第 10 讲 共鸣定理及其应用
教教 学学 目目 的的
掌掌 握握 共共 鸣鸣 定定 理理 的的 证证 明明 思思 想想 ,, 通通 过过 具具 体体 例例 子子 分分 析析 使使 学学 生生 了了 解解
它它 在在 经经 典典 分分 析析 中中 的的 应应 用用 并并 初初 步步 学学 会会 应应 用用 的的 方方 法法 ..
授授 课课 要要 点点
1 领领 会会 纲纲 推推 理理 在在 证证 明明 中中 的的 关关 键键 作作 用用 .
2 困困 难难 在在 于于 如如 何何 将将 经经 典典 分分 析析 中中 的的 问问 题题 转转 化化 为为 泛泛 函函 分分 析析 中中 的的 问问
题题 .
泛函分析要解决的问题往往不是关于单个算子或单个元素的,而是涉及一族算子或元
素的。换句话说,我们所关心的是一族算子或元素共有的性质.在上一节里我们已经把从赋
范空间 X 到赋范空间 Y 的有界线性算子全体记为 ),( YXB , 那么我们现在要考虑的是有
关算子族 ),(};{ YXBTK ?∈= Λλ
λ
的问题 .
我们称 };{ Λλ
λ
∈T 是一致有界的,若 .sup ∞<
∈
λ
Λλ
T 称它在集合 E 上点点有界,若
,Ex∈? .sup ∞<
∈
xT
λ
Λλ
引理 1( Osgood) 设 X 为线性赋范空间, );( Λλ
λ
∈f 是在 X 上定义的下半连续的非负
实函数族, E 是 X 中的第二纲集.若对于每个 ,Ex∈
x
axf ≤
∈
)(sup
λ
Λλ
则存在 0>M 和非空
开集 B 使得
.,,)( BxMxf ∈∈?≤ Λλ
λ
(1)
证明 设 },,)(;{ Λλ
λ
∈?≤∈= nxfXxE
n
})(;{ nxfXxE
n
≤∈=
λλ
, 则 .
nn
EE
λ
Λλ∈
∩= 由下
办连续性,每个
n
E
λ
是闭集,从而
n
E 是闭集 . 又由引理中条件, ,
1
n
n
EE
∞
=
∪? E 是第二纲集,
所以
n
n
E
∞
=
∪
1
是第二纲集 . 于是存在
0
n 使得 ≠=
o
n
EB
0
?.于是
.,,)(
0
Bxnxf ∈∈?≤ Λλ
λ
(2)
引理 2 设 };{ Λλ
λ
∈T 是 ),( YXB 中一族有界线性算子,若 B 是 X 中的非空开集,并
且 axTBx ≤∈?
∈
λ
Λλ
sup, ,则存在 0>M 使得 .sup MT ≤
∈
λ
Λλ
即 );( Λλ
λ
∈T 是一致有界的.
证 明 不妨设 B∈0 ,否则任取 ,
0
Bx ∈ 令 ,'
0
xBB ?= 则 'B 是开集并且 '0 B∈ . 此
时每个 ,',''
0
xxxBx ?=∈ 其中 Bx∈ , 于是
Λλ
λλλλλ
∈?≤+≤?= ,2
00
axTxTxTxTxT (3)
即变为所说的情况 .
现在取 0>δ 使 BO ?),0( δ 则更有
).,0(,sup δ
λ
Λλ
OxaxT ∈?≤
∈
从而
.,sup
1
)(sup Λλ
δδδ
λ
δ
λ
δ
λ
∈?≤==
≤≤
a
xT
x
TT
xx
(4)
定理 1 (共鸣定理) 设 YX , 是线性赋范空间, };{ Λλ
λ
∈T 是一族有界线性算子 . 若
};{ Λλ
λ
∈T 在 X 的某个第二纲集上点点有界,则它是一致有界的 .
特别地,在 Banach 空间上点点有界的连续线性算子族是一致有界的 .
证 明 实际上 )()( xTxf =
λ
是 x 的连续函数,然后应用引理 1、引理 2 即得到所要
的结论 .
定理 2 ( Banach-Steinhaus) 设 }{
n
T 是从 Banach 空间 X 到线性赋范空间 Y 的有界线
性算子,若对于每个 ,Xx∈ xT
n
n ∞→
lim 存在,则存在 ),( YXBT ∈ 使得
XxxTTx
n
n
∈?=
∞→
,lim
n
n
TT
∞→
≤ lim . (5)
证明 令 XxxTTx
n
n
∈?=
∞→
,lim , 则 T 在 X 上有定义并且是线性算子 . 极限的存在性说
明, Xx∈? , xT
n
有界, X 是完备的,根据共鸣定理, }{
n
T 是一致有界的 . 故存在 0>M 使
得 .1, ≥≤ nMT
n
于是
=Tx XxxMxTxT
n
n
n
n
∈?≤≤
≥
∞→
,suplim
1
从而 MT ≤ .若 ,limlim
k
k
n
n
n
n
TaT
∞→
∞→
== 同样的极限 xTTx
k
k
n
n ∞→
= lim 成立,由此得出
=Tx XxxaxTxT
k
k
k
k
n
n
n
n
∈?=≤
∞→∞→
,limlim
所以
n
n
TT
∞→
≤ lim .
思考题
1、 定理 1, 2 中的 Banach 空间或第二纲集的条件其必要性如何?试考察下面例子:
在 [,]Pab上定义
01
() , () [,]
k
nn
f pnaptaat atPab=?=+++∈ "
证明
n
f 是线性泛函,它们点点有界却不是范数有界的 . 原因在于 [,]Pab不是完备
空间,自身也不是第二纲集 .
2、 设 X 是 Banach 空间, Y 是线性赋范空间, ),,( YXBT
n
∈ 则 ∞=
≥
n
n
T
1
sup 当且仅
当存在 Xx ∈
0
使得 ∞=
≥
0
1
sup xT
n
n
. (称此点
0
x 是 }{
n
T 的共鸣点 ).
共鸣定理在经典分析中有着广泛的应用 . 对于其中一些复杂的问题,应用共鸣定理可以
简便地得到解决 . 下面举出几种例子,即 Holder 不等式的逆问题,机械求积公式的收敛性以
及 Fourier 级数的发散问题,其中应注意是如何将经典分析中的问题转化为泛函分析中的问
题并加以解决的 .
例 1 设 )(,1
n
p αα =∞<< 是标量序列,若
p
n
lxx ∈=? )( , 级数
∑
∞
=1n
nn
xα ( 6)
收敛, 则 ,
q
l∈α 这里 .1
11
=+
qp
证明 问题即证明 .
1
∞<
∑
∞
=n
q
n
α 1≥?n ,定义
∑
=
∈?=
n
i
p
iin
lxxxf
1
,)( α
则
n
f 是
p
l 上的线性泛函 . 由 Holder 不等式
=)(xf
n
.)()(
1
1
1
1
1
∑∑∑
===
≤
n
i
p
n
i
p
i
q
q
n
i
iii
xx αα
于是 ≤
n
f
q
q
n
i
i
1
1
)(
∑
=
α . 为了进一步求出其范数,取
),0,,,(,
)(
)0()0(
1
)0(
1
1
)0(
"