固体物理学导论
基特尔
绪 论
一,关于教材
这门课选用的教材是基特尔著, 固
体物理学导论, （第七版）。这本
教材的特点是全书有一个统一的指
导思想、有一个统一的线索将所有
内容串连起来，这条线索就是 周期
结构中的波动过程 。
绪 论
二、固体物理学的发展
现代固体物理学大致建立于本世纪
三十年代，在此之前，已经在下述四个
方面为固体物理学的创建作了准备：
1、有悠久历史的晶体学的研究
2、固体比热理论的建立
3、关于金属导电的自由电子理论
4、关于铁磁性的研究
绪 论
三、主要内容
固体物理是研究晶体结构和
晶体中原子、电子运动规律的学
科。
绪 论
不能根据固体的外形特点来判断
一种固体是否是晶体，应当根据固
体内部原子排列的规律性来判断一
种固体是否是晶体。 若一种固体在
微观大范围内（微米数量级）原子
的排列是有规律的、周期性的则称
为晶体，反之则不是晶体。
绪 论
晶体有单晶和多晶之分，若将晶体分
裂成尺寸为微米数量级的颗粒，这些颗
粒称为晶粒。
在晶粒内部原子的排列是有一定规律
的，晶粒之间的排列是混乱的，这样的
晶体称之为多晶体。
若整个晶体中原子的排列是遵守同一
规律，这种晶体称为单晶体。
绪 论
晶体是由相同的结构单元组成
的，固体物理研究的对象是理想晶
体，即在晶体中原子的排列遵从完
全的严格的周期性。
绪 论
? 晶体内部原子的排列在任何地
方都不会破坏它的周期性。若某
个原子的位置与周期性发生了偏
离就称为缺陷，这也就是说，理
想晶体是无缺陷、杂质的完整晶
体。
绪 论
? 理想晶体在各处应遵从同一的
周期性，即在边界上的原子也应
有这样的周期性。但实际晶体边
界上的原子与内部原子的周期性
是不一样的。因此理想晶体应该
是无边界的其周期性是无限延伸
的，不会在任何地方终止。
绪 论
只有充分研究了理想晶体
以后，才能研究晶体的缺陷、
杂质以及非晶体等。我们这门
课所研究的对象是理想晶体。
参考书目
1.基特尔著 科学出版社
,固体物理学导论, （第五版）中译本
2,黄 昆原著，韩汝琦改编
,固体物理学, 高教出版社
3.顾秉林 王喜坤编
,固体物理学, 清华大学出版社
4.陈 洗编
,固体物理基础, 华中理工大学出版社
5.刘友之等编
,固体物理习题指导书,
6.Ashcroft et,al
,solid state Physics”
第一章 晶体结构
§,原子的周期性列阵
1.点阵和基元
晶体就是原子或原子团在三维空间无限地排
列起来的列阵。它的基本特点就是原子或原子
团排列的周期性。从这个意义上来讲，晶体结
构实际上就是周期结构。固体物理的研究对象
是周期结构，怎样分析和处理一个周期结构就
是本章要解决的问题。
第一章 晶体结构
若有一个由五角星排列成的二维周期结构：
第一章 晶体结构
点阵是周期结构中等同点的
几何抽象，点阵所描写的或所代
表的仅仅是晶体结构的周期性质,
点阵并不同于周期结构本身，只
有把物理实体以相同的方式放置
在点阵的阵点上（方位要相同）
才能形成周期结构。
第一章 晶体结构
现在我们回到晶体结构的研究上来，
若有一个二维的晶体结构是由下列原子
团重复堆积而成：
第一章 晶体结构
基元就是构成晶体结构的原子
或原子团，基元以相同的形式排列
在空间就构成了晶体结构，基元可
以是一个原子，也可以是成千上万
个原子或原子团以及分子组成的。
第一章 晶体结构
点阵是在空间规则地排列着
的点的列阵。它是晶体结构中等
同点的几何抽象，从点阵中的任
一个阵点去观察，周围的阵点的
分布情况和方位是一样的。
第一章 晶体结构
点阵是为了描写晶体结构的周期性从
具体晶体中抽象出来的一系列规则排列
的点的列阵，基元是组成晶体的具体的
原子或原子团，是实实在在的物理实体，
基元以相同的方式，即在点阵的阵点上
进行重复才能得到晶体结构，这可以归
纳为一个公式：
点阵 ＋基元 ＝ 晶体结构
第一章 晶体结构
2.点阵平移矢量
若有一个二维晶体如下图：
第一章 晶体结构
为了描写一个点阵，在二维情况
下可以选取任意两个不共线的基本
矢量，由这两个基本矢量的整倍数
的和可以确定点阵中任意一个阵点
的坐标 （或点阵矢量）：
R = ua + vb (u,v 为整数）
这两个基本矢量 a,b就叫作这
个点阵的初基平移矢量，简称基矢。
b3
a6
b5b2
b1
a3 a4
b4
b6
a5a2
a1
第一章 晶体结构
对于一个三维点阵，我们可
以选取不共面的三个矢量，由
这三个矢量整数倍的线性组合
会确定点阵中任一点的位置即：
R = ua + vb +wc
其中 u,v,w为整数。
第一章 晶体结构
晶体中等同点的排列称之为布拉菲点
阵（ Bravais lattice）,是晶体中基元排
列周期性的一种数学抽象。
一个三维的布拉菲点阵可以这样来定
义：即由点阵平移矢量
R = ua +vb +wc
联系起来的诸点的列阵其中 u,v,w为整
数,a,b,c为不共面的三条基矢。
第一章 晶体结构
3.基元和点阵的初基晶胞
各原子的位置用基元中各原子
相对于阵点的相对坐标来表示。
基元中第 j个 原子的坐标为：
r = x a + y b + z c
其中 0 ≤ x, y, z ≤ 1
第一章 晶体结构
组成晶体的最小体积单元称为
初基晶胞,将初基晶胞平移所有
点阵平移矢量，初基晶胞必然会
填满整个空间既不会留下空隙，
也不会自身重叠。
第一章 晶体结构
例如有一个二维晶体如下图,
b?32
非初级晶胞
初
级
晶
胞1
2
3
b? a?41
a?
第一章 晶体结构
由基矢构成的平行六面体
必定是初基晶胞，每个初基
晶胞中必定只包含一个阵点。
第一章 晶体结构
对于一个点阵，初基晶胞的选
取不是唯一的，无论初基晶胞的
形状如何，初基晶胞的体积是唯
一的，体积就等于基矢构成的平
行六面体的体积：
V = （ a× b）, c
第一章 晶体结构
晶体可以看成是一些相同的积木
块堆积起来的。这些积木块往往是
一些体积单元，称之为晶胞。组成
晶体的最小的体积单元称之为初基
晶胞。将初基晶胞平移所有的点阵
平移矢量，初基晶胞必然会填满整
个空间，既不会留下缝隙、也不会
自身重叠。
第一章 晶体结构
根据初基晶胞的定义，由基
矢组成的平行六面体必定是初基
晶胞（在二维情况下是一个平行
四边形），初基晶胞必定只包含
一个阵点
第一章 晶体结构
对于一个点阵，初基晶胞的选取
不是唯一的（因为基矢的选取就不
止一种，因而晶胞的选取也不止一
种），无论初基晶胞的形状如何，
初基晶胞的体积是唯一确定的，初
基晶胞的体积就等于基矢构成的平
行六面体的体积。
第一章 晶体结构
初基晶胞和基元是两个
完全不同的概念，初基晶胞
是一个体积单元，而基元是
具体的原子或原子团，是一
个结构单元。一个初基晶胞
只包含一个阵点，也就是说
一个初基晶胞中只有一个基
元 。
第一章 晶体结构
我们今后还有一种常见的晶
胞叫做维格喇－赛斯晶胞，它是
这样来构成的：
（ 1）把某个阵点同所有与它相邻
的阵点用直线连接起来。
第一章 晶体结构
（ 2）在这些连线的中点处做垂直
面（二维情况下做垂直线），这
些垂直面（或垂直线）所围成的
最小体积（或最小面积）就称作
维格喇－赛斯晶胞（简称为Ｗ－
Ｓ晶胞）。
第一章 晶体结构
W-S晶胞是一个初基晶胞，也
就是说，把这个晶胞平移所有点
阵平移矢量，它会填满整个空间，
既不会留下缝隙，也不会自身重
叠。
第一章 晶体结构
W-S晶胞是一个初基晶胞，它的对称性
可以反映出整个晶体的对称性，是一种非
常重要的晶胞。 (如下图 )
w-s 晶胞
第一章 晶体结构
下面我们以二维蜂巢状网络
作为一个例子，来看它的基
矢、布拉菲点阵、初基晶胞
以及 W-S晶胞等
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
§ 2,点阵的基本类型
1,对称操作
布拉菲点阵有一些基本性质，
对称性是其基本性质之一。点阵的
类型是由点阵的对称性来区分的。
第一章 晶体结构
所谓点阵的对称操作是这样一
种运动或动作，将点阵经过这样
一种操作后，点阵中的所有阵点
都会落到操作前的等价点上，这
种操作的结果是把点阵引入到与
原始状态完全等价的构型上。
第一章 晶体结构
对称操作通常包括两大类：
?平移对称操作
?点对称操作
第一章 晶体结构
平移对称操作：
把点阵或晶体平移点阵矢量
群中的任一矢量的操作称之为平
移对称操作。经过这种操作点阵
（或晶体）自身是还原的，这种
性质称为平移对称性。
第一章 晶体结构
点对称操作：
在操作的过程中点阵或晶体中
至少有一个点是保持不动的，这种
操作称为点对称操作。同样，经过
点对称操作，点阵或晶体也观察不
到任何变化。
第一章 晶体结构
点对称操作主要分以下几类：
（ 1）转动
将点阵（或晶体）绕通过某一
定点的轴进行旋转，如果，每转动
2π /ｎ点阵都是自身还原的，则相
应的转动轴，我们称之为ｎ重转动
轴。转动轴的符号用 1,2,3,4,6
表示。
第一章 晶体结构
（ 2）镜面反映
若一个点阵以通过某一定点的
平面为镜面，将点阵反映为它的镜
象，点阵是自身还原的，这种对称
性称为镜面对称性，这种操作称为
镜面对称操作。通常用符号ｍ或 σ
表示。
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
（ 3）中心反演
通过某一定点的直线为轴，将点阵
或晶体先转动 1800,然后通过过这一定
点而垂直于旋转轴的平面再作镜面反映
的操作称为中心反演。这样的操作效果
相当于把（ｘ，ｙ，ｚ）变成为（－ｘ，
－ｙ，－ z）。原点 O称为对称心，中心
反演一般用ｉ表示。
第一章 晶体结构
（ ４ ） 转动反演
通过过某定点的轴把点阵先
转动 2π /ｎ, 再进行中心反演,
相应的转动轴称为ｎ重转动反演
轴, 用符号ｎ表示, ｎ只可能取
1,2,3,4,6。
第一章 晶体结构
（５）转动反映
绕通过某一定点的转轴
将点阵先转动 2π /ｎ，接着
对垂直于转轴的平面作镜面
反映。
第一章 晶体结构
转动轴、对称心、镜面等
这些几何元素，即进行对称
操作所依靠的几何元素称为
对称元素。
第一章 晶体结构
对称操作是一种运动、是一
种动作，只有当晶体存在对称元
素时才能进行对称操作，对称操
作只有与对称元素相联系才可能
进行，它们是相互关联的，对称
元素的存在只有依靠对称操作才
能证实。
第一章 晶体结构
点阵（或晶体）中的对称元素：
（ａ）转动轴,1,2,3,4,6
（ｂ）转动反演,4
（ｃ）对称心,ｉ
（ｄ）镜面,ｍ
第一章 晶体结构
一种点阵可以同时存在若干种对
称元素。对称操作的一种特定的组
合方式叫做点群。点群在, 群论,
中有严格的定义，点群代表的是点
阵或晶体的对称性，也就是点阵或
晶体能进行什么样的对称操作。
第一章 晶体结构
立方晶系的对称性（对称操作）：
?对称元素：
（ 1）有 3个相互垂直的四重轴，绕这
些四重轴将点阵转 π /2，点阵是自
身还原的，通常把四重轴叫做立方
轴，它通过立方体的中心点，记作 4。
第一章 晶体结构
（ 2）有 4个三重轴，即体对角
线的连线，点阵或晶体转动
2π /3是自身还原的，记作 3。
第一章 晶体结构
（ 3）有 6个二重轴，即立方体
的一个边的中点到对面的另
一条对边中点的连线，绕这
样的轴每转动 π,点阵是自
身还原的，记作 2。
第一章 晶体结构
（ 4） 有一个对称心，作
中心反演点阵自身是还
原的，记作ｉ。
第一章 晶体结构
立方晶体的对称操作：
有一个 4重轴就会有 3种对称操作：
π /2,π, 3π /2
（ 2π 另外考虑）
共有 3个 4重轴共有
3× 3＝ 9种对称操作。
第一章 晶体结构
有一个 3重轴就会有两种对
称操作 2π /3,4π /3
（ 2π 另外考虑）
共有 4个 3重轴一共有
4× 2＝ 8种对称操作。
第一章 晶体结构
有一个 2重轴就会有一种
对称操作 π
（ 2π 另外考虑）
共有 6个 2重轴就会有：
6× 1＝ 6种对称操作。
第一章 晶体结构
所有的转动 2π 算一种对称
操作。
因此立方晶体的纯转动对称
操作有：
9＋ 8＋ 6＋ 1＝ 24种。
第一章 晶体结构
每一个转动对称操作再作中
心反演还是对称操作（由于立
方晶体有一个对称心），所以
立方晶体的全部对称操作为：
24× 2＝ 48种。
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
正四面体的对称操作：
一个正四面体可在立方体中画出，
它的四个面都是正三角形，边长是立
方体的面对角线，立方体的中心为 O点，
有三个立方轴，这些轴虽然是立方体
的四重轴但不是四面体的四重轴，而
是二重轴。因为每转动 π 晶体自身是
还原的。所以正四面体有三个二重轴。
第一章 晶体结构
体对角线的延长线是
正四面体的三重轴（也是
立方体的三重轴）。每转
动 2π /3晶体自身是还原的，
共有四个三重轴。
第一章 晶体结构
立方轴既是正四面体的二重轴
又是四重转动反演轴（正四面体
虽然没有对称心，没有四重轴，
但有四重转动反演轴）。共有 3
个四重转动反演轴。
第一章 晶体结构
还有 EFDC是对称面，
对此面进行镜面反映，
正四面体无变化，这
样的对称面共有 6个。
第一章 晶体结构
正四面体的对称操作共有：
1个 2π
3个 2 3× 1＝ 3；
4个 3 4× 2＝ 8
3个 4 3× 2＝ 6
6个ｍ
对称操作共有 1＋ 3＋ 8＋ 6＋ 6＝ 24（种） 其中：
纯转动对称操作＝ 1＋ 3＋ 8＝ 12（种）。
第一章 晶体结构
正四面体只具有立方体
的一部分对称操作，因此
它的对称性没有立方体高。
第一章 晶体结构
上面讲的对称性主要是点对
称性，即在操作的过程中至少有
一个点保持不动。若再考虑到平
移对称性，还有两种对称操作，
这两种对称操作只有晶体结构才
有，点阵没有这种对称操作。一
种是ｎ重螺旋轴，另一种是滑移
面对称。
第一章 晶体结构
将晶体结构绕定轴转动 2π /ｎ，
接着再对转轴平移 T／ｎ,T为沿
轴向的最短的平移周期，这个轴
称为ｎ重螺旋轴。
第一章 晶体结构
将晶体先作镜面反映，再滑移
T/ｎ后可得到原子的等价点，这
种操作称为滑移面对称操作。
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
2.惯用晶胞
为了能反映出点阵的对称性，
选取的晶胞称为惯用晶胞。惯用
晶胞选取的原则是在反映点对称
性的前提下，体积最小的晶胞。
第一章 晶体结构
惯用晶胞可以是初基的，也可以
是非初基的，若一个初基晶胞能反
映出点阵的对称性。那么它也就是
惯用晶胞。比如立方点阵，初基晶
胞也就是惯用晶胞。惯用晶胞的体
积总是等于初基晶胞体积的整数倍
V＝ｎ Vｃ
ｎ为惯用晶胞中的阵点数。
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
为了反映点阵的对称性就要考
虑点阵所选取的惯用晶胞的晶胞参
量。二维空间中是晶胞的棱长和夹
角，三维情况下，是三棱的长ａ，
ｂ，ｃ及三棱之间的夹角。
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
经常用到的一个物理量是点阵
常数。
所谓 点阵常数是描写惯用
晶胞几何尺寸的数字 。如立方点
阵的点阵常数只要知道棱长ａ即
可，长方体为三棱长ａ，ｂ，ｃ。
第一章 晶体结构
3．二维点阵类型
（ 1）二维斜方
a≠b,ψ 是任意
的,只有独立操作 1.
是二维点阵中对称
性最低的一种。
第一章 晶体结构
（ 2）二维六角
由对称操作 3.6要
求，阵点分布如图。
a=b,ψ =120 0，
它既是初级晶胞，
又是惯用晶胞。
第一章 晶体结构
（ 3）二维正方
由点对称操作 4要求,a=b，
ψ =90 0 。
第一章 晶体结构
（ 4）二维矩形
由镜面对称性所要求。
（ 5）二维有心矩形
由镜面对称性所要求。
二维矩形 a≠b,ψ = 90 0
二维有心矩形 a≠b,ψ ≠90 0
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
4.三维点阵类型
在三维空间点对称操作与平
移对称操作的组合共有 14种，因
此三维空间只有 14种 Bravais点
阵，分属 7个晶系。
第一章 晶体结构
(1）立方晶体
有三种不同的类型，这三种点
阵的惯用晶胞都是立方体，惯用晶胞的
几何特征是 a=b=c,α =β =γ =90 0 。
立方晶系有三种 Bravais点阵，
即简单立方（ sc），体心立方（ bcc）和
面心立方（ fcc）。
这三个点阵的点对称性相同，
惯用晶胞相同，但平移对称性不同。
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
a.简单立方点阵（ sc）
惯用晶胞也是它的初级晶胞初级晶胞
与惯用晶胞的体积相等，都等于 a3,a是立
方点阵的点阵常数,v=vc=a3。简单立方点
阵的基矢的选取通常取它的三个立方轴作
晶轴，若用笛卡尔坐标表示，它的三个基
矢分别为，每一个阵点有六个最近邻的点
阵，最近邻距离就是点阵常数 a。
第一章 晶体结构
b.体心立方（ bcc）
在 sc点阵的体对角线中点上放一个点阵，
这个点阵与角隅上的阵点是等价的。（如对
二维有心点阵，从任一阵点去看周围的阵点
分布都是相同的）。
体心立方点阵与 sc点阵一样，都具有立
方体的点对称性，但平移对称性不同，故属
于不同的点阵类型，体心立方点阵的基矢的
选取通常用一种比较对称的取法，取一个顶
点到相邻的三个体心点，这组基矢用笛卡尔
坐标表示为：
第一章 晶体结构
)???(
2
zyxaa ????
)???(
2
zyxab ????
?
)???(
2
zyxac ?????
第一章 晶体结构
体心立方点阵的每一个阵点
的最近邻阵点有 8个,a是惯用晶
胞的边长。惯用晶胞中有两个阵
点，相对于立方轴，这两个阵点
的坐标为,
（ 000）（ 1/2,1/2,1/2）。
第一章 晶体结构
C.面心立方（ fcc）
在 sc点阵的每一个面的中心附加一个
阵点，惯用晶胞也是一个立方体，点对称操
作与 sc点阵一样，平移对称操作与 sc点阵不
同，惯用晶胞也不是初级晶胞，因为惯用晶
胞中含有 4个阵点（八个顶点算一个，每个
面心算 1/2个，共有 6个面），惯用晶胞的体
积是初级晶胞体积的 4倍，即初级晶胞的体
积。
第一章 晶体结构
面心立方点阵基矢的选取通常取一
个顶角点到最近面心的矢量为基矢，用
笛卡儿坐标写出来就是,
)??(2 yxaa ???
)??(2 zyab ???
)??(2 xzac ???
第一章 晶体结构
(2）四角晶系
将立方体沿某一晶轴拉长，立方体就变成
了四角体，惯用晶胞的晶胞参量 a=b≠c,
α =β =γ =90 0,四角体的对称性比立方体
要低,若将立方晶系的三种 Bravais点阵
的 c轴都拉长,就过渡到两种四角晶系的
Bravais点阵，即简单四角和体心四角，体
心四角是由 bcc,fcc点阵沿 c轴拉长得到的。
第一章 晶体结构
(3）正交晶系
将四角晶系的另外一个晶轴再拉长，
就得到正交晶系，惯用晶胞的晶胞参量
a≠b≠c, α =β =γ =90 0,正交晶系有
四种 Bravais点阵。分别为简单正交、底
心正交、体心正交、面心正交，惯用晶
胞都一样，正交晶系的点对称性低于四
角晶系。
第一章 晶体结构
(4）单斜晶系
进一步将正交晶系体变形，即将
其一晶轴倾斜，就过渡到单斜晶系，
对于单斜晶系 a≠b≠c, α =γ =90 0,
β ≠90 0，单斜晶系有两种 Bravais点
阵：简单单斜和有心单斜（上下底面
各有一个阵点），它比正交晶系的点
对称性还低）。
第一章 晶体结构
(5）三斜晶系
将单斜晶系的另一个晶轴再倾斜就
得到三斜晶系,对于三斜晶系，惯用
晶胞的晶胞参量 a≠b≠c, α ≠ β ≠ γ,
它只有一种 Bravais点阵，即简单三斜，
这是对称性最低的 Bravais点阵，只有
转动 1的对称性。
第一章 晶体结构
(6）三角晶系
将一个完整的正方体沿体对角线
方向拉长，三个晶轴不正交，但夹
角相等，边等长，惯用晶胞的特征
是 a=b=c,α =β =γ ≠90 0 ＜ 1200，
对称性低于立方体，只有一种布拉
菲点阵。
第一章 晶体结构
(7）六角晶系
前面六种晶系均可由立方体变形得
到，但六角晶系不能由立方体变形
得到，惯用晶胞的特征是,a=b≠c,
α =β =90 0,γ =1200，惯用晶胞是
菱形正棱柱，如选用如图的直角坐
标系，基矢用笛卡儿坐标表示为：
第一章 晶体结构
yaxaa ?
2
1?
2
3 ???
yaxab ?
2
1?
2
3
???
?
zcc ???
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
§ 3、晶面指数系统
1,晶列和晶向
由于点阵和晶体有平移对称性，点阵中
的阵点可以看作分布在一系列相互平行的直
线上，一组相互平行的直线成为晶列，晶列
的方向就是阵点分布的方向，晶列的方向称
为晶向，它代表阵点排列的方向，一个点阵
可以有不止一种晶列，通常晶体暴露在外观
的都是晶向，为了描写晶向，通常要给出晶
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
首先选定晶轴，然后取晶列方向最短的
平移矢量，把它的三个指数放在方括号中表
示晶向，则此晶向为,[uvw]。
也可以取晶列方向上的任一矢量，用基矢表
示，然后把 R1R2R3化成三个互质的最小整数，
放在方括号中，仍为 [uvw]。
要确定一个的方向指数，首先要定出晶
轴，知道晶轴后，沿晶列方向的最短平移矢
量的指数就是晶向。
第一章 晶体结构
2、晶面指数
点阵中的阵点可以看作是分布在一系列
相互平行的平面上，这些相互平行的平面是
等间距的，在每一个平面上的阵点分布情况
是完全一样的，因此随便哪一个平面都可以
代表这一组平面，这一组相互平行的称为平
面族，一组相互平行的点阵平面应当把所有
的阵点概括无遗，这是由点阵的平移对称性
所决定的,换句话说如果在这种情况下有遗
漏掉的点,这个遗漏的点决不是阵点。
第一章 晶体结构
首先要确定原点和晶轴，任取一个阵点为原点，
取 3个晶轴,晶轴的端点必定是阵点，这些端点必定要
落在这组平行平面的某些平面上,若ａ落在第 h面上,
ｂ落在第 k个平面上,ｃ落在第 L个平面上,也就是说这
组平面必须是等间距的切割晶轴,分别将ａ、ｂ、ｃ
切割成 h,k,L等份,这一组平面中距原点最近的那一个
平面在三个晶轴上的截距分别为ａ／ｈ,ｂ／ｋ，ｃ
／ｌ通常我们用晶轴的长度为单位量度截距,最近的
平面截距为１／ｈ，１／ｋ,１／ｌ我们把 hkL括在圆
括号中,表示为 (hkL),它就作为这组晶面的晶面指数。
若截距无穷大（平行于晶轴）则倒数为 0。
第一章 晶体结构
根据以上分析，我们可以确定找出
一个晶面指数的基本方法,
（１ )先找出晶面在三个晶轴上的截距值,
晶轴可以是初基的,也可以是非初基的。
（２ )将这些数取倒数。
（３ )通常将三个数化成三个互质的整数，
放在圆括号中（ hkl），若选定的晶轴是
初基的（即是基矢），则 hkl是不含公约
数的。
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
§ 4.简单晶体结构
1,sc.bcc.fcc结构
在 sc.bcc.fcc点阵的每一个阵点上放上
一个同种原子就变成了 sc.bcc.fcc晶体
结构。 例如金属钠是在 bcc点阵的每个
阵点上放上一个原子得到的晶体。
第一章 晶体结构
对于 bcc结构，若选的点阵是 bcc点
阵，初基晶胞只有一个原子，但还可选
用立方点阵来处理，这时基元中将要包
含两个原子，由于 bcc结构的 Bravais点
阵不是正交点阵，故常用 sc点阵来处理，
换了晶轴就意味着换了点阵，相应的基
元也要换。
第一章 晶体结构
fcc结构的 Bravais点阵是 fcc
点阵，基元是一个原子，这种方法
由于基矢不正交，处理不方便，我
们常选用立方晶轴，这就意味着点
阵发生了变化，相应的基元也要变
化，因此 fcc结构可用 sc点阵处理，
基元就包含有四个原子。
第一章 晶体结构
2.NaCl结构
将 Na + Cl-交替放在 sc点阵的阵点上，
每个离子周围有 6个异类离子作近邻,sc点阵
不是 NaCl结构的 Bravais点阵,Na +与 Cl-不是
等同点，但 Na +和 Cl-分别在 fcc点阵的阵点上，
因此 NaCl结构是两个 fcc点阵套起来的，一个
fcc点阵上放的是 Na +，另一个点阵上放的是
Cl-离子，所以 NaCl结构的是点阵 fcc点阵，基
元中包含有一个 Na +和一个 Cl-。
第一章 晶体结构
通常我们把一个晶体结中一个原子最近
邻的原子数称为配位数。
sc晶体的配位数为 6
bcc晶体为 8
fcc 晶体为 12
NaCl结构的配位数为 6，每一个离子周围有 6
个异类离子为近邻。
配位数的高低反映了晶体结构的原子排
列的紧密程度，配位数高原子排列就紧密，
反之则比较稀松。
第一章 晶体结构
3.CsCl结构
CsCl结构是在 sc点阵的阵点上放一种
离子,而在体心位置上放另一种离子形
成的，每个离子周围有 8个异类离子作近
邻，它是 Bravais点阵是 sc点阵（每一种
离子都分别形成 sc点阵）,它是由两种
sc点阵分别放不同离子穿套而成的 （相
对位移了 1/2体对角线长），最小基元应
包含两个离子，一个 Cs+和一个 Cl-。
第一章 晶体结构
由于 CsCl结构的点阵是 sc点阵，
则惯用晶胞就是初基晶胞,CsCl结
构的配位数是 8,很多离子晶体都
有 CsCl结构,NaCl和 CsCl结构是最
常见的两种离子晶体结构，它们在
一定条件下可以相互变化，这种变
化称为结构相变。
第一章 晶体结构
4.六角密堆积结构
将原子看成刚性硬球，在一个平面上按
最紧密排列，这样一个原子排列最紧密的平
面我们通常称为密排面,把一个个密排面按
最近密方式堆积起来就是密堆结构,在排列
时第二层球的球心要对准第一层球的球隙,
这种排法只有两种可能的选取,一种是放在 B
位置,第三层再回到 A位置,第四层再放在Ｂ
位置,这种以 ABABAB…… 排列的方式称为六
角密堆结构。
第一章 晶体结构
另一种堆积方式是第一层为 A,第二
层在 B位,第三层球的球心对准 C位,第
四层还原到 A位,第五层为 B位,第六层为
C位 ……,即以 ABCABCABC…… 这样堆积
的结构称为立方密堆积结构 (实际上就
是 fcc结构 )从 fcc结构的体对角线方向
观察,堆积序列就是 ABCABC…… 每个原
子有 12个最近邻。
第一章 晶体结构
5.金刚石结构
它是由两个 fcc点阵,每个点阵放上同种
原子,沿体对角线平移１／４体对角线长穿
套起来的,这个结构的 Bravais点阵是 fcc点
阵,它的初基基元包含两个原子,基元中两个
原子的坐标用惯用晶胞的晶轴写出就是 (000)
和 (１／４,１／４,１／４ ),将这两个原子
组成的基元按 fcc点阵的排列便可得金刚石
结构,惯用晶胞中有 4个基元,共有 8个原子。
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
6.立方 ZnS结构
两个 fcc点阵放不同原子沿体对角线
平移１／４体对角线长穿套而得，也称
闪锌矿结构，它的布拉菲点阵仍为 fcc点
阵，基元由一个 S原子和一个 Zn原子组成，
这两个原子的坐标为（ 000）与 (１／
４，１／４，１／４ ),惯用晶胞中含 8个
原子,4个 S原子与 4个 Zn原子。
第一章 晶体结构
第一章晶体结构
内容提要
1．布拉菲点阵和初基矢量
2,初基晶胞（原胞）
3．惯用晶胞（单胞）
4．维格纳 ---赛兹晶胞（ W-S晶胞）
5．晶体结构
6．简单晶体结构
7．晶面指数和晶向指数
8．对称操作
9．七种晶系和十四种布拉菲点阵
基特尔
绪 论
一,关于教材
这门课选用的教材是基特尔著, 固
体物理学导论, （第七版）。这本
教材的特点是全书有一个统一的指
导思想、有一个统一的线索将所有
内容串连起来，这条线索就是 周期
结构中的波动过程 。
绪 论
二、固体物理学的发展
现代固体物理学大致建立于本世纪
三十年代，在此之前，已经在下述四个
方面为固体物理学的创建作了准备：
1、有悠久历史的晶体学的研究
2、固体比热理论的建立
3、关于金属导电的自由电子理论
4、关于铁磁性的研究
绪 论
三、主要内容
固体物理是研究晶体结构和
晶体中原子、电子运动规律的学
科。
绪 论
不能根据固体的外形特点来判断
一种固体是否是晶体，应当根据固
体内部原子排列的规律性来判断一
种固体是否是晶体。 若一种固体在
微观大范围内（微米数量级）原子
的排列是有规律的、周期性的则称
为晶体，反之则不是晶体。
绪 论
晶体有单晶和多晶之分，若将晶体分
裂成尺寸为微米数量级的颗粒，这些颗
粒称为晶粒。
在晶粒内部原子的排列是有一定规律
的，晶粒之间的排列是混乱的，这样的
晶体称之为多晶体。
若整个晶体中原子的排列是遵守同一
规律，这种晶体称为单晶体。
绪 论
晶体是由相同的结构单元组成
的，固体物理研究的对象是理想晶
体，即在晶体中原子的排列遵从完
全的严格的周期性。
绪 论
? 晶体内部原子的排列在任何地
方都不会破坏它的周期性。若某
个原子的位置与周期性发生了偏
离就称为缺陷，这也就是说，理
想晶体是无缺陷、杂质的完整晶
体。
绪 论
? 理想晶体在各处应遵从同一的
周期性，即在边界上的原子也应
有这样的周期性。但实际晶体边
界上的原子与内部原子的周期性
是不一样的。因此理想晶体应该
是无边界的其周期性是无限延伸
的，不会在任何地方终止。
绪 论
只有充分研究了理想晶体
以后，才能研究晶体的缺陷、
杂质以及非晶体等。我们这门
课所研究的对象是理想晶体。
参考书目
1.基特尔著 科学出版社
,固体物理学导论, （第五版）中译本
2,黄 昆原著，韩汝琦改编
,固体物理学, 高教出版社
3.顾秉林 王喜坤编
,固体物理学, 清华大学出版社
4.陈 洗编
,固体物理基础, 华中理工大学出版社
5.刘友之等编
,固体物理习题指导书,
6.Ashcroft et,al
,solid state Physics”
第一章 晶体结构
§,原子的周期性列阵
1.点阵和基元
晶体就是原子或原子团在三维空间无限地排
列起来的列阵。它的基本特点就是原子或原子
团排列的周期性。从这个意义上来讲，晶体结
构实际上就是周期结构。固体物理的研究对象
是周期结构，怎样分析和处理一个周期结构就
是本章要解决的问题。
第一章 晶体结构
若有一个由五角星排列成的二维周期结构：
第一章 晶体结构
点阵是周期结构中等同点的
几何抽象，点阵所描写的或所代
表的仅仅是晶体结构的周期性质,
点阵并不同于周期结构本身，只
有把物理实体以相同的方式放置
在点阵的阵点上（方位要相同）
才能形成周期结构。
第一章 晶体结构
现在我们回到晶体结构的研究上来，
若有一个二维的晶体结构是由下列原子
团重复堆积而成：
第一章 晶体结构
基元就是构成晶体结构的原子
或原子团，基元以相同的形式排列
在空间就构成了晶体结构，基元可
以是一个原子，也可以是成千上万
个原子或原子团以及分子组成的。
第一章 晶体结构
点阵是在空间规则地排列着
的点的列阵。它是晶体结构中等
同点的几何抽象，从点阵中的任
一个阵点去观察，周围的阵点的
分布情况和方位是一样的。
第一章 晶体结构
点阵是为了描写晶体结构的周期性从
具体晶体中抽象出来的一系列规则排列
的点的列阵，基元是组成晶体的具体的
原子或原子团，是实实在在的物理实体，
基元以相同的方式，即在点阵的阵点上
进行重复才能得到晶体结构，这可以归
纳为一个公式：
点阵 ＋基元 ＝ 晶体结构
第一章 晶体结构
2.点阵平移矢量
若有一个二维晶体如下图：
第一章 晶体结构
为了描写一个点阵，在二维情况
下可以选取任意两个不共线的基本
矢量，由这两个基本矢量的整倍数
的和可以确定点阵中任意一个阵点
的坐标 （或点阵矢量）：
R = ua + vb (u,v 为整数）
这两个基本矢量 a,b就叫作这
个点阵的初基平移矢量，简称基矢。
b3
a6
b5b2
b1
a3 a4
b4
b6
a5a2
a1
第一章 晶体结构
对于一个三维点阵，我们可
以选取不共面的三个矢量，由
这三个矢量整数倍的线性组合
会确定点阵中任一点的位置即：
R = ua + vb +wc
其中 u,v,w为整数。
第一章 晶体结构
晶体中等同点的排列称之为布拉菲点
阵（ Bravais lattice）,是晶体中基元排
列周期性的一种数学抽象。
一个三维的布拉菲点阵可以这样来定
义：即由点阵平移矢量
R = ua +vb +wc
联系起来的诸点的列阵其中 u,v,w为整
数,a,b,c为不共面的三条基矢。
第一章 晶体结构
3.基元和点阵的初基晶胞
各原子的位置用基元中各原子
相对于阵点的相对坐标来表示。
基元中第 j个 原子的坐标为：
r = x a + y b + z c
其中 0 ≤ x, y, z ≤ 1
第一章 晶体结构
组成晶体的最小体积单元称为
初基晶胞,将初基晶胞平移所有
点阵平移矢量，初基晶胞必然会
填满整个空间既不会留下空隙，
也不会自身重叠。
第一章 晶体结构
例如有一个二维晶体如下图,
b?32
非初级晶胞
初
级
晶
胞1
2
3
b? a?41
a?
第一章 晶体结构
由基矢构成的平行六面体
必定是初基晶胞，每个初基
晶胞中必定只包含一个阵点。
第一章 晶体结构
对于一个点阵，初基晶胞的选
取不是唯一的，无论初基晶胞的
形状如何，初基晶胞的体积是唯
一的，体积就等于基矢构成的平
行六面体的体积：
V = （ a× b）, c
第一章 晶体结构
晶体可以看成是一些相同的积木
块堆积起来的。这些积木块往往是
一些体积单元，称之为晶胞。组成
晶体的最小的体积单元称之为初基
晶胞。将初基晶胞平移所有的点阵
平移矢量，初基晶胞必然会填满整
个空间，既不会留下缝隙、也不会
自身重叠。
第一章 晶体结构
根据初基晶胞的定义，由基
矢组成的平行六面体必定是初基
晶胞（在二维情况下是一个平行
四边形），初基晶胞必定只包含
一个阵点
第一章 晶体结构
对于一个点阵，初基晶胞的选取
不是唯一的（因为基矢的选取就不
止一种，因而晶胞的选取也不止一
种），无论初基晶胞的形状如何，
初基晶胞的体积是唯一确定的，初
基晶胞的体积就等于基矢构成的平
行六面体的体积。
第一章 晶体结构
初基晶胞和基元是两个
完全不同的概念，初基晶胞
是一个体积单元，而基元是
具体的原子或原子团，是一
个结构单元。一个初基晶胞
只包含一个阵点，也就是说
一个初基晶胞中只有一个基
元 。
第一章 晶体结构
我们今后还有一种常见的晶
胞叫做维格喇－赛斯晶胞，它是
这样来构成的：
（ 1）把某个阵点同所有与它相邻
的阵点用直线连接起来。
第一章 晶体结构
（ 2）在这些连线的中点处做垂直
面（二维情况下做垂直线），这
些垂直面（或垂直线）所围成的
最小体积（或最小面积）就称作
维格喇－赛斯晶胞（简称为Ｗ－
Ｓ晶胞）。
第一章 晶体结构
W-S晶胞是一个初基晶胞，也
就是说，把这个晶胞平移所有点
阵平移矢量，它会填满整个空间，
既不会留下缝隙，也不会自身重
叠。
第一章 晶体结构
W-S晶胞是一个初基晶胞，它的对称性
可以反映出整个晶体的对称性，是一种非
常重要的晶胞。 (如下图 )
w-s 晶胞
第一章 晶体结构
下面我们以二维蜂巢状网络
作为一个例子，来看它的基
矢、布拉菲点阵、初基晶胞
以及 W-S晶胞等
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
§ 2,点阵的基本类型
1,对称操作
布拉菲点阵有一些基本性质，
对称性是其基本性质之一。点阵的
类型是由点阵的对称性来区分的。
第一章 晶体结构
所谓点阵的对称操作是这样一
种运动或动作，将点阵经过这样
一种操作后，点阵中的所有阵点
都会落到操作前的等价点上，这
种操作的结果是把点阵引入到与
原始状态完全等价的构型上。
第一章 晶体结构
对称操作通常包括两大类：
?平移对称操作
?点对称操作
第一章 晶体结构
平移对称操作：
把点阵或晶体平移点阵矢量
群中的任一矢量的操作称之为平
移对称操作。经过这种操作点阵
（或晶体）自身是还原的，这种
性质称为平移对称性。
第一章 晶体结构
点对称操作：
在操作的过程中点阵或晶体中
至少有一个点是保持不动的，这种
操作称为点对称操作。同样，经过
点对称操作，点阵或晶体也观察不
到任何变化。
第一章 晶体结构
点对称操作主要分以下几类：
（ 1）转动
将点阵（或晶体）绕通过某一
定点的轴进行旋转，如果，每转动
2π /ｎ点阵都是自身还原的，则相
应的转动轴，我们称之为ｎ重转动
轴。转动轴的符号用 1,2,3,4,6
表示。
第一章 晶体结构
（ 2）镜面反映
若一个点阵以通过某一定点的
平面为镜面，将点阵反映为它的镜
象，点阵是自身还原的，这种对称
性称为镜面对称性，这种操作称为
镜面对称操作。通常用符号ｍ或 σ
表示。
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
（ 3）中心反演
通过某一定点的直线为轴，将点阵
或晶体先转动 1800,然后通过过这一定
点而垂直于旋转轴的平面再作镜面反映
的操作称为中心反演。这样的操作效果
相当于把（ｘ，ｙ，ｚ）变成为（－ｘ，
－ｙ，－ z）。原点 O称为对称心，中心
反演一般用ｉ表示。
第一章 晶体结构
（ ４ ） 转动反演
通过过某定点的轴把点阵先
转动 2π /ｎ, 再进行中心反演,
相应的转动轴称为ｎ重转动反演
轴, 用符号ｎ表示, ｎ只可能取
1,2,3,4,6。
第一章 晶体结构
（５）转动反映
绕通过某一定点的转轴
将点阵先转动 2π /ｎ，接着
对垂直于转轴的平面作镜面
反映。
第一章 晶体结构
转动轴、对称心、镜面等
这些几何元素，即进行对称
操作所依靠的几何元素称为
对称元素。
第一章 晶体结构
对称操作是一种运动、是一
种动作，只有当晶体存在对称元
素时才能进行对称操作，对称操
作只有与对称元素相联系才可能
进行，它们是相互关联的，对称
元素的存在只有依靠对称操作才
能证实。
第一章 晶体结构
点阵（或晶体）中的对称元素：
（ａ）转动轴,1,2,3,4,6
（ｂ）转动反演,4
（ｃ）对称心,ｉ
（ｄ）镜面,ｍ
第一章 晶体结构
一种点阵可以同时存在若干种对
称元素。对称操作的一种特定的组
合方式叫做点群。点群在, 群论,
中有严格的定义，点群代表的是点
阵或晶体的对称性，也就是点阵或
晶体能进行什么样的对称操作。
第一章 晶体结构
立方晶系的对称性（对称操作）：
?对称元素：
（ 1）有 3个相互垂直的四重轴，绕这
些四重轴将点阵转 π /2，点阵是自
身还原的，通常把四重轴叫做立方
轴，它通过立方体的中心点，记作 4。
第一章 晶体结构
（ 2）有 4个三重轴，即体对角
线的连线，点阵或晶体转动
2π /3是自身还原的，记作 3。
第一章 晶体结构
（ 3）有 6个二重轴，即立方体
的一个边的中点到对面的另
一条对边中点的连线，绕这
样的轴每转动 π,点阵是自
身还原的，记作 2。
第一章 晶体结构
（ 4） 有一个对称心，作
中心反演点阵自身是还
原的，记作ｉ。
第一章 晶体结构
立方晶体的对称操作：
有一个 4重轴就会有 3种对称操作：
π /2,π, 3π /2
（ 2π 另外考虑）
共有 3个 4重轴共有
3× 3＝ 9种对称操作。
第一章 晶体结构
有一个 3重轴就会有两种对
称操作 2π /3,4π /3
（ 2π 另外考虑）
共有 4个 3重轴一共有
4× 2＝ 8种对称操作。
第一章 晶体结构
有一个 2重轴就会有一种
对称操作 π
（ 2π 另外考虑）
共有 6个 2重轴就会有：
6× 1＝ 6种对称操作。
第一章 晶体结构
所有的转动 2π 算一种对称
操作。
因此立方晶体的纯转动对称
操作有：
9＋ 8＋ 6＋ 1＝ 24种。
第一章 晶体结构
每一个转动对称操作再作中
心反演还是对称操作（由于立
方晶体有一个对称心），所以
立方晶体的全部对称操作为：
24× 2＝ 48种。
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
正四面体的对称操作：
一个正四面体可在立方体中画出，
它的四个面都是正三角形，边长是立
方体的面对角线，立方体的中心为 O点，
有三个立方轴，这些轴虽然是立方体
的四重轴但不是四面体的四重轴，而
是二重轴。因为每转动 π 晶体自身是
还原的。所以正四面体有三个二重轴。
第一章 晶体结构
体对角线的延长线是
正四面体的三重轴（也是
立方体的三重轴）。每转
动 2π /3晶体自身是还原的，
共有四个三重轴。
第一章 晶体结构
立方轴既是正四面体的二重轴
又是四重转动反演轴（正四面体
虽然没有对称心，没有四重轴，
但有四重转动反演轴）。共有 3
个四重转动反演轴。
第一章 晶体结构
还有 EFDC是对称面，
对此面进行镜面反映，
正四面体无变化，这
样的对称面共有 6个。
第一章 晶体结构
正四面体的对称操作共有：
1个 2π
3个 2 3× 1＝ 3；
4个 3 4× 2＝ 8
3个 4 3× 2＝ 6
6个ｍ
对称操作共有 1＋ 3＋ 8＋ 6＋ 6＝ 24（种） 其中：
纯转动对称操作＝ 1＋ 3＋ 8＝ 12（种）。
第一章 晶体结构
正四面体只具有立方体
的一部分对称操作，因此
它的对称性没有立方体高。
第一章 晶体结构
上面讲的对称性主要是点对
称性，即在操作的过程中至少有
一个点保持不动。若再考虑到平
移对称性，还有两种对称操作，
这两种对称操作只有晶体结构才
有，点阵没有这种对称操作。一
种是ｎ重螺旋轴，另一种是滑移
面对称。
第一章 晶体结构
将晶体结构绕定轴转动 2π /ｎ，
接着再对转轴平移 T／ｎ,T为沿
轴向的最短的平移周期，这个轴
称为ｎ重螺旋轴。
第一章 晶体结构
将晶体先作镜面反映，再滑移
T/ｎ后可得到原子的等价点，这
种操作称为滑移面对称操作。
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
2.惯用晶胞
为了能反映出点阵的对称性，
选取的晶胞称为惯用晶胞。惯用
晶胞选取的原则是在反映点对称
性的前提下，体积最小的晶胞。
第一章 晶体结构
惯用晶胞可以是初基的，也可以
是非初基的，若一个初基晶胞能反
映出点阵的对称性。那么它也就是
惯用晶胞。比如立方点阵，初基晶
胞也就是惯用晶胞。惯用晶胞的体
积总是等于初基晶胞体积的整数倍
V＝ｎ Vｃ
ｎ为惯用晶胞中的阵点数。
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
为了反映点阵的对称性就要考
虑点阵所选取的惯用晶胞的晶胞参
量。二维空间中是晶胞的棱长和夹
角，三维情况下，是三棱的长ａ，
ｂ，ｃ及三棱之间的夹角。
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
经常用到的一个物理量是点阵
常数。
所谓 点阵常数是描写惯用
晶胞几何尺寸的数字 。如立方点
阵的点阵常数只要知道棱长ａ即
可，长方体为三棱长ａ，ｂ，ｃ。
第一章 晶体结构
3．二维点阵类型
（ 1）二维斜方
a≠b,ψ 是任意
的,只有独立操作 1.
是二维点阵中对称
性最低的一种。
第一章 晶体结构
（ 2）二维六角
由对称操作 3.6要
求，阵点分布如图。
a=b,ψ =120 0，
它既是初级晶胞，
又是惯用晶胞。
第一章 晶体结构
（ 3）二维正方
由点对称操作 4要求,a=b，
ψ =90 0 。
第一章 晶体结构
（ 4）二维矩形
由镜面对称性所要求。
（ 5）二维有心矩形
由镜面对称性所要求。
二维矩形 a≠b,ψ = 90 0
二维有心矩形 a≠b,ψ ≠90 0
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
4.三维点阵类型
在三维空间点对称操作与平
移对称操作的组合共有 14种，因
此三维空间只有 14种 Bravais点
阵，分属 7个晶系。
第一章 晶体结构
(1）立方晶体
有三种不同的类型，这三种点
阵的惯用晶胞都是立方体，惯用晶胞的
几何特征是 a=b=c,α =β =γ =90 0 。
立方晶系有三种 Bravais点阵，
即简单立方（ sc），体心立方（ bcc）和
面心立方（ fcc）。
这三个点阵的点对称性相同，
惯用晶胞相同，但平移对称性不同。
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
a.简单立方点阵（ sc）
惯用晶胞也是它的初级晶胞初级晶胞
与惯用晶胞的体积相等，都等于 a3,a是立
方点阵的点阵常数,v=vc=a3。简单立方点
阵的基矢的选取通常取它的三个立方轴作
晶轴，若用笛卡尔坐标表示，它的三个基
矢分别为，每一个阵点有六个最近邻的点
阵，最近邻距离就是点阵常数 a。
第一章 晶体结构
b.体心立方（ bcc）
在 sc点阵的体对角线中点上放一个点阵，
这个点阵与角隅上的阵点是等价的。（如对
二维有心点阵，从任一阵点去看周围的阵点
分布都是相同的）。
体心立方点阵与 sc点阵一样，都具有立
方体的点对称性，但平移对称性不同，故属
于不同的点阵类型，体心立方点阵的基矢的
选取通常用一种比较对称的取法，取一个顶
点到相邻的三个体心点，这组基矢用笛卡尔
坐标表示为：
第一章 晶体结构
)???(
2
zyxaa ????
)???(
2
zyxab ????
?
)???(
2
zyxac ?????
第一章 晶体结构
体心立方点阵的每一个阵点
的最近邻阵点有 8个,a是惯用晶
胞的边长。惯用晶胞中有两个阵
点，相对于立方轴，这两个阵点
的坐标为,
（ 000）（ 1/2,1/2,1/2）。
第一章 晶体结构
C.面心立方（ fcc）
在 sc点阵的每一个面的中心附加一个
阵点，惯用晶胞也是一个立方体，点对称操
作与 sc点阵一样，平移对称操作与 sc点阵不
同，惯用晶胞也不是初级晶胞，因为惯用晶
胞中含有 4个阵点（八个顶点算一个，每个
面心算 1/2个，共有 6个面），惯用晶胞的体
积是初级晶胞体积的 4倍，即初级晶胞的体
积。
第一章 晶体结构
面心立方点阵基矢的选取通常取一
个顶角点到最近面心的矢量为基矢，用
笛卡儿坐标写出来就是,
)??(2 yxaa ???
)??(2 zyab ???
)??(2 xzac ???
第一章 晶体结构
(2）四角晶系
将立方体沿某一晶轴拉长，立方体就变成
了四角体，惯用晶胞的晶胞参量 a=b≠c,
α =β =γ =90 0,四角体的对称性比立方体
要低,若将立方晶系的三种 Bravais点阵
的 c轴都拉长,就过渡到两种四角晶系的
Bravais点阵，即简单四角和体心四角，体
心四角是由 bcc,fcc点阵沿 c轴拉长得到的。
第一章 晶体结构
(3）正交晶系
将四角晶系的另外一个晶轴再拉长，
就得到正交晶系，惯用晶胞的晶胞参量
a≠b≠c, α =β =γ =90 0,正交晶系有
四种 Bravais点阵。分别为简单正交、底
心正交、体心正交、面心正交，惯用晶
胞都一样，正交晶系的点对称性低于四
角晶系。
第一章 晶体结构
(4）单斜晶系
进一步将正交晶系体变形，即将
其一晶轴倾斜，就过渡到单斜晶系，
对于单斜晶系 a≠b≠c, α =γ =90 0,
β ≠90 0，单斜晶系有两种 Bravais点
阵：简单单斜和有心单斜（上下底面
各有一个阵点），它比正交晶系的点
对称性还低）。
第一章 晶体结构
(5）三斜晶系
将单斜晶系的另一个晶轴再倾斜就
得到三斜晶系,对于三斜晶系，惯用
晶胞的晶胞参量 a≠b≠c, α ≠ β ≠ γ,
它只有一种 Bravais点阵，即简单三斜，
这是对称性最低的 Bravais点阵，只有
转动 1的对称性。
第一章 晶体结构
(6）三角晶系
将一个完整的正方体沿体对角线
方向拉长，三个晶轴不正交，但夹
角相等，边等长，惯用晶胞的特征
是 a=b=c,α =β =γ ≠90 0 ＜ 1200，
对称性低于立方体，只有一种布拉
菲点阵。
第一章 晶体结构
(7）六角晶系
前面六种晶系均可由立方体变形得
到，但六角晶系不能由立方体变形
得到，惯用晶胞的特征是,a=b≠c,
α =β =90 0,γ =1200，惯用晶胞是
菱形正棱柱，如选用如图的直角坐
标系，基矢用笛卡儿坐标表示为：
第一章 晶体结构
yaxaa ?
2
1?
2
3 ???
yaxab ?
2
1?
2
3
???
?
zcc ???
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
§ 3、晶面指数系统
1,晶列和晶向
由于点阵和晶体有平移对称性，点阵中
的阵点可以看作分布在一系列相互平行的直
线上，一组相互平行的直线成为晶列，晶列
的方向就是阵点分布的方向，晶列的方向称
为晶向，它代表阵点排列的方向，一个点阵
可以有不止一种晶列，通常晶体暴露在外观
的都是晶向，为了描写晶向，通常要给出晶
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
首先选定晶轴，然后取晶列方向最短的
平移矢量，把它的三个指数放在方括号中表
示晶向，则此晶向为,[uvw]。
也可以取晶列方向上的任一矢量，用基矢表
示，然后把 R1R2R3化成三个互质的最小整数，
放在方括号中，仍为 [uvw]。
要确定一个的方向指数，首先要定出晶
轴，知道晶轴后，沿晶列方向的最短平移矢
量的指数就是晶向。
第一章 晶体结构
2、晶面指数
点阵中的阵点可以看作是分布在一系列
相互平行的平面上，这些相互平行的平面是
等间距的，在每一个平面上的阵点分布情况
是完全一样的，因此随便哪一个平面都可以
代表这一组平面，这一组相互平行的称为平
面族，一组相互平行的点阵平面应当把所有
的阵点概括无遗，这是由点阵的平移对称性
所决定的,换句话说如果在这种情况下有遗
漏掉的点,这个遗漏的点决不是阵点。
第一章 晶体结构
首先要确定原点和晶轴，任取一个阵点为原点，
取 3个晶轴,晶轴的端点必定是阵点，这些端点必定要
落在这组平行平面的某些平面上,若ａ落在第 h面上,
ｂ落在第 k个平面上,ｃ落在第 L个平面上,也就是说这
组平面必须是等间距的切割晶轴,分别将ａ、ｂ、ｃ
切割成 h,k,L等份,这一组平面中距原点最近的那一个
平面在三个晶轴上的截距分别为ａ／ｈ,ｂ／ｋ，ｃ
／ｌ通常我们用晶轴的长度为单位量度截距,最近的
平面截距为１／ｈ，１／ｋ,１／ｌ我们把 hkL括在圆
括号中,表示为 (hkL),它就作为这组晶面的晶面指数。
若截距无穷大（平行于晶轴）则倒数为 0。
第一章 晶体结构
根据以上分析，我们可以确定找出
一个晶面指数的基本方法,
（１ )先找出晶面在三个晶轴上的截距值,
晶轴可以是初基的,也可以是非初基的。
（２ )将这些数取倒数。
（３ )通常将三个数化成三个互质的整数，
放在圆括号中（ hkl），若选定的晶轴是
初基的（即是基矢），则 hkl是不含公约
数的。
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
§ 4.简单晶体结构
1,sc.bcc.fcc结构
在 sc.bcc.fcc点阵的每一个阵点上放上
一个同种原子就变成了 sc.bcc.fcc晶体
结构。 例如金属钠是在 bcc点阵的每个
阵点上放上一个原子得到的晶体。
第一章 晶体结构
对于 bcc结构，若选的点阵是 bcc点
阵，初基晶胞只有一个原子，但还可选
用立方点阵来处理，这时基元中将要包
含两个原子，由于 bcc结构的 Bravais点
阵不是正交点阵，故常用 sc点阵来处理，
换了晶轴就意味着换了点阵，相应的基
元也要换。
第一章 晶体结构
fcc结构的 Bravais点阵是 fcc
点阵，基元是一个原子，这种方法
由于基矢不正交，处理不方便，我
们常选用立方晶轴，这就意味着点
阵发生了变化，相应的基元也要变
化，因此 fcc结构可用 sc点阵处理，
基元就包含有四个原子。
第一章 晶体结构
2.NaCl结构
将 Na + Cl-交替放在 sc点阵的阵点上，
每个离子周围有 6个异类离子作近邻,sc点阵
不是 NaCl结构的 Bravais点阵,Na +与 Cl-不是
等同点，但 Na +和 Cl-分别在 fcc点阵的阵点上，
因此 NaCl结构是两个 fcc点阵套起来的，一个
fcc点阵上放的是 Na +，另一个点阵上放的是
Cl-离子，所以 NaCl结构的是点阵 fcc点阵，基
元中包含有一个 Na +和一个 Cl-。
第一章 晶体结构
通常我们把一个晶体结中一个原子最近
邻的原子数称为配位数。
sc晶体的配位数为 6
bcc晶体为 8
fcc 晶体为 12
NaCl结构的配位数为 6，每一个离子周围有 6
个异类离子为近邻。
配位数的高低反映了晶体结构的原子排
列的紧密程度，配位数高原子排列就紧密，
反之则比较稀松。
第一章 晶体结构
3.CsCl结构
CsCl结构是在 sc点阵的阵点上放一种
离子,而在体心位置上放另一种离子形
成的，每个离子周围有 8个异类离子作近
邻，它是 Bravais点阵是 sc点阵（每一种
离子都分别形成 sc点阵）,它是由两种
sc点阵分别放不同离子穿套而成的 （相
对位移了 1/2体对角线长），最小基元应
包含两个离子，一个 Cs+和一个 Cl-。
第一章 晶体结构
由于 CsCl结构的点阵是 sc点阵，
则惯用晶胞就是初基晶胞,CsCl结
构的配位数是 8,很多离子晶体都
有 CsCl结构,NaCl和 CsCl结构是最
常见的两种离子晶体结构，它们在
一定条件下可以相互变化，这种变
化称为结构相变。
第一章 晶体结构
4.六角密堆积结构
将原子看成刚性硬球，在一个平面上按
最紧密排列，这样一个原子排列最紧密的平
面我们通常称为密排面,把一个个密排面按
最近密方式堆积起来就是密堆结构,在排列
时第二层球的球心要对准第一层球的球隙,
这种排法只有两种可能的选取,一种是放在 B
位置,第三层再回到 A位置,第四层再放在Ｂ
位置,这种以 ABABAB…… 排列的方式称为六
角密堆结构。
第一章 晶体结构
另一种堆积方式是第一层为 A,第二
层在 B位,第三层球的球心对准 C位,第
四层还原到 A位,第五层为 B位,第六层为
C位 ……,即以 ABCABCABC…… 这样堆积
的结构称为立方密堆积结构 (实际上就
是 fcc结构 )从 fcc结构的体对角线方向
观察,堆积序列就是 ABCABC…… 每个原
子有 12个最近邻。
第一章 晶体结构
5.金刚石结构
它是由两个 fcc点阵,每个点阵放上同种
原子,沿体对角线平移１／４体对角线长穿
套起来的,这个结构的 Bravais点阵是 fcc点
阵,它的初基基元包含两个原子,基元中两个
原子的坐标用惯用晶胞的晶轴写出就是 (000)
和 (１／４,１／４,１／４ ),将这两个原子
组成的基元按 fcc点阵的排列便可得金刚石
结构,惯用晶胞中有 4个基元,共有 8个原子。
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构
6.立方 ZnS结构
两个 fcc点阵放不同原子沿体对角线
平移１／４体对角线长穿套而得，也称
闪锌矿结构，它的布拉菲点阵仍为 fcc点
阵，基元由一个 S原子和一个 Zn原子组成，
这两个原子的坐标为（ 000）与 (１／
４，１／４，１／４ ),惯用晶胞中含 8个
原子,4个 S原子与 4个 Zn原子。
第一章 晶体结构
第一章晶体结构
内容提要
1．布拉菲点阵和初基矢量
2,初基晶胞（原胞）
3．惯用晶胞（单胞）
4．维格纳 ---赛兹晶胞（ W-S晶胞）
5．晶体结构
6．简单晶体结构
7．晶面指数和晶向指数
8．对称操作
9．七种晶系和十四种布拉菲点阵
