1 第 13 讲 Hahn-Banach 定理的应用 教学目的 理解延 拓定理的应用。 授课要点 通过介绍 Hahn-Banach 定 理在最佳逼近方面的应用帮助 学生认识这一定理应用的途径和方式。 Hahn-Banach 定理在理论上和应用上都是十分重要的，它往往提 供了某些学科或学科分支的理论基础 . 这里介绍一些它们在逼近论方 面的应用 . 定义 3 设 X 是线性赋范空间， E 是 X 的子集合， x X∈ ，称 yE∈ 是 x 关于 E 的最佳逼近元，若 inf zE x yxz ∈ ? =?. (1) 首先应该知道一般说来，最佳逼近元并不总是存在的 . 例 1 设 [ ] 0,1EC? ， E 是 [ ] 0,1 上定义的任意阶多项式全体构成 的线性子空间，取 () [ ]0,1 t xt e C=∈ ，尽管 ( ),inf 0 zE dxE x z ∈ =?=， 但不存在 yE∈ 使得 0xy?=，因为 t e 不是多项式 . 这说明不存在 t e 关于 E 的最佳逼近元 . 定理 1 设 X 是线性赋范空间， E 是 X 的闭线性子空间， 0 x X∈ ， 则 yE∈ 是 0 x 关于 E 的最佳逼近元当且仅当存在 f X ? ∈ 使得 1f = ， 2 () 0 0fx= ， x E?∈ 并且 ( ) 00 f xxy= ? . 证 明 当 0 x E∈ 时， 0 x 是它自己关于 E 的最佳逼近元，此时容 易证明结论成立 . 现设 0 x E? ，若 y 是 0 x 关于 E 的最佳逼近元，即 00 inf zE x yxzd ∈ ? =?=， 此时 0d＞ . 设 1 E =span{ } 0 ,x E ，令 ( ) 01 f xad= ， 10 x zax? =+ ，其中 zE∈ ， α∈Φ， 则 0 f 是 1 E 上的线性泛函， 并且 ( ) 0 0fE= ， () 00 f xd= . 由于 () 01 0 z f xada x a =≤ + 01 zax x=+ = , 所以 0 1f ≤ . ε? ＞0 ，取 zE∈ 使得 0 xzdε? +＜ ，则 ( ) 00 0 00 00 fx xz d ff xz xz dε ?? ? ≥=≥ ?? ? ?+ ?? ， 于是 0 1f = ，由 Hahn－ Banach 定理，存在 f X ? ∈ 使得在 1 E 上， () ( ) 0 f xfx= . 特别地， ( ) ( ) 0 0fE f E= = . 从而 () ( ) 000 0 f xfxdxy===?. 反之，若 f X ? ∈ 满足定理中条件，对于任何 zE∈ ， () ( ) 0000 x y fx fxz xz?= = ?≤ ?， 由于 yE∈ ，故 00 inf zE x yxz ∈ ?= ?. 由定理前一部分的证明容易得出以下推论 . 推论 1 设 X 是线性赋范空间， E 是 X 的线性子空间， 0 x X∈ ， () 00 ,inf 0 zE dxE x z d ∈ =?=＞ ，则存在 f X ? ∈ ，使得 1f = ， 3 () 0 f xd= ，并且 () 0fx= ， x E? ∈ . 定理 1 实际上是最佳逼近元的判定定理 . 下面定理可以看成最佳 逼近元的存在定理 . 定理 2 设 X 是线性赋范空间， EX? 是有限维子空间，则对于 每个 x X∈ ， x 关于 E 的最佳逼近元存在 . 证 明 任取 0 yE∈ ，考虑集合 { } 0 ;FzExzxy=∈ ?≤? . 容易验证 F 是 E 中的有界闭集，是 E 有限维的，从而是紧集并且 ()() ,,dxF dxE= . 取 n zF∈ 使得 ( ) , n x zdxF?→ ，此时存在子列 0 k n zzF→∈，于是 ( ) ( ) 0 lim , , n n x zxzdxFdxE →∞ ?= ?= = . 0 z 即是 x 关于 E 的最佳逼近元 . 例 2 对于实空间 [ ] ,Cab，由 { } 1, , , n tt""张成的线性子空间记 为 n E ， n E 是有限维的，从而是闭的 . 由定理 2， [ ] ,x Cab?∈ ， x 到 n E 的最佳逼近元存在 . 即至少存在一组实数 0 ,, n aa""，使得 () 001 n n x taat at=++ +""满足 [] ( ) ( ) ( ) 00 , sup , n tab x xxtxtdxE ∈ ?= ? = . (2) 例 3 对于复空间 [ ] 2 ,L π π? ，若 n E 是由 { } ; ikt enkn? ≤≤ 张成的 线性子空间，则 [ ] 2 ,xL π π?∈ ? ，存在复数 k c ， nkn? ≤≤使得 0 n ikt k kn x ce =? = ∑ 满足 4 () () () 1 2 2 00 2 1 , 2 n x xxtxtdtdxE π π π ? ?? ?= ? = ?? ?? ∫ . (3) 思考题 1、 证明一个线性赋范空间 X 中的某一点到线性子空间 E 的最佳 逼近元的全体是 E 中的凸集 . 2、 即使是闭子空间， 一点到它的最佳逼近元也未必存在 . 例如设 0 1 {() ;2 0}, n nn n Exx c x ∞ ? = == ∈ = ∑ 则 E 在 0 c 中闭，但 0 (2,0, )x ="这一点关于 E 没有最佳逼近元. 此例 也说明定理 2 关于无穷维子空间不成立. 有了最佳逼近元的存在性和判别准则，自然会考虑到唯一性问题 . 为此我们需要一个新的概念 . 定义 2 线性赋范空间 X 称为是严格凸的，若 ,x yX? ∈ ，当 x y≠ ， 1xy==时 1 2 xy+ ＜ . (4) 从几何上说， 严格凸空间单位球面上任意两点的中点不在球面上， 严格凸是逼近论中的一个基本概念，我们先给出严格凸空间的例子 . 例 4 空间 [ ] , p L ab ()p ∞1＜ ＜ 是严格凸的 . 若存在 [ ] ,, p f gLab∈ ， 1 pp fg= = ，并且 1 2 p fg+ = ，即 5 ppp f gfg+= +，由第一章第二讲例 1 知道 Minkowski 不等式 中等号成立当且仅当 () ( )f tkgt= ， aμ? ， e，其中 k 为非负常数， 由 1 pp fg+=知 1k = ，故 f g= ，这说明当 f g≠ 时 2 p fg+ ＜1 . 同样的，空间 p l ()p ∞1＜ ＜ 是严格凸的 . Hilbert 空间是严格凸的，这可以由平行四边形公式直接得到 . 例 5 1 l 不是严格凸的，实际上只需取 () 1,0,0,x ="， ( ) 0,1,0,y ="， 则 x y≠ ， 1xy==，但 2xy+ = . l ∞ 也不是严格凸的，实际上取 () 1, 0,x ="， ( ) 1, 1, 0,y =?"， 则 x y≠ ， 1xy==， 2xy+ = . 此外空间 [ ] [ ] [ ] 01 ,, ,, ,, ,cc L ab L ab Cab ∞ 也不是严格凸的，读者可 直接验证之 . 定理 3 设 X 是线性赋范空间，则以下条件等价： （ 1） X 是严格凸的 . （ 2） 对于 X 中任何凸子集 E 和 x X∈ ， x 关于 E 至多有一个最 佳逼近元 . （ 3） 对于每个 f X ? ∈ ，闭单位球 X S 上至多有一点 0 x 使得 () 0 f xf= . 证明 (1) (2)? 不妨设 x E? ，若有 00 ,x xE′∈ 同时使 () 00 ,x xxxdxEM′?=?= =. 则此时 6 () 000 111 222 x x x xx xx M′+?≤ ?+ ?≤, 但 E 是凸集，从而 () 0 1 2 x xE+∈，故应有 () 0 1 2 x xxM+?≥，于是 () 0 1 2 x xxM+ ?= . 记 0 x x y M ? = , 0 x x z M ′? = ，则 1yz= = ，但 () 0 11 1 22 yz xxx M + =?+=， 此与严格凸性矛盾 . (2) (3)? 若有两个不同点 00 , X x xS′∈ 使得 () ( ) 00 f xfx f′==， 不妨设 1f = ，考虑闭凸集 [ ] ( ){ } 00 0 0 ,1;1xx z tx tx t′′==+? ≤≤ 则 () ( ) () 00 11fz ftx tx′=+?=， 01t≤ ≤ ，从而 ( )1 f zfzz≤≤≤. 另一方面， ( ) 00 11ztx tx′≤+? ≤， 故 1z = ，这说明 0 点到 [ ] 00 ,x x′ 有无穷多个最佳逼近元，与 (2)矛盾 . (3) (1)? . 若 X 不是严格凸的，则有 ,,x yXxy∈ ≠ 使得 1 2 xy xy + == =. 由 Hahn－ Banach 定理，存在 f X ? ∈ ， 1f = ， 1 2 xy f +?? = ?? ?? ，此时由于 ( ) 1fx≤ ， ( ) 1fy≤ ， () () 1 1 2 fx fy+ = ， 故必有 () () 1fx fy==，从而对于任何 t ， 01t≤≤ ， ()()11ftx ty+? =，与 (3) 矛盾 . 根据定理 2 与定理 3，例 3 中的最佳逼近元是唯一的 . 7 作为严格凸性的另一个应用，我们考虑线性泛函延拓的唯一性问 题 . Hahn－ Banach 定理只解决了延拓的存在性，而一般来说，唯一 性并不成立 . 例 6 在 2 R 中定义范数 () 12 1 2 ,x xxx=+， 2 12 (, )x xR?∈ 则 (){ } 1 11 ,0 ;GxxR=∈是 2 R 的线性子空间， ( ) 01 1 ,0f xx= 是 G 上的线 性泛函 . 由 () ( ) 01 1 1 ,0 ,0fx x x== ， 容易知道 0 1f = ，故 0 f 连续 . 对于每个 Rβ∈ ， ( ) 12 1 2 ,F xx x xβ=+ 都是 0 f 的延拓并且 () ( )( ) 12 1 2 1 2 ,ma,Fxx x x x xββ≤+ ≤ + ( ) ( ) 12 max 1, ,x xβ= . 于是当 1β ≤ 时， F 是保持范数的延拓，这种延拓的个数有不可数无 穷多个 . 这里我们给出一个保证线性泛函延拓唯一性的条件，而将其证明 略去 . 定理 7 设 X 是线性赋范空间，为了使 X 的每个线性子空间上的 连续线性泛函都有唯一的保持范数的延拓， 必须并且只须共轭空间 X ? 是严格凸的 .