1
第 23 讲 紧算子的谱论
教学目的：掌握紧算子谱的特征。
讲解要点：
1 紧算子谱的特征。
2 紧算子构成的算子方程与共轭算子构成的算子方
程解的关系。Freidholm 择一定理。
紧算子是一大类有界线性算子, 线性代数和积分方程中遇到的很
多算子都是紧算子. 本节我们叙述关于紧算子谱的 Riesz -Schauder
理论. 为此，我们做一些必要的准备.
设 X 是 Banach 空间， ()CX是 X 中的紧算子的全体.
引理 1 设 X 是 Banach 空间， N ? X 是有限维子空间，则 N 是
可余的，即存在闭子空间 M 使得 X = M ⊕ N .
证明 N 是闭的，设
1
,,
n
ee??? 是 N 的一组基，对于每个 ,x N∈
11
() ()
nn
x axe axe= +???+ ,
此表达式是唯一的. 容易验证，
1
(), , ()
n
ax ax??? 是 N 上的线性泛函并且
每个
1
()ax是连续的.实际上， () 0
i
ax= 当且仅当
11 1 1 1 1
() () () () ,
iiii nn
x axe a xe a xe axe
??++
= +???+ + +???+
故
111
() {, , , , ,}
iiin
Na spane e e e
?+
=?? ?为 1n? 维闭子空间.
i
a 在 N 上定义，根据 Hahn-Banach 定理，
i
a 可延拓到整个空间 X
上.记延拓后的泛函为
**
1
,,
n
aa??? ，设
*
1
(),
n
i
i
M Na M
=
=∩ 是闭线性子空间.
我们证明 .XMN=⊕
2
若 ,x MN∈∩ 则一方面对于每个 ,(),()0,
ii
ix Na a x∈ = 又
,x N∈ 故
11
() ()
nn
x axe axe= +???+ = 0,
即 {0}.MN∩= 另一方面， ? ,x X∈ 记
'* *
11
() () ,
nn
x axe axe=+? 则
'
x N∈ 并且
*'* *'* *
( ) () ( ) () () 0
iiiii
axx ax ax ax ax?= ? = ? =， 1, .in= ???
于是
'
',yxxMx=?∈ 有分解
''
.x xy= + 所以 .XMN= ⊕
引理 2 设 X 是 Banach 空间， (),A CX∈ ,0,Cλ λ∈ ≠ 则
()NIAλ ? 是有限维的， ()R IAλ ? 是 X 的闭线性子空间.
证明 1
null
考虑 (),NNIA IAλ λ= ??是有界线性算子，故 N 是
闭线性子空间. ? ,,x NAx xλ∈= 即 ()A NNNλ= = . A是紧算子，
设 {}
n
x 是单位球中的任一序列，则 {}
n
x
λ
是有界序列， () .
n
n
x
A x
λ
= 于是
{}
n
x 中有子序列 {}
k
n
x 收敛. 这说明 N 的闭单位球是紧的，从而 N 是
有限维的.
2
null
由引理 1，存在闭线性子空间 ,M XMN= ⊕ , 我们证明
()M RIAλ=?.
定义算子 :,B MXBxxAxλ→=?.由于 XMN= ⊕ ，在 N 上，
0IAλ ?=，故 () ( )R BRIAλ=?. B 是一一的，实际上若
1212
,, ,BxBxxxM=∈则
12
()()I Ax I Axλ λ?=?，或
12
()()0IAxxλ ? ?=，
故一方面
12
,x xM?∈ 另一方面
12
()x xNIANλ? ∈?=，所以
12 1 2
0,x xxx?= =.
现在我们证明存在 0, || || || ||, .aBxaxxM>≥?∈ 否则，存在
,
n
x M∈
1
|| || || ||
nn
Bxnx
?
< ，不失一般性设 || || 1
n
x = ，则
1
|| ||
n
Bxn
?
< . A是紧的，
故有子列
0
,.
kk
nn
x Ax x X→∈ 但
kkk
nnn
AxxBxλ= ? ，由 0
k
n
Bx → 知
3
0
().
k
nk
xxnλ →→∞ 于是一方面由 B 的连续性，
0
lim 0.
k
k
n
n
Bx Bxλ
→∞
= =
另一方面，
0
|| || lim || || | | 0,
k
k
n
n
xxλ λ
→∞
==≠ 矛盾说明 a是存在的.
若
n
y 是 ()R B 中的 Cauchy 序列，不妨设 ,,
nnn
yBxxM= ∈ 则
|| ||
mn
yy? || ( ) || || ||,
mn mn
B xx axx= ?≥ ?
{}
n
x 是 M 中的 Cauchy 序列， M 闭，故存在
00
,.
n
x Mx x∈ → 令
00
,yBx= 则
000
(), . ()
n
yRBBx BxyRB∈→=是闭的，所以 ()R IAλ ?
是闭的.
引理 3 设 X 为 Banach 空间， (),A X∈B 则对应于 A的不同特
征值的特征向量彼此线性无关.
证明 设
1
,
n
λ λ??? 是 A的互不相同的特征值，
1
,,
n
x x??? 是相应的特
征向量， 0, ( 1, ).
iii
x Ax x i nλ≠==? 若
1
,,
n
x x??? 线性相关，不失一般
性设
1
1
n
nii
i
x ax
?
=
=
∑
，则一方面
11 11
()( )()( )
nn nnn
I AIAxIAxAxλ λλλ
??
??? ? = ??? ?
121
()( )( )
nnnn
IA IAxλ λλλ
??
= ??? ? ?
=??????
11
()( )0
nnnn
xλ λλλ
?
= ??? ? ≠
另一方面，它们是可交换的，从而
11
()( )
nn
I AIAxλ λ
?
? ??? ?
1
11
1
()( )0,
n
ini
i
aIA IAxλλ
?
?
=
= ??? ? =
∑
矛盾. 由于任意有限多个这样的特征向量都线性无关，故结论成立.
定理 1 设 X 是 Banach 空间， (),A CX∈ 则
（1） A的非零谱点都是特征值.
（2） ()Aσ 是可数集，0是 ()Aσ 惟一可能的聚点.
(3) 若 dim ,X =∞ 则 0().Aσ∈
(4) 对应于每个非零特征值的特征向量空间是有限维的.
4
证明 1
null
我们证明当 0λ ≠ 时, 若 IAλ ? 是一一映射，则
IAλ ?
是到上的. 由逆算子定理
1
()()I AXλ
?
?∈B ，于是 ()Aλ ρ∈ ，便得到
（1）.
令 TIAλ= ? ，对于任意正整数 ,n
()
nn
TIAλ=?
11
(1)
nn nn
I CA CAλλ
?
= ? +???+ ?
n
I Bλ=?
其中 B 是 A与一个有界线性算子的乘积. 由第三章 §3 知， B 是紧算
子，
根据引理 2， () ( )
nn
R TRIBλ= ? 是 X 的闭线性子空间，显然
1
() ()(1,2,).
nn
RT RT n
+
?=? 如果
1
,( )
n
nRT
+
? 都是 ()
n
R T 的真子空
间，由 Riesz引理，存在 (),
n
n
yRT∈ 使得
1
1
|| || 1, ( , ( )) .
2
n
nn
yyRTρ
+
=≥
注意
1
(( ) ( ),
nn
TRT RT
+
? 所以
1
().
n
nnn
Ty y Ay R Tλ
+
=?∈ 记
1
0
,
n
nn
yAyTxλ
+
?=
1' '
000
,, .
m
mmm
Ty y Ay T x x x Xλ
+
=?= ∈
若 mn> ，则
11' 1 1
0
() ( ), ( ) ( ),
mnm m n
m
yRT RT TxRT RT
++ + +
∈? ∈ ?
11
0
().
nn
Tx RT
++
∈
于是
11'
00
|| || || ( ) ( ) ||
nm
nm nm
AyAy y y TxTxλλ
++
?=?? ?
'
1100
||| ( )|
nm
nm
x x
yyT Tλ
λ λ
++
=?+?
1
||(,( )
n
n
yRTλρ
+
≥
||
0.
2
λ
≥>
5
这与 A的紧性矛盾，于是存在
00
1
0
,( ) ( ).
nn
nRT RT
+
=
由于 T 是一一的，
0
11
(), ()().
n
yRT TyRT RT
?+
?∈ ∈ = 不妨设
0
1n
Ty T x
+
=
0
(), ,
n
TT x x X=∈ 则
00
(),
nn
yTxRT=∈ 从而
00
1
()(),
nn
RT RT
?
?
00
1
()().
nn
RT RT
?
= 继续这一过程最后得到
()R TX= . T 是到上的.
2
null
我们证明，对于任意的 0,t >
{: (),| | }A tλ λσ λ∈ >
是有限集. 若不然，由 1
null
知，存在互不相同的一列 (),| |
n
Atλ σλ∈ > ,
n
λ 是 A 的特征值. 不妨设
n
x 是相应的特征向量，
0, ( 1, 2, ).
nnn
xAxxnλ≠= =? 由引理 3， {}
n
x 是线性无关集，记
1
{, }M span x x=??，则 dim .
n
M n=
n
M 是闭子空间并且
11
,
nnnn
M MM M
??
?≠. 由 Riesz 引理，存在
1
1
,|| || 1, ( , ) 2 ( 2,3, ).
nnn nn
yM y yM nρ
?
?
∈= ≥=?
不妨设
1
,
n
nini
i
yxα
=
=
∑
则
1
1
() ()
n
nn n n n n in n i
i
yAy IAx IAxλαλ αλ
?
=
?= ? + ?
∑
1
1
1
() .
n
in n i i n
i
xMαλ λ
?
?
=
=?∈
∑
为简便起见，记
1nn n n
yAyzλ
?
?=. 类似地，记
11 1
,.
mm m m m m
yAyzz Mλ
? ??
?= ∈
若 mn> ，则
11 1 1
,
nn mnnm
zM MyMM
?? ? ?
∈? ∈?，
11
|| || || ( ) ( ) ||
mn mmnnmn
Ay Ay y y z zλ λ
??
?= ???
11
||| ( )|
nmn
mm n
mmm
zz
yy
λ
λ
λλλ
??
=?+?
1
||
||(, ) 0.
2
mmm
t
yMλρ
?
≥≥>
与 A的紧性矛盾. 故 {: (),| | }A tλ λσ λ∈ > 为有限集， 0t > 是任意的，
6
故 ()Aσ 是可数集，0是 ()Aσ 惟一可能的聚点.
3
null
若 0()Aρ∈ ，则 0 AAλ? =? 是正则算子.
1
A
?
有界， A紧，故
1
I AA
?
= 是紧算子，这说明 X 的闭单位球是紧的，从而 X 是有限维空
间，与所设条件矛盾.
4
null
若 (), 0,Aλ σλλ∈≠对应的特征向量空间为 ()NIAλ ? ，由引
理 2即得之.
证毕.
由定理 1可知， 对于紧算子 A来说，任何 0λ ≠ ，要 么 ()Aλ ρ∈ ，
要么 ()
p
Aλ σ∈ .这通常被称为紧算子的 Fredholm 择一定理. 相应于
算子方程 ()I Ax yλ ?=来讲，这相当于要么此方程对任何 yX∈ 有惟
一解，要么相应的齐次方程 ()0IAxλ ? = 有非 0 解. 这和线性方程组
的情况是一致的，和积分方程中的很多情况也是吻合的.
思考题 若 dim ,X =∞ 则 ()TCX∈ 时 , T 不是正则的. 反过来
1
()TBX
?
∈ 时 , ()TCX∈ .
定义 设 X 为线性赋范空间，
*
X 是 X 的共轭空间.
（1） 若
***
,,()0xXx Xxx∈∈ =，称
*
x 与 x正交，记为
*
x x⊥ .
（2） 设
*
,M XN X??， 若
**
,,x Mx Nx x? ∈∈⊥， 则称 M 与 N
正交，记为 .M N⊥
特别地， {}x N⊥ 时，记为 .xN⊥
定理 2 设 X 是 Banach 空间，
*
(), 0,ACX Aλ∈≠是 A的共轭
算子.
（1） 若 yX∈ ，则方程 ()I Ax yλ ? = 可解的充要条件是
**
()yNI Aλ⊥?.
（2） 若
**
yX∈ ，则方程
****
()I Ax yλ ? = 可解的充要条件是
7
*
()yNIAλ⊥?.
其中
**
()NI Aλ ? 是
*
A 的相应于 λ 的特征向量空间, ()NIAλ ? 是 A
的相应于 λ的特征向量空间.
证明 1
null
若 ()I Ax yλ ?=有解
*
,x x ∈
**
()NI Aλ ? ，则
**
() ( ,( ))x yxIAxλ=?
**
(( ) , )I Axxλ=?
***
(( ) , ) 0.IAxxλ= ?=
故
**
().yNI Aλ⊥?
反之，若
**
(),yNI Aλ⊥? 我们证明 ()yRIAλ∈ ? . 若不然，
()yRIAλ??，
由引理 2， ()R IAλ ? 是闭线性子空间，根据 Hahan-Banach 定理， 存
在
**
,()0,xXxy∈≠但在 ()R IAλ ? 上
*
0x = . 由此，一方面 ,x X?∈
'
()()yIAxRIAλλ=?∈ ? ，
***
(( ) , )I Axxλ ?
**'
(,( )) ()0.xIAxxyλ=?==
这说明
*** * **
()0,( ).I Ax x N I Aλλ?=∈? 另一方面由
*
() 0xy≠ 知道
**
()yNI Aλ⊥?不成立，从而出现矛盾, 故 ()yRIAλ∈ ? ，所以存在
xX∈ ，使得 ()yIAxλ=?.
2
null
若对于
**
yX∈ ，方程
****
()I Ax yλ ? = 有解
*
x ，则
()x NIAλ?∈ ? ，
*** *
() (( ) ,) ( ,( )) 0yx I Axx x I Axλλ= ?=?=，故
*
()yNIAλ⊥?.
反之，若
*
()yNIAλ⊥?，对于任意的 ()yRIAλ∈ ? ，不妨设
(),yIAxλ=? 令
**
0
() ()yy yx= ， 我们将验证
*
0
y 是 ()R IAλ ? 上的连续
线性泛函. 首先
*
0
y 有确定的意义. 实际上，若另有
'
()yIAxλ=?,则
''
()()0, ()I Ax x x x N I Aλλ??=?∈ ?，但
*
()yNIAλ⊥ ? ，所以
** * **
()0,()()yxx yx yx?= = ，这说明
*
0
()yy由 y 惟一确定.
*
0
y 在 ()R IAλ ? 上是线性的， 现在证明
*
0
y 连续.设 ()
n
yRIAλ∈ ? ，
不妨设 ()0
nn
yIAxλ= ?→，根据引理 2中 ()R IAλ ? 为闭子空间的证
8
明，存在 0,a > || ( ) || || ||I Ax a xλ ?≥ . 即 || || || ( ) || || ||
nn
yIAxaxλ= ?≥.
于是 {}
n
x 为有界序列， A紧， 不妨设
0
k
n
Axx→ . 对 ()
kk
nn
yIAxλ= ? 两
端取极限得到，
0
k
n
x xλ → ，由 IAλ ? 的连续性又得到
0
()lim()lim 0
kk
kk
nn
nn
IAx IAx yλ λλ λ
→∞ →∞
?= ? = =，
于是
0
()x NIAλ∈?，所以
*
0
()0,yx=
** * *
00 0
1
() ( ) () ()0,
kkk
nnn
yy y I Ax yx yxλ
λ
=?= → =
这说明对于任一序列 0
n
y → ，都可以选出子序列
*
0
{},() 0,
kk
nn
yyy→ 故
必有
**
00
() 0,
n
yy y→ 连续.
根 据 Hahn-Banach 定理，存在
**
,x X∈ 在 ()R IAλ ? 上
**
0
() ().x yyy= 现在对于任何 ,x X∈
*** * *
0
(( ) , ) ( ,( ) ) ( ,( ) )I AxxxIAxxIAxλλλ?=?=?
**
0
() ().yy yx==
故
* * ***
(),yIAxxλ=? 是方程的解.
定理 3 设 X 是 Banach 空间，
*
(), 0,ACX Aλ∈≠是 A的共轭算
子. 则
（1）
*
() ( ).AAσσ=
（2） 设 ,(),A xλ μσ∈ 是 A的相应于 λ的特征向量，
*
x 是
*
A 的
相应于 μ 的特征向量， ,λ μ≠ 则
*
x x⊥ ，从而
**
()( )NIA NI Aλμ?⊥ ? .
（3）若 (), 0Aλ σλ∈≠，则
**
dim ( ) dim ( )NIA NI Aλλ?= ? .
证明 1
null
注意到
*
A 也是紧算子，故当 0λ ≠ 时， λ不是
*
A 的
特征值， λ一定是正则点.若 dim X <∞，相 应 于
*
A 的矩阵是相应于 A
的矩阵的转置，根据线性代数的知识，二者有相同的特征值，结论成
立.
若 dim X =∞，由定理 1(3) ， 0()Aσ∈ ，同时
*
dim X =∞，于是
*
0()Aσ∈ . 现在设 0λ ≠ ，我们只须证明 ()Aλ ρ∈ 当且仅当
9
*
()Aλρ∈ .
若 ()Aλ ρ∈ ，由本章 §1 定理 4(1) ， ()I Ax yλ ? = 对于任何 yX∈
有解，从定理 2 知，
**
().yNI Aλ⊥?由 y 的任意性知，
**
(){0}NI Aλ ?=, 即
*
I Aλ ? 是一一映射，根据定理 1 证明中的 1
null
，
**
I Aλ ? 是到上的，从而
*
()Aλρ∈ .
反之，若
*
()Aλρ∈ ，则
****
()I Ax yλ ? = 对于任意的
*
y 有解，于
是由定理 2，
*
()yNIAλ⊥?，所以， (){0}NIAλ ? = ， IAλ ? 是一
一的.根据定理 1 证明中的 1
null
， IAλ ? 到上，故 ()Aλ ρ∈ ，总之
*
() ( ).AAρρ= 所以
*
() ( ).AAσσ=
2
null
任 取
***
(), ( )x NIAx NI Aλμ∈?∈ ?，则
**
,Ax x A xλ= =
*
xμ ，于是
** *
() ( , ) ( , )x xxxxAxλλ==
** * *
(,)(,) ().Ax x x x x xμμ===
或
*
()()0xxλμ?=.由 λ μ≠ ，故
*
() 0,xx=
**
()( )NIA NI Aλμ?⊥ ? .
3
null
设
** *
dim ( ) ,dim ( )NIA n NI A nλλ?= ? =.根据定理 1(4) ， 二
者都是有限的.
首先证明
*
nn≤ .若
*
0n = ，不等式自然成立.若 0n= ，即
(){0}NIAλ ?=，于 是 IAλ ? 是一一的，由定理 1证明的 1
null
， IAλ ? 还
是到上的， 即 ()Aλ ρ∈ .由上面的 1
null
，
*
()Aλρ∈ ， 故
**
(){0}NI Aλ ?=，
*
0,n = 所说等号成立.
现在考虑
*
,nn均为非零的情况，设
1
,
n
x x??? 是 ()NIAλ ? 的一组
基，
**
1
,
n
yy??? 是
**
()NI Aλ ? 的一组基，由本节引理 1的证明不难知道，
存在
**
1
,
n
x x??? 使得
*
1, .
()
0, .
ji
ij
xx
ij
=
?
=
?
≠
?
又容易用归纳的方法证明，存在
**
1
,
n
yy??? ，使得
10
*
1, .
()
0, .
ji
ij
yy
ij
=
?
=
?
≠
?
定义 :,FX X→
*
1
() ()
n
ii
i
F xxxy
=
=
∑
, .xX? ∈
显然 F 是有界线性算子并且是有限秩算子，从而 F 是紧的. 算子
B AF=+是紧的. 我们证明 IBλ ? 是一一映射.
实际上，若 ()0IBxλ ?=，则
*
1
( ) () ()
n
ii
i
I Ax Fx x xyλ
=
?= =
∑
,
(5-2-1)
****
1
(,( ))(, ()) ().
n
jjij
i
yIAxy xxyxxλ
=
?= =
∑
但
***
()
j
yNIAλ∈?，故
***
(,( ))( ),)0
jj
yIAx IAyxλλ?=? =. (1,),jn= ???
从而
*
() 0
j
xx= ，代入（5－2－1）知道 ()0,()I Ax x N I Aλ λ? =∈ ?. 由
于
1
,
n
x x??? 是的一组基，不妨设
1
n
ii
i
x xα
=
=
∑
，由
*
1
()
n
jj ii
i
x xαα
=
=
∑
*
() 0( 1, ,)
j
x xj n= = = ??? 知 0,x IBλ= ? 是一一的. 由引理 2的证明 1
null
，
IBλ ? 是到上的.
若
*
nn< ，取 xX∈ ，使
1
()
n
I Bx yλ
+
? = 则
**
11 1
1()(,()
nn n
yy y IBxλ
++ +
==?
(,( ))(,()yIAxyFxλ=??
*** * *
11
1
(( ) , ) ( , ( ) )
n
nn i
i
I Ay x y xxyλ
++
=
=? ?
∑
0= ，
因为
***
1
()
n
yNIAλ
+
∈?. 矛盾说明
*
.nn≤
11
现在，由
**
X X? ，并且当 ()0IAxλ ? = 时，对于任意的
**
,x X∈
*
0(,( ))( ),)x IAx I Axxλλ=?=?
* * * ** * ** ** **
(( ) , ) ( ,( ) ),I Axx x I A x=? = ?
即
** ** **
()0IAxλ ?=，故
** **
()( ).NIA NI Aλλ?? ?
记
** ** **
dim ( )nNIAλ=?，于是
**
.nn≤ .但类似于上面的证明知
** *
.nn≤ ，由此
*
.nn≤ 总之
*
.nn=
例1 考虑空间
2
l 上的线性算子
22
:A ll→ ，
32
1
(, , , ),
23
xx
Ax x=??
2
12
(, , )x xx l? = ??? ∈
首先，
11
22
11
|| || ( | | ) ( | | ) || ||,
n
n
nn
x
Axxx
n
∞∞
==
=≤=
∑∑
T 是有界线性算子. 设
22 2
1
:,(,,,,0)
2
n
nn
xx
Al l Ax x
n
→=?null ，
则 || || 1,
nn
AA≤ 是有限秩算子从而是紧的. 由
1
2
2
|| || 1 || || 1
1
|| || sup || ( ) || sup( | | )
i
nn
xx
in
x
AA AAx
i
∞
≤≤
=+
?= ? =
∑
1
2
2
|| || 1
1
1
sup ( | | )
1
i
x
in
x
n
∞
≤
=+
≤
+
∑
1
0.
1n
≤→
+
A也是紧算子.
若 (0, ,0,10, )
n
n
e = ??? ???
nullnullnullnullnull
，则
1
.
nn
Aee
n
= 由定义，
1
n
是 A的特征值，
n
e 是相应的特征向量.
2
x l? ∈ ， 0Ax = 仅当 0x= ，于是 A是一一映
射，0不是特征值. 注意到 A不是到上的，例如
2
0
11
(1, , , ) .
23
yl= ??? ∈ 若
00
Ax y= ，则应有
2
00
(1,1, ),x xl=???，因此 0 是谱点. 我们证明：
12
1
() {: 1}
p
An
n
σ =≥, 从而 () () (0)
p
AAσ σ= ∪ .
实际上，若
11
0,1, , , ,
23
λ ≠ ??? 则要使 ()0IAxλ ? = ，即
32
12 1
( ) (, , )(, , , )
23
xx
IAx xx xλλ? = ??? ? ???
12
1
(( 1) ,( ) , ) 0
2
xxλλ= ???=
必须
12
0xx==??=，即 0x= . 故 IAλ ? 是一一的，由引理 2 证明中
的 1
null
， IAλ ? 是到上的，从而 ()Aλ ρ∈ .
最后，对于
1
n
n
λ = ，考虑 ()0
n
IAxλ ? = 的 ,
n
x xAxλ = ，即
312 2
1
(, ,)(, , ,).
23
xxx x
x
nn
??? = ???
若 in≠ ，要使
ii
x x
ni
= ，必须 0
i
x = ，故满足上面式子的 x具有形
式 (0, ,0, ,0, )
n
x??? ??? 或
nn
x xe= . 于是
(){},dim()1,1.
nnn
N I A span e N I A nλ λ?= ?= ≥
