1 第四章 Hilbert 空间的几何学 在第一章中我们已介绍了内积空间的公理系统并给出过内积空间 的例子.内积空间是一种特殊的线性赋范空间， 因此对于一般赋范空 间成立的那些结论对于内积空间也是适用的. 但由于内积空间具有 “内积”这种结构，使得它有着比一般赋范空间更为特殊的性质.本章 将叙述这些特殊性质：正交基的存在性、正交投影以及空间上线性泛 函和算子的特殊表现形式.Hilbert 空间的理 论已广泛地应用于许多 学科和学科分支中去，例如在量子力学，概率论， 　 Fourier 　 分析， 调和分析等学科中就是如此.近年来蓬勃发展的小波分析理论也是置 根于 Hilbert 空间基本理论的. 第 19 讲 Hilbert 空间的正交基 　　　 教学目的：掌握由内积结构导致的 Hilbert 空间的特殊性 质。 讲解要点： 1、 正交集合的基本属性， Bessel 不等式。 2、 Hilbert 空间中元素的 Fourier 展开。 3、 正交基底。 4、 可分 Hilbert 空间与 2 l 等距同构。 　 定义 1 设 H 是内积空间， (,)? ? 是其中的内积 . (1) 若 ,,(,)0,xy H xy∈=则称 x 与 y 正交 , 记为 yx ⊥ . 若 HNM ?, 并且 NyMx ∈∈? , , (, ) 0,xy= 则称 M 与 N 正交 , 记为 NM ⊥ . 当 { }M x= 时记为 Nx ⊥ , . (2) 称 HE ? 为正交集 , 若任意 ,,, yxEyx ≠∈ 则 yx ⊥ . 若 2 此外 (,) 1xx= ,, Ex?? 称 E 为规范正交集 . 容易知道 , yx ⊥ 则 xy ⊥ , xx ⊥ 当且仅当 0=x . 对于任意集合 HNM ?, , 若 NM ⊥ , 则 {0}.MN∩? 定理 1 设 H 为内积空间 , HE ? 为正交集 .则对于 E 中任意有限 多个元 1 x n x,, ??? 和 ,,, 1 Φ∈??? n αα 2 11 2 2 nn xx xαα α++?+ ≤ 22 2 2 11 nn x xαα+???+ . (4-1-1) 从而若 E 不包含 0 元 , E 是线性无关集 . 证明 由正交性 2 11 nn x xαα+???+ ( 11 11 ,) nn nn x xx xαααα= +???+ +???+ ( ,1 ,) n ii jj ij x xαα = = ∑ 222 1 2 1 nn xx αα +???+= . 当 ),,1(0 nix i null=≠ 时 , 若 n αα ,, 1 null 不全为 0 , 则 11 nn x xαα+???+ 0,≠ 即 11 xα nn xα+???+ 0≠ . 定理 2 设 H 是内积空间 , HE ? 是规范正交集 , ,Hx∈ 则 (1) 对于任一组 ,,, 1 Eee n ∈null 22 1 ),( xex i n i ≤ ∑ = . (4-1-2) (2) 数集 {}Eeex ∈:),( 中至多有可数多个不等于 0 . 证明 null 1 设 1 (, ) , n nii i x xee = = ∑ 则 ),(0 2 nnn xxxxxx ??=?≤ 22 ),(),( nnn xxxxxx +??= 3 ∑ = ?= n i i exx 1 22 ),( . 故 2 1 2 ),( xex n i i ≤ ∑ = . 2 null 考虑集合 1 {:(,)}, j E eE xe j ? =∈ > .,2,1 null=j 由 (4-1-2) ， j E 中至多有有限多个元素，显然 1 j j EE ∞ = = ∪ ， 故得 （ 2） 。 推论 1 设 H 是内积空间， }{ n eE = 是 H 中的规范正交集，则 （ 1 ） 22 1 (, ) . n n x ex ∞ = ≤ ∑ （ Bessel 不等式） （ 4-1-3） （ 2） 0),( → n ex )( ∞→n 。 实际上，令 ∞→n ，由 (4-1-2 得到（ 4-1-3） .由级数的收敛性质 0),( 2 → n ex ，故 0),( → n ex ,（ 2）成立 . 思考题 1. 设 H 是内积空间 , )1(, ≥∈ iHyx i , 则 (1) { }:1 i x span y i⊥ ≥ 当且仅当 (1) i xyi⊥ ≥ . (2) { }:1 i xcoyi⊥ ≥ 当且仅当 (1) i xyi⊥ ≥ . 2. 设 H 是内积空间 , {}nie i ≤≤1, 是 H 中的规范正交集 , Hx∈ , 则 1 (, , ) n f α α =null ∑ = ? n i ii ex 1 α 关于达到极小值当且仅当 i α = ),( i ex , ni ≤≤1 . 定义 2 设 H 为内积空间 , { } n eE = 是 H 中的规范正交集 , Hx∈ . 4 （ 1） 对于每个 Ee n ∈ ，称 ),( n ex 为 x 关于 n e 的 Fourier 系数 . （ 2） 称（形式）级数 1 (, ) nn n x ee ∞ = ∑ 为 x 关于 E 的 Fourier 级数 . （ 3） 若 1 (, ) nn n x xe e ∞ = = ∑ 按空间 H 的范数收敛，称此级数为 x 关 于 E 的 Fourier 展开式。 定理 3 设 H 为内积空间 , { } n eE = 是 H 中的规范正交集 , Hx∈ , 则以下诸条件等价： （ 1） x span E∈ . （ 2） 1 (, ) nn n x xe e ∞ = = ∑ . （ 4－ 1－ 4） （ 3） ∑ ∞ = = 1 2 2 |),(| n n exx . （ Parseval 等式） （ 4－ 1－ 5） 证明 )2()1( ? 不妨设 ∈ n u span E ， ∑ = = n k i iin eu 1 α ， n ux→ . 取 ∑ = = n k i iin eexx 1 ),( ，则 ),(),( iin exex = , 即 xxe ni ?⊥ （ n ki ,,1 null= ） ， 从而 1 ((,) ( ) n k iiin i x ee x xα = ? ⊥? ∑ ，即 ()() nn n ux xx? ⊥?. 于是 2 xu n ? = 2 xxxu nnn ?+? = 2 nn xu ? + 2 xx n ?≥ 2 xx n ? , 从而 xx n n ? ∞→ lim ＝ xu n n ? ∞→ lim ＝ 0 . 所以 n n xx ∞→ = lim ＝ 1 lim ( , ) n k ii n i x ee →∞ = ∑ ＝ ∑ ∞ =1 ),( n nn eex . )3()2( ? 由（ 2） ， =x ∑ = ∞→ n i ii n eex 1 ),(lim 或者 n x x→ ，由内积关于 5 变元的连续性知道 ),(lim),( 2 nn n xxxxx ∞→ == = ∑ = ∞→ n i i n ex 1 2 |),(|lim = ∑ ∞ =1 2 |),(| n n ex . )1()3( ? 令 ∑ = = n i iin eexx 1 ),( ，由（ 3） ， 2 xx n ? ＝ 2 x － ∑ = n i i ex 1 2 |),(| ＝ 0|),(| 1 2 → ∑ ∞ +=ni i ex . 故 n n xx ∞→ = lim ，但 ∈ n x span E ，所以 x span E∈ 。 定理 3 说明， 要 x 关于正交集 E 的 Fourier 展开式成立，必须并 且只要 x 属于由 E 张成的闭线性子空间或者 x 关于 E 的 Parseval 等式 成立。 下面定理给出了得到规范正交集的方法。 定理 4 (Gram-Schmidt） 设 { n x }是内积空间 H 中一列线性无关元 素，则存在 H 中的规范正交集 {: 1} n Een= ≥ ，使得 1n? ≥ , span =≤≤ }1:{ nie i span }1:{ nix i ≤≤ . 证明 由 0≠ i x ，令 1 111 1 , y yxe y ==. 显然 span{}= 1 e span{ } 1 y = span{ } 1 x . 由 2 x 与 1 x（从而与 1 e ）线 性 无 关 ，令 2 2 211222 ,),( y y eeexxy =?= ， 则 0 2 ≠y . 又 0),(),(),( 121212 =?= exexey , 从而 21 (,)ee= 21 2 1 (,)0ye y = 并且 span{}= 21 ,ee span{ } 121 ,, exx = span{ } 21 , xx . 依照数学归纳法 , 不妨设 11 ,, ?n ee null 已定义并且 span{}=?≤≤ 11: nie i span{ }11: ?≤≤ nix i , 6 定义 n n ni n i innn y y eeexxy =?= ∑ ? = ,),( 1 1 , 则 0≠ n y . 否则 ∈ n x span{}11: ?≤≤ nie i = span{ }11: ?≤≤ nix i 与线性无关性相矛盾 . 当 11 ?≤≤ ni 时 , () ),(),(),(, 1 1 ji n i injnjn eeexexey ∑ ? = ?= =(,)(,)0 nj nj xe xe? = . 所以 1 (,) (,) 0. nj nj n ee ee y == 同时 {:1 } {, :1 1} ini span e i n span x e i n≤ ≤= ≤≤? = span{ }nix i ≤≤1, . {} n e 即是所需要的序列 . 定理 5（ Riesz-Fischer） 设 H 是 Hilbert 空间 , { } n eE = 是 H 的规 范正交集 . 对于任一标量序列 {} 2 1 , nn n αα ∞ = <∞ ∑ , 存在 x span E∈ 使得 1 nn n x eα ∞ = = ∑ , 并且 ),( nn ex=α . 证明 令 i n i in ex ∑ = = 1 α , 由 2 1 n n α ∞ = <∞ ∑ 知道 nm ≥ , ∞→n 时 , 0 1 2 2 1 2 →==? ∑∑ +=+= m ni i m ni iimn exx αα {} n x 是 Cauchy 序列， H 完备，不妨设 n n xx ∞→ = lim ，则 1 , nn n x eα ∞ = = ∑ x span E∈ 此外 , ),2,1(),(lim),( null=== ∞→ iexex iin n i α . 故 n n n eexx ∑ ∞ = = 1 ),( . 定义 3 设 H 是内积空间 , EH? 是规范正交集 . 7 (1) 称 E 是 H 的正交基 , 若 E 不能扩充为更大的规范正交集 . (2) 称 E 是完备正交集 , 若 Hx∈? , 记 { }1, ≥= neE nx 是使 0),( ≠ex 的 E 中元素全体 , 则 x 关于 x E 的 Parseval 等式成立 . 非 0 内积空间中规范正交集合以其包含关系构成半序集 .根据 Zorn 引理 , 其中存在极大规范正交集 . 换句话说 , 任一内积空间必存 在正交基 . 定理 6 设 H 是 Hilbert 空间 , E H? 是规范正交集 , 则以下条件 等价 : (1) E 是 H 的正交基 . (2) span E H= (3) ,x Hx?∈ 关于 x E 具有 Fourier 展开式 . (4) ,x Hx? ∈ 关于 x E 的 Parseval 等式成立 . (5) 1 ,,(,)(,)(,). nn n xy H xy xe ye ∞ = ?∈ = ∑ ( n e ∈ yx EE ∪ ). (6) 若 ,,x Hx E∈⊥ 则 0=x . 证明 (1)?(2) 若有 { }EspanHx \∈ , 记 { } nx eE = . 由 Bessel 不等式 , 22 1 (, ) n n x ex ∞ = ≤ ∑ . 根据 Riesz-Fischer 定理 , { }, x y span E?∈ 1 (, ) nn n yxee ∞ = = ∑ . 显然 yx ≠ , 设 yx yx e ? ? = 0 , 则 Ee ? 0 . 由于 ),(),( nn eyex = , 所以 0 (1,2,) n een⊥ = null . 对于每个 \,(,)0. x eEExe∈= 从而 (,) 0 n ee= , 又 (,) 0.ye= 所以 0 1 (,) [(,)(,)] 0( )ee xe ye e E xy =?=?∈ ? . 这说明 { } 0 Ee∪ 是比 E 更大的规范正交集 , 与 E 为正交基矛盾 . (2)? (3)? (4). 这是定理 3 中 HE = 的情况 . 8 (4)?(5). yx EE , 是可数集 , 故不妨设 { }.1: ≥=∪ neEE nyx 允许 某些系数为 0, 我们仍可根据 E 的完备性得到 11 (, ) , ( , ) nn nn nn x ee e y ye e ∞∞ == ∑∑ . 从而 )),(,),((),( 11 n nn nnn eeyeexyx ∑∑ ∞ = ∞ = = )),(,),((lim 11 i n i ii n i i n eeyeex ∑∑ == ∞→ = ),(),(lim 1 i n i i n eyex ∑ = ∞→ = ),(),( 1 n n n eyex ∑ ∞ = = (4-1-6) )6()5( ? . 若 ,( , ) 0, n xHxe∈=由 (5), 2 1 (, )(, ) nn n x xe xe ∞ = = ∑ 0= , 故 .0=x (6) ? (1). 若有 { } 0 E e∪ 是 H 的规范正交集并且 Ee ? 0 , 则 Ee ⊥ 0 从而 0 e 关于 E 的 Fourier 系数全为 0 但 0 0 ≠e , 与 (6)矛盾 . 整个定理得证 . 定理 6 中的 (6)有时称为 E 的完全性 . 当 H 不完备时 , (6)不必与其 他条件等价 . 定理 7 设 H 是 Hilbert 空间 , 则 (1) H 可分当且仅当 H 有可数正交基 . (2) 当 H 的正交基有可数无穷多个元时 , H 与 2 l 等距同构 . (3) 当 H 的正交基仅有有限多个元时 , H 与 n Φ 等距同构 . 于是本质上说来 , 可分 Hilbert 空间要么是 2 l , 要么是 n Φ . 证明 null 1 若 H 可分 , 设 null,, 21 xx 是 H 中的可数稠密集 . 从 1 x 开始 , 9 凡与前面诸元素线性相关的元素皆删去 , 剩下元素的全体构成线性无 关集 . 显然它的线性组合全体仍在 H 中稠密 , 利用 Gram-Schmidt 方法 将它们正交化得到规范正交集 E , 容易知道 { } {}HxspanEspan n == . 由定理 6, E 是 H 的正交基 . E 中有可数多个元 . 反之 , 若 H 的正交基有可数多个元 , 则其中任意有限多个元素的 有理系数 (或实部、虚部均为有理数的复系数 ) 线性组合在 H 中稠密 , 这些元素的全体至多为可数集 , 故 H 可分 . 2 null 若 E 是可数无穷集 , 定义 2 12 :,()(,),(,),),Hl x xexe xH??→= ?∈null ? 是线性映射 , 由 Riesz-Fischer 定理 , ? 是到上的 . ,, Hyx ∈? ),(),())(),(( 1 n n n eyexyx ∑ ∞ = =?? ),(),(lim 1 i n i i n eyex ∑ = ∞→ = )),(,),((lim 11 i n i ii n i i n eeyeex ∑∑ == ∞→ = )),(,),(( 11 i i i i ii eeyeex ∑∑ ∞ = ∞ = = ),( yx= . 特别地 , 若 ,yx = 则 .)( xx =? , ? 是等距的一一映射 , H 与 2 l 同 构 . null 3 (3) 是 (2) 的特殊情况 . 例 1 2 l 的标准基 { }1: ≥ne n 是它的正交基 . 这里 n e 的第 n 个坐 标为 1, 其余为 0. 例 2 考虑定义在 ]1,0[ 上的 Rademacher 函数序列 , () sin2 , [0,1] n n rt sign t tπ=∈ 1n≥ 10 容易验证 { }(): 1 n Ertn= ≥ 是 ]1,0[ 2 L 中的正交集 . 但这一正交集不是完 备的 . 事实上 , 0 () 1rt≡ 与所有 )(tr n 正交但不属于上述集合 , 定理 6 (6) 说明 {}1),( ≥ntr n 不完备 (即使添加 0 r 到 E 中仍得不到完备正交集 ). 为了得到由 E 扩展成的完备正交系 , 让我们考察 Haar 函数系 . (0) 0 () 1, 0 1;ht t= ≤≤ (1) 0 1 1, [0, ) 2 1 () 1, [ ,1) 2 0, t ht t ? ∈ ? ? ? =? ∈ ? ? ? ? ? 其他； ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∈? ∈ = 其他； ， ， 0 ) 2 1 , 4 1 [2 ) 4 1 ,0[2 )( )1( 1 t t th ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∈? ∈ = 其他； ， ， ,0 )1, 4 3 [2 ) 4 3 , 2 1 [2 )( )2( 1 t t th ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∈? ? ? ? ? ? ? ?? ∈ = ++ ++ .,0 2 2 , 2 12 ,2 2 12 , 2 22 ,2 )( 11 11 )( 其他 nn n nn n k n kk t kk t th nullnull ,2,1,2,,2,1 == nk n . { }null,2,1,0,21:)( )( =≤≤ nkth nk n 的正交性容易直接验证 . 它还是规范 正交系 . 为了验证它是完备的 , 由定理 6 (6), 只需验证 2 [0,1]fL?∈ , 11 若 nkhf k n ,,0),( )( ?= , 则 0=f . 实际上 , 由 () (, ) 0 k n fh = 可得出 ∫ + + ? ? = 1 1 2 12 2 22 0)( n n k k dttf , ∫ + + ? = 1 1 2 2 2 12 0)( n n k k dttf , .,2,1,0,2,,2,1 nullnull == nk n 定义 ∫ = 1 0 )()( dttftF , 由 f 的可积性 , )(tF 是连续函数 . 但上式表明 0) 2 ( = n k F , .,2,1,0,2,,2,1 nullnull == nk n 这种点在 ]1,0[ 上稠密 , 所以 10,0)( ≤≤= ttF , 从而 )(tf 几乎处处为 0. 故 Haar 函数系是 ]1,0[ 2 L 的完备正交基 . 例 3 现在考虑复空间 ],[ 2 ππ?L 与集合 { } int :0,1,2,en=±±null . 容易验证 ? ? ? = ≠ = ∫ ? .,2 ,,0 intint nm nm dtee π π π 于是 ? ? ? ? ? ? ±±== null,2,1,0: 2 1 int neE π 是 ],[ 2 ππ?L 的规范正交集 . 我们 验证 E 是正交基 . 为此要证明 , 若 ∈x ],[ 2 ππ?L , 0)( 2 1 ),( intint == ∫ ? ? dtetxex π π π ( null,2,1,0 ±±=n ), 则 () 0, ..x tae= 设 =)(ty .)( 2 1 ττ π π dx t ∫ ? 由可积性 , )(ty 是 ],[ ππ? 上的绝对连续 函数并且 () (), ..yt xtae′ = 注意到 ,0)1,( 2 1 )(,0)( ===? xyy π ππ 于是 ])()([ 1 )( intintint dtetyety in dtety ∫∫ ? ?? ? ? ′? ? ? = π π π π π π 12 ])()()([ 1 int dtetxyeye in inin ∫ ? ?? +?+? ? = π π ππ ππ 0= ( null,2,1,0 ±±=n ). 令 .)( 2 1 dtty ∫ ? = π π π α 则当 0=n 时 , =? ∫ ? ? dtety π π α int ])([ πα π π 2)( ? ∫ ? dtty .0= 若 ,0≠n 则 =? ∫ ? ? dtety π π α int ])([.0)( intint =? ∫∫ ? ? ? dtedtety π π π π α α?)(ty 是连续函数，根据 Weierstrass 定理 , ,0>?ε 存在三角多项式 ikt n nk k ets ? ?= ∑ = α)( ，使得 ].,[,)()( ππεα ?∈?<?? ttsty 于是 dtty 2 )( ∫ ? ? π π α dttyty ))(())(( αα π π ??= ∫ ? dttstyty ))()(())(( ???= ∫ ? αα π π ε< dtty ∫ ? ? π π α)( πε 2≤ 2 1 2 )( ? ? ? ? ? ? ? ∫ ? dtty π π α ， 即 .2)( 2 2 πεα π π ≤? ∫ ? dtty 0>ε 是任意的，故只有 α=)(ty ，从而 () () 0, ..x tyt ae′= = 推论 2 x? 2 [,]L π π∈? , 记 null () (, ) n x nxe= ，其中 int n ee= , 则 13 （ 1） () n n x xne ∞ =?∞ = ∑ null 以 ],[ 2 ππ?L 范数收敛 . （2) null 2 2 2 (). n x xn ∞ =?∞ = ∑ 思考题 设 }1|{| <= zD 是复平面中的单位圆， )( 2 DH 的定义如第一 章习题 20，验证 )(ze n ＝ 1?n z n π （ 1≥n ）是 )( 2 DH 的规范正交基.