki δ ? = ? == ? ≠ ? 称 1 ,, n ee ?? null 是 ( ) n ? Φ 的关于 1 ,, n eenull 的对偶基 . 类似地，设 ** 1 ,, m μ μnull 是 () m ? Φ 的关于 1 ,, m μ μnull 的对偶基 . 现在若 () () : mn T ?? ? Φ→Φ是 T 的共轭算子， T ? 与 ( ) ij b 对应，即 1 n jjk k Tbeμ ? ?? = = ∑ ， ( )1, ,j m= null　 则根据共轭算子的定义，应有 ()( ) ,,* ij i j Te e Tμ μ ?? = ， ( )1,1in jm≤≤ ≤≤ 实际验算可知 () 1 ,, m i j is s j ij s Te a aμμμ ?? = ?? == ?? ?? ∑ , () 1 ,, n ij ijk ji k eT e be bμ ?? ? = ?? = = ?? ?? ∑ , 所以 jiij ba= . 即 ( ) ij b 是 () ij a 的转置矩阵 . 换句话说，一旦对偶基确定之后，从有限维空间到有限维 空间的线性算子，其共轭算子相应的矩阵是原算子相应矩阵的转置矩阵 . 在线性代数中我们 知道共轭矩阵在求解方程组或矩阵求逆中有重要作用， 现在我们希望知道对于更一般的有 界线性算子其共轭算子的存在性和相关属性 . 定理 2 (1) 若 ,,X YZ为线性赋范空间， A∈B( ),YZ ， B∈B(),XY ， 则 ()ABBA ? ?? = . (2) 设 X I 与 X I ? 分别为 X 与 X ? 中的单位算子，则 () X X I I ? ? = . 证明 1° 容易知道， AB∈B( ),YZ，故 ()AB ? 存在 . ? xX∈ ， zZ ?? ∈ ， () ( ) ( ),,,x AB z ABx z Bx A z ? ??? == ( ) ,x BAz ? ?? = ， 故 ()ABBA ? ?? = ． 2° ? xX∈ ， x X ?? ∈ ， () ( ) ( ) ( ), ,,, XX X x IxIxxxxxIx ? ? ??? ===， 故 () X X I I ? ? = . 若 :TY X ?? ? → 是 :TX Y→ 的共轭算子，记 :TX Y ???? ? → 是 T ? 的共轭算子。 定理 3 设 ,X Y 是线性赋范空间， A∈B( ),XY ，则 A A ?? = ， A ?? 是 A的保持范 数不变的延拓 . 证明 由定理 1 知 A AA ?? ? ==．比较 :AX Y→ 与 :A XY ???? ? → ，由于 X X ?? ? ，即 () ()DX DX ?? ? ．对于 xX∈ ，仍用 x代表 ( )x Jx X ???? =∈，则 ()( )( ) ,,,A xy Ax y x Ay ?? ? ?? ?? ? ?? ? ? == ()( ) ,,x Ay Axy ?? ? ==， yY ? ? ? ∈ 故 A xAx ?? = ，于是 A ?? 是 A的保范延拓 . 下面让我们考察一类重要的算子 ——紧算子， 它在积分方程论及数学物理等学科中具有 重要应用 . 定义 2 设 ,X Y 是线性赋范空间， :TX Y→ 是线性算子． (1) 称 T 是紧的，若 T 将 X 中的每个有界集映射为 Y 中的相对紧集 . (2) 称 T 是有限秩算子，若 ( )dimTX ∞＜ . 容易知道， :TX Y→ 是紧算子当且仅当 T 把单位球 X S 映射为 Y 中的相对紧集 . 命 题 (1) 紧算子是有界算子 . (2) 有限秩有界算子是紧的 . 从而任何从有限维空间到有限维空间的线性算子是紧的 . (3) 设 ,,X YZ是线性赋范空间， A∈B( ),YZ， B∈B( ),XY ，若 ,A B中有一个是紧 的，则 AB 是紧算子 . 证 明 1° 相对紧集是有界集，故得 (1). 2° 对于 X 中的任一有界集 E ， ( )TE是有界集，但 Y 是有限维空间的子集，故 ()TE 相对紧， (2)成立 . 3° 设 X S 是 X 的单位球，若 A是紧的，首先 ( ) X BS 是 Y 中的有界集，然后 () X ABS 是 Z 中的相对紧集，于是 AB 是紧的 . 若 B 是紧算子，首先 ( ) X BS 是 Y 中的相对紧集，由 于 A连续， A将 ( ) X BS 中的收敛序列映射为 ( ) X ABS 中的收敛序列，故 AB 是紧的 . 从 X 到 Y 中的紧算子的全体记为 ( ),CXY. 定理 4 (1) 若 () 12 ,,TT CXY∈ ，则 ( ) 12 1 ,,TT TCXYα+∈ , ( )α∈Φ . (2) 若 Y 为 Banach 空间， ( ), n TCXY∈ 并且 0 n TT? → ，则 (),TCXY∈ . (3) 若 Y 为 Banach 空间，则 ( ),CXY为 Banach 空间。 证 明 1°设 X S 为 X 的单位球， ( ) 1 X TS 是 Y 中的相对紧集，对于其中任一无穷序列 () 1 nn X Tx x S∈ ，有子序列 11 k n Tx y Y→∈，又 ( ) 2 X TS 为 Y 中相对紧集，对于序列 () 2 k n Tx ， 有子列 2' 2 k n Tx y Y→∈，从而 () 12 1 2 k n TTx y y ′ + →+，故 ( )( ) 12 X TTS+ 是相对紧的， () 12 ,TT CXY+∈ . 至于 () 1 ,TCXYα ∈ 可类似证之 . 2°显然 1 sup n n TM ≥ =∞＜ ，由 Banach－ Steinhaus 定理， TM≤ . ε? ＞0 ，取 0 n 使得 当 0 nn≥ 时， n TT ε ? ＜ 3 . () nX TS 是相对紧集，从而是完全有界集，设 1 ,, k yynull 是 ( ) nX TS 的 ε 3 网，则有 1 ,, kX x xS∈null ， ini yTx= ()1, ,ik= null . 我们证明 1 ,, k Tx Txnull 是 ( ) X TS 的 ε 网 . 实际上， X x S?∈ ，取 i y 使得 ni nni Tx y Tx Tx ε ?= ? ＜ 3 . 则 iinininn Tx Tx Tx Tx Tx Tx Tx Tx?≤? + ? + ? ni n TTx T Tx ε ≤? ++? 3 ε＜ . Y 是完备的， () X TS 是完全有界集从而是相对紧集，即 ( ),TCXY∈ . 3° 当 Y 是 Banach 空间时， B( ),XY 是 Banach 空间 . 由２°知， ( ),CXY是 B(),XY 的闭线性子空间，故 (),CXY本身是 Banach 空间 . 定理 5 设 ,X Y 是线性赋范空间， ( ),TCXY∈ ，则 ( ) ,TCXY ? ?? ∈ . 证 明 设 X S 是 X 的单位球， Y S ? 是 Y ? 的单位球，我们要证明 ( ) Y TS ? ? 是 X ? 中的相 对紧集。由于 X ? 是 Banach 空间，只须证明 ( ) Y TS ? ? 是完全有界集 . ε? ＞0 ， () X TS 完全有界， 故存在 1 ,, nX x xS∈null 使得 ii yTx= ( )1, ,in= null 是 () X TS 的 ε 4 网，即 X x S?∈ ， k x? 使得 kk Tx y Tx Tx ε ?=?＜ 4 . ()4 定义 : n Yσ ? →Φ ， () ( ) ( )( ) 1 ,, n yyy yyσ ?? ? = null ， yY ? ? ? ∈ 则 σ 是有界的有限秩算子， 从而是紧算子， ( ) Y Sσ ? 完全有界 . 不妨设 ( )() 1 ,, m yyσσ ?? null 是 () Y Sσ ? 的 ε 4 网，于是 Y yS ? ? ?∈ ，存在 j y ? 使得 2 1 2 1 (*) ( *) ( *( ) *( )) , 4 n jkjk k yy yyyy ε σσ = ?= ? < ∑ 从而 *( ) *( ) , ( 1, , ) 4 kjk yy y y k n ε ?<=null （ 4） 于是当 *(*)ySY∈ 时，由（ 3） ， （ 4） ， *( ) * ( ) *( ) *( ) *( ) *( ) jkkjk yTx y Tx yTx yy yy y y?≤?+? + *( ) *( ) jk j yyyTx? ， 故 ** * * j Ty Ty?=sup 1 (, * * * *) jx x Ty Ty ≤ ? = sup 1 (,* *) jx Tx y y ≤ ? 3 . 4 ε ε≤ < () Y TS ? ? 是完全有界的，所以 *T 紧 . 定理 6 设 :TX Y→ 是紧算子，则当 , n x xX∈ ， w n x x?? → 时， n Tx Tx→ . 证明 1° 为简单起见，设有 0 w n x ?? → 但 n Tx 不收敛于 0，此时 0 ε? ＞0 和子序列 { } k n Tx ， 0 k n Tx ε≥ ，但 { } n x 是有界集， { } k n x 也是有界集，从而 { } k n Tx 是相对紧集 . 不妨 设其子列 0 k n Tx y Y ′ →∈，于是 00 .y ε≥ 另一方面，由于 0 k w n x ′ ?? → ， yY ?? ?∈ ， () ( ) ( ) ( )0 lim , lim , 0 kk kk nn nn yy Tx y xTy ??? ′′ ′′ →∞ →∞ == =． 由 Hahn－ Banach 定理， 0 0y = ， 矛盾 . 让我们给出一些紧算子的例 . 例 2 观察第一型 Fredholm 积分算子 [ ] [ ] :, ,TCab Cab→ ， () ( )(), b a Tx s K s t x t dt= ∫ ， [ ],x Cab?∈ 其中 (),Kst是 ,atsb≤≤上的连续函数 . 在第二章第 9 讲我们已经知道， T 是有界线性算子，现在证明 T 还是紧算子 . 设 E 是 [ ] ,Cab中的有界集，不妨设 x M≤ . xE? ∈ ，则 () () () ()() 12 1 2 ,, b a Tx s Tx s K s t K s t x t dt?= ??? ??∫ () ()() 12 ,, b a Kst Kst xtdt≤? ∫ () ,Kst是连续函数，于是 ε? ＞0 ， δ? ＞0 ，当 12 ss δ? ＜ 时 () () () 12 ,,Kst Kst M ba ε ? ? ＜ ， 此时 () ( ) 12 Tx s Tx s ε? ＜ . 这说明 ()TE是等度连续的函数族 . 另一方面，由于 T 是有界线性算子， ( )TE是有界集，由 Arzela－ Ascoli 定理， ()TE是 [ ] ,Cab中的相对紧集， T 是紧算子 . 例 3 仍设 (),Kst是 ,atsb≤≤上的连续函数， 01a＜＜ ，考虑算子 ()() ( ) ( ), b a a Kstxt Tx s dt st = ? ∫ ， [ ],x Cab?∈ ()6 我们证明 T 仍是紧算子 . 为此考虑函数 () () () ,, , ,,0 0, , n Kst s t n Kst nstKst st n st β β ? ? ? ? ? =? ?≤ ? ? =? ? ? 1 ＞ 1 ＜ , 和算子 ()() ( ) ( ), b n n a a Kstxt Tx s dt st = ? ∫ ， [ ] ,x Cab?∈ 这里 1α β＜＜ ，容易验证积分核 ( ), n a Kst st? 是 ,atsb≤ ≤ 上的连续函数，上例说明 n T 是紧算 子，但由 () ()( ) ( ) ( ) 1 ,, ,b n aa a st n Kst Kstxt Kstxt dt dt st st ?≤ ? ≤ ?? ∫∫ () 1 0 a n d n θ θ θ ≤ ≤ →→∞ ∫ 知道 0 n TT?→，定理 4(2)保证了 T 是紧算子 . 例 4 第二型 Fredholm 积分算子也是紧算子， 实际上对于核函数 ( ),Kst， ,atsb≤≤， 存在一列二元简单函数 (), n Kst，使得 () () 2 ,, 0 bb n aa K s t K s t dtds? → ∫∫ ， 而以 (), n Kst为核的同样的算子 () ( ) (), b nn a Txt K st x sdt= ∫ ， [ ] 2 ,x Lab?∈ ， 是有界的有限秩算子，上述极限表明 0 n TT? → . 例 5 (无穷矩阵算子 ) 设有无穷矩阵 ( ) ij a ， 1,ij≤ ∞＜ ，满足 2 11 ij ij a ∞∞ == ∞ ∑∑ ＜ . 定义算子 22 :Tl l→ 使得 () 12 ,,xxx= null ， ( ) 12 ,,yTx yy== null 时， 1 iij j yax ∞ = = ∑ ( )1, 2,i = null . 这一表达式写成矩阵的形式即 11 22 33 ij ij ij ij ij ij ij ij ij aaa yx aaa aaa ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? = ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? null null null nullnull nullnullnull . 注意此时若 0, ,0,1,0, n n e ?? =?? ?? nullnull nullnullnullnullnull ， 则 ( ) , ij ij Te e a= ， ,1ij≥ ，这里 (),ii 是 2 l 的内积 . T 的有界性容易由 Holｄ er 不等式得出，并且可以算出 1 2 2 11 ij ij Ta ∞∞ == ?? = ?? ?? ∑∑ . 现在设 22 : n Tl l→ 是无穷矩阵，它的 n阶主子阵与上述矩阵的相同，其余元素都是 0， 则 n T 是有界的有限秩算子并且 1 2 22 11 11 0 nn nijij ij ij TT a a ∞∞ == == ?? ?= ? → ?? ?? ∑∑ ∑∑ ().n→∞ 所以 T 也是紧算子 . 思考题 1. 证明若 dim X =∞, 则单位算子 :I XX→ 不可能是紧的 . 2. 证明若 dim X =∞, :TX X→ 是到上的 , 则 T 不可能是紧的 .