1
第 12 讲 Hahn－ Banach 延拓定理
教学目的
掌握线性 泛函延拓定理的证明思想及其推论。
授课要点
1、 实空间线性泛函的控制延拓定理。
2、 复空间线性泛函的控制延拓定理。
3、 保范延拓定理。
4、 延拓定理 的推论及其意义。
对于一个线性赋范空间来说，对它上面的线性泛函知道得越多，
对这个空间本身就了解得越多（参见第 9 讲思考题 1） . 有时候为了
某种目的，要求有满足一定条件的线性泛函存在， Hahn－ Banach 定理
为这样的线性泛函的存在提供了保证 .
定义 1 设
()DT 与 ( )
1
DT 分别是算子 T 与
1
T 的定义域，若
() ( )
1
DT DT? ，并且
1
,Tx Tx= ( )x DT?∈ ，则称算子
1
T 是 T 的延拓 .
定义 2 线性空间 X 上的实泛函
( )p x 称为是次可加的，若
()( ) ( )p xy px py+≤ + ， ,x yX? ∈
称为是正齐性的，若
() ( )p xpxαα= ，
x X? ∈ ， 0α ≥ .
显然线性空间上的每个半范数都是次可加正齐性泛函 .
定理 1（ Hahn－ Banach） 设 X 是实线性空间， :p XR→ 是 X
上的正齐性次可加泛函， M X? 是线性子空间，则
（ 1）对于 M 上定义的每个线性泛函
0
f ，存在
0
f 从 M 到 X 的延
2
拓 f ： X R→ ，
() ( )
0
f xfx= ， x M? ∈
（ 2）若 () ()
0
f xpx≤ ， x M? ∈ ，可选取 f 满足
() ( )f xpx≤ ， x X? ∈ ( )1
证 明 1
null
设 M X≠ ，取
0
\x XM∈ ，记 'M =span{ }
0
,x M ，则
x M′′?∈ ，
0
x xtx′=+ ，其中 x M∈ ， tR∈ . 此分解式是唯一的，否
则另有
110
x xtx′= + ，
1
x M∈ ，则 ( )
110
x xttx?=?? ，若
1
tt≠ ，则
1
0
1
x x
x
tt
?
=
?
M∈ ，与
0
x 的取法矛盾，于是
1
tt= ，并且
1
x x= .
对于任何常数 c，令
() ( )
0
f xfxtc′ =+，
0
x xtx′? =+ .
则容易验证 f 是 M′ 上的线性泛函 . 实际上 f 是
0
f 从 M 到 M′ 的延
拓，因为当 x M′∈ 时， 0t = ，从而
( ) ( )
0
f xfx′ = .
2
null
我们将证明当 x M?∈ ， ( ) ( )
0
f xpx≤ 时，适当选择 c，可使
() ( )f xpx
′′≤ ， x M′′?∈ .
实际上 ,x yM?∈，由于
() () ( ) ( )
00 0
f xfyfxypxy+=+≤+
( ) ( )
00
p xx px y≤?+ +，
即
() ( ) ( ) ( )
0000
f xpxx pxyfy??≤ +? ，
故存在 c满足
() ( )
00
sup
xM
f xpxx c
∈
??≤??
??
( ) ( )
00
inf
yM
p xyfy
∈
≤+?? ?
? ?
， ()2
3
我们将取这样的 c作成所要的线性泛函 .
此时若
0
x xtx′=+ ， 0t＞ ， 由 ( ) ( )
00
p xyfyc+ ?≥对于每个 yM∈
成立，用
1
tx
?
代替 y ，则
()( )
11
00
p xtx ftxc
??
+ ?≥，
从而
() ( ) ( ) ( )
00
f xfxtcpxtxpx′′=+≤+=.
若
0
x xtx′=+ ， 0t < ，由 ( ) ( )
00
f xpxx c? ?≤对于每个 x M∈ 成
立，用
1
tx
?
? 代替 x ，则
()( )
11
00
f tx p txx c
??
????≤，
即 () ( )
00
f xpxtx tc?++≥. 从而
( )() ( ) ( )
00
f xfxtcpxtxpx′′=+≤+=.
当 0t = 时， 显然 () ( ) ( ) ( )
0
f xfxpxpx′ ′==＜ . 故 f 是
0
f 从 M 到
M′上满足 ( )1 的延拓。
3
null
现在让我们应用 Zorn 引理完成定理的最后证明 .
设 G 是
0
f 的所有延拓的集合，即对于每个 gG∈ ，
（ 1） g 在 X 的子空间
g
M 上有定义，
g
M M? ，
（ 2） x M?∈ ， ( ) ( )
0
gx f x= ，
（ 3） () ()gx px≤ ，
g
x M∈ .
在 G 中规定半序： gg′≤ 当且仅当
g g
M M
′
? ，并且
() ( )gx g x
′=
()
g
x M∈ ，容易验证， G 确实是半序集 .
若
0
G 是 G 的全序子集，令
null
0
g
gG
M M
∈
=
∪
，当
g
x M∈ 时，定义
() ()hx gx= . 由于
0
G 是全序的，
null
M 为线性子空间：例如当
null
,x xM′∈
时，若
g
x M∈ ，
'g
x M′∈ ，不妨设
'g g
M M? , 则
null
g
x xM Mαβ′′+∈?，
此时
4
( ) ( ) ( ) ( )'h x x g x x gx gxαβ αβ α β
′′′′+= += +
( ) ( )hx hxαβ
′=+ ,
h 是线性泛函 . 显然
null
M M? 并且当 x M∈ 时， ( ) ( )()
0
hx gx f x== .
此外若
null
x M∈ ，不妨设
g
x M∈ ，则 ( ) ( ) ( )hx gx px=≤，从而 hG∈ ，
hg≥ ()
0
gG?∈ ， h是
0
G 的上界 .
根据 Zorn 引理， G 有极大元 f ， f 即是定理中所需要的延拓 . 为
此只需证明 .
f
M X= 如若不然，必存在
0
f
x XM∈ ，由 1
null
有 f G′∈ ，
f
M′ = span
0
{, },x M
ff
M M′ ≠ ，故 f f′≥ , f f′≠ ，这与 f 为极大元
矛盾 .
现在我们转到复空间上的线性泛函 f . 不妨设
( ) ( ) ( )
12
f xfxifx=+，
其中
12
,f f 分别是 f 的实部和虚部，根据 f 的线性，容易验证
12
,f f 是
实线性泛函 . 又由 f 的复线性以及实际计算得到
() ( ) ( ) ( )
12
if x f ix f ix if ix==+，
() ( ) ( )
12
if x if x f x=?.
从而 () ()
21
f xfix=? ，故
() ( ) ( )
11
f x f ix if ix=? ()2
由此知道， 复空间上任何复线性泛函可以通过它的实部表达出来 .
但应注意，对于实线性泛函
1
f ，一般来说 ( ) ( )
11
f ix if x≠ .
定理 2 设 X 是复线性空间， p 是 X 上的半范数 . 若 M 是 X 的
线性子空间，
0
f 是 M 上的复线性泛函，满足
() ( )
0
f xpx≤ ， x M? ∈ ，
则存在 X 上的线性泛函 F ，使得
() ( )
0
F xfx= ， x M? ∈ ，
5
() ( )Fx px≤ ， x X? ∈ . (3)
证 明 在 M 上，设 ( ) ( ) ( )
011
f xfxifix=?，把 M 看成实线性子
空间（同样的，把 X 看成实线性空间） ，由假设
() () ( ) ( )
11 0
f xfxfxpx≤≤≤， x M? ∈ ，
由定理 1，存在实线性泛函
1
:FX R→ ，使得
() ( )
11
F xfx= ， x M? ∈ ，
() ()
1
F xpx≤ ， x X? ∈ .
考虑复泛函 () ( ) ( )
11
F xFxiFix=? ，由于
()( ) ( )
11
F xy Fxy iFixiy+= +? +
( ) ( ) ( ) ( )
11 1 1
F xFyiFixiFiy=+? ?
( ) ( )F xFy=+， ,x yX? ∈
若 α 为实数，
( )()( )
11
F xFxiFixα αα=? ( ) ( )
11
F xiFixαα=? ()F xα=
又
( )()( )
11
F ix F ix iF x=?? ( ) ( ) ( )
11
iF x iF ix iF x=?=
由此，对于任意复数 ,α β 与任意 ,x yX∈ ，
( ) ( ) ( )F xy Fx Fyαβ α β+= +
F 是复线性的 . 若 x M∈ ，则
( )()( ) ( ) ( ) ( )
1111 0
F xFxiFix fxifix fx=? =?=
故 F 是
0
f 的延拓 . 若设 ( )
i
F xre
θ
= ，则
( )
i
Fe x r
θ?
= 为实数，此时
() ()( ) ( ) ()
1
iii
Fx Fe x Fe x pe x px
θθθ???
==≤=.
()F x 即是所要求的复线性泛函 .
定理 3 设 X 是（实或复）线性赋范空间， M X? 是线性子空
间，
0
f 是 M 上的连续线性泛函 . 则存在 X 上的线性泛函 f ，使得
6
() ( )
0
f xfx= ， x M? ∈ ，
0
f f= . (4)
（称 f 是
0
f 的保范线性延拓） .
证 明 令 ()
0
p xfx= ， ( )p x 是 X 上的半范数并且
() ( )
00
f xfxpx==， x M? ∈
在复空间情况，由定理 2 ，存在 X 上的线性泛函 f ，使得
() ( )
0
f xfx= ， x M?∈ ，并且
() ( )
0
f xpx fx≤= ， x X? ∈
在实空间情况，由定理 1，存在 X 上的线性泛函 f 使得
() ( )
0
() ,f xpxpx fx xX±≤±== ?∈.
从而 ()
0
f xfx≤ ，
0
f f≤ ， f 连续 . 另一方面，
( ) ( )
00
1, 1,
sup sup
xxM xxM
f fx fx
≤∈ ≤∈
==
( )
1,
sup
xxX
f xf
≤∈
≤=，
()5
总之，
0
f f= .
注意， ()5 说明了任一线性泛函（或算子）延拓后范数不会减少。
推论 1 设 X 是线性赋范空间，
0
x X∈ ，
0
0x ≠ ，则存在 f X
?
∈
使得 1f = ，
()
00
f xx= .
证 明 考虑子空间
{ }
0
;Mxαα= ∈Φ 和 M 上的线性泛函
()
00 0
f xxαα= ，
0
f 在 M 上连续 . 实际上，对于
0
,x xα=
()
000 0
()f xfx xxαα===，
所以
0
1f = . 又显然
()
00 0
f xx= ，由定理 3，存在 f X
?
∈ ， 1f = .
当 x M∈ 时
() ()
0
f xfx= ，特别地，
( ) ( )
0000
f xfx x==.
推论 2 设 X 是线性赋范空间，
12
,x xX∈ ，
12
x x≠ ，则存在
7
f X
?
∈ ， () ()
12
f xfx≠ .
证明 由
12
0xx?≠，根据推论 1 ，存在 f X
?
∈ ，
()
12 12
0fx x x x?=?≠，故 ( ) ( )
12
f xfx≠ .
从直观上说，推论 1 表明，对于一个非零线性赋范空间，一定存
在非零连续线性泛函 . 推论 2 则表明非零连续线性泛函是足够多的，
以至于每两个不同的点都可以由某个连续线性泛函区分开来 . 有时简
单的说， X
?
在 X 上可以区分点 .
推论 3 设 X 是线性赋范空间，
12
,x xX∈ ，若对于任何 f X
?
∈ ，
() ( )
12
f xfx= ，则
12
x x= .
这是由推论 2 的逆否命题 .
推论 4 设 X 为线性赋泛空间，
0
x X∈ ，则
( )
00
1
sup
f
x fx
≤
= . ()6
证 明 首先由 1f ≤ ，则
( )
00
f xfx≤
0
x≤ ，
于是 ()
00
1
sup
f
f xx
≤
≤ . 再由推论 1 ，存在 f X
?
∈ ， 1f = ，
()
00
f xx= ，故
( )
00
1
sup
f
x fx
≤
≤ ,
从而等式
()5 成立 .
