《泛函分析》pdf讲义：泛函分析51

1 第五章 有界线性算子的谱理论 线性算子的谱理论是与解算子方程紧密联系的，它起源于代数方 程、线性方程组、积分方程和微分方程的特征值问题. 实际上在泛函 分析产生的早期, Volterra、Fredholm、Hilbert 等人就曾研究过这 样的问题, 同时它也是泛函分析中经久不衰的研究课题. 本章首先讨 论算子的正则性和谱的概念及其基本性质，然后着重叙述 Riesz-Schauder 关于紧算子的谱论和 Hilbert 空间上自伴算子的谱 论，最后介绍谱系和谱分解问题. 第 22 讲 有界线性算子的谱 教学目的：介绍有界线性算子谱的概念及谱的相 关性质。 讲解要点： 1 算子的正则性与谱的定义、谱集的分类。 2 谱半径公式，谱集的拓扑属性。 3 了解凸包与张成的子空间的概念与属性。 设 X 是线性赋范空间， )(XΒ 是 X 上全体有界线性算子构成的空 间，我们已经知道 )(XΒ 是线性赋范空间 . 实际上，在 )(XΒ 中还可以 引进另一种运算——算子的乘法 . 对于两个算子 ,(),AB BX∈ 规定 2 ))(()( xBAxAB = , .x X? ∈ 这种运算满足 CABBCA )()( = ACABCBA +=+ )( ， BCACCBA +=+ )( ， )()()( kBABkAABk == ， Φ∈k . 以 I 表示单位算子，则 AIAAI == . 若 || ||? 是 )(XΒ 上的范数，则 || AB|| ||A||≤ ||B|| ， ,(),A BBX? ∈ 由于 )(XΒ 中能够引进乘法运算并且具有以上性质，我们称 )(XΒ 是一 个赋范代数 , 称 I 为单位元 . 若 )(XΒ 还是完备的 , 则称其为 Banach 代数 . Banach 代数的概念也可以完全公理式地加以定义 . 不过 , 本质 上说来 , 任何一个 Banach 代数都可以看成某个空间上的算子代数 . 前面几章我们已经接触过逆算子的概念，并且知道当 A是线性算 子时，若 1? A 存在，则 1? A 也是线性算子 . 现在我们将从 )(XΒ 中元素 的角度进一步考察逆算子 . 定义 1 称 )(XA Β∈ 是正则算子，若 A是到上的， 1? A 存在并 且是有界算子 . 定理 1 设 X 是 Banach 空间， )(XA Β∈ ，则以下条件等价： (1) A是正则算子 . (2) 存在 )(XB Β∈ ， IBAAB == . 此时 B 即是 1? A . (3) A是到上的并且存在 0>α ， |||||||| xAx α≥ , .x X?∈ (4) A是一一的到上的 . 证 明 (1) ? (2). 若 A 是正则算子， 1? A 存在并且 3 )( 1 XA Β∈ ? ，取 1? = AB , 则 IBAAB == . (2) ? (3). 实际上 Xx∈? , 令 Axy = . 由 IBA= 知道 xBAxBy == ,于是 || || || || || ||x By B=≤|| || || ||yB= |||| Ax 又由 1|| | | |I A=≤ |||| B 知道 0|||| ≠B . 取 1 || ||B α ? = , 则从上式得到 |||||||| |||| 1 |||| xx B Ax α=≥ , x X? ∈ . 由 IAB = 知道 A是到上的 . (3)?(4). 若 0=Ax 知道 0=x , 故 }0{)( =AN . (4)?(1). 由 }0{)( =AN 知 A是一一的 ,于是 1? A 存在 , 又 A到 上 , 根据逆算子定理知 )( 1 XA Β∈ ? . 定理 2 设 )(, XBA Β∈ . (1) 若 A是正则算子 , 则 1? A 是正则算子并且 AA = ?? 11 )( . (2) 若 BA, 是正则算子，则 AB 是正则算子并且 111 )( ??? = ABAB . (3) 若 A是正则算子 , 则 * A 是正则算子并且 *11* )()( ?? = AA . 证明 null 1 A正则，故 )( 1 XA Β∈ ? 并且 IAAAA == ?? 11 . 由于 )(XA Β∈ ，从定理 1(2)知 1? A 正则并且 11 )( ?? = AA . null 2 由正则性的定义， )(, 11 XBA Β∈ ?? ，并且 IAAAA == ?? 11 ， IBBBB == ?? 11 ， 于是 IBBBAABABAB === ????? 11111 )())(( . IAAABBAABAB === ????? 11111 )())(( . 故 AB 正则并且 111 )( ??? = ABAB . null 3 由 )( 1 XA Β∈ ? ，故 *1 )( ? A 存在并且 )()( **1 XA Β∈ ? . 4 又 X IAAAA == ?? 11 ，于是对两边取共轭得到 * ***1*1* )()( X X IIAAAA === ?? . 故 *11* )()( ?? = AA . 以下我们就复空间进行讨论 . 这是为了充分应用复解析函数的 优越性质 . 注意对于赋范代数 ()XΒ , 关于算子 A的多项式 01 n n aI aA aA+++null 总是有意义的 . 甚至若干个算子的 (多元 )多项式也是有意义的 . 同时 算子幂级数 0 () no n n aA A I ∞ = = ∑ 的收敛性乃至算子函数 ()f A 的解析性 都可以加以定义 . 例如表达式 21 00 ,sin (1) !(21)! nn An AA eA +∞∞ == ? + ∑∑ 等在范数收敛意义下都代表 ()XΒ 中的元素 . 下面定理中出现的多项 式和幂级数也是如此的 . 定理 3(von Neumann) 设 X 是 Banach 空间， )(XA Β∈ , C∈λ , 若 || || | |A λ< ，则 AI ?λ 是正则算子 . 证明 令 ∑ = + = n i i i n A B 0 1 λ ，不妨设 α λ = || |||| A ，则 10 <≤α 并且 ∑∑ = + = + ≤≤ n i i in i i i n AA B 0 1 0 1 || |||| || |||| |||| λλ )1(|| 1 αλ ? ≤ |||||| 1 A? = λ . 于是 )(XB n Β∈ . 对于每个 Xx∈ ，若 nm > ，则 |||||||| 1 1 x A xBxB m ni i i nm ∑ += + ≤? λ |||| |||||| 1 x A n ? ≤ + λ α 0, ( , )mn→→∞ }{ xB n 是 Cauchy 序列，故 xB n n ∞→ lim 存在 . 由 Banach-Steinhaus 定理， 存在 )(XB Β∈ ，使得 5 BxxB n n = ∞→ lim , x X? ∈ . (5-1-1) 又 )(XA Β∈ ，故 )(XAI Β∈?λ . 对于每个 Xx∈ ， xBAIBxAI n n )(lim)( ?=? ∞→ λλ x A AI n i i i n ))((lim 0 1 ∑ = + ∞→ ?= λ λ x AA n i i in i i i n )(lim 0 1 1 0 ∑∑ = + + = ∞→ ?= λλ Ixx A I n n n =?= + + ∞→ )(lim 1 1 λ 即 IBAI =? )(λ . 另一方面，在式 (5-1-1)中，以 xAI )( ?λ 代替 x ，则 xAI A xAIB n i i i n ))((lim)( 0 1 ?=? ∑ = + ∞→ λ λ λ x AA n i i in i i i n )(lim 0 1 1 0 ∑∑ = + + = ∞→ ?= λλ Ixx A I n n n =?= + + ∞→ )(lim 1 1 λ 即 IAIB =? )(λ . 由定理 1(2)知， AI ?λ 是正则算子并且 1 )( ? ?= AIB λ . 换句话 说，在算子的点点收敛 (实际上也可证明在范数收敛 )意义下 ∑ ∞ = + ? =? 0 1 1 )( n n n A AI λ λ (5-1-2) 由 Banach-Steinhaus 定理的结论还知道 ||||||)(|| 1 BAI =? ? λ |||||| 1 ||||lim A B n n ? ≤≤ ∞→ λ 定理 3 的结论使得算子 AI ?λ 的正则性与复平面上的点联系起 6 来，由此我们可以将整个复平面上的点分为若干类型， 具体地说有如 下定义 . 定义 2 设 X 是复空间， XXA →： 是线性算子， C∈λ . (1) 若 AI ?λ 是正则算子，称 λ 是 A的正则点， A的正则点的 全体记为 )(Aρ ，称 )(Aρ 为 A的正则集 . (2) 若 AI ?λ 不是正则算子， 称 λ 是 A的谱点， A的谱点的全 体记为 )(Aσ ，称 )(Aσ 为 A的谱集 . (3) 特别地 , 若 AI ?λ 不是可逆的 (即 AI ?λ 不是一一的 )， 称 λ 为 A的特征值， A的特征值的全体记为 )(A p σ . (4) 若 AI ?λ 可逆，但不是到上的，而值空间 ()R IAλ ? 在 X 中 稠密，则称 λ 为 A的连续谱，连续谱的全体记为 )(A c σ ， (5) 若 AI ?λ 可逆， 而值空间 ()R IAλ ? 不在 X 中稠密， 则称 λ 为 A的剩余谱，其全体记为 () r Aσ . )(A p σ , )(A c σ , () r Aσ 分别称为 A 的点谱 , 连续谱和剩余谱集 . 此外 , 若 1 )( ? ? AIλ 存在，则称 1 )(),( ? ?= AIAR λλ 是 A的预解式 . 明显地 , 若 )(A p σλ∈ ，则存在 0≠x 使得 0)( =? xAIλ ， 此时称 x 是 A的相应于 λ 的特征向量 . 称 )( AIN ?λ 是 A的相应于 λ 的特征 向量空间 . 由定义还知道复平面 )()( AAC σρ ∪= 并且 () ()AAρ σ =?∩ . 另 外 )(A p σ ， (), (), cr AAσ σ 互不相交并且 () () () () pcr AAAAσ σσσ= ∪∪. 算子谱的概念和算子方程的解的状况有直接联系 .算子方程解的 存在性，唯一性乃至解关于所给初始条件的连续依赖性都可以由谱来 决定 . 7 定理 4 设 X 是 Banach 空间， )(XA Β∈ . (1) )(Aρλ∈ 当且仅当非齐次方程 ()I Ax yλ ?= (5-1-3) 对于任何 yX∈ 的解存在，唯一 . 此时存在常数 0>c 使得 || || || ||x cy≤ ，其中 x 是与 y 相应的 (5-1-3)的解 . (2) )(A p σλ∈ 当且仅当齐次方程 0)( =? xAIλ (5-1-4) 有非 0 解 . (3) () () cr AAλ σσ∈ ∪ 当且仅当齐次方程 (5-1-4)有唯一 0 解而相 应的非齐次方程 (5-1-3)不是对于每个 yX∈ 有解 . 证明 null 1 )(Aρλ∈ , 则 )()( 1 XAI Β∈? ? λ 并且 IAIAI =?? ? )()( 1 λλ ，故 11 ()()()x IA IAx IAyλλ λ ?? =? ?=? ， 并且 11 || || || ( ) || || ( ) ||xIAyIAλλ ?? =? ≤? || ||y 由于当 0y = 时 0=x ，故解是唯一的 . 反之，若所说的条件成立，当 0y = 时， 0=x ，即方程 0)( =? xAIλ 有唯一的 0 解或 }0{)( =? xAIN λ . AI ?λ 是一一映射， 1 )( ? ? AIλ 存在， ()I Ax yλ ?=对于每个 y 有解，故 AI ?λ 是到上的， 由定理 1(4)知 AI ?λ 是正则算子，即 )(Aρλ∈ . null 2 若 )(A p σλ∈ ，则 AI ?λ 不可逆 (不是一一的 ),于是存在 Xxx ∈ 21 , ， 21 xx ≠ ， 21 )()( xAIxAI ?=? λλ ，从而 0))(( 21 =?? xxAIλ ， 0 21 ≠? xx . 即齐次方程有非 0 解 . 反之若 Xx∈ ， 0≠x ， 0)( =? xAIλ ，但显然 00)( =? AIλ ，故 AI ?λ 不是 8 一一的， )(A p σλ∈ . null 3 齐次方程只有 0 解对应于算子 AI ?λ 是一一的 . 不是对于 每个 yX∈ 有解对应于 AI ?λ 不是到上的 . 故 (3)成立 . 定理 5 设 X 是 Banach 空间， )(XA Β∈ . 则 (1) )(Aρ 是开集 , (2) )(Aσ 是紧集 . 证明 null 1 若 )( 0 Aρλ ∈ ， AI ? 0 λ 是正则算子 . 我们证明只要 ||)(|| 1 || 1 0 0 ? ? <? AIλ λλ ， AI ?λ 也是正则算子，即 )(Aρλ∈ . 从而 )(Aρ 为开集 . 实际上 , 记 ||)(|| 1 0 ? ?= AIλθ || 0 λλ? ，则 10 <≤θ ，考虑序列 ii n i i n AIB )()()1( 0 )1( 0 0 λλλ ???= +? = ∑ ， 其中 11 0 )1( 0 ])[()( +?+? ?=? ii AIAI λλ . 若 nm > ，则 (1) 00 1 || || || ( 1) ( ) ( ) || m iii mn in BB IAλλλ ?+ =+ ?= ? ? ? ∑ |)(|||)(|| 0 1 11 0 i m ni i AI λλλ ??≤ ∑ += +? 1 0 1 || ( ) || 0 m i in IAλθ ? =+ =? → ∑ ),( ∞→nm 所以 }{ n B 是 )(XΒ 中的 Cauchy 序列 . )(XΒ 是 Banach 空间，故存在 )(XB Β∈ ， BB n n = ∞→ lim 或者 ii i i AIB )()()1( 0 )1( 0 0 λλλ ???= +? ∞ = ∑ (5-1-5) 现在 ||)()(|| n BAIBAI ??? λλ || ||I Aλ≤ ? || || n BB?→∞ 所以 9 n n BAIBAI )(lim)( ?=? ∞→ λλ ))()()1((·)(lim 0 )1( 0 0 ii n i i n AIAI λλλλ ????= +? = ∞→ ∑ )]()[(lim 00 AII n ?+?= ∞→ λλλ · ))()()1(( 0 )1( 0 0 ii n i i AI λλλ ??? +? = ∑ IAII nnn n =????= ++?+ ∞→ ])()()1([lim 1 0 )1( 0 1 λλλ . 同样地 IAIBAIB n n =?=? ∞→ )(lim)( λλ . 由定理 1(2)知， AI ?λ 是正则算子， )(Aρλ∈ . null 2 由 von Neumann 定理， 当 || || | |A λ< 时， AI ?λ 是正则算子， 故 )(Aσ 是平面 C 中的有界集，又 )(\)( ACA ρσ = 是闭集 . 所以 )(Aσ 是 C 中的紧集 . 定理 6( Gelfand-Mazur) 设 X 是非零 Banach 空间， )(XA Β∈ ， 则 ()Aσ ≠?. 证明 注意 ()Aλ ρ?∈ ， * )(Xf Β∈ ，则 ))(()( 1? ?= AIfF λλ 是复值函数 . 由定理 5 以及 f 的连续性， )()( BfF =λ ii i i AIf ))()(()1( 0 )1( 0 0 λλλ ???= +? ∞ = ∑ (5-1-6) 至少在 ||)(|| 1 || 1 0 0 ? ? <? AIλ λλ 时成立 . 于是， )(λF 是 )(Aρ 中的解析函数，若 ()Aσ =?，则 )(λF 在整 10 个复平面 C 上解析 .根据 von Neumann 定理，当 ||| |Aλ > 时， |||||| 1 ||)(|| 1 A AI ? <? ? λ λ . 故 0 |||||| |||| |))((| 1 → ? <? ? A f AIf λ λ ()λ →∞ (5-1-7) )(λF 在 C 上有界， 根据 Liouville 定理， )(λF 只能是常数 . 由式 (5-1-7) 必有 () 0,FCλ λ= ?∈ ，特别地 0)0( =F . 以上分析对于任何 * )(Xf Β∈ 成立 . 由于 X 是非 0 空间， )(XΒ 是非零 Banach 空间，从 ()Aσ =? 得 知 )(0 Aρ∈ , 从而 )( 1 XA Β∈ ? . 由 Hahn-Banish 定理 , 存在 * )(Xf Β∈ 使得 0||||)( 11 ≠= ?? AAf . 若 F 是与 f 相应的解析函数，将 0=λ 代入 )(λF 在 0 点的展开式便得到 0)()0( 1 ≠?= ? AfF ，这与 () 0F λ ≡ 矛盾 . 故 ()Aσ ≠?. 定义 3 称 ||max)( )( λ σλ A Ar ∈ = 为算子 A的谱半径 . 从几何观点看， )(Ar 就是复平面中以原点为中心，包含 )(Aσ 的 最小圆盘的半径 . 定理 7(Gelfand) 设 X 为 Banach 空间，则 n n n AAr ||||lim)( ∞→ = (5-1-8) 证明 null 1 首先我们证明右端极限存在并且等于 n n n A ||||inf 1≥ . 为 简便计，令 n n n Aa ||||inf 1≥ = . 显然地 1 lim || || inf || || nn nn A Aa ≥→∞ ≥=. (5-1-9) 11 另一方面 , 0>?ε ,存在 0 n ，使得 ε+< aA n n 0 0 |||| . 当 0 nn ≥ 时，记 sknn += 0 ， 0 0 ns <≤ . 则 0 || || || || kn sn AA + = 0 || || kn A≤ |||| s A 0 || || || || n ks AA≤ . 于是 n s n k n n n AAA |||||||||||| 0 ≤ n s n kn Aa ||||)( 0 ε+< ， 令 ∞→n ，则 0→ n s ， 1 0 → n kn ，从而 ε+≤ ∞→ aA n n n ||||lim . ε 是任意的，故 aA n n n ≤ ∞→ ||||lim . 总之， n n n n n n AaA ||||inf||||lim 1≥∞→ == . null 2 若 C∈λ ， a>|| λ ，则存在 0 n 和 0>ε 使得当 0 nn ≥ 时， || || | | n n Aaε λ<+< ，考虑级数 ∑ ∞ = + 0 1 n n n A λ , 由于 00 1 1||| || || || || nn nn nn AA λ λλ ∞∞ + == ≤ ∑∑ ∞< + ≤ ∑ ∞ = n nn a ) || ( || 1 0 λ ε λ 故存在 )(XB Β∈ ， ∑ ∞ = + = 0 1 n n n A B λ (5-1-10) 用类似于定理 5 的方法不难验证， IAIBBAI =?=? )()( λλ ，从而 1 )( ? ?= AIB λ ， )(Aρλ∈ . 这说明 n n n AAr ||||lim)( ∞→ ≤ , 并且 ∑ ∞ = + ? =? 0 1 1 )( n n n A AI λ λ (5-1-11) 12 null 3 由式 (5-1-11)，当 a>|| λ 并且 * )(Xf Β∈ 时 ∑ ∞ = + ? =? 0 1 1 )( ))(( n n n Af AIf λ λ (5-1-12) 于是 ))(( 1? ? AIf λ 在区域 }||{ a>λλ： 中解析 . 但由 null 2 ， )}(||{}||{ Ara >?> λλλλ ：： )(Aρ? ， 根据 Laurent 展开式的唯一性，式 (5-1-12) 即 ))(( 1? ? AIf λ 在 )}(||{ Ar>λλ： 上的 Laurent 展开式，由 Laurent 级数的性质， 0>?ε ， ∞< + ∑ ∞ = + 0 1 ))(( |)(| n n n Ar Af ε (5-1-13) 记 n n n Ar A B ))(( ε+ = ， 则 )(XB n Β∈ . 式 (5-1-13) 说明对于每个 * )(Xf Β∈ ， |)(| n Bf 有界 . 由共鸣定理，存在 M 使得 ∞<≤ MB n |||| . 所以 MArA nn ))((|||| ε+≤ ， ε+≤ ∞→ )(||||lim ArA n n n . 0>ε 是任意的，故 )(||||lim ArA n n n ≤ ∞→ . 总之， )(||||lim ArA n n n = ∞→ . 例 1 设 nn A Φ→Φ： 是线性算子， A对应于矩阵 nnij a × )( . 对应于 C∈λ ，要么行列式 0)det( ≠? AIλ ， 此时方程 ()I Ax yλ ?=对于任意 n y∈Φ 有唯一解，从而 )(Aρλ∈ . 要么 行列式 0)det( =? AIλ ， 则方程 0)( =? xAIλ 有非 0 解 . 总之， 有限维空间上的线性算子仅有点 谱 . 记 k λλ ,, 1 null 是其点谱全体，则 ||max)( 1 i ki Ar λ ≤≤ = . 13 例 2 设 H 是 Hilbert 空间 , )(HT Β∈ 是酉算子，则 () { | |1}TzCzσ ?∈ =： . 实际上，由于 T 满足 || || || ||Tx x= ， Hx∈? ，所以 || || 1T = . 由定理 3 知道 () { | |1}TzCzσ ?∈ ≤： . 若 1|| <λ ，则 || ( ) || || || | |TIx Txλ λ? ≥?|| || (1 | | ) || ||x xλ= ? ， 由此不难知道 I Tλ ? 是一一的并且 )( ITR λ? 是闭的 . 同样地， * T 也是 酉算子并且 ITIT λλ ?=? ** )( , 于是 ** || ( ) || || || | |TIxTxλ λ?≥? |||||)|1(|||| xx λ?= . 所以 IT λ? * 是一一的，即 }0{)( * =? ITN λ . 由第四章§ 3 定理 7， I Tλ ? 是到上的 . 从而 )(Tρλ∈ . 这说明 }1||{)( =∈? zCzT ：σ . 例 3 (左移算子 ) 考虑算子 22 llT →： ， ),,(),,( 3221 nullnull xxxxT = ， 2 21 ),,( lxxx ∈=? null . 容易计算出 || || 1T = ，所以 }1||{)( ≤? λλσ ：T . Cλ?∈ ， 1|| <λ ，若 令 ),,,1( 2 0 nullλλ=x ，则 22 0 ),,( lTx ∈= nullλλ ， 从而 00 xTx λ= 或者 0)( 0 =? xTIλ . 由于 0 0 ≠x ，所以 )(T p σλ∈ . 于是 {||1} () p Tλ λσ<?： }1||{)( ≤?? λλσ ：T . )(Tσ 是闭集，故 }1||{)( ≤= λλσ ：T . 现设 ||1λ = , 若 12 23 ()( , ,)0ITx x x x xλ λλ?=? ? =null 则 21 2132 1 1 ,,,,. n n xxxx xx xλλλ λ ? === =nullnull 当 1 0x ≠ 时 , 明显地 2 x l∈ , 于是只有 1 0x = 从而 0x = . 这说明 ()I Tλ ? 是一一的 , 故 (). p Tλσ∈ 14 2 yl?∈ 和 0ε > , 取 1 '(,,,) n yy y= nullnull 使得 2 'yy ε? < , 此时令 2 121 1 2 1 0, , , ( ) n nn n x xyx y y yλλ ? ?? ==? =?+ ++nullnull, 12 (, , )xxx= null , 计算表明 ()',I Tx yλ ? = 这说明 ()R ITλ ? 在 2 l 中稠密 , 所以 (). c Tλ σ∈ 总之 ( ) { | | 1}, ( ) { | | 1}. pc TTσ λλ σ λλ= <==;; 例 4 考虑复空间 [,]Cab，其中 ba, 有限，定义 :[,] [,]TCab Cab→ ， )())(( ttxtTx = ， [,]x Cab? ∈ 易知 T 为有界线性算子 . Cλ?∈ ，则 xtxTI )()( ?=? λλ ，当 0)( =? xTIλ 时，必须 0=x ， 故 )( TI ?λ 是一一映射，于是 () p Tσ =?. 若 ],[ ba∈λ ， [,]Cabα?∈ ，取 () () t xt t α λ = ? , 则 [,]x Cab∈ . 实际 上 1 || || sup | | atb x tλ≤≤ ≤ ? || ||α , α λ α λλ = ? ?=? t txTI )()( ， 所以 TI ?λ 是到上的， )(Tρλ∈ . 若 ],[ ba∈λ ， TI ?λ 仍然是一一的 . 我们证明 ()R ITλ ? 不在 [,]Cab中稠密 , 从而 () () [,]. r TTabσ σ= = 由于 ()()()(),I Txt txtλ λ?=? 故 ()R ITλ ? 中每个元素在 λ 点 的值为 0. 若 1 [,], () 2 ,yCabyλ ? ∈> 则 1 () () 2xy x yλλ ? ?≥ ? > , ()x RITλ? ∈? 这说明 ().yRITλ∈? 15 思考题 若将上面算子换成 22 [,] [,]Lab Lab→ 的算子, 试证明 () () [,], () () . cpr TTabTTσ σσσ== ==? 这说明如果所定义的空间改变了 , 谱集的情况也会跟着改变 . 定理 8 设 X 是复空间， )(XA Β∈ ， )(, Aρμλ ∈ ，则予解式满足 (1) ),(),()(),(),( ARARARAR μλλμμλ ?=? . (2) 若 )(XB Β∈ , BAAB = ,则 BARABR ),(),( λλ = . (3) ),(),(),(),( ARARARAR λμμλ = . 证明 null 1 μλ, 是正则点，故 ),(),( ARAR μλ ? 11 )()( ?? ???= AIAI μλ 11 ))(()( ?? ???= AIAIAI μμλ 11 ))(()( ?? ???? AIAIAI μλλ 11 )))(()(()( ?? ?????= AIAIAIAI μλμλ ),(),()( ARAR μλλμ?= . null 2 11 )()()(),( ?? ???= AIBAIAIABR λλλλ 11 ))(()( ?? ???= AIAIBAI λλλ BAR ),(λ= . null 3 由 ))(,(),()( AIARARAI ?=? λλλλ 知道 AARAAR ),(),( λλ = ，将 null 2 中的 B 当作 ),( AR λ 即得出所要的结论 . 定理 9 (谱映射定理 ) 设 X 为复空间， )(XA Β∈ . 若 )(λp 是复 变量 λ 的 n 次多项式，则 ))(())(( ApAp σσ = ， (5-1-14) 其中 )(λp 是将 λ 换为 A时相应的算子多项式，而 )}()({))(( ApAp σλλσ ∈= ： . 16 证明 若 )(Aσλ∈ ，不妨记 01 )( aaap n n +++= λλλ null ， )0( ≠ n a ， 则有 ),()()()( AQAIApIp λλλ ?=? ，其 中 ),( AQ λ 是 A的多项式，从而 是一个有界线性算子 . 假若 )()( ApIp ?λ 是正则算子，则 IApIpAQAI =?? ?1 ))()()(,()( λλλ ， IAQAIApIp =?? ? ),()())()(( 1 λλλ . 容易知道 )( AI ?λ 与 ),( AQ λ 以及 ),( AQ λ 与 1 ))()(( ? ? ApIp λ 都可交换， 所以由上式也可得出 ]))()()(,()[( 1? ?? ApIpAQAI λλλ = IAIApIpAQ =?? ? )]())()()(,([ 1 λλλ 亦即 λ 是 A 的正则点，矛盾 . 于是 ))(()( App σλ ∈ 或者 ))(())(( ApAp σσ ? . 反之，若 (()p Aμσ∈ ，则 0)()()( 1 ≠??=? λμλμλμ nn ap null ， )(Aσλ∈? . 从而 ),,1( ni i null=≠ μλ . 即每个 i μ 都是 A的正则点 . 此时 0)()()( 1 ≠??=? AIAIaApI nn μμμ null 必是正则算子 . 于是 (()p Aμσ∈ ， ))(())(( ApAp σσ ? . 思考题 若 ()TX∈B 是正则算子，则 11 (){: ()}.TTσλλσ ?? =∈