1
第 24 讲 自伴算子的谱论
教学目的：掌握自伴算子谱的特征。
讲解要点：
1 自伴算子数值值域的特征。
2 自伴算子构成的算子方程与共轭算子构成的算子
方程解的关系。
3 紧自伴算子的投影算子分解。
本节我们讨论复 Hilbert 空间上的自伴算子 .
定理 1 若 H 是 Hilbert 空间， )(HA Β∈ ，
*
A 是 A的共轭算子，
则
(1) )}(:{)(
*
AA ρλλρ ∈= ，
)}(:{)(
*
AA σλλσ ∈= （ 5-3-1）
(2) 若 x 是 A的相应于 λ 的特征向量， y 是
*
A 的相应于 μ 的特
征向量， μλ ≠ ,则 yx ⊥ .
证明
D
1 只须证明第一式，若 )(Aρλ∈ ， AI ?λ 为正则算子，此
时
*
()I Aλ ? =
*
I Aλ ? 正则， 故 )(
*
Aρλ ∈ ，
*
{: ()} ( )AAλλ ρ ρ∈?.
但 AA =
**
)( ，于是 )()()}(:{
***
AAA ρρρλλ =?∈ ，两端取复共轭
得到 )}(:{)(
*
AA ρλλρ ∈? ，从而得到等式 .
D
2 若 0)( =? xAIλ , 0)(
*
=? yAIμ ， 0≠x ， 0≠y ，则
),(),(),(),(
*
yAxyAxyxyx === λλλ
),(),( yxyx μμ == .
于是 0),)(( =? yxμλ ， μλ ≠ ，故 0),( =yx . 从而 yx ⊥ .
定理 2 设 H 是 Hilbert 空间， )(HA Β∈ 是自伴算子 .
2
(1) A的谱点都是实数 ,特别地 A的特征值都是实数 .
(2) 对应于不同特征值的特征向量彼此正交 .
(3) () .
r
Aσ =?
证明
D
1 Cλ?∈ , ,x X∈ 由自伴性 ,
22
2
(( ) , ) ( ,( ) ) ( , ) ( , )
2Im
I A x x x I A x x Ax x x x Ax
ix
λλλλ
λ
???=??+
=
这里 Imλ 是 λ 的虚部 . 于是
2
2Im ((),)(,())2()x IAxx x IAx IAxxλλ λ λ≤? + ?≤ ?
或者
()Im.I Ax xλλ?≥
由此知当 Im 0λ ≠ 时 I Aλ ? 是一一的 . 此外令 ()I Ax yλ ? = , 则
1
1
()ImI Ay yλλ
?
?
?≤ ,
1
()I Aλ
?
? 是有界的 . 此时 I Aλ ? 的共轭 I Aλ ? 也是一一的 , 由第四
章§ 3 定理 6 ().R IA Hλ ? = 根据
1
()I Aλ
?
? 的有界性 ,
().R IA Hλ ?= 于是 I Aλ ? 是正则的 . 矛盾即说明 Im 0λ = ,
() .ARσ ?
D
2 A是自伴算子， AA =
*
，若 yx, 是相应于 μλ, 的特征向量，
由
D
1 ， μλ, 为实数， μλ ≠ ，既是 μλ ≠ . 由定理 1(2)即得到所要的
结论 .
3
D
若 (),
r
Aλ σ∈ 由
D
1 , λ 是实数 , 从而 ()*I AIAλ λ? =?. 由
于 ()R IA Hλ ?≠,由第四章§ 3 定理 6,
()NIAλ ? = (){0},RIAλ
⊥
?≠
于是 (),
p
Aλ σ∈ 矛盾 .
为了更精细地考察自伴算子谱点的特性，我们引进下面概念 .
定义 设 H 为 Hilbert 空间， )(HA Β∈ ，称集合
}1||||,:),{()( =∈= xHxxAxAω （ 5-3-2）
3
为 A的数值值域 . 称 ||sup
)(
μ
ωμ A
A
R
∈
= 为算子 A的数值半径 .
定理 3 设 H 是 Hilbert 空间， )(HA Β∈ 是自伴算子，则
(1) )()( AA ωσ ? ，特别地 )(Aσ ， )(Aω 都由实数构成 .
(2) ||||||sup
)(
A
A
=
∈
μ
ωμ
.
证明
D
1 注意 (,)Ax x 是实数 , 我们证明若 ()Aλω∈ ，则
()Aλσ∈ . 设 ||inf))(,(
)(
μλωλρ
ωμ
?==
∈ A
Ad ， 则 0>d . Hx∈? ， 0≠x
时
22
||||)
||||
),
||||
((|||| x
x
x
x
x
Axd ?≤ λ
|(,)( ,)|x xAxxλ= ?
|(( ) , )|I Axxλ= ?
|| ( ) |||| ||I Ax xλ≤ ? .
于是
||)(|||||| xAIxd ?≤ λ （ 5-3-3）
若 )( AIRy
n
?∈ λ ，
0n
yy→ . 不妨设
nn
xAIy )( ?= λ ，这里
Xx
n
∈ . 由式（ 5-3-3） }{
n
x 是 Cauchy 序列， H 完备，不妨设
0n
x x→ .
由 AI ?λ 的连续性得到
00
)( xAIy ?= λ ， 故 )(
0
AIRy ?∈ λ ， )( AIR ?λ
是闭子空间 .
I Aλ ? 是到上的 . 若不然由 Riese 表现定理 , 存在 ,1yHy∈ = 使
得 x H?∈ , (( ) , ) 0IAxyλ ?=. 特别地 , (( ) , ) 0IAyyλ ? = , 于是
2
(,) (),yAyy Aλλ ω== ∈
与所设矛盾 . 于是 I Aλ ? 既是一一的 ,又是到上的 , 由逆算子定理 ,
1
()I Aλ
?
? 是有界的 . 所以 ().Aλ ρ∈ (1)成立 .
D
2 )(Aωμ∈? , 存在 Hx∈ ， 1|||| =x ， ),( xAx=μ . 于是
2
|||( ,)|Ax x A x Aμ =≤=，
故 ||||||sup
)(
A
A
≤
∈
μ
ωμ
.
4
另一方面，设 ||sup
)(
μ
ωμ A
a
∈
= ，则
2
|( , )| || ||Ax x a x≤ .由极化恒等式
知
)),(()),((),Re(4 yxyxAyxyxAyAx ???++=
于是
|4Re( , )| |( ( ), )| |( ( ), )|Axy Axyxy Axyxy≤ +++ ??
22
|||||||| yxayxa ?++≤
)||||||(||2
22
yxa += .
后者利用了内积空间的平行四边形公式 .
若 0≠Ax ,取 1|||| =x ,
|||| Ax
Ax
y = 则
|| || ( , ) Re( , )
|| || || ||
Ax Ax
Ax Ax Ax
Ax Ax
==
a
Ax
Ax
x
a
=+≤ )
||||
||||
||(||
2
2
2
2
当 0=Ax 时，此式自然成立，故 ||sup||||
)(
μ
ωμ A
aA
∈
=≤ .
定理得证 .
定理 4 设 H 是 Hilbert 空间， )(HA Β∈ 是自伴算子，则
)(, AmM σ∈ , 其中
μ
ωμ )(
sup
A
M
∈
= ， μ
ωμ )(
inf
A
m
∈
= ，
证明 这里仅证明 )(AM σ∈ ，对于 )(Am σ∈ 可类似证之 .
设 AMIB ?= ，则
),(),(),( xAxxxMxBx ?= , Hx∈? .
根据 M 的定义 ,显然 0),( ≥xBx 并且
0),(inf
1||||
=
=
xBx
x
. (5-3-4)
现在 ,若 t是任一实数 , 则
0)),(( ≥++ xtBxxtBxB ,
5
即
0),(),(),(),(
222
≥+++ xBxxxBtBxBxtBxxBt
由 B 的自伴性得到
0),(),(2),(
22
≥++ xBxBxBxtBxxBt
各项系数均为实数 ,故
),)(,(),(
22
xBxBxxBBxBx ≤ (5-3-5)
于是
|),(|||||||||),(||||
2324
xBxxBBxBxBx ≤= ,
由 (5-3-4),
0||||inf
1||||
=
=
Bx
x
(5-3-6)
若 B 是一一的并且到上的 , 由本章§ 1 定理 1, 存在 0>a , 使得
Hx∈? , |||||||| xaBx ≥ . 从而 0||||inf
1||||
>≥
=
aBx
x
, 与 (5-3-6) 矛盾 , 故
)(AM σ∈ .
推 论 设 H 是 Hilbert 空间， )(HA Β∈ 是自伴算子 . 若
A
r 是 A
的谱半径 ,
A
R 是 A的数值半径 ,
AA
r
*
是 AA
*
的谱半径 , 则
(1) |||| ARr
AA
==
(2)
2
||||
*
Ar
AA
=
证 明
D
1 实际上由定理 4,
()
max( ,| |) sup | |
A
A
M mr
λσ
λ
∈
≤ = , 故
A
A
A
rmMR ≤==
∈
|)||,max(|||sup
)(
μ
ωμ
但显然
A
AA
A
Rr =≤=
∈∈
||sup||sup
)()(
μλ
ωμσλ
. 再由定理 3 得到
|||| ARr
AA
== .
D
2 注意到 AA
*
是自伴算子 , 由
D
1 得到
2*
||||||||
*
AAAr
AA
== .
后一等式是根据第四章§ 3 定理 6(4).
例 1 设 H 是 Hilbert 空间 , E H? 是闭子空间 , {0}, .E H≠ 考
6
虑投影算子 :,PH E→ 由于 ,{0},HEEE
⊥⊥
=⊕ ≠ 故存在
,1,xEx∈=
22
(,)Px x Px x== 1= . 又存在 ,x E
⊥
∈ 1,x =
0, ( , ) 0.Px Px x== 于是 0( ,)1.Px x≤ ≤ 由定理 4,
{0,1} ( ) [0,1].Pσ??
上述事实也可以写成 ()0IPx?=或 0Px = , 于是 0,1 ( ).
p
Pσ∈
若
12
01,x xxλ<< =+ 是正交分解 ,
12
,x Ex E∈ ⊥ , 则
()0IPxλ ?=即
1
(1)xλ?
2
xλ+ 0= , 故必有
12
0,x xx IPλ= == ?是
一一的 . 另一方面 , ,yH?∈ 若
12
yyy= + 是到 E 的正交分解 , 取
12
1
yy
x
λ λ
=+
?
, 则 ()I Px yλ ?=, I Pλ ? 是到上的 . 于是 ().Pλ ρ∈
总之 () () {0,1}.
p
PPσ σ= =
下面我们讨论紧自伴算子的谱 .
定理 5 设 H 是 Hilbert空间， A是紧自伴算子 . ,M m如定理 4, 若
0≠M (或 0≠m ), 则 M (或 m )是 A的特征值 .
证 明 现只证 M , 对于 m 可类似证明之 .
设 0≠M ，记 AMIB ?= ，由定理 4 的证明知道（ 5-3-6）成 立 . 故
存在 Hx
n
∈ ， 1|||| =
n
x ， 0||||lim =
∞→
n
n
Bx . A 紧，于是有子列
k
n
x ，
0
k
n
Axx→ . 由
nnn
AxMxBx ?= 知
0
k
n
Mxx→ ，于是
0
Ax =
lim
k
k
n
n
MAx
→∞
0
Mx= . 又
0
|| || lim || || 0
k
n
k
xMxM
→∞
= =≠， 故 M 是 A的特征
值 , ()
p
M Aσ∈ .
定理 6 设 H 是 Hilbert 空间， A是紧自共伴算子 .
(1) 存在有限或无穷非零实数序列 }{
n
λ ,
n
λ 是 A的特征值 ,
12
||||λ λ≥≥ " " .
若 }{
n
λ 是无穷的 , 则 0
n
λ → . 相应地存在规范正交序列 }{
n
e ,使得
nnn
eAe λ= 并且对于每个 Hx∈ ,
7
nn
n
n
eexAx ),(
1
∑
∞
=
= λ (5-3-7)
(2) 若
n
P 是 H 到由
n
e 张成的线性子空间上的投影算子 ,则
∑
∞
=
=
1n
nn
PA λ (5-3-8)
(3) 若 0 不是 A的特征值 , 则 }1:{ ≥ne
n
是 H 的正交基 .
证明
D
1 不妨设 0≠A , 若
1
max{| |,| |} || ||M mAλ = = ,由定理
5,
1
λ 是特征值 . 设
1
e 是相应的特征向量 , 1||||
1
=e ,
111
eAe λ= . 令
}{
11
espanQ = , }:{
11
exHxH ⊥∈= ,则
1
Q ,
1
H 是 H 的闭线性子空间 ,
并且
11
)( HHA ? . 实际上 ,若
1
Hx∈ , 则
0),(),(),(
1111
=== exAexeAx λ .
所以
1
HAx∈ .
于是
1
H 仍然为 Hilbert 空间 .定义
!
|
1 H
AA = , 显然
1
A 仍是在
1
H 上
的紧自共轭算子 .若 0
1
=A , 则 Hx∈? , 根据投影定理 ,
11
hqx += , 其
中
11
Qq ∈ ,
11
Hh ∈ . 此时
0
1111
+=+= qAhAqAx λ
1111111
),(),( eexeeq λλ ==
若 0
1
≠A , 则 0||||
1
≠A . 取 0||||
12
>= Aλ , 此时
1
112
| | || || || | || || || | |
H
AA Aλ λ=≥ ==, 由定理 5,
2
λ 为特征值 . 不妨设
12
He ∈ , 1||||
2
=e ,
2221
eeA λ= ,
},{
212
eespanQ = , }:{
22
QxHxH ⊥∈= ,
此时同样有
22
)( HHA ? . 若 0|
2
12
==
H
AA , 类似于上面的证明
222111
),(),( eexeexAx λλ += , Hx∈? ,
若 0
2
≠A , 继续以上过程作出 ",
3
A , 如果在有限次之后 , 有
0=
n
A , 则
ii
n
i
i
eexAx ),(
1
∑
=
= λ (5-3-9)
8
定理 6(1)成立 . 否则 , }{
n
λ 是无穷的 , 并且
12
||||λ λ≥≥ " . 由
n
Q
与
n
H 的定义 , 对应的特征向量 }{
n
e 两两正交 ,其中
nnn
eAe λ= . 此时
必有 0
n
λ → . 若不然 , 例如 0|| >≥δλ
n
对于无穷多个 n 成立 , 由于
)( mnAeAe
mn
≠⊥ , 则
22 2
|| || || || || ||
nm n m
Ae Ae Ae Ae?= +
02||||
222
>≥+= δλλ
mn
与 A的紧性矛盾 .
现在设 }1:{ ≥=
∞
nespanQ
n
, }:{
∞∞
⊥∈= QxHxH ,则 0| =
∞
H
A .
实际上若
∞
∈Hx ,
∞
⊥Qx 从而
n
Qx ⊥ , ),2,1( "=∈ nHx
n
, 则
nn
HHA ?)( ,
2
|||||||||),)|)((,( xAxxAxAx
n
HH
≤
∞
2
| ||| || 0
n
xλ= → .
于是
∞
∈? Hx , 0),( =xAx . 将 A看成 Hilbert 空间
∞
H 上的自共轭算子 ,
直接应用极化恒等式得到 0| =
∞
H
A . Hx∈? , 令
∞∞
+= hqx , 其中
∞∞
∈Qq ,
∞∞
∈Hh , 则
Ax Aq Ah
∞ ∞
= +
∑
∞
=
∞
+=
1
0)),((
n
nn
eeqA
∑
∞
=
∞
=
1
),(
n
nn
Aeeq
∑
∞
=
∞
=
1
),(
n
nnn
eeqλ
∑
∞
=
=
1
),(
n
nnn
eexλ
D
2 设
n
P 是从 H 到由
n
e 张成的线性子空间上的投影算子 , 则
nnn
eexxP ),(= .
若
n
λλ ,,
1
" 为有限多个 , 由式 (5-3-9)
xPeexAx
n
i
iiii
n
i
i
)(),(
11
∑∑
==
== λλ ,
于是
∑
=
=
n
i
ii
PA
1
λ .
9
若 }{
n
λ 是无穷的 , 则
2
1
1||||
2
1
||||sup||||
∑∑
=
=
=
?=?
n
i
ii
x
n
i
ii
xPAxPA λλ
2
1
1||||
||),(||sup
∑
∞
+=
=
=
ni
iii
x
eexλ
2
1
2
1||||
|),(|||sup
∑
∞
+=
=
≤
ni
ii
x
exλ
22
1
|| || 1
1
||sup|(,)|
ni
x
in
x eλ
∞
+
=
=+
≤
∑
2
1
||0
n
λ
+
≤ →
故
∑∑
∞
==
∞→
==
11
lim
i
ii
n
i
ii
n
PPA λλ .
D
3 若 0 不是 A 的特征值 , A 是一一映射 . Hx∈? , 若
),2,1( "=⊥ nex
n
, 则
1
(, ) 0
nnn
n
Ax x e eλ
∞
=
= =
∑
, 由此得到 0=x . 由
第四章§ 1 定理 6, }1:{ ≥ne
n
是 H 的正交基 .
例 2 对于第二型 Fredholm 积分方程
()x t =
1
0
(, ) ( ) ()Ktsxsds ytλ +
∫
(5-3-10)
其中 K 作为二元函数在 ,atsb≤ ≤ 上平方可积 ,
2
[,]yLab∈ , 0λ ≠ .
(5-3-10)可以简单地记为
()I Ax yλ? = (5-3-11)
(或 (
11
)I Ax yλ λ
??
?= )), 其中
()Axt =
1
0
(, ) ( )Ktsxsds
∫
,
2
[,]x Lab?∈
即使第二型 Fredholm 积分算子 . 由第三章 §3 的知识 , A是紧算子 . 当
(,) (,)Kst Kts= 时 , A是自伴算子 . 现在假定 A是非 0 自伴算子 .
由于 A 是紧的 , 根据上节的知识 , 要么 (5-3-11) 对于任何
2
[,]yLab∈ 有唯一解 , 要么齐次方程 ()0IAxλ? = 有非 0 解 . 在前一
10
种情况 , 根据自伴性 , 存在至多可列个实数 ,
n
λ λ≠
n
λ 是 A的特征值 ,
以及相应的特征向量
n
? , 利用正交化方法 , 不妨设 {; 1}
n
n? ≥ 就是规
范正交系 , 显然 {; 1}
n
n? ≥ 还是正交基 . 于是由定理 6
2
11
(,) (,), [,]
nn n nn
nn
Ax Ax x x L a b?? λ ??
∞∞
==
?∈
∑∑
其中级数按照
2
L 中范数收敛 . 将 (5-3-11)两端关于
n
? 取内积得到
(1 )( , ) ( , )
nn n
xyλλ? ??= 或
1
(, ) (1 ) (, )
nnn
xy? λλ ?
?
=?
所以
? =
1
11
(, ) (1 )(, )
nn n nn
nn
y? ?? λλ ??
∞∞
?
==
=?
∑∑
是 (5-3-11)的解 .
在第二种情况 , 对应地有若干个 1,
n
λ λ = 而相应地 (, ) 0,
n
y ? =
直接验证表明形如
1
11
(1 ) ( , )
nn
nn n n n
cy
λλ λλ
? ?λλ?
?
=≠
=+?
∑∑
的函数都是 (5-3-11)的解 , 其中
n
c 是任意常数 .
