第 2 讲 度量空间及其拓扑
教学目的：介绍度量空间的公理及其拓扑性质。
授课要点：
度量空间、赋范空间、内积空间的公理体系以及三者的相
互关系。
定义 1 设 X 是某个集合， RXXd →×: 是一个二元映射，满足
（ 1） 0),( ≥yxd ； 0),( =yxd 当且仅当 yx = ．
（ 2） ),(),( xydyxd = ．
（ 3） ,(),(),( zydyxdzxd +≤ （三角不等式） ．
则称 d 是 X 上的度量（距离）函数，称 X 为度量（距离）空间．有时为了明确，记为 ),( dX ．
度量空间的子集合 E ，仍以 d 为 E 上度量构成的度量空间称为 ),( dX 的子空间．
例 1 对于 n维空间
n
Φ 中的点 ),,(
1 n
xxx null= 和 ),,(
1 n
yyy null= ，定义
1
2
2
1
(, ) ,
n
ii
i
dxy x y
=
??
=?
??
??
∑
（ 1）
容易验证 d 是
n
Φ 上的度量函数．其中的三角不等式即数学分析中用到的 Minkowski 不等式
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
?
?
?
?
?
?
?+?
?
?
?
?
?
?≤?
?
?
?
?
?
?
∑∑∑
===
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
zyyxzx ,
记此空间为 ),( d
n
Φ . 称之为 n维欧几里德（ Euclid）空间．
实际上在
n
Φ 上还可以定义其他度量，例如
ii
ni
yxyxd ?=
≤≤1
1
max),( ，此时 ),(
1
d
n
Φ 仍是度
量空间．但须注意应把 ),(
1
d
n
Φ 与 ),( d
n
Φ 视为不同的度量空间．此外注意今后当说到
n
Φ 是
度量空间时，总意味着它带有欧氏度量 .
例 2 空间 s．
考虑上节例 2 中的线性空间
∞
Φ ，对于 )(),(
nn
yyxx == ，定义
∑
∞
=
?+
?
=
1
12
1
),(
i
ii
ii
i
yx
yx
yxd ． （ 2）
现证明 d 是度量函数，记此空间为 s．
证明 （ 1）显然 0),( ≥yxd ．若 0),( =yxd ，则必有 0=?
ii
yx ，即 ),2,1( null== iyx
ii
，
故 yx = ．
（ 2） ),(),( xydyxd = 显然．
（ 3）考虑函数
t
t
tf
+
=
1
)( ， 0≥t ．由于 )(tf 的递增性，对于任意实数 a ， b ，由
baba +≤+ 得到
b
b
a
a
ba
ba
ba
ba
+
+
+
≤
++
+
≤
++
+
1111
，
所以
∑
∞
=
?+
?
=
1
12
1
),(
i
ii
ii
i
zx
zx
zxd
∑
∞
=
?+?+
?+?
=
1
12
1
i
iiii
iiii
i
zyyx
zyyx
∑
∞
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?+
?
+
?+
?
≤
1
112
1
i
ii
ii
ii
ii
i
zy
zy
yx
yx
),(),( zydyxd += ．
例 3 空间 ],[ baC ．
],[ baC 是区间 ],[ ba 上的连续函数全体，对于 ],[, baCyx ∈ ，定义
)()(max),( tytxyxd
bta
?=
≤≤
． （ 3）
则 d 是 ],[ baC 上的度量函数．容易验证
1° 0),( ≥yxd ．若 0),( =yxd 则 ],[ bat∈? ， )()( tytx = ，故 yx = ．
2°显然 ),(),( xydyxd = ．
3° )()(max),( tztxzxd
bta
?=
≤≤
{})()()()(max tztytytx
bta
?+?≤
≤≤
)()(max)()(max tztytytx
btabta
?+?≤
≤≤≤≤
),(),( zydyxd += ．
],[ baC 是度量空间．
定义 2 设 ),( dX 是度量空间， XE ? ．
（ 1）称 },);,(sup{diam EyxyxdE ∈= 是 E 的直径．称 E 是有界集，若 ∞<Ediam ．
（ 2）对于
n
x ， Xx∈ ，称
n
x （依度量 d ）收敛于 x，若
)(0),( ∞→→ nxxd
n
．
记之为 xx
n
n
=
∞→
lim 或 xx
n
→ ．
定理 1 度量空间中序列的极限是惟一的．收敛序列的元素构成有界集．
证明 若 xx
n
→ ， yx
n
→ ，即
0),( →xxd
n
， 0),( →yxd
n
， )( ∞→n ．
由三角不等式知道
0),(),(),(0 →+≤≤ yxdxxdyxd
nn
， )( ∞→n ．
故 0),( =yxd ，由定义知道 yx = ．后一结论是明显的．
定理 2 ),( yxd 是两个变元的连续函数，即当 xx
n
→ ， yy
n
→ 时，
),(),( yxdyxd
nn
→ ．
证明 由三角不等式知道，
),(),(),( zydyxdzxd ≤? ，
同样地
),(),(),(),( zydyzdzxdyxd =≤? ，
于是
),(),(),( zydzxdyxd ≤? （ 4）
应用（ 4） ，则
),(),(),(),(),(),( yxdxydxydyxdyxdyxd
nnnnnn
?+?≤?
0),(),( →+≤ yydxxd
nn
．
故
),(),( yxdyxd
nn
→ ．
例 4 设 X 是任一点集，定义
?
?
?
∈?
≠
=
= Xyx
yx
yx
yxd ,
,,1
,,0
),( ． （ 5）
容易验证 ),( dX 是度量空间．称此类空间为离散度量空间．
此例说明对于任一点集 X ，可以在 X 上规定某种度量函数使之成为度量空间．但是我
们研究度量空间的目的在于研究空间的性质并用于解决实际问题， 因此我们通常所关心的
是与空间的某种性质紧密联系的度量函数．下面是这方面的例子．
命题 2 ],[ baC 中的序列
n
x 依度量收敛于 x等价于
n
x 在 ],[ ba 上一致收敛于 x．
由 ],[ baC 中度量函数的定义直接得出．
例 5 空间 S ．设 ),,( μΣ? 是有限测度空间， ∞<)(?μ ，关于 Σ 可测的函数全体记为
S ．定义
μ
?
d
)()(1
)()(
),(
∫
?+
?
=
tytx
tytx
yxd ， Syx ∈, （ 6）
将 S 中关于 μ 几乎处处相等的函数视为同一元．由定义直接验证知道 ),( dS 是度量空间．
命题 3 S 中函数序列依度量（ 6）收敛等价于依测度收敛．
证明 若
n
x ， Sx∈ ，
n
x 依测度收敛于 x，则对于任何 0>σ ，
{}0)()(,lim =≥?
∞→
σμ txtxt
n
n
．
记 {}σσ ≥?= )()(,)( txtxtE
nn
， 则
μμ
σ?σ
d
)()(1
)()(
d
)()(1
)()(
),(
)(\)(
∫∫
?+
?
+
?+
?
=
nn
E
n
n
E
n
n
n
txtx
txtx
txtx
txtx
xxd
)(
1
))(( ?μ
σ
σ
σμ
+
+≤
n
E ．
由于 ∞<)(?μ ，对于事先给定的 0>ε ，先取 σ 足够小使第二项小于
2
ε
，再取 n足够大使第
一项小于
2
ε
，则知 0),( →xxd
n
．
反之，对于每个 0>σ ，由于
),(d
)()(1
)()(
))((
1
)(
xxd
txtx
txtx
E
n
E
n
n
n
n
≤
?+
?
≤
+
∫
μσμ
σ
σ
σ
，
所以当 0),( →xxd
n
时， 0))((lim =
∞→
σμ
n
n
E ，这说明
n
x 依测度收敛于 x．
思考题
1、 空间 s 中依度量 d 收敛等价于依坐标收敛．
2、 证明当 d 是 X 上的度量时， min{ ,1}d 与
1
d
d+
也是。
3、 对于例 4 中定义的离散度量空间， 若 ,x X∈ 01,1rε< ≤>， 写出 (, ) ?Oxε =
(,) ?Oxr=
一个线性空间上未必定义有度量．反过来一个度量空间也未必是线性的．同时是线性又
是度量的空间称为是线性度量空间，假若加法和数乘关于此度量是连续的．即当在 X 中，
xx
n
→ ， yy
n
→ ，在标量域 Φ 中 λλ →
n
时
yxyx
nn
+→+ ， xx
nn
λλ → ．
定义 3 设 ),( dX 是度量空间．
（ 1）若 Xx ∈
0
， 0>r ，称
{}rxxdXxrxO <∈= ),(;),(
00
，
rxxdXxrxS ≤∈= ),(;),(
00
，
分别是以
0
x 为中心， r 为半径的球和闭球．
（ 2）集合 XB? 称为开集，若 Bx∈? ，存在 0>
x
r ，使得 BrxO ?),(
0
．
（ 3）包含 x的任一开集称为 x的邻域．
（ 4）集合 XE ? 称为闭集，若 EX \ 为开集．
引理 球 )0(),(
0
>rrxO 是开集．
证明 对于任意的 ),(
0
rxOy∈ ，取 ),(
0
xydrr ?=′ ，
则 0>′r ，此时 ),( ryOz ′∈? ，
rxydrxydyzdxzd =+′<+≤ ),(),(),(),(
000
，
故 ),(
0
rxOz∈ ． z 是任意的，所以 ),(),(
0
rxOryO ?′ ．
由定义知道 ),(
0
rxO 是开集．
下面定理可以仿照实数轴上的情况证明之，这里将具体的证明略去．
定理 3 设 X 是度量空间，则
（ 1）空集 ?与 X 是开集，
（ 2）任意多个开集之并是开集，
（ 3）有限个开集之交是开集．
设有集合 X 的子集族 {}Λλ
λ
∈,B ，若空集 ?与 X 都属于该集族，并且该集族中的集合
对于任意并和有限交封闭，则称 {}Λλ
λ
∈,B 是 X 上的拓扑，称 X 是拓扑空间．每个
λ
B 都称
为是该空间中的一个开集．
定理 3 表明度量空间中由全体开集构成的集族是它的拓扑， 从而每个度量空间是一个拓
扑空间．
定义 4 设 X 是度量空间， XE ? ， Xx ∈
0
．
（ 1）若存在 0>r 使得 ErxO ?),(
0
，称
0
x 是 E 的内点． E 的内点全体称为 E 的内部，
记为 °E ．
（ 2）若存在 0>r 使得 ?=ErxO ∩),(
0
，称
0
x 是 E 的外点， E 的外点全体记为
e
E ．
（ 3）若 0>?ε ， ?≠ExO ∩),(
0
ε ，称是 E 的接触点． E 的接触点全体称为 E 的闭包，
记为 E ．
（ 4）若 0>?ε ， ?≠}){\(),(
00
xExO ∩ε ，称
0
x 是 E 的聚点． E 的聚点全体记为 E′．
下面命题容易由定义直接验证，这里将具体的验证留给读者．
命题 4
（ 1） XEE
e
=∪ ， ?=
e
EE ∩ ， EEE ′= ∪ ．
（ 2） Ex ∈
0
当且仅当存在 Ex
n
∈ ，
0
xx
n
→ ．
（ 3） Ex ′∈
0
当且仅当存在 Ex
n
∈ ，
0
xx
n
≠ 使得
0
xx
n
→ ．
定理 4 设 X 是度量空间， XE ? ．
（ 1） E 为开集当且仅当 °= EE ， °E 是包含在 E 中的最大开集．
（ 2） E 为闭集当且仅当 EE = ， E 是包含 E 的最小闭集．
（ 3） E 为闭集当且仅当任何 Ex
n
∈ ，
0
xx
n
→ ，则 Ex ∈
0
．
证明 1°若 E 是开集， Ex ∈?
0
，存在 0>r ，使得 ErxO ?),(
0
．从而 °∈Ex
0
，故
°? EE ．显然 EE ?° ，所以 °= EE ．
反之若 °= EE ，只须证明 °E 为开集． °∈Ex
0
，
0
x 为 E 的内点，故存在 0>r ，
ErxO ?),(
0
．由引理， ),(
0
rxO 为开集，故其中每一点 ),(
0
rxOz∈ 是 ),(
0
rxO 的内点，从而为
E 的内点，即 °? ErxO ),(
0
， °E 为开集．
若 G 为开集， EG ? ，显然 °?° EG ，由以上所证 °?°= EGG ．
2°对于任一集合 XE ? ，由定义可以得出， E 的外点等于 E 的余集的内点，即
EXEX \)\( =° ．若 E 闭，则 EX \ 开，由 1°知道 EXEXEX \)\(\ =°= ，从而 EE = ．
反之若 EE = ，则 °== )\(\\ EXEXEX 是开集，从而 E 是闭集．
3°定理中的（ 3）由（ 2）和命题 4（ 3）得出．
可以直接验证，闭球 ),(
0
rxS 是闭集．
定义 5 设 X 为线性空间，若 RXp →: 是一个映射，使得 Xyx ∈? , ， Φα∈ ．
（ 1） 0)( ≥xp ，
（ 2） )(||)( xpxp αα = ，
（ 3） )()()( ypxpyxp +≤+ ．
则称 p 是 X 上的半范数．若还有
（ 4） 0)( =xp ，则 0=x ．
称 p 是 X 上的范数．此时记 xxp =)( ，称 ||)||,( ?X 是线性赋范空间．在不至于混淆时记
||)||,( ?X 为 X ．
定理 5 （ 1）线性赋范空间是度量空间，并且
||||),( yxyxd ?=
是此空间上的度量函数．
（ 2）范数关于变元 x是连续函数，即若 xx
n
→ ，则
|||||||| xx
n
→ ．
（ 3）若 Xyxyx
nn
∈,,, ， Φλλ ∈,
n
，并且 xx
n
→ ， yy
n
→ ， λλ →
n
，则
yxyx
nn
+→+ ， xx
nn
λλ → ．
证 明 1°（ 1）由直接验证得出．
2°在定义（ 2）中令 1?=α 得出 |||||||| xx =? ．再由定义中（ 3）的不等式得出
|| || || || || ||
nn
x xxx≤+?，
或者
|| || || || || ||
nn
x xxx?≤?，
同样地
|| || || || || || || ||
nnn
x xxxxx? ≤?=?，
从而
|| || || || || ||
nn
x xxx?≤?， （ 7）
若 xx
n
→ 即 0|||| →? xx
n
，故有 |||||||| xx
n
→ ．
3°若 xx
n
→ ， yy
n
→ ，则
|| ( ) ( ) || | || || || 0
nn n n
xy xy xx yy+?+≤?+?→，
即 yxyx
nn
+→+ ．
为证后面的式子成立，注意到收敛数列
n
λ 是有界的，不妨设 M
n
≤||λ ，则
|| || || || || ||
nn nn n n
x xxxxxλ λλλ λλ?≤ ? + ?
|||||||| xxx
nnn
λλλ ?+?≤
|||||||| xxxM
nn
λλ ?+?≤ ，
当 ∞→n 时后面两项都趋于 0，故知结论成立．
设 ||)||,( ?X 是线性赋范空间，以
||||),( yxyxd ?=
定义的 X 上的度量称为是由范数 ||||? 诱导的度量．今后当说到一个赋范空间的度量时，总是
指由它的范数诱导的度量．容易知道，线性赋范空间是线性度量空间．此时 xx
n
→ 当且仅
当
0|||| →? xx
n
．
称这种收敛是依范数收敛．此外，集合 XE ? 有界，当且仅当
∞<∈ }||;sup{|| Exx ．
定理 6 线性空间 X 上的度量 d 使得 X 成为线性赋范空间，当且仅当 d 满足
（ 1） )0,()0,( xdxd αα = ， Xx∈? ， Φα∈ ．
（ 2） ),(),( yxdzyzxd =++ ， Xzyx ∈? ,, ．
证 明 若 X 是线性赋范空间， ||||? 为其范数， ||||),( yxyxd ?= ，由范数的性质可知
)0,(||||||||)0,( xdxxxd αααα === ，
),(||||||)()(||),( yxdyxzyzxzyzxd =?=+?+=++ ．
反之，若 d 满足条件（ 1） ， （ 2） ，定义 )0,(|||| xdx = ，则
1° 显然 0|||| ≥x ．若 0|||| =x ，即 0)0,( =xd ，由度量函数的性质， 0=x ．
2° ||||)0,()0,(|||| xxdxx αααρα === ．
3° ),()0,(|||| yxdyxdyx ?=+=+
),0()0,( ydxd ?+≤
||||||||)0,()0,( yxydxd +=+= ．
故 ||||? 为 X 上的范数， X 为线性赋范空间．
例 3′ 考虑例 3 中的度量空间 ],[ baC ．对于每个 ],[)( baCtxx ∈= ，现在定义
|)(|max|||| txx
bta ≤≤
= ． （ 8）
按照函数空间的加法与数乘， ],[ baC 是线性空间．直接验证表明 ],[ baC 是赋范空间．
此例也可用定理 6 的判定条件验证．同样地，例 4 的欧氏空间是赋范空间．注意例 5
中的 s和例 8 中的 S 不是线性赋范空间．例如对于 s，取 ),0,1( null=x ，若 1,0 ±≠α ，则
)0,(
4
1
)1(2
)0,( xdxd αα
α
α
α =≠
+
= ．
由定理 6， s不是线性赋范空间．
现在让我们转到比线性赋范空间更为特殊的一类空间．
定义 7 设 X 为线性空间，若 Xyx ∈? , ，对应有标量，记为 ),( yx ，满足
（ 1） ),(),( yxxy = ， Xyx ∈? , ．
（ 2） ),(),( yxyx αα = ， Xyx ∈? , ， Φα∈ ．
（ 3） ),(),(),( zyzxzyx +=+ ， Xzyx ∈? ,, ．
（ 4） Xx∈? ， 0),( ≥xx ． 0),( =xx 时 0=x ．
则称 ),( yx 是 x， y 的内积，称 X 为内积空间．
注意 Xzyx ∈? ,, ， Φβα ∈, ，容易得到
1° 0)0,(),0( == xy ．
2° ),(),(),(),( yxxyxyyx αααα === ．
3° ),(),(),( zyzxzyx βαβα +=+ ．
4° ),(),(),( zxyxzyx βαβα +=+ ．
若标量域是 R ，则 2°， 3°， 4°中的共轭均可以不出现．
定理 7 在内积空间 X 中，若规定 || || ( , )x xx= ，则
（ 1） (, ) | || |x yxy≤ ， Xyx ∈? , ．
（ 2） ||||? 是 X 上的范数， ||)||,( ?X 为线性赋范空间．
证明 1°容易知道当 0=x 或 0=y 时， 0),( =yx ， 此时 （ 1） 中等式成立． 现在设 0≠y ，
对于任意的 Φλ∈ ，
),(),(Re2),(),(0
2
yyyxxxyxyx λλλλ ++=++≤ ．
取
),(
),(
yy
xx
?=λ ，代入得
),(
),(
),(
),(
2),(0
22
yy
yx
yy
yx
xx +?≤ )),(),)(,((
),(
1 2
yxyyxx
yy
?= ．
从而
||||||||),(),(),( yxyyxxyx =≤ ．
2°由定义 7（ 4）知 0|||| ≥x ．若 0|||| =x ，即 0),( =xx ，从而 0=x ．又由定义 7（ 2） ，
||||||),(||),(||||
2
xxxxxx ααααα === ．
由上面 1°的证明知道
),(||||
2
yxyxyx ++=+
),(),Re(2),( yyyxxx ++=
),(),(2),( yyyxxx ++≤
22
| | 2| |||||||||x xy y≤+ +
2
||)||||(|| yx += ．
所以 || || || || || ||x yxy+≤ + ， ||||? 是 X 上的范数．
定理 7 说明任一内积空间是线性赋范空间．以
),(|||| xxx =
定义的 X 上的范数称为由内积诱导的范数．不难验证内积 ),( yx 关于两变元是连续的．即若
xx
n
→ ， yy
n
→ ，则
),(),( yxyx
nn
→ ．
定理 8 赋范空间 ||)||,( ?X 是内积空间当且仅当平行四边形公式成立
)||||||(||2||||||||
2222
yxyxyx +=?++ ， Xyx ∈? , ． （ 9）
证明 先证必要性．若 X 是内积空间， Xyx ∈, ，则
),(),(),(),(),(||||
2
yyxyyxxxyxyxyx +++=++=+
),(),(),(),(),(||||
2
yyxyyxxxyxyxyx +??=??=?
相加即得
)||||||(||2||||||||
2222
yxyxyx +=?++ ．
为了证明充分性，只需证明当平行四边形公式成立时，若 C=Φ ，令
)||i||i||i||i||||||(||
4
1
),(
2222
yxyxyxyxyx ??++??+= ，
若 R=Φ ，令
)||||||(||
4
1
),(
22
yxyxyx ??+= ， （ 10）
则 ),( ?? 即是 X 上的内积并且由它们诱导的范数正好是 ||||? ．这两个等式被称为极化恒等式。
思考题
1、 验证命题 4.
2、 验证闭球
0
(,)Sx r是闭集。
3、 试用解函数方程的办法证明定理 8．
