第8讲 积空间与商空间 教学目的：了解积空间与商空间的定义与基本性质。 授课要点： 1、 积空间的定义和基本性质。 2、 商空间与商映射的基本属性。 设(;||),1 ii X in?≤≤是一组线性赋范空间，令 {}niXxxxxX iin ≤≤∈== 1,:),,( 1 "， 记为 ∏ = = n i i XX 1 . X中元素的线性运算与序列空间中一样定义，则X是线性空间. 若此外定义 ∞<≤= ∑ = pxx p n i p iip 1,)||||(|||| 1 1 ii ni xx ||||sup|||| 1 ≤≤ ∞ = , ∞=p 则)||||,( p X ?是线性赋范空间. 定理1 设 i X，X如上，则X是线性赋范空间并且 (1) X是完备的当且仅当每个)1( niX i ≤≤完备. (2) 每个映射 iii xxXXP →→ ,:是连续的（ni ,...,1=）. 证 明 1°先设每个 i X是完备的，假定),,( )()( 1 )( k n kk xxx "=是X中的Cauchy序列，则 0>?ε， 0 k?使得 0 , kks ≥时 　 pp p ks n i p i k i s i xxxx ε<?=? ∑ = |||||||| )()( 1 )()( , 特别地对于每个i， 　 ε<? i k i s i xx |||| )()( (1) 这说明}1;{ )( ≥kx k i 是 i X中的Cauchy序列.由 i X的完备性,不妨设0|||| )( →? ii k i xx，这里 )1( niXx ii ≤≤∈ . 记),,( 1 n xxx "= . 在 (1) 中固定 0 kk ≥ ,令∞→s，则有 　 ε≤? i k ii xx |||| )( . (2) 不妨设对于每个i，当 0 kk ≥时 (2) 均成立, 则 　)1(,)||||(|||| 1 1 )()( ∞<≤≤?=? ∑ = pnxxxx pp n i p ii k ip k ε . 总之，xx k k = ∞→ )( lim .故X完备. 反之，设X完备，我们证明每个 i X完备. 注意 　 });0,,0,,0,,0{( iii i i XxxE ∈= "  " 是X的线性子空间并且 i E与 i X等距同构. iipipi Xxxx ∈?= ,||||||)0,,0,,0,,0(|| "" . 于是剩下只需证明 i E是X的闭子空间. 设xxExx k i k i k →∈= )()()( ,)0,,0,,0,,0( "" , 不妨设),,( 1 n xxx "=，其中)1( niXx ii ≤≤∈ . 由于 　 0|||||||||||| )()( →+?=? ∑ ≠ij p jj p ii k i p p k xxxxx 此时必有ij ≠时，0= j x，同时0|||| )( →? ii k i xx . 这说明 ii Ex ∈， i E闭. ( ∞=p的情况可类似 证明). 2°由于当),,( 1 n xxx "= , Xyyy n ∈= ),,( 1 "时 　 || || || || || || iiiiii p Px Py x y x y?=?≤?　 所以 i P连续)1( ni ≤≤ . 上面我们只对有限多个空间定义它们的乘积，实际上对于无穷多个也可以类似定义。定 理1也照样成立。读者不妨试证之。 下面让我们转到商空间. 在第4讲证明完备化定理时我们已经接触过商集的概念. 现在 我们有： 定理2 设X是线性空间，XE ?是线性子空间. (1)若规定yx ~当且仅当Eyx ∈?，“~”是X中的等价关系. 若定义 yxyx +=+，xx αα =， 则~)/(/ XEX =是线性空间 (称EX /是X关于E的商空间). (2)若X是线性赋范空间，E是X的闭线性子空间，则EX /是线性赋范空间. (3)若X是Banach空间，E是X的闭线性子空间，则EX /是Banach空间. 证 明 1° 对于任意的Xx∈，Exx ∈? ,故xx ~ .由于E是线性子空间，当Eyx ∈? 时Exy ∈?，故yx ~则xy ~ .若Eyx ∈~，Ezy ∈?，则Ezyyxzx ∈?+?=? )()(，故 yx ~ , zy ~时.所以“~”是等价关系. 记{}{}XxxEXEyyxx ∈=∈+= ;/,;，并且规定　 yxyx +=+，)( Φααα ∈= xx，，　 这些运算有确定的意义. 例如若 11 , yyxx ==则EyyExx ∈?∈? 11 ,，从而　 ExxEyxyx ∈?∈+?+ 111 ,)()( αα，　 于是 111 , xxyxyx αα =+=+ . 依照第1 讲定义1可验证EX /是线性空间，其中Eo = . 2° 对于每个EXx /∈，令　 ||||inf|||| yx xy∈ = (3)　 则||||?是EX /上的范数. 实际上0|||| ≥x ,若0|||| =x，则0||||, →∈? nn yxy，故Ezxy nn ∈=? . xxyz nn ?→?=，E闭，于是,0.xExE∈== 对于每个EXx /∈， ||||||||||inf||||||inf|||||||| xyayxx xyxy αααα ==== ∈∈ . 最后，EXyx /, ∈?，由定义， n xxxx nn 1 ||||||||, +<∈?，同时 n yyyy nn 1 ||||||||, +<∈?，从 而yxyx nn +∈+并且 n yxyxyxyx nnnn 2 |||||||||||||||||||||||| ++≤+≤+≤+ ,　 令∞→n，得到　 |||||||||||| yxyx +≤+ .　 于是 (3) 定义了EX /上的范数. 3° 若X完备，E闭，{} n x是EX /中的Cauchy序列. 取 kk 2 1 =ε，则 k n?使当 k nn≥时， knn k xx 2 1 |||| <? .不妨设 k n单调增加. 记 k nk xu =，则{ } n u是{ } n x的子序列并且 kkk uu 2 1 |||| 1 <? + . 从而由EX /中范数定义，存在Ez k ∈，使得　 kkkk zuu 2 1 |||| 1 <+? + .　 记 kkkk zuuv +?= +1 ，则 ∑ ∞ = ∞< 1 |||| k k v . X完备，故Xv∈?使得 ∑ = ∞→ = n k k n vv 1 lim . 令 1 uvu +=， 现在 证明ux n → . 实际上由Ez k ∈，则 1≥?n , ∑ = ∈ n k k Ez 1 ，oz n k k = ∑ =1 ,　 0|||||||||||||||| 11 11 1 111 →?=+??≤+??=? ∑∑∑ == + = ++ n k k n k kn n k knn vvzuvuzuvuuu .　 于是uu k →，即ux k n → .{} n x为Cauchy序列，其中有子列{ } k n x收敛，故{ } n x收敛并且ux n →， 从而EX /完备. 定理3 设X是线性赋范空间，E是X的闭线性子空间，定义映射EXX /: →π，xx6， 则 (1) π是到上的连续映射. (2) π将X中的开集映射为EX /中的开集. 证明 1°π是到上和连续的直接由定义得出. 事实上，由EX /中范数定义，若 xx =)(π，则 ||||||||inf||||||)(|| xyxx xy ≤== ∈ π . (4) 2° 考虑空间X中的球),0( rO和EX /中的球),0( rO，后者即集合{}rxEXx <∈ ||||;/. 首先，对于每个),0( rOx∈，由|||| x的定义，存在),0( rOx∈使得xx =)(π .这说明 )),0((),0( rOrO π? (5) 设XV ?是开集，现证)(Vπ是EX /中的开集.对于任一点)(Vx π∈，存在Vx∈，使得 xx =)(π .V是开集，故有0>r使得VrO ?),0(. 此时由集合的线性运算，),0(),( rOxrxO +=， 从而由 (5),　 )()),(()),0(()),0(()(),0( VrxOrOxrOxrOx πππππ ?=+=+?+ 所以x是)(Vπ的内点. x是任意的，故)(Vπ是开集. 思考题 若X是线性空间，E X?是线性子空间，验证EX /是线性空间。