数字图像处理与分析基础
6.4线性空域滤波器
? 线性空域滤波器
? 与频域滤波器的关系
? 线性平滑滤波
? 锐化滤波
数字图像处理与分析基础
6.4.1线性空域滤波器
“空域滤波”
)],()([
),(*),(),(
njmihm,nf
jihjifjig
m n
???
?
? ?
f(x,y)为输入图像, h(x,y)为滤波函数
数字图像处理与分析基础
空域滤波基本原理
f(x-1,y-1) f(x-1,y) f(x-1,y+1)
f(x,y-1) f(x,y) f(x,y+1)
f(x+1,y-1) f(x+1,y) f(x+1,y+1)
图像原点 y
x
w(-1,-1) w(-1,0) w(-1,1)
w(0,-1) w(0,0) w(0,1)
w(1,-1) w(1,0) w(1,1)
（ a） 模板下的图像像素 （ b） 模板系数以及与图像像素对应位置关系
图 6-32 空域滤波的基本原理
)1,1()1,1(),1()0,1()1,1()1,1(
)1,()1,0(),()0,0()1,()1,0(
)1,1()1,1(),1()0,1()1,1()1,1(
?????????
??????
????????????
yxfwyxfwyxfw
yxfwyxfwyxfw
yxfwyxfwyxfwR
数字图像处理与分析基础
一般形式（式 6-67）
? ?
?? ??
???
a
as
b
bt
tysxftswyxg ),(),(),(
其中 a=(m-1)/2,b=(n-1)/2，
x=0,1,2,…,M-1,y=0,1,2,…,N-1，
且一般模板取对称的形式
数字图像处理与分析基础
更一般的形式
图 6-33 3?3空域滤波模板更一般的表述形式
w1 w2 w3
w4 w5 w6
w7 w8 w9
一般的文献和图像处理软件中，只给出模板系数的
编号
?
?
????
9
1
992211
i
ii zwzwzwzwR ?
数字图像处理与分析基础
6.4.2与频域滤波器的对应关系
h(x,y) ? H(u,v)
?空域的低通滤波器在频率域仍然是低通滤波器
?空域的高通滤波器在频率域仍然是高通滤波器
22 2/)( ?ueuH ?? 22222)( xexh ???? ??
222212 2/2/)( ?? uu BeAeuH ?? ??
22222212 2
2
2
1 22)(
xx BeAexh ???? ???? ?? ??
数字图像处理与分析基础
u(a)
H(u)
（ c）相应的空域 通滤波器； (d)空域高斯高通滤波器；(c)
x
h(x) ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
111
111
111
9
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
121
242
121
16
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
???
111
181
111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
010
141
010
图 6-34 (a)频域高斯低通滤波器； (b)频域高斯高通滤波器；
数字图像处理与分析基础
6.4.3线性平滑滤波
? 低通滤波器
? 邻域平均
数字图像处理与分析基础
?
?
?
smn
mnfMyxg
),(
),(1),(
??
?
?
? ?
? ? ?? ?
e ls e, y ),f ( x,
T|),(1-y)f ( x,| ),,(1
),( ),( ),(smn smn
mnf
M
ifmnf
Myxg
? ?
?? ??
???
m
mi
n
nj
jyixfjiWyxg ),(),(),(
1.
2.
3.
邻域平均
W(2m+1)?(2n+1)为权矩阵，相近灰度权值大，差
值大权值小。
优点：减少边缘模糊并去噪声。
数字图像处理与分析基础
四邻域与八邻域
图 6-35 从数字图像中抽取对称邻域
半径 =?x= ?y
点 +的四邻域
（ a）
半径 = ?x= ?y
点 +的八邻域
（ b）22
数字图像处理与分析基础
图像处理效果
图 6-36 邻域平均法去噪声
（ a）原图
（ c） 3?3邻域平滑 （ d） 7?7邻域平滑
（ b）添加椒盐噪声
数字图像处理与分析基础
典型加权平均算子
（ 1）中心加权算子
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
111
121
111
10
1
2）中心和四邻点加权算子
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
121
242
121
16
1
模板设计要求,对称、归一化、奇数
数字图像处理与分析基础
变系数 —— 上下文有关算子
（ 3）按灰度近似程度加权算子
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
??
?????
)1,1(),1()1,1(
)1,(2/1)1,(
)1,1(),1()1,1(
1
jijiji
jiji
jijiji
k
???
??
???
)0,(,|),(),(|),(
),()],([
2
1
),(
1
1
1
1
1
1
???????
???????
?
?? ??
?? ?
lkjifljkifljkiD
ljkiDnjmiDljki
m n
?
? ?
?? ??
????
1
1
1
1
1)],([
2
1
m n
njmiDk
数字图像处理与分析基础
空域平滑滤波器小结
1,平滑滤波器本质上是一种低通滤波器，模板
的所有系数都是正数。
2,在设计滤波器时通常还要求行列数为奇数，
保障中心定位性能。
3,空域低通滤波的去噪能力与它的模板大小有
关，模板越大，去噪声能力越强；
4,空域低通滤波具有平滑的效果，在去除噪声
的同时模糊了图像边缘、细节。
数字图像处理与分析基础
6.4.4锐化滤波（ sharpening filter）
? 消除图像模糊的增强方法称为,图像锐化,
? 加强图像的目标边界和图像细节
数字图像处理与分析基础
离散空间差分法
J
I
f(x,y) y
0 0
y
0 xx x
y
0
fe(x)
P’’
fe(x)
边缘特征,空域 ——灰度有较大起落；
频域 ——高频分量。
边缘点：其两边象素的灰度级有显著的不同，一个在
较亮的区域内部，一个在外部，边缘点位于这样的一
对邻点之间。
边缘：阶跃边缘、屋顶状边缘（灰度从增加到减少的
变化转折点）
数字图像处理与分析基础
梯度算子（ gradient）
性质, 1) G[f(x,y)]最大增加率的方向 ;
2) |G[f(x,y)]|=[(?f/ ?x)2+( ?f/ ?y)2]T
差分代替微分
前向差分定义：
?fi= fi+1 - fi,
?nfi= ?n-1 fi+1 - ?n-1 fi,
后向差分定义：
?fi= fi - fi-1,?nfi= ?n-1 fi -?n-1 fi-1,
?fi= fi+1/2 - fi-1/2,?nfi= ?n-1 fi+1/2 -?n-1 fi-1/2,
f(x,y) f(x+1,y)
f(x+1,y)
G[f(x,y)]=[?f/ ?x,?f/ ?y]T
数字图像处理与分析基础
1、基于一阶微分的算子
梯度定义为
)],(),,([)],([ jifjifyxfG yx ???
模值和方向分别为：
? ? 2/122 )),(()),(()],([),( jifjifyxfGyxg yx ?????
)],(/),([1 jifΔjifΔt a n xy???
2
1
22 })]1,(),([)],1(),({[),( ??????? yxfyxfyxfyxfyxg
数字图像处理与分析基础
近似形式
f ( x,y )Δf ( x,y )Δg ( x,y ) yx ??
)f ( x,y )Δ,f ( x,y )Δ(g ( x,y ) yxm a x?
),()(ma x),( nmfx,yfyxg ??
（ 1）
（ 2）
（ 3）
注：简化后的梯度算子不具有各向同性的性质
数字图像处理与分析基础
（ 4） Roberts算子
|)1,(),1(|
|)1,1(),(|)],([
})]1,(),1([
)]1,1(),({[)],([
2
1
2
2
????
????
????
????
?
?
yxfyxf
yxfyxfyxfG
yxfyxf
yxfyxfyxfG
f(x,y) f(x+1,y)
f(x+1,y+1)f(x,y+1)
数字图像处理与分析基础
（ 5） Sobel算子
)}1,1()1,(2)1,1({
)}1,1()1,(2)1,1({
)}1,1(),1(2)1,1({
)}1,1(),1(2)1,1({
????????
????????
????????
????????
yxfyxfyxf
yxfyxfyxfS
yxfyxfyxf
yxfyxfyxfS
y
x
22),( yx SSSyxg ???
||||),( 22 yx SSyxg ??
数字图像处理与分析基础
（ 6） Prewitt算子
}1,1()1,()1,1({
11111
11111
11111
）????????
????????
????????
????????
yxfyxfyxf
)},yf ( x）f ( x,y),y{ f ( xP
)},yf ( x,y )f ( x),y{ f ( x
)},yf ( x,y )f ( x),y{ f ( xP
y
x
数字图像处理与分析基础
模板形式
1 0
0 -1
0 1
-1 0
图 6-39(a)Roberts算子 (b)Sobel算子
-1 -2
0 0
1 2
-1
0
1
-1 0
-2 0
-1 0
1
2
1
(c)Prewitt算子
-1 -1
0 0
1 1
-1
0
1
-1 0
-1 0
-1 0
1
1
1
数字图像处理与分析基础
处理效果比较
图 6-40 一阶微分算子的效果
（ b）原图 （ b） Robert算子
（ c） Sobel算子 （ d） Priwitt算子
数字图像处理与分析基础
(1)g(x,y)=G[f(x,y)],if G[f(x,y)] ?T;
else f(x,y),(T ?0)
(2) g(x,y)=LG,if G[f(x,y)] ?T;
else f(x,y).
(3) g(x,y)= G[f(x,y)],if G[f(x,y)] ?T;
else LB
(4) g(x,y)= LG,if G[f(x,y)] ?T;
else LB
锐化 /增强处理
数字图像处理与分析基础
2、二阶微分 —— Laplacian算子
2
2
2
2
2 ),(),(),(
y
yxf
x
yxfyxf
?
??
?
???
拉普拉斯（ Laplacian）算子，二阶偏导数的和。
是一个标量，具有各向同性的性质。
其离散计算形式定义为：
),(4)1,()1,(),1(),1(
)]}1,(),([)],()1,({[
)]},1(),([)],(),1({[
),(),(
2
yxfyxfyxfyxfyxf
yxfyxfyxfyxf
yxfyxfyxfyxf
yxLyxf
?????????
??????
??????
??
数字图像处理与分析基础
0 -1 0
-1 4 -1
0 -1 0
典型的 Laplacian模板
-1 -1 -1
-1 8 -1
-1 -1 -1
1 -2 1
-2 4 -2
1 -2 1
数字图像处理与分析基础
比较一阶微分算子和二阶微分算子去模
糊的能力
数字信
号
3 2 1 0 0 0 6 0 0 0 0 1 3 1 0 0 0 0 7 7 7
一阶微
分
-1 -1 -1 -1 0 0 6 -6 0 0 1 2 -2 -1 0 0 0 7 0 0
二阶微
分
0 0 0 1 0 6 -12 6 0 1 1 -4 1 1 0 0 7 -7 0
信号特
点
斜坡 脉冲 平坦区 细线 阶跃
数字图像处理与分析基础
结论
1,沿着斜坡，一阶微分都不为零，二阶微分的非零值只出现在
斜坡的起始处与终点处。斜坡在图像中对应边缘特征，因此一
阶微分增强后图像的边缘区较宽，而二阶微分的边缘较细。这
一特点使得它在图像的边缘检测算子中得到更多应用。
2,脉冲对应图像中的椒盐噪声，二阶微分放大噪声的能力很强。
3,细线对应高斯噪声模糊，二阶微分去模糊能力很强。
4,一阶微分对阶跃信号响应强烈，且是单响应。
5,二阶微分对阶跃信号产生双响应。因此二阶微分用于边缘提
取时要考虑正负性。
6,总之在图像增强，如去图像模糊时，二阶微分算子的效果更
好一些。一阶微分则在图像边缘提取中更常用。
数字图像处理与分析基础
锐化算子一般形式
线性锐化算子的卷积核（模板）中，应该以差分为主
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
121
252
121
H
数字图像处理与分析基础
Rosenfield非线性门式算子
||),( )()()( kRkLk ggjiGA ??
?
?
?
?
)(,
2
)( ),(
2
1
k
LWlk
k
k
L lkfg
?
?
?
)(,
2
)( ),(
2
1
k
RWlk
k
k
R lkfg
LWL(k)
WR(k)
2K
图 6-42 Rosenfield
非线性门式算子
数字图像处理与分析基础
锐化小结
? 锐化 /空域高通滤波器，具有去模糊、增强图像
边缘与细节特性的功能；
? 空域高通滤波器能实现高频增强的原因是微分
运算，离散图像中由差分实现；
? 一阶微分算子的阶跃边缘检测能力更强；
? 在细线的增强以及去聚焦模糊等应用中二阶微
分算子的效果更好；
? 空域高通滤波器在增强信号的同时对噪声的放
大也很严重，因此要结合平滑滤波设计复合型
的算子才能在使用中取得较好的效果。