第 6 讲 紧性与连续映射 教学目的：掌握紧集的概念与基本属性。 授课要点： 1、 紧集、相对紧集和完全有界集的定义与序列式刻划。 2、 紧集在连续映射下的特性。 3、 某些空间中紧子集的特征。 我们称集族 };{ Λλ λ ∈B 覆盖 A，若 .AB ? ∈ λ Λλ ∪ 定义 1 设 X 是度量空间， XA? ． （ 1）称 A 是紧的，若 X 中的任一开集族覆盖 A 时，其中存在有限个开集仍覆盖 A ． （ 2） A 称为是相对紧的，若 A 紧． （ 3）称 XE ? 是 A 的 ε 网，若 AxO Ex ? ∈ ),( ε∪ ． （ 4）称 A 是完全有界的，若 0>?ε ， X 中存在由有限个元素构成的 A 的 ε 网． 注意，在定义 1（ 3）中，作为 A 的 ε 网的集合 E ，并没有要求 XE ? ． 对于一个集 合来说，是否要求 XE ? 并不改变其完全有界性． 首先让我们来看一个例子． 对于 2 null=X ，若 ),0,1,0,,0( null nullnullnullnullnull null n n e = ，则 1|||| 2 = n e ．令 }1;{ ≥= neA n ，则 A 不是紧集．实 际上， nm≠? ， 2|||| =? nm ee ．若取 ? ? ? ? ? ? = 2 1 , nn eOB ，则 }1,{ ≥nB n 是 A 的开覆盖．但由于 每个 n B 只包含一个 n e ，故其中不包含任何有限子族覆盖 A ．注意 A 是 2 null 中的有界集，由于 A 中不存在 Cauchy 序列，所以它还是闭集． 此例告诉我们在无穷维空间情况，有界闭集并不一定是紧集，其中每个无穷序列也不必 有收敛的子序列．换句话说在无穷维空间， Bolzano-Weierstrass 定理并不成立． 思考题 （ 1） 证明定义 1（ 4）下面“注意”中所说的事实。 （ 2） 证明完全有界集一定是有界集． 定理 1 设 X 是度量空间， XA? ，则下面两条件等价： （ 1） A 是紧集． （ 2） A 中任一无穷序列 }{ n x 包含有子序列 }{ k n x ， xx k n → 并且 Ax∈ ． 证明 先设 A 紧， }{ n x 是 A 中的无穷序列．若 }{ n x 无子序列收敛于 A 中的元，则 Ax∈? ， 0>? x r 和自然数 x n ，使得 ?=≥ };{),( xnx nnxrxO ∩ ．注意到 ArxO x Ax ? ∈ ),(∪ ，由 A 的紧性，存在 k xx ′′ ,, 1 null ，使得 ArxO j xj k j ?′ ′ = ),( 1 ∪ ．但当 },,max{ 1 k xx nnm ′′ ≥ null 时， ?=≥′ ′ };{),( mnxrxO nxj j ∩ ，从而 ?=≥′?≥ ′ = };{),(};{ 1 mnxrxOmnx nxj k j n j ∩∪ ， 矛盾． 反之，为证 A 紧，设 };{ Λλ λ ∈B 是 A 的一族开覆盖． x A? ∈ ， B λ ? ， λ Bx ∈ ． λ B 是 开集，故存在 0>r ， λ BrxO ?),( ．记 },),(;sup{ Λλ λ ∈?= BrxOrr x ，显然 0> x r ．我们证明 0inf 0 >= ∈ x Ax rr （称 0 r 是 A 的 Lebesque 数） ． 由下确界定义， n x A?∈， 0 rr n x → ． 根据定理中条件， 存在子序列 n n x ， Axx n n ∈→ 0 ． 不 妨设 0 0 λ Bx ∈ ，于是存在 0 k ，当 0 kk ≥ 时， ? ? ? ? ? ? ? ? ∈ 2 , 0 0 x n r xOx n ，此时 () 00 0 , 2 , 0 λ BrxO r xO x x n n ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ． 于是 )( 2 0 0 kk r r x x k n ≥> ， 0 2 lim 0 0 >≥= ∞→ x x k r rr k n ． （这说明紧集的 Lebesque 数大于 0． ） 现在任取 Ax ∈ 1 ，若 ArxO ?),( 01 并且 1 ),( 01 λ BrxO ? ，则 1 λ B 覆盖 A ．否则存在 ),(012 rxOAx ∈ ．若 ArxO i i ? = ),( 0 2 1 ∪ 并且 2 ),( 02 λ BrxO ? ，则 1 λ B ， 2 B λ 覆盖 A ．否则又存在 ),(0 2 1 3 rxOAx i i= ∈ ∪ ，…．如果这一过程可以无限进行，由此得到序列 }{ n x ，显然 )(),( 0 nmrxxd nm ≠≥ ． }{ n x 无收敛子序列，与（ 2 ）矛盾．于是对于某个 0 n 有 0 0 1 (,) n i i Oxr A = ?∪ ． 设 i BrxO i λ ?),( 0 ， 则 () 00 0 11 , i nn i ii B Oxr A λ == ? ?∪∪ ， A 被有限覆盖． };{ Λλ λ ∈B 是任意的，由定义 A 是紧集． 推论 1 每个紧集是有界闭集．紧集的每个闭子集是紧的． 这是因为对于紧集 A 中的每个序列 }{ n x ，若 xx n → ，必有子列 Axx k n ∈→ ．故 A 闭．另 一方面若 A 紧， XE ? 是闭的，则对于 Ax n ?}{ ，有子列 xx k n →′ ， E 闭，故 Ex∈ ．所以 E 紧． 定理 2 设 X 为度量空间， XA? ，则下面两条件等价： （ 1） A 是相对紧集． （ 2） A 中任一无穷序列 }{ n x 包含收敛子序列（极限点不必在 A 中） ． 证明 1°若 A 紧， AAx n ??}{ ，由定理 1，存在子序列 }{ k n x ， XAxx k n ?∈→ ． 2°反之，设 }{ n x 是 A 中的无穷序列，构造 A 中的无穷序列 }{ n y ， ,. 1 ,\,,(,). nn n nn n nn xxA y xxAAxAdxx n ∈? ? = ? ′′′∈∈ < ? ? 若 若取 则 Ay n ?}{ ．由（ 2） ，存在子列 }{ k n y ， Xyy k n ∈→ ．显然 Ay∈ 并且 1 (,) (, ) (,) (,) 0, kkkk k nnnn n k dx y dx y dy y dy y n ≤+≤+→ 所以 yx k n → ．由定理 1 知 A 紧，从而 A 相对紧． 定理 3 设 X 是度量空间， XA? ，则下面两条件等价： （ 1） A 是完全有界集． （ 2） A 中任一无穷序列 }{ n x 包含 Cauchy 子序列． 证明 1°若 A 是完全有界的， Ax n ?}{ ．取 2 1 =ε ，则 A 有有限 2 1 网， }{ n x 是无限的， 故至少有一个半径为 2 1 的球包含无穷多个 n x ，记它们为 }{ 1i x ，显然 1),( 11 < ji xxd ． }{ 1i x 作为 A 的子集同样是完全有界的 . 现在取 2 2 1 =ε , }{ 1i x 有有限的 2 2 1 网，其中之一包含 }{ 1i x 中无 穷多个元，记为 }{ 2i x ，显然 2 1 ),( 22 < ji xxd ，…．如此下去，得到可数多个序列，每个序列 是前面一个的子序列．利用对角线方法选取 }{ nn x ，它是 }{ n x 的子序列，由我们的取法知道， }{ nn x 是 Cauchy 序列． 2°若 A 不是完全有界的，则存在 0 0 >ε ， A 不具有有限 0 ε 网．换句话说任取 Ax ∈ 1 ， AxO ? / ),( 01 ε ，故有 ),(012 εxOAx ∈ ，又 AxO i i ? / = ),( 0 2 1 ε∪ ，从而有 null, 3 x ．显然 0 ),( ε≥ mn xxd )( nm≠ ， }{ n x 不包含任何 Cauchy 子序列，矛盾． 推论 2 设 X 是度量空间， XA? ． （ 1） A 是紧集则 A 必是相对紧的． A是相对紧的则 A 必是完全有界的． （ 2）若 A 是闭集，则 A 紧当且仅当 A 相对紧． （ 3）若 X 完备，则 A 相对紧当且仅当 A 完全有界． （ 4）整个空间 X 是紧的当且仅当 X 完备并且完全有界． 推论 3 设 n A Φ? ，则以下条件等价： （ 1） A 是有界集． （ 2） A 是完全有界集． （ 3） A 是相对紧集．　 特别地，在有限维线性赋范空间中 A 是紧集当且仅当 A 是有界闭集． 证明 （ 3） ?（ 2） ?（ 1）是显然的． （ 1） ?（ 3）根据 Bolzano-Weierstrass 定理得 到． 定理 4 设 X ， Y 是度量空间，其中 X 紧， YXT →: 是连续映射，则 （ 1） )(XT 是紧集． （ 2） T 在 X 上一致连续 . 即 0>?ε ， 0>?δ ，对于任何 Xxx ∈′, ，只要 δ<′),( xxd ， 则 ε<′))(),(( xTxTd ． （ 3）若 f 是 X 上的实值连续函数，则 f 在 A 上可以达到上、下确界． 证明 1° 若 )(XTy n ∈ ，不妨设 )( nn xTy = ， Xx n ∈ ， 1≥n ． X 紧，故存在 }{ k n x ， Xxx k n ∈→ 0 ，记 )( 00 xTy = ． T 连续，故 )()()( 00 XTyxTxTy kk nn ∈=→= ．由定理 1, )(XT 紧． 2°若不然，则存在 0 0 >ε ， Xxx nn ∈′, ， n xxd nn 1 ),( <′ ，但 0 ))(),(( ε≥′ nn xTxTd ． A 紧， 故存在 }{ k n x ， Xxx k n ∈→ 0 ．从而 0 xx k n →′ ，由 T 在 0 x 的连续性， )()( 0 xTxT k n → ， )()( 0 xTxT k n →′ ． 0))(),(())(),(())(),(( 00 →′+≤′ kkkk nnnn xTxTdxTxTdxTxTd 这与 0 ))(),(( ε≥′ kk nn xTxTd 矛盾． 3°由 1°， )(xf 在 R 中紧，故 )(xf 是有界集，记 )(sup xfa Xx∈ = . 由上确界定义，存在 Xx n ∈ ， axf n →)( ． X 紧， 故 }{ n x 中有子列 }{ k n x ， Xxx k n ∈→ 0 ， 所以 )()( 0 xfxf k n → ， axf =)( 0 ．对于下确界同样证明． 紧性在很多学科中都会用到， 有时候知道某空间或其中的某个子集是紧或相对紧的是很 重要的． 例 1 空间 )(?C 中的相对紧集． 设 ),( d? 是紧度量空间， )(?C 是 ? 上定义的标量值连续函数全体．定义 |)(|sup|||| txx t ?∈ = ， )(?Cx∈? ． （ 1） 容易验证， |||| x 有确定的意义 （即有限实数） ， ||||? 是 )(?C 上的范数并且 )(?C 是 Banach 空间． )(?C 的子集 K 称为是等度连续的函数族， 若 0>?ε ， 存在 0)( >= εδδ 使得 ?∈? 21 ,tt ， δ<),( 21 ttd ，则 ε<? |)()(| 21 txtx ， Kx∈? ． （ 2） 定理 5（ Arzela-Ascoli） )(?CK ? 是相对紧集当且仅当 K 是 )(?C 中范数有界的等度 连续函数族． 证明 充分性．由于 )(?C 的完备性只须证明 K 完全有界． 0ε?>，由等度连续性，取 0>δ 使得当 δ<′),( ttd 时， 3 |)()(| ε <′? txtx ． ? 是紧空间， 故有有限 δ 网 n tt ,, 1 null ，使得 ?∈?t ， i? ， δ<),( i ttd ．此时 3 |)()(| ε <? i txtx ． （ 3） 记 })(:))(,),(( ~ { ~ 1 KtxtxtxxK n ∈== null ， K ~ 是 n Φ 中的点集，并且对于每个 Kx ~ ~ ∈ ， ∞<≤≤ ∈∈ ≤≤ = ∑ |)(|supsup|)(|max|)(| 1 1 2 txntxntx tKx i ni n i i ? 即 K ~ 为 n Φ 中的有界集，从而是完全有界集（推论 3） ． 对于 ε ， K ~ 有有限 3 ε 网 k xx ~ ,, ~ 1 null ， 我们证明， 与 k xx ~ ,, ~ 1 null 相应的函数 k xx ,, 1 null 是 K 的 ε 网． 实际上， Kx∈? ，对应的 Ktxtxx n ~ ))(,),(( ~ 1 ∈= null ，从而有 ))(,),(( ~ 1 njjj txtxx null= 使得 3 |)()(| 1 2 ε <? ∑ = n i iij txtx ， （ 4） 此时 3 |)()(| ε <? iij txtx ， ni ≤≤1. ?∈?t ，取 i t ，使 δ<),( i ttd ，则由（ 3） ， （ 4） ， ε εεε =++<?+?+?≤? 333 |)()(||)()(||)()(||)()(| txtxtxtxtxtxtxtx jijijiij ． 所以 ε ? <?=? ∈ |)()(|max|||| txtxxx j t j ， 即 ),( ε j xOx∈ ． K 是完全有界的． 必要性．设 K 是相对紧集，则 K 是范数有界集． 为证明 K 等度连续， 0>?ε ，设 k xx ,, 1 null 为 K 的 3 ε 网，每个 i x )1( ki ≤≤ 在 ? 上连续， 从而一致连续．于是存在 0>δ ，当 δ<′),( ttd 时， 3 |)()(| ε <′? txtx ii ， 1 ik≤ ≤ ． 对于每个 Kx∈ ， |)()(||)()(||)()(||)()(| txtxtxtxtxtxtxtx iiii ′?′+′?+?≤′? |)()(|||||2 txtxxx iii ′?+?< ε εε =+< 33 2 ．　 故得之． 思考题 1、 若函数族 |)(| tf n 在紧集 A 上等度连续并且点点收敛，则 |)(| tf n 在 A 上一致收敛． 2、 设 ],[ baCE ? ， E 有界且满足 )10( ≤<αα 阶 Lipschitz 条件 12 12 |() ()| | |x txt Ltt α ?≤?， ],[, 21 batt ∈ ， Ex∈? ， 则 E 是 ],[ baC 中的相对紧集．