1 第三章 共轭空间与共轭算子 线性赋范空间与它的共轭空间之间的相互依存和相互作用是泛 函分析中内容丰富的论题.共轭空间不仅仅是由原空间派生出来的一 种新空间， 而且提供了认识原空间的新工具. 特别是由此派生了强拓 扑、弱拓扑乃至弱*拓扑的概念. 有界算子与它的共轭算子的关系也 是如此. 本章将首先把共轭空间具体化——给出共轭空间的表现， 然 后讨论由共轭空间引出的序列的弱收敛和弱 ? 收敛概念及其性质，讨 论共轭算子和紧算子的性质， 最后阐述自反空间和一致凸空间的特殊 性质. 第 15 讲 共轭空间及其表现 教学目的 掌握常用空间的共轭空间的具体 表现形式及其应用。 授课要点 1 空间 11 ()* ,1 , 1. pq llp pq =≤<∞+= 2 空间 11 ()* ,1 , 1. pq LLp pq =≤<∞+= 3 空间 0 [,]* [,].Cab V ab= 前面已讲过，对于任一线性赋范空间 X ， X 的共轭空间 X ? 是 Banach 空间 . 对于每个 f X ? ∈ ，我们有 ( ) 1, sup , xxX f fx ≤∈ = （ 1） 对于每个 xX∈ ，又有 2 ( ) 1, sup . ffX x fx ? ≤∈ = （ 2） 这些公式反映了线性赋范空间与它的共轭空间之间的对偶关系 . 当 然，作为线性赋范空间， X ? 也存在共轭空间，记为 X ?? ，称 X ?? 为 X 的二次共轭空间，类似地还有 X ??? 等等 . 在对共轭空间及其有关性质作进一步研究之前， 我们需要对它 的抽象形式做一番直观化的工作 . 我们记得，在第一章中曾经叙述过 两个线性赋范空间的等距同构概念，等距同构的两个空间除了符号不 同之外，在结构上无法区别 . 在这种意义上我们也称两个空间相等 . 在研究抽象空间的时候，有时我们不去研究这个空间本身，而是去研 究一个与之等距同构的具体空间，后者称为前者的表现，同时也称具 体空间的每个元素是抽象空间对应元素的表现 . 例如 , 在第二章第 1 讲中我们已经知道 n Φ 上的线性泛函的一般 形式是 () 11 nn f xax ax=++" ， ( ) 1 ,, n n xx x? =∈Φ" （3） 其中 1 ,, n aa" 是 n个标量 . 不同的 f 对应有不同的 n数组 ( ) 1 ,, n aa" . 直接计算可以求出 1 2 2 1 n i i fa = ?? = ?? ?? ∑ . 若将 n Φ 上的线性泛函 f 与 n Φ 中的点 () 1 ,, n aa" 对应起来，则 ( ) n ? Φ 与 n Φ 之间可以建立一一对应， 并且这种对应是到上的等距同构 . 这样一来， ( ) n ? Φ 中的元素可以通 过一个 n数组表现 . 换句话说， n Φ 本身就是 ( ) n ? Φ 的表现 . 在这种意 义下我们说 () nn ? Φ=Φ. 现在让我们看一些进一步的例子 . 3 定理 1 ( ) 1 ll ? ∞ = . 证明 1° 对于每个 () 12 ,,aaa l ∞ =∈" ，定义 () 1 nn n f xax ∞ = = ∑ ， ( ) 1 n x xl? =∈. ()4 f 是 1 l 上的线性泛函，并且 () 1 11 sup nn n n n f xax ax ∞∞ ≥ == ≤≤ ∑ ∑ 1 sup . n n ax ≥ = 从而 sup n n f aa ∞ ≤=. 2° 反之，若 () 1 f l ? ∈ ，取 0, ,0,1,0, n n e ?? =?? ?? ""  ， 1n≥ ，易知 1 n el∈ ． 令 () nn afe= ，首 先 nn afef≤=．若 令 a=( ) 12 ,,aa" ， 则 al ∞ ∈ 并且 sup n n aaf ∞ =≤. 任取 ( ) 1 i x xl= ∈ ，设 () 1 n n ii i x xe = = ∑ ， 则 　　　 　 () () 1 0. n i in xx x n ∞ =+ ?= → →∞ ∑ 由 f 的连续性 　　　　　 　 () () () () 11 lim lim , n n ii nn nn in f xfx xfeax ∞ →∞ →∞ == == = ∑∑ 这说明式 ()4 是 1 l 上线性泛函的一般形式 . 3°　　 令 () 1 :Tl l ? ∞ → ， Tf α= ．由 1°， T 是到上的线性映射 . 1 D 与 2 D 一起说明 Tf a f ∞∞ ==， ( ) 1 f l ? ?∈ .从而 T 是一一映射， () 1 l ? 与 4 l ∞ 等距同构，即 ( ) 1 ll ? ∞ = . 类似地可以证明 () ( ) 11 1, 1 pq llppq ? ?? = ∞+=＜＜ ，此外用类似的 方法还可以证明 1 cl ? = , 1 0 cl ? = . 根据 Hahn－ Banach 定理 (见本节开头提到的式子 )，我们有 1 1 sup q nn p a n x ax ∞ ≤ = = ∑ ， ( ) p n x xl? =∈ （5） 这里 () q n aa l=∈. 定理 2 [ ] [ ] ( ) * 11 ,,1, 1 pq Lab Lab p p q ?? =∞+=＜＜ .　 证明 1°对于每个 ( ) [ ], q at L ab∈ ，定义 () () () b a f xxtatdt= ∫ ， ( ) [ ], p at L ab?∈ . ()6 f 是 [ ], p Lab上的线性泛函，由 Holder 不等式， () () () b pq a f xxtatdtxa=≤ ∫ , 故 q f a≤ . 2° 若 [ ] , p f Lab ? ?∈ ，令 [], t at χ χ= 为 [ ] ,at 的特征函数，并且记 ( ) ( ) t f gxχ = . 对于 [] ,ab中的任一组区间 [ ] , ii ab, 11 nn aab a b b≤≤≤≤"＜＜， 记 () () () () 1 iiiii gb ga gb gaε ? =? ? （当 ( ) ( ) 0 ii gb ga? = 时 0 i ε = ） ，则 5 () () () () 11 ii nn ii ib a ii gb ga f fεχ χ == ?= ? ∑∑ () 1 ii n ib a i p f εχ χ = ≤? ∑ () 1 1 . n p ii i fba = ?? =? ?? ?? ∑ 所以当 () 1 n ii i ba = ? ∑ 很小时， () () 1 n ii i gb ga = ? ∑ 也很小，故 ( )gt是 [] ,ab 上的绝对连续函数．设 ( ) ( )gt at′ = ， .aeμ? ， ( )at可积，从而 　　　 　 () () () t a gt ga a dτ τ=+ ∫ ， [ ],tab∈ . 但 0 a χ = ， ..aeμ? ．故 ( ) ( ) 0 a ga fχ= = ，所以 　　　　　　 () () t a gt a dτ τ= ∫ ， [ ],tab∈ ． 若 ()x t 是 [ ],ab上的阶梯函数， () () 1 1 ii n it t i xt a χχ ? = =? ∑ ，这里 i a ∈Φ， 01 n at t t b=="＜＜ ＜ ，则 () () ( ) 1 1 ii n it t i fx af fχχ ? = =? ∑ () ( ) 1 1 n ii i i agt gt ? = =? ∑ () 1 1 i i n t i t i aatdt ? = = ∑ ∫ 　 () () b a x tatdt= ∫ . ()7 若 ()x t 是有界可测函数，不妨设 ( )x tM≤ ， [ ] ,tab∈ . 则存在阶梯函 6 数列 () n x t ， 　　　 　 () n x tM≤ ， [ ],tab∈ ， 1, 2,n = " . 并且 () () n x txt→ ， .aeμ? . 由 Lebesgue 控制收敛定理， () () ( ) 1 0. b p p nn p a xx xtxtdt?= ? → ∫ 此外， ( )() ()( ) n x tat xtat→ , .aeμ? . 并且 () ( ) ( ) ,.. n x tat Mat ae≤ 故从式 ()7 ，令 n→∞ ，由 Lebesque 控制收敛定理得到 ( ) () () () ()lim bb nn aan f x x tatdt xtatdt →∞ == ∫∫ . 即 ()7 对于有界可测函数成立 . 现在证明 () [ ], q at L ab∈ . 令 () () () () () 21 1 , 0, . qq n q at at at n xt at n ?? ? ? ≤ ? = ? ? ? ，若 若＞ （这里记 0 0 0 = ） ． ( ) n x t 是有界可测函数 . 令 () { } 1 , q n E tat n ? = ≤ , 则一方面有 () () ( ) 1 . n q p nn E p f xfx f atdt≤= ∫ 另一方面， 7 ( ) () () () , n b q nn E a f x x tatdt at dt== ∫∫ 故 () () ( ) 1 nn qq p EE at dt f at dt≤ ∫∫ ， 即 () ( ) 1 n q p E at dt f≤ ∫ ， n是任意的，所以 () ( ) q b q a at dt f≤ ∫ ， ( ) q at L∈ 最后，对于任意的 () [ ], p x tLab∈ ，取 () ( ) ( ) () ,, 0, , n x txtn xt x tn ? ≤ ? = ? ? ? ＞ 记 () { } , n B txt n= ＞ ，则 n B 的测度 ( ) 0 n Bμ → ， () ( ) 1 0, n p p nB p xx xtdt n?= →→∞ ∫ . 从而 () () () () bb n aa x tatdt xtatdt? ∫∫ 0, n pq xxa≤? → 并且 () () () () ()lim . bb n aan f x x tatdt xtatdt →∞ == ∫∫ 这说明式 ()6 是 [ ] , p Lab上线性泛函的一般形式 . 3° 定义 [ ] [ ] :, , pq TLab Lab ? → ， Tf a= . 由以上证明知道 T 是到 上的等距同构，从而也是一一映射，故 [ ] [ ] ,, pq L ab L ab ? = . 8 类似地可以证明 [ ] [ ] 1 ,,L ab L ab ? ∞ = ． 　　由 Hahn－ Banach 定理，我们有 () () 1 sup q b p a a x atxtdt ≤ = ∫ ， [ ] , p x Lab?∈ 这里 [ ], q aLab∈ ， 1p ≥ ， 11 1 pq + = . 下面定理被称为 Riesz 表现定理 . 定理 3 [ ] [ ] 0 ,,Cab V ab ? = . 证明 1° 对于每个 ( ) [ ] 0 ,at V ab∈ ，定义 () () () b a f xxtdat= ∫ ， [ ],x Cab?∈ . ()8 f 是 [ ],Cab上的线性泛函，并且 () () () ()max , b b aatb a f xxtdt x ≤≤ ≤= ∫ ∨ 所以 () b a f a≤∨ . 2° 若 [ ] ,f Cab ? ∈ ，考虑空间 [ ],Bab， [ ],Bab是 [ ],ab上有界函 数的全体 . 对于每个 [ ],x Bab∈ ， ( )sup atb x xt ≤≤ = ． 显然， [ ] ,Cab是 [ ] ,Bab的线性子空间 . 根据 Hahn－ Banach 定理，对于 f ，存在 [ ] ,F Bab ? ∈ ，在 [ ],Cab上， ( ) ( )Fx fx= ，并且 Ff= . 设 t χ 是 [ ],at 的特征函数， ( ) ( ) t gx Fχ= ，若 9 11 nn aab a b b≤≤≤="＜＜ , 令 () () () () 1 iiiii gb ga gb gaε ? =? ? ，则 () () () () 11 ii nn ii ib a ii gb ga F Fεχ χ == ?= ? ∑∑ () 1 ii n ib a i FFεχ χ = ≤?= ∑ . ( )gt是有界变差函数，并且 () b a gFf≤=∨ . 若 ( ) [ ] ,x tCab∈ ， 01 n at t t b=="＜＜ ＜ 是 [ ] ,ab的任一分划 . ( ) x t 在 [ ] ,ab上一致连续， 故 0ε? ＞ ，存在 0δ＞ ，当 ( ) 1 1 max ii in tt δ ? ≤≤ ? ＜ 时， ( ) ( ) 1ii xt xt ε ? ? ＜ . 令 ()() 1 1 ii n it t i xxtχ χ ? = ′=? ∑ ， 则 [ ] ,x Bab′∈ 并且 ( ) ( ) 1 sup ii i ttt x x xt xt ε ? ≤≤ ′?= ? ＜ . 于是 () () () ( ) 1 1 ii n bb it t aa i xdg F x xdg x t F Fχχ ? = ′?=? ? ∑ ∫∫ () () 1 1 i i n t i t i x txtdg ? = ≤? ∑ ∫ () , b a gfεε≤≤∨ 同时 10 () () () () bb aa Fx xdg Fx Fx Fx xdg′′?≤?+? ∫∫ 2Fxx f fε ε′≤?+= , ε 是任意的，故 () b a Fx xdg= ∫ . 现在取 ()at是 ( )gt的右连续修正，即 () ( ) () () () 0, , , ta tgtga atb gb ga t b α ? = ? =+? ? ? ?= ? ＜＜ 其中 ()gt+ 是 g 在 t 处的右极限，显然 α 在 ( ),ab 上右连续，故 () [ ] 0 ,at V ab∈ . 我们证明 () () bb aa gα ≤∨∨ 并且对于每个 [ ] ,x Cab∈ ， bb aa xdg xdα= ∫∫ . 实际上， ( )gt 的不连续点是可数的，对于分划 01 n at t t b=="＜＜ ＜ 和 0ε? ＞ ，取 i s ， ( ) 10 , iii n tst s as b + = =＜＜ ，使 ( )gt在 i s 连续并且 () () 2 i gt gs n ε +? ＜ ，则 () ( ) 1 1 n ii i ttαα + = ? ∑ ()() () ( ) ()( ) 111 1 n iiii ii i gt gs gs gs gs gt ??? = ≤ +? + ? + ? + ∑ 11 () ( ) 1 1 22 n ii i ngsgsn nn ε ε ? = ≤+ ? + ∑ () b a g ε≤+∨ , ε 是任意的，故 () () bb aa gα ≤∨∨ . 设 [ ] ,x Cab∈ ，若 i t 是 ( ) gt的连续点，则 () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 111ii i i ii t t gt gt gt gtαα +?? ?=+?+=?， 于是由积分的存在性知 () () ( ) 1 1 lim n b ii i a n i xd x t t tααα + →∞ = =? ∑ ∫ () () ( ) 1 1 lim n b ii i an i x tgt gt xdg ? →∞ = =?= ∑ ∫ . 最后我们证明 α 是由 g 惟一决定的 . 实际上若 [ ] 0 ,Vabβ∈ 使以 上条件成立，则 () ( )0aaβα== ，并且 [ ] 0 ,tab?∈ ，若 0 t 为 ( )tα 及 ()tβ 的连续点，从而也是 () (), tt aa α β∨∨ 的连续点，取 () [] 0 00 0 1, , 1 , 1 0, n tat xt t tt n tt b n ? ? ∈ ? ? ?? =∈+ ? ?? ?? ? ? ?? ∈+ ? ? ? ?? ? 线性, ， ， 则 () n x t 在 [ ] ,ab上连续，从而 12 () () () bbb nnn aaa x td xtdg xtdα β== ∫∫∫ . 于是 () () () () 00 11 tt nn txtdtxtdα αβ β ++ +=+ ∫∫ ， 并且 () () () () 00 11 00 tt nn tt xtd xtdβ ααα ++ ?≤ + ∫∫ () () ( ) 00 11 0. tt nn aa nαβ ++ ≤+→→∞∨∨ 于是 () () 00 ttαβ= . 像 0 t 这样的点在 [ ] ,ab 上是稠密的，故知 () ()ttαβ= ， (),tab∈ . 取 ( ) 1xt≡ ，得到 () () () bb nn aa bbaxd xdα αα α β=?= = ∫∫ () ( ) ( )babβββ=?= . 3° 现在定义 [ ] [ ] :, ,TCab Vab ? → ， Tf α= . 则由 2° ， () () bb aa Tf g fαα=≤ ≤ ≤∨∨ . 由 1°， () b a f Tfαα≤==∨ ，即 Tf f= . 故 T 为一一的到上的 等距同构，所以 [ ] [ ] ,,Cab Vab ? = . Riesz 表现定理还可以推广到更广泛的空间 ( )C ? 上， 这里 ?是 很一般的拓扑空间中的带有正则测度的集合 . 这里不拟叙述了 . 13 现将常用的几个共轭空间列表如下，其中 1 p≤ ∞＜ ， 11 1 pq +=， 共轭空间 线性泛函的一般形式 () nn ? Φ=Φ ( ) 11 nn f xax ax=++" . () pq ll ? = () 1 nn n f xax ∞ = = ∑ . 1 0 cl ? = () 1 nn n f xax ∞ = = ∑ . 1 cl ? = () 1 lim nnn n n f xa x ax ∞ →∞ = =+ ∑ . () pq LL ? = () () () b a f xxttdtα= ∫ . [ ] [ ] ,,Cab Vab ? = () () () b a f xxtdtα= ∫ .