第四章（声子 Ⅰ ）点阵振动
§ 1.一维原子链的点阵振动
1.简谐近似
这一章我们要考虑原子在平衡位置附
近的振动。这种考虑是建立在简谐近似的基
础之上的，所谓简谐近似即认为振动是小振
动，振幅很小，这种振动的位移与力之间是
满足线性关系的。
F=-cx
从能量的角度来看，认为原子
间有了相对位移后，两原子间
的相互作用势也有了变化
将势能展开成级数：
02
2
2
2
2
0
2
1
x
xx
x
u
c
x
x
u
x
x
u
uu
OO
）（
）（）（
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
2.一维单原子点阵的运动方程和色
散关系
一维单原子点阵在每个阵点上
只有一个原子，第 s个原子相对于
它平衡时的位移是 Us。第ｓ个原
子所受到的来自第 s+p个原子的作
用力与它的对位移 成正比
pss uu ??
第 s个原子所受到的力等于所有原子作用力
的总和：
Mus=
当 s取不同值时，上述方程为一方程组代
表各个原子的位移和运动。
）（ pss
p
ps uucF ???? ?
).......3.2.1 Nsuuc sps
p
p ???? （）（
原子在平衡位置附近的小振动可
看作是耦合的简谐振子的运动。这种
耦合谐振子可以通过正则变换化成一
组独立的无相互耦合的简谐振动的运
动。经过这样变换的每一个独立的谐
振子代表简正模式，点阵振动的简正
模式是指有一定频率、一定波矢的平
面波，第 s个原子的位移按简正模式解
可写成：
）（）（ s k ati
s euu
??? ?0
这也就是频率为 ω,波矢为 k
的平面波对第 s个原子位移的贡
献。这个平面波称之为格波，
把寻求到的运动方程的解带入
运动方程就能找出 ω 与 k的关系
即所谓色散关系。
将 带入运动方程得：
（其中 u =u ）
M
约去两边相同的因子得：
代表第 s+p个原子的位移的位相差。
i k akawtis ueeuu ?? ?? )()0(
tie ??）（ 0
ueeCue i s k akapsi
p
p
i s k a ].[2 ?? ?? ）（?
）（ 12 ??? ? i p k a
p
p ecM?
ipkae
由于点阵有平移对称性（ +p原子与 -p原子
的力常数相等）。 Cp=C-p
则
=-
利用欧拉合成化简可得：
这就是一维单原子晶考虑了所有原子的作用
后得到的格波的频率与波矢所满足的关系。
]11[
00
2 ）（）（ ????? ?
?
?
?
?? i p k a
p
p
i p k a
p
p eCeCM?
）（ 2
0
?? ?
?
? i p k ai p k a
p
p eeC
）（ p k ac
m p p
c os12
0
2 ?? ?
?
?
通常只考虑最近邻原子的作用（最近邻近
似）：
则色散关系变为：
或
??
?
?
??
10
1
P
PCc
P
）（＝２ kaM c c o s12 ??
｜ kaM c 21s in|4??
此函数关系在第一布里渊区的图如下：
简正模式的色散关系是点阵平移矢量 的周期
函数,（ n为整数），可以证明将色散关系
中的 k换成 后,ω 是不变的。
sin[
平移后色散关系不变。色散关系是点阵平移
矢量的周期函数，它主要是由于我们研究的对象
是分立的周期结构所引起的。
当把 k换成 -k时色散关系也不变。即 K与 -k对应的
频率完全一样（称之为色散关系的反演对称性）
ω （ k） =ω （ -k）,
G?
naG ?2??
nak ?2?
|21s i n||21s i n|]221 kankanak ???? ）（）（ ??
3.周期性边界条件
我们前面研究的对象是理
想晶体,边界上与内部的原子是
一样的,既理想晶体不考虑晶体
边界,没有边界效应。长为 L的
一维原子链,要作为理想晶体来
对待,就要用到周期性边界条件
(即循环边界条件或玻恩一卡曼
边界条件 ).
所谓周期性边界条件是把实际晶体看作
是无限的,要求运动方程的解以晶体的长度
L=Na为周期,既要求,
这个边界条件的意思是相当于将晶体的
首位相接构成一个园环,第 0个原子与第 N个
原子重合。
??11 ?? ??? nnnss uuuuuu,。即
因此此边界条件又称为循环边界条件，经过这
样处理，边界上原子与晶体内部原子的状态一
样，即可把实际晶体当作理想晶体看待。但是，
在周期性边界条件下，格波的波矢只能取一系
列分立值。
k=0，
k=
为整数）（,nnLkLL ??? 242 ??? ?
）（）（ ts k ais euu ??? 0
i N k ats k aiNs eeuu,0 ）（）（ ??? ?
12 2
2
??? ninaLiNi n k a eeenL ?
?? 。
，则
混淆量一定不要与倒易点阵矢 n
a
Gn
L
?? 22 ?
由此可从 k求出 ω，由于 k值是
无限的，相应的应有无穷多简正模
式，但实际上在这些简正模式中只
有一部分是独立的。即 k取边界条
件允许的值时，有些格波将对应相
同的频率和位移，因此它们是同一
个简正模式。
??2.1.0.2|21s i n|4 ????? nnLkkaM c ??
4．第一布里渊区
简正模式的色散关系有一个重要的性质：
一维时
则
当把 k换成时对应的频率完全一样，不仅频
率相等，而且与这两个波矢相应的原子的
位移情况也一样，进一步说这两个简正模
式是同一个简正模式，是代表同一个格波。
）（）（ KGk ??? ?? ??
为整数）（ nnaG ?2?
）（）（ nakk ??? 2??
当
=
因为 则
当波矢 k平移倒易点阵矢量后所给出的简正模
式是同一个模式，频率及每个原子的位移都是相
同的，这两个格波是同一个格波。
）（）（ s k atis euu ??? ?0
时Gkk ??
]2 2[0 nakstnakieuu ??? ????? （）（）（
niss k atki eeu ?? 2][,0 ??? ）（）（
1)()(
)0(
2
)(
???
??
nis
s k ati
eGkk
eu
?
?
??
如上图,
∴ k与 k‘是同一列格波,是同一个简正模式
aka 5
25 ?? ??
akkak
a ??? 2`
5
12`
6
5`` ????,，
在满足周期性边界条件下，凡是
波矢相差一个倒易点阵矢量 的简正
模式是同一个简正模式，这样我们就
可把格波的波矢ｋ限制在第一布里渊
区之中，第一布里渊区以外的 k总可以
平移一个 后用第一布里渊区中的 k来
等价描述，第一布里渊区以外 k只不过
是第一布里渊区中的ｋ的重复和再现
而已。
G?
G?
在第一布里渊区中有多少 k值呢？
第一布里渊区中的 k值数目实际上
就是晶体中初基晶胞的数目，长为 L的
一维原子链中的独立的简正模式数等于
晶体中的原子数。
N
a
Na
a
L
L
a ???
?
?
2
2
每一个简正模式代表一个一定频
率与波矢的平面波，那么运动方程就有
N个独立的简正模式解，但这些解都不
代表原子的真实位移。
在点阵振动中，我们不研究原子的
真实位移，因为这是毫无实际意义的。
它对晶体的物理性质（如热学性质等）
并没有什么贡献，而有贡献的只是存在
有那些简正模式。
5.群速
若晶体中有一个扰动，有一个
原子偏离了平衡位置。由于原子间有
相互作用，则这个扰动可以看作是基
本格波组成的波包的运动，波包的运
动速度是格波的群速,。它
是有一系列格波叠加起来的波包的运
动，波包中心所对应的速度为群速度，
它是介质中能量传输的速度。
dkdv g ??
我们将色散关系：
对 k微商可得：
可以将此关系作图如下：
）（ BZnLkkaM c 12|21s i n|4 ?? ??
kaMcadkdv g 21c o s2
12
）（?? ?
在布里渊区边界上时,
0,?? gv
a
k ?
在布里渊区边界上满足 Laue或 Bragg条
件，要发生衍射现象，这不仅限于对 x-
raｙ，而任何波只要满足 Laue或 Bragg条件
都会发生衍射，格波也不例外，在一维情
况下的 Bragg反射条件：
?? nd ?s in2 2?? ?? ad
aan
a
nna
a
k 2222 ????? ???? 则时
（ n只能等于 1，而不可能大于 1,∵ 当 n>1
时 λ <2a是没有任何实际意义的）。满足
Bragg反射条件，而反射波与 λ 射波是两个
相反方向的同频，同波矢的波的叠加。
相当与 λ >>a(故称为长波极
限 ).色散关系,
＝
(因为 ka<<1 则 sin
时0?k
|21s in|4 kaMc?? ||
2
kMca
）kaka 21~21
它表明当格波的波长比点阵常数大
的多时,可以把格波当作连续介质中的
弹性波处理。也就是说可以把晶体看
作连续介质，当 λ, a时，点阵的分立
性就显示不出来，传播时感觉不到分
立性，若波长缩短，分立结构的特性
对格波的影响就逐渐显露出来，色散
关系的线性关系就要改变，当 λ =2a时，
k=,正处在布里渊区边界，发生了
Brａ gg反射 。a
?
§ 2.一维双原子点阵的点阵振动
考虑一个初级晶胞有两个原子的情况
1.运动方程和色散关系
一个初基晶胞中两个原子的质量不
同，但为了处理问题方便起见，认为原子间
的力常数是一样的，在简谐近似下，用最近
邻近似，认为各原子之间是用同样的弹簧联
系起来的。
若只考虑最近邻近似，第ｓ个晶胞中质量
为 M1的原子所受的力为：
其运动方程为
同理可写出第 s个晶胞中质量为 M2的原子
的运动方程为：
）（）（ ！????? ssss vucvuc
][ 1）（）（＝Ｍ ２
２
ｄｔ
ｕｄ
１ ????? ssss vuvuc
? ）＝Ｃ sss uvu 21 ?? ?
? ]1 ）（）＝ｃＭ ２２ｄｔ ｕｄ２ ssss uvuv ??? ?
? ）＝ｃ sss vuu 21 ???
u,v可以是复数，第ｓ个晶胞中质
量为 的原子的 ω与 k相同，
但振幅不同，由于 u,v是复数，故
u,v可以有一个相因子之差，表示
它们之间的相位关系。
)(,s k ati
s
s k ati
s vevueu
???? ?? ?? ）（
21 MM,
我们将代回运动方程得：
这是以 u,v为未知数的方程组，
要有非零解须系数行列式为零。
便可得到：
cvecuvM
cuecvuM
i k a
i k a
21
21
2
2
1
2
????
???? ?
）（
）（
?
?
展开此行列式可得：
即
上式中取, ＋, 号时，有较高频率
称为光学支色散关系，取, －, 号时，有
较低频率称为声学支色散关系。
0c o s122 2221421 ????? ）（）（ kacMMcMM ??
]c o s2[ 21222121
21
2 kaMMMMMM
MM
c ??????
把色散关系作图得：
2.光学支和声学支格波
为了讨论比较典型,我们处理长波极限
下的情况。当 ka,1（即波长比点阵常数大
得多的光学支与声学支）
coska≈,带入色散关系中：
取, ＋, 号时,≈
取, －, 号时,≈
2211 ）（ ka?
）（）（ 22
21
0112 akMMc ??2?
2? 22
212
akm c ）（ ?
由 u.v的方程组,我们知道,
当 ka<<1时,
对, ＋, 号的一支,
[这是 k∽0 时,将 带入 u,v方程
组中得到的 ]
212
1
MMc
ec
v
u
i k a
?
?? ）（
1
2 MMvu ??
）（
21
2 112
MMc ???
它表明同一个初基晶胞中的两个
原子每时每刻的振动位相是相反的，
而且是质心不动的，不同的初基晶胞
有一个位相差 。在离子晶体中由
于它们不断的反位相振动，电偶极距
可与电磁波耦合，这种振动模式可用
光波来激发，故称之为光学支振动模
式，实际上它是简正模式中的一部分，
而不是光波,它可与光波耦合，但不要
与光波混淆。
ikae
对, －, 号支：
这表明 ka,1时，同一初基晶胞中两个
原子每时每刻是同位相运动 （振动之比为
1），而且连同质心一起作整体运动。不同
初基晶胞之间的振动有一个相因子,初
基晶胞的整体运动存在着类似声波的色散
关系 ω=vk，有类似声波的性质，故称之为
声学支模式。它不是声波。
ikae
1/ ?vu
两支模式的区别在于，光学支模式是描
写初基晶胞中两个原子相对运动的振动模
式，若这两个原子组成一个分子，光学支
模式实际上是分子振动模式，描写的是同
一个分子中的原子的相对运动情况，声学
支模式代表同一初基晶胞中原子的整体运
动，若初基晶胞中的两个原子组成一个分
子的话，声学支模式则代表分子的整体运
动模式，这种振动模式的色散关系类似于
声波。但它不是声波。
当 k=±
设
对声学支
对光学支
1c o s ??kaa 时，则?
21 MM ?
12 /2 Mc??
22 /2 MC??
3．简正模式计数
在前面的讨论中无论是单原子点阵还
是双原子点阵我们只讨论一维情况，还没
有涉及到简正模式的偏振状态，在三维空
间，对一个波矢对应有 3个偏振态，两个横
振动，一个纵振动，对于 3个不同的偏振态
来说原子的力常数是不同的。纵波的原子
的运动与波的传播是同向的，原子间的作
用力是拉伸力，而横波原子的运动与波的
传播是垂直方向的，原子间的作用力是切
向力，这样两种力的力常数是不相同的，
色散关系也是不一样的。
对于单原子晶体，简正模式的色
散关系有三支，每支色散关系对应有
Ｎ个简正模式，则共有 3N个模式，对
于双原子点阵，点阵模式的色散关系
有 6支,3支声学支,3支光学支。每支
色散关系各有 N个简正模式，故有 3N个
声学摸，在长波极限下它对应于初基
晶胞的整体，这种整体运动的自由度
共有 3N个，这 3N个自由度对应 3N个声
学模式。
光学支也有 3 N个简正模式，
对应与初基晶胞中原子的相对
运动，有 3N个自由度。因此总
的简正模式（包括光学支，声
学支）共有 3× 2× N=6N个，也
就是说双原子点阵共有 6N个简
正模式，这 6N个简正模式对应
于晶体中所有原子的总自由度。
推而广之，对于每个初基晶胞中有 P个
原子的点阵，简正模式的色散关系有 3P支，
其中有 3支是声学支,对应于声学摸的三种
偏振状态,剩下的 3P-3都是光学支,每一支
的 K的取值都有 N个,因此共有 3PN个简正模
式。其中 3N个声学模式，剩下的 3NP-3N个
都是光学模式，无论基晶胞中有多少个原
子，色散关系的声学支只能有 3支，因为声
学支对应于初基晶胞中原子的整体运动而
这种运动只能有三个，剩下的 3P-3支都是
光学支，代表了初基晶胞中原子的相对振
动。
需要说明的是，在色散关系中，
对三维晶体而言，通常要指定波矢 K的
方向后才能画出对应的色散关系，即
ω-K的关系图。对应于晶体中对称性
比较高的方向，简正模式可以是简并
的。但这并不是说它们的简正模式数
减少了，因为此时尽管两支横光学支
或横声学支简并，在同一个 K下它们的
频率相同，但时它们处于不同的偏振
态，各自仍然是独立的。
§ 3.声子
1．声子
点阵振动可用简正模式来描述，每一个
简正模式描写一个一定频率一定波矢和偏振
状态的平面波，而每一个平面波对应于一个
简谐振动，给定了 K就可以通过一定的色散
关系求出 ω。一个简正模式就代表一个频率
为 ω的简谐振动，简谐振动的能量是量子化
的，一个频率为 ω，波矢为 K的简正模式，
处于 N激发态，它的能量为：
）（）（ knE e
?
? ω21??
点阵振动的简正模式（或格波）
的能量的量子称为声子。声子是格波
能量的量子，并非格波本身，一个频
率为 ω，波矢为 k的简正模式处在第 N
个激发态，我们就说在这个能量态上，
占据了 N个波矢为 K频率为 ω的声子。
声子的数目对应于格波激发态的量子
数，而格波的简正模式对应于声子的
种类。
一个波矢为 K的第 S支模式
处在第 N个 激发态，我们就说在
晶体中存在着 N个波矢为 K的第 S
支声子（因为给定了 K与第 S支
模式则 ω可由色散关系唯一确
定），在晶体中波矢为 K的纵声
学支模式处于 N激发态，我们就
说晶体中有 N个波矢为 K的纵声
学支声子。
声子这个名词是模仿光子而来
（因为电磁波也是一种简谐振动）。
声子与光子都代表简谐振动能量的量
子。所不同的是光子可存在于介质或
真空中，而声子只能存在于晶体之中，
只有当晶体中的点阵由于热激发而振
动时才会有声子，在绝对零度下，即
在 OK时，所有的简正模式都没有被激
发，这时晶体中没有声子，称之为声
子真空。声子与光子存在的范围不同，
即寄居区不同。
若点阵振动的波矢为 K的第 S支
的简正模式由于外界干扰而被激发，
能量提高了一级，由 N→N+1,那么
我们就说晶体中产生了一个波矢为
ｋ 的第 S支声子。反之，若由于外
界的激发，格波的激发态下降为 N-
1，则我们说在晶体中淹没了一个
波矢为 K的第 S支声子。
由于声子是格波简正模式的能量量子，
若其能量为：
其量子数 n可取 0?∞ 的一切值，是不受
仍何限制的，因此声子服从波色统计规律，
在温度为ＴＫ时，一个波矢为 K，量子数为
n的简正模式上的声子数为：
）（）（ knE e ?? ω21??
1
1
/ ?
?
kTkk se
n
）（
?
?
?
ω
我们可以把点阵振动的, 波动语
言, 用, 粒子语言, 来描述，利用
,粒子语言, 处理问题要方便的多，
在分析格波与格波之间的散射问题时，
若采用, 粒子语言, 就是声子于声子
之间的碰撞问题，格波与格波之间的
互作用可用声子之间的碰撞来处理。
格波与电子波之间的互作用，实际上
就可用声子与光子的碰撞来处理，但
声子是一种准粒子。而不是基本粒子。
既然格波的能量量子定义
为声子，当格波处于较高的激
发态时晶体中就布局着较多的
声子，即格波振幅较大时，晶
体中的声子数较多。因此格波
的振幅与声子的数目就有一定
的关系，下面我们就讨论这个
关系。
考虑长声学波的情况，当 ka?1，
既 λ ?a时，可以把晶体看作连续介质，
u≈ COS （ kx-ωt），此时考虑 与声
子数目的关系为：
u≈ COS （ kx-ωt）
描写的振动是一个行波，它的能量有
一半是动能，另一般是弹性势能，能
量密度：（动能的）
0u
2)(
2
1
t
uE
k ?
?? ρ
将 u=u。 Cos（ kx-ωt）带入得：
整个晶体中总动能的平均值为：
（之所以在右项出现 1/2因子是因为动能只
占整个动能的 1/2，另外 1/2是势能）
由此可得：
这就是格波的振幅与声子数之间的关系。
)(s in21 2220 tkxuE k ωωρ ??
ωωρ ?? ）（总 212141 22 ??? nuVE Ok
ωρ Vnu /21220 ?）（ ??
2.软声子模式
当 k=0,ω=0时代表整个晶体中原子的整体
运动模式，除了 K=0,ω=0外，若还有 k≠0
而 ω≈0 的模式则称为软摸（软声子模式）
§ 4.声子动量
声子是格波能量的量子，格波并不是描
写粒子的真实位移的振动，而是一个简正振
动模式，是描写晶体中某一个原子与所有其
他原子的坐标的运动。
格波有 3N个简正模式,在 K=0,ω=0时有
物理动量,.既所有原子作整体运动的动量,
而其它模式都是相对坐标的运动,都无物理
动量,这一点还可用数学方法来证明。
考虑一个一维单原子链,点阵常数为 a,点阵
振动的简正模式,
所有的原子都有位移,总动量应等于所有原
子的位移时间微商 (即对 s求和 )
利用公式
可得,
i s k as k ati
s ueeuu ??
?? ）（）（ ?0
dt
dueMu
dt
dMP n
s
i k s an
s
s ??? ??
?
?
?
?
1
0
1
0
x
xX nn
S
s
?
????
? 1
11
0
∵L=na ∴
∴P=0
这就说明格波无物理动量,
它的总动量为零。
i k a
i n k a
e
e
dt
duMP
?
??
1
1..
12
2
???? niL
niL
i L Ki n k a eeee ?
?。
声子没有物理动量。但平
常这些有声子参与的过程中，
为处理问题方便起见，我们把
量 h 称为声子的准动量或声子
的晶体动量，主要是由于它的
性质类似于一个动量。这样凡
是有声子参与的碰撞过程中动
量守恒依然存在 。
k?
在第二章中我们已经讲过，对 x-ray
的弹性散射条件,既是 Laue衍射
条件，又是波矢选择条件，凡是满足这个
条件沿 方向就有反射束，凡不满足这个
条件 x-ray将沿 方向传播而不受反射，
若对上式两边都乘以 h，则可看作动量守恒
的形式，即,它表明反射光子
的动量等于入射光子的动量加上从点阵中
获得的动量,h 是从点阵中获得的动量，
－ h 相当于点阵的反冲动量，这个动量通
常是很难观察到的，就好象皮球打在墙上
而观察不到墙的反冲动量一样。
Gk ????`ｋ
`k?
k?
Ghkhkh ??? ??`
G?
G?
在 x-ray的非弹性散射的能量关系中，
x-ray与点阵有能量交换，这种能量可以激
发声子，也可以从点阵中吸收声子（吸收点
阵的热振动动能）也就是说这种能量交换既
可能激发点阵的热振动，也可能吸收点阵的
热振动。
据量子力学：
式中 为入射波矢,K为声子波矢,+K
对应于声子的产生过程。 -K对应于声子的吸
收过程，上式也是 x-ray在晶体中发生非弹
性散射的波矢选择条件。
k?
GKkk ???? ??? `
两边乘以 h得：
当 =0时：
GhKhkhkh ???? ??? `
G? Khkhkh ??? ?? `
§ 5.中子的非弹性散射测量声
子能谱
格波的色散关系也叫做声
子的能谱。它表示频率与波矢
之间的关系，在实际晶体中由
于力常数是一个较复杂的量，
色散关系难用数学方法计算出
来。通常是用实验方法测得的。
通常我们考虑的是单声子过程，
既吸收或产生一个声子的过程，单声
子过程在整个声子产生和吸收的过程
中几率很大。由于非弹性散射，在散
射过程中，根据能量守恒定律，入射
中子经散射后，能量和动量也要发生
变化，若能测出中子在散射过程中的
能量损失与波矢变化就能测出声子的
色散关系来。
若入射中子的波矢为,中子质量为,
散射中子的波矢为,则有：
λ 射中子的能量：
散射中子的能量：
据能量守恒定理：
“
k?
` k?
NM
kE
2
22?
?
NM
kE
2
`` 22??
）（ k
M
k
M
k
NN
?
??? ω??
2
`
2
2222
NM
动量守恒（亦称波矢选择条件）：
对于产生声子的过程：
相应地有：
KkGk ???? ??? `
GKkk ???? ??? `
）（）（）（ KGKkk ????? ??? ???? `
对于吸收声子的过程：
相应地有：
GKkk ???? ???`
）（）（）（ KGKkk ????? ??? ?????
带入能量守恒条件
对于产生声子的过程：
即
这样就可把中子能量的改变 E-E`作为波矢改
变的函数来处理。
）（ `
22
2222
kk
M
k
M
k
NN
??
??? ??? ω
）（）（ ``/`` kkEEkkEE ?????? ?????? ωω
对于吸收声子的过程：
即
）（ kk
M
k
M
k
NN
??
??? ??? `
2
`
2
2222
ω
）（ kkEE ??? ??? `` ω
）（ kkEE
??
?
??? `
,
ω
λ 射中子的能量 E与波矢 是已知的，测出
E`及 就可决定色散关系即可测出散射过
程中中子能量的增益和损失以及散射中子
的,那么 可由 定
出，而 ω可有 E-E`定出，这样便可得到色
散关系中的一个点，改变 E或改变的方向，
再测能量变化和便可求出色散关系中的另
一个点，如此多次取点便可得到整个色散
关系。
k?
`k?
`k? k? ]`[` ）或（）（ kkkk ???? ??
§ 6.格波 ---声子的对照 (元激发的物理思想 )
元激发方法就是把有强相互作用的多粒
子体系化成准粒子的气体问题来处理的一种
方法,元激发正是针对着我们各种不同物理问
题提出来得一类准粒子,
固体物理中的元激发很多,如能带中的电
子、空穴、等离激元、极化子、磁振子、声
子等, 现代固体理论都是建立在这套处理方
法之上的。
格波
1.点振动的简正模
式是具有一定频
率 和波矢 的平
面波称之为格波,
称作格波的色
散关系,波矢 取周
期性边界条件允许
的值,且取第 1BZ之
内,即, 共
有 N个
声子
1.声子是格波能量的
量子,点阵振动可以
等价地由声子气体描
写,声子的能量是
准动量是,
)(ks ?? k?
)(ks ??
k?
nlk ?2??
)(ks ??ω
k??
2.点阵振动的基
态是所有格波都
没有激发
2,点阵振动的基
态是各种声子都
没有,叫做声子
真空,
0?kn ?
3.由于热激发或
外来因素的影响,
使某一波矢为
频率为 的格
波从 激发
到 的激发态,
3.从声子真空中
产生 个
的声子,k?
)(ks ??
0?kn?
kn?
kn? )(ks ??ω
4.知道了各种格
波 [各种波矢
及 ],点阵振
动便完全确定,
点阵振动的状态
用量子数表示为
4,知道了各种声
子的数目,点
阵振动的量子
态就确定了
k?
)(ks ??
????????? nkkkk nnnn ???? 321
????????? nkkkk nnnn ???? 321
5.简谐近似下,
格波是互相独
立的,互不影
响,
5,简谐近似下,
声子气体是理
想气体,
6.格波服从玻尔兹
曼统计,在温度为
TK时,格波处于第
能级上的几率为,
6.声子气体服从玻
色统计,声子在波
矢为,频率为
的模式上布局的声
子数为,(在温度为
TK时 )
kn?
BTkk
k
kk
khwn
n
BT
hwn
e
ke
p
/
0
/
?
?
?
?
?
?
k? )(k??
1/
1
?? Tkk Ben ω?
?
7,非简谐近似下,格波不再是独立的,
彼此可以相互作用,格波 -格波散
射有两种类型,
<1>
三个格波相互作用,下降一
个能级,上升一个能级,这种相
互作用满足两个守恒定理,
<2>
三个格波相互作用,下降一个
能级,上升一个能级,守
恒定律,
7.声子与声子碰撞有两种类型,
<1>
(湮没了波矢为的声子,产生了
波矢为的声子 )
两个声子湮灭,产生一个新
的声子,
<2>
一个声子湮灭,产生两个新的声
子,
Gkkk
hwhwhw kkk
????
???
???
??
321
321
3k?
1k?
32 kk
???
Gkkk
hwhwhw kkk
????
???
???
??
321
321
21 kk ???
8.对格波可建
立起玻尔兹曼
输运方程,计
算点阵的输运
性质,
8.对声子气体
可引入声子平
均自由程的概
念,建立声子
的玻尔兹曼输
运方程,计算
声子气体的输
运问题,
9.格波和外来粒子的互作
用,(以格波对电子的散射
为例 )
(1) 一个波矢为 的格波散
射一个电子, 散射后格波
上升一个能级, 电子波矢
由 变为,
(2) 一个波矢为 的格波散
射一个电子,散射后格波
下降一个能级,电子波矢
由 变为,
9.电子的非弹性散射
<1>
能量守恒,
动量守恒,
<2>
能量守恒,
动量守恒,
K?
k?
k?
k??
k??
kkk hw ??? ??? ??
GkKk ???? ????
kkk hw ??? ??? ??
GkKk ???? ????
第四章 点阵振动（声子 Ⅰ ）
内容提要
1.格波与声子
2．点阵振动的色散关系
3．第一布里渊区
4．声学支和光学支格波
5．软声子模式
6．中子的非弹性散射
§ 1.一维原子链的点阵振动
1.简谐近似
这一章我们要考虑原子在平衡位置附
近的振动。这种考虑是建立在简谐近似的基
础之上的，所谓简谐近似即认为振动是小振
动，振幅很小，这种振动的位移与力之间是
满足线性关系的。
F=-cx
从能量的角度来看，认为原子
间有了相对位移后，两原子间
的相互作用势也有了变化
将势能展开成级数：
02
2
2
2
2
0
2
1
x
xx
x
u
c
x
x
u
x
x
u
uu
OO
）（
）（）（
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
2.一维单原子点阵的运动方程和色
散关系
一维单原子点阵在每个阵点上
只有一个原子，第 s个原子相对于
它平衡时的位移是 Us。第ｓ个原
子所受到的来自第 s+p个原子的作
用力与它的对位移 成正比
pss uu ??
第 s个原子所受到的力等于所有原子作用力
的总和：
Mus=
当 s取不同值时，上述方程为一方程组代
表各个原子的位移和运动。
）（ pss
p
ps uucF ???? ?
).......3.2.1 Nsuuc sps
p
p ???? （）（
原子在平衡位置附近的小振动可
看作是耦合的简谐振子的运动。这种
耦合谐振子可以通过正则变换化成一
组独立的无相互耦合的简谐振动的运
动。经过这样变换的每一个独立的谐
振子代表简正模式，点阵振动的简正
模式是指有一定频率、一定波矢的平
面波，第 s个原子的位移按简正模式解
可写成：
）（）（ s k ati
s euu
??? ?0
这也就是频率为 ω,波矢为 k
的平面波对第 s个原子位移的贡
献。这个平面波称之为格波，
把寻求到的运动方程的解带入
运动方程就能找出 ω 与 k的关系
即所谓色散关系。
将 带入运动方程得：
（其中 u =u ）
M
约去两边相同的因子得：
代表第 s+p个原子的位移的位相差。
i k akawtis ueeuu ?? ?? )()0(
tie ??）（ 0
ueeCue i s k akapsi
p
p
i s k a ].[2 ?? ?? ）（?
）（ 12 ??? ? i p k a
p
p ecM?
ipkae
由于点阵有平移对称性（ +p原子与 -p原子
的力常数相等）。 Cp=C-p
则
=-
利用欧拉合成化简可得：
这就是一维单原子晶考虑了所有原子的作用
后得到的格波的频率与波矢所满足的关系。
]11[
00
2 ）（）（ ????? ?
?
?
?
?? i p k a
p
p
i p k a
p
p eCeCM?
）（ 2
0
?? ?
?
? i p k ai p k a
p
p eeC
）（ p k ac
m p p
c os12
0
2 ?? ?
?
?
通常只考虑最近邻原子的作用（最近邻近
似）：
则色散关系变为：
或
??
?
?
??
10
1
P
PCc
P
）（＝２ kaM c c o s12 ??
｜ kaM c 21s in|4??
此函数关系在第一布里渊区的图如下：
简正模式的色散关系是点阵平移矢量 的周期
函数,（ n为整数），可以证明将色散关系
中的 k换成 后,ω 是不变的。
sin[
平移后色散关系不变。色散关系是点阵平移
矢量的周期函数，它主要是由于我们研究的对象
是分立的周期结构所引起的。
当把 k换成 -k时色散关系也不变。即 K与 -k对应的
频率完全一样（称之为色散关系的反演对称性）
ω （ k） =ω （ -k）,
G?
naG ?2??
nak ?2?
|21s i n||21s i n|]221 kankanak ???? ）（）（ ??
3.周期性边界条件
我们前面研究的对象是理
想晶体,边界上与内部的原子是
一样的,既理想晶体不考虑晶体
边界,没有边界效应。长为 L的
一维原子链,要作为理想晶体来
对待,就要用到周期性边界条件
(即循环边界条件或玻恩一卡曼
边界条件 ).
所谓周期性边界条件是把实际晶体看作
是无限的,要求运动方程的解以晶体的长度
L=Na为周期,既要求,
这个边界条件的意思是相当于将晶体的
首位相接构成一个园环,第 0个原子与第 N个
原子重合。
??11 ?? ??? nnnss uuuuuu,。即
因此此边界条件又称为循环边界条件，经过这
样处理，边界上原子与晶体内部原子的状态一
样，即可把实际晶体当作理想晶体看待。但是，
在周期性边界条件下，格波的波矢只能取一系
列分立值。
k=0，
k=
为整数）（,nnLkLL ??? 242 ??? ?
）（）（ ts k ais euu ??? 0
i N k ats k aiNs eeuu,0 ）（）（ ??? ?
12 2
2
??? ninaLiNi n k a eeenL ?
?? 。
，则
混淆量一定不要与倒易点阵矢 n
a
Gn
L
?? 22 ?
由此可从 k求出 ω，由于 k值是
无限的，相应的应有无穷多简正模
式，但实际上在这些简正模式中只
有一部分是独立的。即 k取边界条
件允许的值时，有些格波将对应相
同的频率和位移，因此它们是同一
个简正模式。
??2.1.0.2|21s i n|4 ????? nnLkkaM c ??
4．第一布里渊区
简正模式的色散关系有一个重要的性质：
一维时
则
当把 k换成时对应的频率完全一样，不仅频
率相等，而且与这两个波矢相应的原子的
位移情况也一样，进一步说这两个简正模
式是同一个简正模式，是代表同一个格波。
）（）（ KGk ??? ?? ??
为整数）（ nnaG ?2?
）（）（ nakk ??? 2??
当
=
因为 则
当波矢 k平移倒易点阵矢量后所给出的简正模
式是同一个模式，频率及每个原子的位移都是相
同的，这两个格波是同一个格波。
）（）（ s k atis euu ??? ?0
时Gkk ??
]2 2[0 nakstnakieuu ??? ????? （）（）（
niss k atki eeu ?? 2][,0 ??? ）（）（
1)()(
)0(
2
)(
???
??
nis
s k ati
eGkk
eu
?
?
??
如上图,
∴ k与 k‘是同一列格波,是同一个简正模式
aka 5
25 ?? ??
akkak
a ??? 2`
5
12`
6
5`` ????,，
在满足周期性边界条件下，凡是
波矢相差一个倒易点阵矢量 的简正
模式是同一个简正模式，这样我们就
可把格波的波矢ｋ限制在第一布里渊
区之中，第一布里渊区以外的 k总可以
平移一个 后用第一布里渊区中的 k来
等价描述，第一布里渊区以外 k只不过
是第一布里渊区中的ｋ的重复和再现
而已。
G?
G?
在第一布里渊区中有多少 k值呢？
第一布里渊区中的 k值数目实际上
就是晶体中初基晶胞的数目，长为 L的
一维原子链中的独立的简正模式数等于
晶体中的原子数。
N
a
Na
a
L
L
a ???
?
?
2
2
每一个简正模式代表一个一定频
率与波矢的平面波，那么运动方程就有
N个独立的简正模式解，但这些解都不
代表原子的真实位移。
在点阵振动中，我们不研究原子的
真实位移，因为这是毫无实际意义的。
它对晶体的物理性质（如热学性质等）
并没有什么贡献，而有贡献的只是存在
有那些简正模式。
5.群速
若晶体中有一个扰动，有一个
原子偏离了平衡位置。由于原子间有
相互作用，则这个扰动可以看作是基
本格波组成的波包的运动，波包的运
动速度是格波的群速,。它
是有一系列格波叠加起来的波包的运
动，波包中心所对应的速度为群速度，
它是介质中能量传输的速度。
dkdv g ??
我们将色散关系：
对 k微商可得：
可以将此关系作图如下：
）（ BZnLkkaM c 12|21s i n|4 ?? ??
kaMcadkdv g 21c o s2
12
）（?? ?
在布里渊区边界上时,
0,?? gv
a
k ?
在布里渊区边界上满足 Laue或 Bragg条
件，要发生衍射现象，这不仅限于对 x-
raｙ，而任何波只要满足 Laue或 Bragg条件
都会发生衍射，格波也不例外，在一维情
况下的 Bragg反射条件：
?? nd ?s in2 2?? ?? ad
aan
a
nna
a
k 2222 ????? ???? 则时
（ n只能等于 1，而不可能大于 1,∵ 当 n>1
时 λ <2a是没有任何实际意义的）。满足
Bragg反射条件，而反射波与 λ 射波是两个
相反方向的同频，同波矢的波的叠加。
相当与 λ >>a(故称为长波极
限 ).色散关系,
＝
(因为 ka<<1 则 sin
时0?k
|21s in|4 kaMc?? ||
2
kMca
）kaka 21~21
它表明当格波的波长比点阵常数大
的多时,可以把格波当作连续介质中的
弹性波处理。也就是说可以把晶体看
作连续介质，当 λ, a时，点阵的分立
性就显示不出来，传播时感觉不到分
立性，若波长缩短，分立结构的特性
对格波的影响就逐渐显露出来，色散
关系的线性关系就要改变，当 λ =2a时，
k=,正处在布里渊区边界，发生了
Brａ gg反射 。a
?
§ 2.一维双原子点阵的点阵振动
考虑一个初级晶胞有两个原子的情况
1.运动方程和色散关系
一个初基晶胞中两个原子的质量不
同，但为了处理问题方便起见，认为原子间
的力常数是一样的，在简谐近似下，用最近
邻近似，认为各原子之间是用同样的弹簧联
系起来的。
若只考虑最近邻近似，第ｓ个晶胞中质量
为 M1的原子所受的力为：
其运动方程为
同理可写出第 s个晶胞中质量为 M2的原子
的运动方程为：
）（）（ ！????? ssss vucvuc
][ 1）（）（＝Ｍ ２
２
ｄｔ
ｕｄ
１ ????? ssss vuvuc
? ）＝Ｃ sss uvu 21 ?? ?
? ]1 ）（）＝ｃＭ ２２ｄｔ ｕｄ２ ssss uvuv ??? ?
? ）＝ｃ sss vuu 21 ???
u,v可以是复数，第ｓ个晶胞中质
量为 的原子的 ω与 k相同，
但振幅不同，由于 u,v是复数，故
u,v可以有一个相因子之差，表示
它们之间的相位关系。
)(,s k ati
s
s k ati
s vevueu
???? ?? ?? ）（
21 MM,
我们将代回运动方程得：
这是以 u,v为未知数的方程组，
要有非零解须系数行列式为零。
便可得到：
cvecuvM
cuecvuM
i k a
i k a
21
21
2
2
1
2
????
???? ?
）（
）（
?
?
展开此行列式可得：
即
上式中取, ＋, 号时，有较高频率
称为光学支色散关系，取, －, 号时，有
较低频率称为声学支色散关系。
0c o s122 2221421 ????? ）（）（ kacMMcMM ??
]c o s2[ 21222121
21
2 kaMMMMMM
MM
c ??????
把色散关系作图得：
2.光学支和声学支格波
为了讨论比较典型,我们处理长波极限
下的情况。当 ka,1（即波长比点阵常数大
得多的光学支与声学支）
coska≈,带入色散关系中：
取, ＋, 号时,≈
取, －, 号时,≈
2211 ）（ ka?
）（）（ 22
21
0112 akMMc ??2?
2? 22
212
akm c ）（ ?
由 u.v的方程组,我们知道,
当 ka<<1时,
对, ＋, 号的一支,
[这是 k∽0 时,将 带入 u,v方程
组中得到的 ]
212
1
MMc
ec
v
u
i k a
?
?? ）（
1
2 MMvu ??
）（
21
2 112
MMc ???
它表明同一个初基晶胞中的两个
原子每时每刻的振动位相是相反的，
而且是质心不动的，不同的初基晶胞
有一个位相差 。在离子晶体中由
于它们不断的反位相振动，电偶极距
可与电磁波耦合，这种振动模式可用
光波来激发，故称之为光学支振动模
式，实际上它是简正模式中的一部分，
而不是光波,它可与光波耦合，但不要
与光波混淆。
ikae
对, －, 号支：
这表明 ka,1时，同一初基晶胞中两个
原子每时每刻是同位相运动 （振动之比为
1），而且连同质心一起作整体运动。不同
初基晶胞之间的振动有一个相因子,初
基晶胞的整体运动存在着类似声波的色散
关系 ω=vk，有类似声波的性质，故称之为
声学支模式。它不是声波。
ikae
1/ ?vu
两支模式的区别在于，光学支模式是描
写初基晶胞中两个原子相对运动的振动模
式，若这两个原子组成一个分子，光学支
模式实际上是分子振动模式，描写的是同
一个分子中的原子的相对运动情况，声学
支模式代表同一初基晶胞中原子的整体运
动，若初基晶胞中的两个原子组成一个分
子的话，声学支模式则代表分子的整体运
动模式，这种振动模式的色散关系类似于
声波。但它不是声波。
当 k=±
设
对声学支
对光学支
1c o s ??kaa 时，则?
21 MM ?
12 /2 Mc??
22 /2 MC??
3．简正模式计数
在前面的讨论中无论是单原子点阵还
是双原子点阵我们只讨论一维情况，还没
有涉及到简正模式的偏振状态，在三维空
间，对一个波矢对应有 3个偏振态，两个横
振动，一个纵振动，对于 3个不同的偏振态
来说原子的力常数是不同的。纵波的原子
的运动与波的传播是同向的，原子间的作
用力是拉伸力，而横波原子的运动与波的
传播是垂直方向的，原子间的作用力是切
向力，这样两种力的力常数是不相同的，
色散关系也是不一样的。
对于单原子晶体，简正模式的色
散关系有三支，每支色散关系对应有
Ｎ个简正模式，则共有 3N个模式，对
于双原子点阵，点阵模式的色散关系
有 6支,3支声学支,3支光学支。每支
色散关系各有 N个简正模式，故有 3N个
声学摸，在长波极限下它对应于初基
晶胞的整体，这种整体运动的自由度
共有 3N个，这 3N个自由度对应 3N个声
学模式。
光学支也有 3 N个简正模式，
对应与初基晶胞中原子的相对
运动，有 3N个自由度。因此总
的简正模式（包括光学支，声
学支）共有 3× 2× N=6N个，也
就是说双原子点阵共有 6N个简
正模式，这 6N个简正模式对应
于晶体中所有原子的总自由度。
推而广之，对于每个初基晶胞中有 P个
原子的点阵，简正模式的色散关系有 3P支，
其中有 3支是声学支,对应于声学摸的三种
偏振状态,剩下的 3P-3都是光学支,每一支
的 K的取值都有 N个,因此共有 3PN个简正模
式。其中 3N个声学模式，剩下的 3NP-3N个
都是光学模式，无论基晶胞中有多少个原
子，色散关系的声学支只能有 3支，因为声
学支对应于初基晶胞中原子的整体运动而
这种运动只能有三个，剩下的 3P-3支都是
光学支，代表了初基晶胞中原子的相对振
动。
需要说明的是，在色散关系中，
对三维晶体而言，通常要指定波矢 K的
方向后才能画出对应的色散关系，即
ω-K的关系图。对应于晶体中对称性
比较高的方向，简正模式可以是简并
的。但这并不是说它们的简正模式数
减少了，因为此时尽管两支横光学支
或横声学支简并，在同一个 K下它们的
频率相同，但时它们处于不同的偏振
态，各自仍然是独立的。
§ 3.声子
1．声子
点阵振动可用简正模式来描述，每一个
简正模式描写一个一定频率一定波矢和偏振
状态的平面波，而每一个平面波对应于一个
简谐振动，给定了 K就可以通过一定的色散
关系求出 ω。一个简正模式就代表一个频率
为 ω的简谐振动，简谐振动的能量是量子化
的，一个频率为 ω，波矢为 K的简正模式，
处于 N激发态，它的能量为：
）（）（ knE e
?
? ω21??
点阵振动的简正模式（或格波）
的能量的量子称为声子。声子是格波
能量的量子，并非格波本身，一个频
率为 ω，波矢为 k的简正模式处在第 N
个激发态，我们就说在这个能量态上，
占据了 N个波矢为 K频率为 ω的声子。
声子的数目对应于格波激发态的量子
数，而格波的简正模式对应于声子的
种类。
一个波矢为 K的第 S支模式
处在第 N个 激发态，我们就说在
晶体中存在着 N个波矢为 K的第 S
支声子（因为给定了 K与第 S支
模式则 ω可由色散关系唯一确
定），在晶体中波矢为 K的纵声
学支模式处于 N激发态，我们就
说晶体中有 N个波矢为 K的纵声
学支声子。
声子这个名词是模仿光子而来
（因为电磁波也是一种简谐振动）。
声子与光子都代表简谐振动能量的量
子。所不同的是光子可存在于介质或
真空中，而声子只能存在于晶体之中，
只有当晶体中的点阵由于热激发而振
动时才会有声子，在绝对零度下，即
在 OK时，所有的简正模式都没有被激
发，这时晶体中没有声子，称之为声
子真空。声子与光子存在的范围不同，
即寄居区不同。
若点阵振动的波矢为 K的第 S支
的简正模式由于外界干扰而被激发，
能量提高了一级，由 N→N+1,那么
我们就说晶体中产生了一个波矢为
ｋ 的第 S支声子。反之，若由于外
界的激发，格波的激发态下降为 N-
1，则我们说在晶体中淹没了一个
波矢为 K的第 S支声子。
由于声子是格波简正模式的能量量子，
若其能量为：
其量子数 n可取 0?∞ 的一切值，是不受
仍何限制的，因此声子服从波色统计规律，
在温度为ＴＫ时，一个波矢为 K，量子数为
n的简正模式上的声子数为：
）（）（ knE e ?? ω21??
1
1
/ ?
?
kTkk se
n
）（
?
?
?
ω
我们可以把点阵振动的, 波动语
言, 用, 粒子语言, 来描述，利用
,粒子语言, 处理问题要方便的多，
在分析格波与格波之间的散射问题时，
若采用, 粒子语言, 就是声子于声子
之间的碰撞问题，格波与格波之间的
互作用可用声子之间的碰撞来处理。
格波与电子波之间的互作用，实际上
就可用声子与光子的碰撞来处理，但
声子是一种准粒子。而不是基本粒子。
既然格波的能量量子定义
为声子，当格波处于较高的激
发态时晶体中就布局着较多的
声子，即格波振幅较大时，晶
体中的声子数较多。因此格波
的振幅与声子的数目就有一定
的关系，下面我们就讨论这个
关系。
考虑长声学波的情况，当 ka?1，
既 λ ?a时，可以把晶体看作连续介质，
u≈ COS （ kx-ωt），此时考虑 与声
子数目的关系为：
u≈ COS （ kx-ωt）
描写的振动是一个行波，它的能量有
一半是动能，另一般是弹性势能，能
量密度：（动能的）
0u
2)(
2
1
t
uE
k ?
?? ρ
将 u=u。 Cos（ kx-ωt）带入得：
整个晶体中总动能的平均值为：
（之所以在右项出现 1/2因子是因为动能只
占整个动能的 1/2，另外 1/2是势能）
由此可得：
这就是格波的振幅与声子数之间的关系。
)(s in21 2220 tkxuE k ωωρ ??
ωωρ ?? ）（总 212141 22 ??? nuVE Ok
ωρ Vnu /21220 ?）（ ??
2.软声子模式
当 k=0,ω=0时代表整个晶体中原子的整体
运动模式，除了 K=0,ω=0外，若还有 k≠0
而 ω≈0 的模式则称为软摸（软声子模式）
§ 4.声子动量
声子是格波能量的量子，格波并不是描
写粒子的真实位移的振动，而是一个简正振
动模式，是描写晶体中某一个原子与所有其
他原子的坐标的运动。
格波有 3N个简正模式,在 K=0,ω=0时有
物理动量,.既所有原子作整体运动的动量,
而其它模式都是相对坐标的运动,都无物理
动量,这一点还可用数学方法来证明。
考虑一个一维单原子链,点阵常数为 a,点阵
振动的简正模式,
所有的原子都有位移,总动量应等于所有原
子的位移时间微商 (即对 s求和 )
利用公式
可得,
i s k as k ati
s ueeuu ??
?? ）（）（ ?0
dt
dueMu
dt
dMP n
s
i k s an
s
s ??? ??
?
?
?
?
1
0
1
0
x
xX nn
S
s
?
????
? 1
11
0
∵L=na ∴
∴P=0
这就说明格波无物理动量,
它的总动量为零。
i k a
i n k a
e
e
dt
duMP
?
??
1
1..
12
2
???? niL
niL
i L Ki n k a eeee ?
?。
声子没有物理动量。但平
常这些有声子参与的过程中，
为处理问题方便起见，我们把
量 h 称为声子的准动量或声子
的晶体动量，主要是由于它的
性质类似于一个动量。这样凡
是有声子参与的碰撞过程中动
量守恒依然存在 。
k?
在第二章中我们已经讲过，对 x-ray
的弹性散射条件,既是 Laue衍射
条件，又是波矢选择条件，凡是满足这个
条件沿 方向就有反射束，凡不满足这个
条件 x-ray将沿 方向传播而不受反射，
若对上式两边都乘以 h，则可看作动量守恒
的形式，即,它表明反射光子
的动量等于入射光子的动量加上从点阵中
获得的动量,h 是从点阵中获得的动量，
－ h 相当于点阵的反冲动量，这个动量通
常是很难观察到的，就好象皮球打在墙上
而观察不到墙的反冲动量一样。
Gk ????`ｋ
`k?
k?
Ghkhkh ??? ??`
G?
G?
在 x-ray的非弹性散射的能量关系中，
x-ray与点阵有能量交换，这种能量可以激
发声子，也可以从点阵中吸收声子（吸收点
阵的热振动动能）也就是说这种能量交换既
可能激发点阵的热振动，也可能吸收点阵的
热振动。
据量子力学：
式中 为入射波矢,K为声子波矢,+K
对应于声子的产生过程。 -K对应于声子的吸
收过程，上式也是 x-ray在晶体中发生非弹
性散射的波矢选择条件。
k?
GKkk ???? ??? `
两边乘以 h得：
当 =0时：
GhKhkhkh ???? ??? `
G? Khkhkh ??? ?? `
§ 5.中子的非弹性散射测量声
子能谱
格波的色散关系也叫做声
子的能谱。它表示频率与波矢
之间的关系，在实际晶体中由
于力常数是一个较复杂的量，
色散关系难用数学方法计算出
来。通常是用实验方法测得的。
通常我们考虑的是单声子过程，
既吸收或产生一个声子的过程，单声
子过程在整个声子产生和吸收的过程
中几率很大。由于非弹性散射，在散
射过程中，根据能量守恒定律，入射
中子经散射后，能量和动量也要发生
变化，若能测出中子在散射过程中的
能量损失与波矢变化就能测出声子的
色散关系来。
若入射中子的波矢为,中子质量为,
散射中子的波矢为,则有：
λ 射中子的能量：
散射中子的能量：
据能量守恒定理：
“
k?
` k?
NM
kE
2
22?
?
NM
kE
2
`` 22??
）（ k
M
k
M
k
NN
?
??? ω??
2
`
2
2222
NM
动量守恒（亦称波矢选择条件）：
对于产生声子的过程：
相应地有：
KkGk ???? ??? `
GKkk ???? ??? `
）（）（）（ KGKkk ????? ??? ???? `
对于吸收声子的过程：
相应地有：
GKkk ???? ???`
）（）（）（ KGKkk ????? ??? ?????
带入能量守恒条件
对于产生声子的过程：
即
这样就可把中子能量的改变 E-E`作为波矢改
变的函数来处理。
）（ `
22
2222
kk
M
k
M
k
NN
??
??? ??? ω
）（）（ ``/`` kkEEkkEE ?????? ?????? ωω
对于吸收声子的过程：
即
）（ kk
M
k
M
k
NN
??
??? ??? `
2
`
2
2222
ω
）（ kkEE ??? ??? `` ω
）（ kkEE
??
?
??? `
,
ω
λ 射中子的能量 E与波矢 是已知的，测出
E`及 就可决定色散关系即可测出散射过
程中中子能量的增益和损失以及散射中子
的,那么 可由 定
出，而 ω可有 E-E`定出，这样便可得到色
散关系中的一个点，改变 E或改变的方向，
再测能量变化和便可求出色散关系中的另
一个点，如此多次取点便可得到整个色散
关系。
k?
`k?
`k? k? ]`[` ）或（）（ kkkk ???? ??
§ 6.格波 ---声子的对照 (元激发的物理思想 )
元激发方法就是把有强相互作用的多粒
子体系化成准粒子的气体问题来处理的一种
方法,元激发正是针对着我们各种不同物理问
题提出来得一类准粒子,
固体物理中的元激发很多,如能带中的电
子、空穴、等离激元、极化子、磁振子、声
子等, 现代固体理论都是建立在这套处理方
法之上的。
格波
1.点振动的简正模
式是具有一定频
率 和波矢 的平
面波称之为格波,
称作格波的色
散关系,波矢 取周
期性边界条件允许
的值,且取第 1BZ之
内,即, 共
有 N个
声子
1.声子是格波能量的
量子,点阵振动可以
等价地由声子气体描
写,声子的能量是
准动量是,
)(ks ?? k?
)(ks ??
k?
nlk ?2??
)(ks ??ω
k??
2.点阵振动的基
态是所有格波都
没有激发
2,点阵振动的基
态是各种声子都
没有,叫做声子
真空,
0?kn ?
3.由于热激发或
外来因素的影响,
使某一波矢为
频率为 的格
波从 激发
到 的激发态,
3.从声子真空中
产生 个
的声子,k?
)(ks ??
0?kn?
kn?
kn? )(ks ??ω
4.知道了各种格
波 [各种波矢
及 ],点阵振
动便完全确定,
点阵振动的状态
用量子数表示为
4,知道了各种声
子的数目,点
阵振动的量子
态就确定了
k?
)(ks ??
????????? nkkkk nnnn ???? 321
????????? nkkkk nnnn ???? 321
5.简谐近似下,
格波是互相独
立的,互不影
响,
5,简谐近似下,
声子气体是理
想气体,
6.格波服从玻尔兹
曼统计,在温度为
TK时,格波处于第
能级上的几率为,
6.声子气体服从玻
色统计,声子在波
矢为,频率为
的模式上布局的声
子数为,(在温度为
TK时 )
kn?
BTkk
k
kk
khwn
n
BT
hwn
e
ke
p
/
0
/
?
?
?
?
?
?
k? )(k??
1/
1
?? Tkk Ben ω?
?
7,非简谐近似下,格波不再是独立的,
彼此可以相互作用,格波 -格波散
射有两种类型,
<1>
三个格波相互作用,下降一
个能级,上升一个能级,这种相
互作用满足两个守恒定理,
<2>
三个格波相互作用,下降一个
能级,上升一个能级,守
恒定律,
7.声子与声子碰撞有两种类型,
<1>
(湮没了波矢为的声子,产生了
波矢为的声子 )
两个声子湮灭,产生一个新
的声子,
<2>
一个声子湮灭,产生两个新的声
子,
Gkkk
hwhwhw kkk
????
???
???
??
321
321
3k?
1k?
32 kk
???
Gkkk
hwhwhw kkk
????
???
???
??
321
321
21 kk ???
8.对格波可建
立起玻尔兹曼
输运方程,计
算点阵的输运
性质,
8.对声子气体
可引入声子平
均自由程的概
念,建立声子
的玻尔兹曼输
运方程,计算
声子气体的输
运问题,
9.格波和外来粒子的互作
用,(以格波对电子的散射
为例 )
(1) 一个波矢为 的格波散
射一个电子, 散射后格波
上升一个能级, 电子波矢
由 变为,
(2) 一个波矢为 的格波散
射一个电子,散射后格波
下降一个能级,电子波矢
由 变为,
9.电子的非弹性散射
<1>
能量守恒,
动量守恒,
<2>
能量守恒,
动量守恒,
K?
k?
k?
k??
k??
kkk hw ??? ??? ??
GkKk ???? ????
kkk hw ??? ??? ??
GkKk ???? ????
第四章 点阵振动（声子 Ⅰ ）
内容提要
1.格波与声子
2．点阵振动的色散关系
3．第一布里渊区
4．声学支和光学支格波
5．软声子模式
6．中子的非弹性散射
