1 第 14 讲 凸集的隔离定理 教学目的 介绍凸 集的隔离定理及其应用。 授课要点 1、 超平面的分析表达。 2、 Minkowski 泛函的定 义及属性。 3、 一般隔离定理的证明。 4、 紧凸集的严格隔离定理。 5、 Helly 的第 一、第二矩量定理。 凸集的隔离定理又称为 Hahn－ Banach 定理的几何形式，它在规 划论，控制论与 Banach 空间几何理论上有重要的应用。 首先让我们考虑平面上的情况， 设 ,A B是平面 2 R 上两个不相交凸集， 则一定可以用一条直线将二者隔离开 来，即存在直线 12 :lax bx c+=，使 得对于 A中的每个点 () 12 ,x x ， 12 ax bx c+≤，对于 B 中每个点 () 12 ,x x ， 12 ax bx c+≥.（见图） 对于一般线性空间中的凸集，我们有理由提出类似的问题 . 但是 有两个更基本的问题需要解决：用什么将一般线性空间的凸集隔开？ 怎样才算将两个凸集隔开？ 定义 1 设 X 是线性空间， EX? 是某个集合 . （ 1） 称 E 是线性流形，若 0 ExM= + ，其中 0 x X∈ ， M 是 X 的某个线性子空间 . 2 （ 2） 称 E 是 X 的极大真子空间，若对于 X 的任一线性子空间 M ，当 E M? ， E M≠ 时， M X= . （ 3） 称 E 为 X 的超平面，若 0 ExM= + ，其中 0 x X∈ ， M 是 X 的极大真子空间 . X 上的线性泛函全体记为 X′（ X′中元不必连续） ，显然就点集 的包含关系来讲， X X ? ′? . 有时称 X′为 X 的代数共轭，称 X ? 为 X 的拓扑共轭 . 定理 1 （ 1） E 是 X 的极大真子空间当且仅当存在 f X′∈ ， 0f ≠ ， ()E Nf= ， ()Nf是 f 的 0 空间 . （ 2 ） E 是 X 的超平面当且仅当存在 f X′∈ ， 0f ≠ ， (){ };Exfxc==，其中 c是某个常数 . 证明 1 null 若 f X′∈ ， 0f ≠ ，考虑子空间 ( )() { } ;0Nf xfx= = ， 若 W 是线性子空间并且 ( ) ( ),Nf WNf W?≠，取 () 0 \x WNf∈ ， 显然 () 0 0fx≠ 。 ? x X∈ ，令 ( ) () 0 0 fx yx x fx =? ，则 ( ) 0fy= ， ()yNf∈ ， ( ) () 0 0 fx x yx fx =+ ，从而 X = span ( ) { } 0 ,x Nf W? ，即 WX= . ()Nf是极大真子空间 . 反之，若 E 是极大真子空间，取 0 x E? ，则 X = span{ } 0 ,x E . ? x X∈ ， 10 x xax=+ ，其中 1 x E∈ ， a∈Φ，此表达式是唯一的 . 定 义 ()f xa= ，若 10 x xax=+ ，显然 ( )E Nf= . 2 null 若 E 是超平面，则 0 ExM= + ， W 是极大真子空间，由 1 null ， 3 存在 f X′∈ ， 0f ≠ ， ( )WNf= ，从而 x E∈ 当且仅当 () ( ) 0 f xfxc==或 ( ) { } ;Exfxc==， 若 (){ } ;Exfxc==， f X′∈ ， 0f ≠ ， 任取 0 x E∈ ， 则 () 0 f xc= ， 令 0 yxx=? ，则 () 0fy= . 由 1 null ， ( )Nf 是极大真子空间， ( ) 0 ExNf=+ ， E 是超平面 . 定理 2 设 X 是线性赋范空间， EX? 是极大真子空间， f X′∈ ， 0f ≠ ， E 与 f 的关系如同定理 1，则 （ 1） E 是闭的当且仅当 f X ? ∈ ， （ 2） E 是闭的当且仅当 E 不在 X 中稠密 . 证明 由于 ()ENf= ，全部结论可由本章第 1 讲定理 1 得出 . 通常称实空间 X 的子集在超平面 ( ) { } ;E xf x a= = 的一侧，若 ( ){ };Axfxa?≤或 ( ){ };Axfxa?≥，称两个子集 ,AB被超平面 E 隔离，若 ,AB分属于 E 的两侧，称 ,AB被 E 严格隔离，若 ( ){ };A xf x a? ＜ ， ( ){ };B xf x a? ＞ 或者相反 . 前面在证明 Hahn－ Banach 延拓定理时，我们事先假定 X 上存在 某个正齐性次可加泛函。现在为了证明凸集的隔离定理，我们将要从 满足一定条件的凸集上产生出这种泛函来 . 定理 3 设 X 是线性赋范空间， AX? 是以 0 为内点的凸集，定 义 () { }inf 0; A x txtAμ =∈＞ ，则 4 （ 1） A μ 在整个 X 上有定义； （ 2） 若 0t ≥ ， ( ) ( ) AA tx t xμμ= ， x X? ∈ ； （ 3） ()( ) ( ) AAA x yxyμμμ+= + ， ,x yX? ∈ ； （ 4） () { } ( ){ } ;; AA xx Axxμμ?? ≤＜1 1 . 若 A 是开集，则 (){ } ; A Ax xμ= ＜1 . （ 1） ， （ 2） ， （ 3）说明 A μ 是 X 上的正齐性次可加泛函 . 我们称 A μ 是集 合 A的 Minowski 泛函 . 证明 1 null 对于每个 x X∈ ， 0 x n → ， A null 是 0 X∈ 的领域，故存在 0 0 , x nAA n ? null ，即 0 x nA∈ ，所以集合 { }0;rxrA∈ ≠?＞ ， () A xμ 有意 义 . 2 null 由于 x rA∈ 当且仅当 tx trA∈ ，故 () { } { }inf ; inf ; A txt rxrA trxrAμ =∈=∈ { } ( )inf ; A tr tx trA txμ=∈=. 3 null 设 ,0,rs> 若 x rA∈ ， ysA∈ ， 即 x A r ∈ ， y A s ∈ ， A是凸集， 故 xy r x s y A rs rsrrss + = +∈ ++ + ii，即 ( )x yrsA+∈+ . 从而 () A x yrsμ +≤+， r 与 s 是任意的 . 故 ( ) ( )() AAA x yxyμμμ+≤ + . 4 null 由 A μ 的定义容易得到（ 4 ）中包含关系成立 . 例如若 () A xμ ＜1 ，则存在 r ， 0 r＜＜1 ， x rA∈ 或 x A r ∈ ， A是凸集， 0 A∈ ， 5 从而 ()10 x x rrA r =? + ∈i ，故 ( ) { } ; A x xAμ ?＜1 . 现在设 A是开集， 若 x A∈ ，一定有 ε＞0 使得 ( ) 1 x Aε+ ∈ 或 1 1 x A ε ∈ + ，从而 () 1 1 A xμ ε ≤ + ＜1 ，故 ( ) { } ; A Ax xμ? ＜1 . 于是 ( ) { } ; A Ax xμ= ＜1 . 定理 4 设 X 是（实或复）线性赋范空间， ,A B是 X 中的非空凸 集， A ≠? null ， AB=? null ∩ . 则存在非零线性泛函 f X ? ∈ 和实数 r 使得 (){ };ReAx fxr?≤， ( ){ };ReB xfxr?≥ 其中 ( ) Re f x 表示 () f x 的实部 . 证 明 不妨设 0 A∈ null ，因为若 ,f r 满足上面条件，则 0 x X? ∈ ( ) ( ){ } 00 ;Re Rex A x fx fx r+? ≤ +， ( ) ( ){ };Re Rex B x fx fx r+? ≥ +. 特别地取 0 x A∈ null 并且考虑 0 Ax? ，则至多改变 r 的值，结论仍然成立 . 我们只须就实空间的情况证明之， 因为由第 16 讲定理 2 前面的说 明，复空间上的一个实泛函决定了唯一的复泛函并且成为它的实部， 此时复泛函连续当且仅当它的实部连续 . 现在考虑集合 0 CAxB=+? null ，其中 0 x B∈ ，则 C 是开凸集并且 由于 A ≠? null ， 0 C∈ . 此外 0 x C? ，否则 0 AB∈ ? null 从而得出 AB=? null ∩ ，与假设矛盾 . 设 C μ 是集合 C 的 Minkowski 泛函 . 由定理 3， C μ 是在整个空间 X 上有定义的次可加正齐性泛函，并且 ( ) { } ; C Cx xμ= ＜1 ，由 于 0 x C? ， 故 () 0 1 C xμ ≥ . 6 考虑子空间 { } 0 ;M tx t R=∈和 M 上的非零线性泛函 ( ) 00 f tx t= ， 当 0t ≥ 时 () ( ) ( ) 00 0 0CC f tx t t x txμμ=≤ = ， 当 0t ≤ 时，由于 () 0 0 C txμ ≥ ，显 然 ( ) ( ) 00 0C f tx t txμ=≤ ，根据定理 1， 存在 X 上线性泛函 f ， f 是 0 f 的延拓，并且 ( ) ( ) C f xxμ≤ ， f 是连续的，实际上当 x C∈ 时， ( ) ( ) C fx xμ≤ ＜1 ，若 ()x CC∈?∩ ，同样有 ( ) ( ) C fx xμ?≤?＜1 ，从而 () ( ) ( )1 CC xfx xμμ??≤≤＜- ＜1 ， ( )x CC? ∈?∩ 注意 ( )CC?∩ 具有非空内点，故 f 连续，又由 0 x M∈ 知道 () ( ) 000 1fx fx==. 现在 x A?∈ null ， yB∈ ，则 0 x xyC+ ?∈从而 ( ) ( ) 00 1 C fxx y xx yμ+?≤ +?≤， ( ) ( )f xfy≤ 记 ()sup xA rfx ∈ = ，则 ()f xr≤ ， x A? ∈ null ；同时 ( )rfy≤ ， ? yB∈ . 由于 () { } ;A xf x r?≤ null 并且后者是闭集，故 () { } ;Axfxr?≤ null ， 但对于凸集而言， AA= null ，故 ( ) { } ;A xf x r?≤. 定理 5 设 X 是（实或复）线性赋范空间， ,A B是 X 中的非空凸 集， AB=?∩ ，若 A是紧集， B 是闭集，则存在 f X ? ∈ ，实数 12 ,rr， 12 rr＜ ，使得 (){ } 1 ;A xf x r?≤， ( ) { } 2 ;ReB xfxr?≥. 证 明 同样的，只须对于实空间证明结论成立 . 我们已经知道此时 ( ),adAB= ( ) , inf , xAyB dxy ∈∈ = ＞0 ，于是 0, 2 a AO ?? + ?? ?? 为开凸集并且 0, 2 a AO B ?? ?? + =? ???? ?? ?? ∩ . 根据上面定理 4， 存在连续线性泛函 f 和 2 rR∈ ，使得 7 (){} 2 0, ; 2 a AO xfx r ?? +?≤ ?? ?? ， ( ) { } 2 ;B xf x r?≥. 注意 A是紧集， f 连续，故 f 在 A上可达到上确界 . 不妨设 0 x A∈ ， () () 01 sup xA f xfxr ∈ ==，由于 f 不是 0 泛函，于是 f 在 0, 2 a O ?? ?? ?? 上不可 能全取 0 值。不失一般性，设有 0, 2 a xO ?? ′∈ ?? ?? ， ( ) fx′ ＞0 ，则 0 0, 2 a xxAO ?? ′+∈+ ?? ?? ，从而 () ( ) ( ) 11 0 0 2 sup xA f xrrfx fxxr ∈ ′=+ =+≤＜ ， 定理得证 . 最后，作为 Hahn－ Banach 定理和隔离定理的应用，让我们看一 下 Helly 第一和第二矩量定理 . 定理 6（ Helly） 设 X 是线性赋范空间， { } n x X? 是一列元素， n a ∈Φ， β＞0 . 则存在 f X ? ∈ 满足 f β≤ ， ( ) nn f xa= （ 1n?≥） 的充要条件是 11 nn ii ii ka kxβ == ≤ ∑∑ ， i k ∈Φ， 1n≥ （ 1） 证 明 1 null 若满足所说条件的 f X ? ∈ 存在，则 () 11 1 nn n ii i i ii ii i ka kf x f kx == = =≤ ∑∑ ∑ 1 n ii i kxβ = ≤ ∑ ， , i nk? ∈Φ 2 null 若所说的不等式成立，设 E = span{ },1 n xn≥ ，令 8 0 11 nn ii ii ii f kx ka == ?? = ?? ?? ∑∑ ， 1 n ii i x kx = ?= ∑ 这里 { } n x 未必是线性无关的，但若另有 1 n ii i x kx = ′ ′?= ∑ ，则 ( )1 表明 11 nn ii ii ii ka ka == ′′? ∑∑ 11 0 nn ii ii ii kx kxβ == ′′≤ ?= ∑∑ ， 由此知道， () 0 f x 有确定的意义，此外显然 0 f β≤ . 由保范延拓定理，存在 f X ? ∈ ， 0 ffβ= ≤ ，在 E 上 () () 0 1 n ii i f xfx ka = == ∑ ，特别地 ( ) nn f xa= ， 1n? ≥ . 定理证毕 . 定理 7（ Helly） 设 X 是 Banach 空间， 1 ,, n f fX ? ∈null ， M＞0 ， 1 ,, n cc∈Φnull ，则 ε? ＞0 ， x X ε ? ∈ 使得 xM ε ε≤ + ， () ii f xc ε = ()1, ,in= null 的充要条件是 11 nn ii ii ac M af == ≤ ∑∑ ， 1 ,, n α α? ∈Φnull ( )2 证明 必要性 若 ε? ＞0 ， x ε 存在，即 xM ε ε≤ + ， () ii f xc ε = ( ) 1, ,in= null ，则 1 ,, n α α? ∈Φnull ， () 11 1 nn n ii ii ii ii i ac k f x af x ε ε == = =≤ ∑∑ ∑ . ε 是任意的，故有 11 nn ii ii ac M af == ≤ ∑∑ . 充分性 不妨设 1 ,, n f fnull 彼此线性无关，否则考虑其中的最大线 性无关组 1 ,, m f fnull ，当对于后者证明了定理的结论时，根据线性相关 性的条件，结论对于整个 1 ,, n f fnull 也一定成立 . 此外我们仅就 X 为实 9 空间的情况进行证明，对于复空间，只须作细节上的修正 . 考虑映射 : n TX R→ ， ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ,, n Tx fx f x= null ,x X∈ ，容易验 证 T 是有界线性算子。 T 是到上的，实际上， ( )Tx是 n R 的线性子空 间，若 ()dimTx n＜ ，则存在不全为 0 的 n 个数 1 ,, n aanull ， () 1 0 n ii i af x = = ∑ ， x X?∈ ，于是 1 0 n ii i af = = ∑ 。这与 1 ,, n f fnull 线性无关 性矛盾 . , n X R 都是 Banach 空间，于是 T 是开映射 . ε? ＞0 ，记 { } ;ExxM ε ε=≤+，则 { } 0 ;ExxM ε ε= +＜ 是 0 X∈ 的领域，于是 () 0 TE ε 是 0 n R∈ 的领域，即 0 n R∈ 是 ()TE ε 的内 点 . 若不存在 x E ε ε ∈ ，使得 ( ) ii f xc ε = ( )1, ,in= null , 即 () 1 ,, n cc c= null ()TE ε ? ， 注意到 ( )TE ε 是 n R 中的凸集， 由隔离定理 （定 理 4）存在 n R 上的连续线性实泛函 F 和实数 r＞0 ，使得 ()F Tx r≤ ， x E ε ?∈ ， ( )F cr＞ . 不妨设 () 11 nn F yby by=++null ， ( ) 1 ,, n n yyR?∈null ，其中 1 ,, n bbR∈null ，则 () () 1 n ii i FTx bf x = = ∑ . 注意 x E ε ∈ 当且仅当 x E ε ? ∈ ， 故必有 () () 1 n ii i bf x FTx r = = ≤ ∑ , 于是 () ()() 1 11 sup sup nn ii ii xM x bf x bf x M ε ε ≤+ ≤ == = + ∑∑ () () 1 11 sup nn ii ii x M bf r F c bcε ≤ == =+ ≤ = ∑ ∑ ＜ . 1 ,, n f fnull 线性无关，故 1 0 n ii i bf = ≠ ∑ , 从而 10 11 nn ii ii ii M af ac == < ∑ ∑ . 与定理中所给条件矛盾 . 定理得证 . 思考题 设 ,,( 1) nn nα β ≥ 是两组实数，试给出存在 [,]π π? 上的可积函数 ()x xt= 使得它关于 sin ,cosnt nt 的 Fourier 系数是 ,,( 1) nn nα β ≥ 的条 件 .