第八章 能带 Ⅱ
§ 1.运动方程
1．准经典近似
点阵的周期势场是在点阵常数的范围内
变化，这样的势场只能用量子力学来处理，
因为它是一个微观场，但对于外加的宏观
的电磁场，在波包范围内基本是恒定的，
因此对于宏观场而言，可把波包的运动看
作经典粒子的运动，而采用经典力学的方
法来处理。这就是准经典近似方法（或称
半经典极限，之所以称, 半, 是因为对周
期场处理仍按量子力学的方法解决）。
2.运动方程
主要考虑 Bloch电子在外加电磁场下的
运动规律。
Bloch电子的速度是 Bloch波包的
群速度
三维时：
kv ??? ε?
1
)(1 kv k
?
?
????
若外加电场为,则外场对 Bloch电子要作
功，在 t时间内，电子的能量增加为：
又 ∵
(即电子能量的变化引起的波矢变化为 k)
又
比较
则
E?
?
te E v??? ??
?
k
k
???? )(
?
??
vkkv ?? ?????? )()(1 ??
??????? vte E v ???? 和
teEteEk ????? ?? ???? 即
若 足够小，则有：
三维时：
上式表明了电子在波矢空间的
运动规律。 从式中可看到：电
子晶体动量的变化率仅决定于
外力，而与周期势场无关。
t?
FeE
dt
dk ????
FEe
dt
kd ??
?
? ???
（真实空间中的运动规律）
（波矢空间中的运动规律）
?
?
?
?
?
?
1
v
F
dt
kd ?
?
? ?
考虑 Bloch电子在外加磁场 下
运动规律：
B?
Bv
c
e
dt
kdBv
c
eF ??
?
???? ??????
z
z
y
y
x
x
kk kkkkkv
???1
?
??
?
??
?
????? ??
?
???
??
?
?
Bloch电子的 函数的形式
与自由电子不同（自由电子等
能面是球面）。但在能带的极
值附近，可以近似展开成球面。
一般说来 决定于等能面的
形状，而等能面的梯度决定了
电子在波矢空间的速度：
)(k?
)(k?
B
c
e
dt
kd
k
?
?
?
? ???? ε
2
从上式可看出在外加磁场下,Bloch
电子在波矢空间的运动规律：
垂直于电子等能面的梯度。因此波
矢 在电子的等能面上运动。 即在外
加磁场 下电子的能量是不变的。 同
时,又垂直于,说明在波矢空间
的运动方向与磁场方向是垂直的。 在
与 垂直的平面上运动。 电子既要在
等能面上运动，又要在垂直于 的平面
上运动,则只能沿这两个面的交线运
动。
dt
kd?
dt
kd? B?
B?
B?
k?
k?
k?
B?
§ 2.空穴
电子从一个能带跃迁到上一个能带
中去，在原能带中留下一个空轨道，
这个空轨道称为空穴，空穴是一个
几乎充满的能带中的空轨道，它是
在波矢空间的能带中的概念，不是
真实空间中失去电子后的空位，也
不是原子离开原位置后留下的空位
缺陷，在外加电磁场下，空穴的行
为犹如一个带电量为 +e的粒子。
1.空穴的性质
〈 1〉 空穴的波矢是失去的哪个
电子波矢的负值，既一个能带
若失去了一个空轨道，称为空
穴，空穴的波矢
eh kk
??
??
空穴是描述失去了电子的能带的简捷方
法，一个充满的能带失去了电子就产生了
空轨道，空轨道的性质是与失去电子的能
带中的集体行为联系在一起的（即拿一个
电子，剩下 2N-1个电子），也就是说失去
了一个电子的能带既可以用 2N-1个电子的
集体行为来描写，也可以用一个空穴来描
写，空穴的行为是与 2N-1个电子的集体行
为联系在一起的。空穴是假象的粒子，是
准离子，主要是为了处理问题方便而引入
的，空穴的性质由几乎充满的电子的集体
行为所决定。
〈 2〉 空穴的能量
即空穴的能量等于失去的那个
电子的能量的负值。
）（）（ eehh kk ?? ??
〈 3〉 空穴的速度
即空穴的速度与失去了的那个
电子的速度相同。
eh vv
?? ?
〈 4〉 空穴的有效质量
即空穴的有效质量等于失去了
的那个电子的有效质量的负值 。
eh mm ??
电子的有效质量由电子的能带
曲线的曲率来定义：
有效质量是波矢 k的函数，由于
[空穴和电子的 ]能带曲线有中
心反演对称性，这两条曲线的
曲率是大小相等符号相反的，
则可得到
2
21
e
ee
dk
kd
me
）（??
eh mm ??
〈 5 〉 在外加电磁场中空穴的
运动方程如一个带电荷为 +e的
粒子的运动方程：
）（ Bv
c
Ee
dt
kd
h
h
???
?
?
???
1
2.电子和空穴在恒定电场下的半经
典运动
在外加恒定电场下，电子的波矢的
改变满足方程式：
在恒定电场中，电子的速度以均匀
速度变化，若 t=0时刻开始加电场，
则在时刻 t电子的波矢为
tEeOktk
?
???
?? ）（）（
Ee
dt
kd ?
?
? ??
在外加电场下 t时刻电子的速度
为,
]0[)]([ t
Ee
kvtkv
?
?
????
?? ）（
在 BZ边界上，电子由于受
Blagg反射形成驻波，驻波的速
度为零,∴ 在 BZ边界上电子的
速度 在一维情况下电
子的速度是有界函数
不象自由电子是线性函数
0?v?
dk
d
v
?
?
1
?
vmk ??? ?
一般情况下，对电流有贡献的
不是电子的波矢变化，而是电子的
速度变化，若 恒定，电子的 k
是随时间 t线性增加，而电子的速
度是周期性变化的。那么在恒定电
场下 Bloch电子对电场响应应当是
交流的，这个结果显然是错误的。
E?
k?
这主要是我们没有考虑电子的各
种散射，电子在运动过程中要与声子、
晶体中的杂质等发生碰撞，这种碰撞
使得把从电场中得到的定向运动的能
量耗散掉使得电子在波矢空间中
并不是随 t的改变而线性增大。而在
波矢空间中只运动一个很小的距离就
停止了。也就是说电子从电场获得的
能量与碰撞耗散的能量相等时就不动
了。
k?
例如,
则
也就是说电子在外场下获得的波矢改
变为，而一个 BZ的尺寸,即
电子的波矢改变仅为 BZ尺度 的 。
换句话说，电子只能在波矢空间在原
波矢附近运动一个极小的距离。所以
观察不到周而复始的变化，因而电子
对外加恒定电场就不可能有周期性的
响应。
s e c10/10 142 ??? ?mVE
1110~ ?? cmeE
?
?
1810~1 ?cm
a
910?
在外场作用下,空穴由 E到 D运动
到 D点,D位置是空轨道，在下一时刻，
电子在电场力 -e （ 在 -k方向）作用
下继续向 -k方向运动，空穴运动到了 C
点,空穴在波矢空间中与电子的运动
方向是相同的，都向 -k方向运动。 但
是空穴的波矢都沿正 k方向变化（ ∵ 在
波矢空间 ）。 这个结论与空
穴所满足的运动方程是一致的。
E?
he kk
?? ??
半导体的价带是几乎充满的，
我们用空穴来处理较方便，而
导带中只有少数电子，通常直
接用电子图象。半导体的总电
流是指价带中的空穴电流加上
导的电子电流，但这是对两个
能带来讲的。
§ 3.有效质量
1.有效质量的定义
一维情况下，,电子在
外场作用下得到的加速度为：
而由运动方程可知：
或
dk
dv ?
?
1?
dt
dk
dk
d
dt
dv
2
21 ?
?
?
?Fdtdk ? F
dt
dk ??
代入上式可得：
或
F
kdt
dv
??
?
?
??
?
?
?
?
? 2
2
2
1 ?
?
dt
dv
k
F ?
?
?
?
）（
2
2
2
?
?
我们定义,
叫作电子的有效质量,于是,
具有牛顿第二定律的形式。
*
2
2
2
m
k
?
?
?
）（
?
?
am
dt
dvmF ** ??
上式说明，在外场作用下，
Bloch电子要得到一个加速度，
我们定义有效质量后，电子的
质量不再是它的惯性质量，此
时的力只包括外力而不包括周
期势场的作用。（周期势场的
作用已含在有效质量 m*中）这
样我们就可用经典的牛顿定理
来处理问题。
现在我们看一看对简单的能
带在区边界处电子的有效质量，
在区边界处电子的能谱为：
为区边界上自由电子的动能，
U是周期势场的付里叶系数。
）（）（）（
u
k
m
k
λ
εε
2
1
~
2
~ 22
????
?
?
据有效质量的定义，看看在价
带边与导带边的表达形式，对
抛物线函数求二阶导数后：
）（
）（
umkd
kd
me
?? 2
1
1
~
~
11
2
2
2
???
?
对于价带：
对于导带：
一般情况下
对于导带边的电子的有效质量 m*?0
对于价带边的电子的有效质量 m*?0
）（
umme
?2111 ??
）（
umme
?2111 ??
|U|?,0~~ ??ukK,
根据
则 |me| | |
U在禁带宽度的数量级
而
∴ |me|/m～
）（
umme
?2111 ??
/1/ ?m
u
?21?
gEu ~
1/2,u?
?
Eg
对一般半导体 Eg～ 0.2～ 2ev,而
λ 在 20ev左右。
则 |me|/m ～ ～ 0.1～ 0.01
的范围。
∴ 电子的有效质量只是惯性质量
的 0.1～ 0.01。
?
?
Eg
引入 m*后,函数在区边界附近可写成,
对于导带中的电子,
(能量的零点取在价带边上 )
相当于一个自由电子的能谱。
对于价带中的空穴,
也相当于一个自由粒子,无论是电子或空穴
都可用自由粒子来处理,只不过用有效质量
来表示,只适用于区边界。
)(k?
geee Emkk ??
*·22 2/~~ ?）（?
*22 2/~~
hhh mkk ??）（?
电子的晶体动量和电子的速度
之间有：
上式只在区边界附近成立，因
为 随 k是逐点变化的，只有在
区边界附近才近似线形关系。
eee vmk
??? *?
dk
d?
同样空穴的晶体动量与空穴速
度之间也有：
引入有效质量后，与自由电子
的关系就相同了。
hhh vmk
??? ??
运动方程可写成：
Ee
dt
vd
m
e
e
?
?
??
*
Ee
dt
vd
m hh
??
?*或
引入电子或空穴的驰豫时间，
则电子或空穴在外场下的平均
漂移速度为：
e
e
e
m
Ee
v ?
*
?
?
??
h
h
h
m
Ee
v ?
*
?
?
??
电子或空穴在外电场下的电流,
这两部分电流加起来就是半导
体的总电流 (即价带中的空穴的
电流和导带中的电子的电流 )。
ee vneJ
?? ??
hh vPeJ
?? ?
2.有效质量张量
在晶体是各向异性的情况下有效质
量 m*将不再是标量，而是一个张量。
电子或空穴的速度：
电子或空穴的加速度：
）（ kv k
?
?
?
????
1
εε kkkk F
dt
kd
dt
vd
???
?
??
??
???????? )(11) 2（
写成分量形式：
则
是一个张量。
???
?
?
???
? F
m
F
kkdt
dv x ）（?? ?
??
??
*
2
2
11
?
??
?
kkm ??
?
?
2
2*
11
?
适当选用坐标系总可把张量对角化，
这样的坐标系称为主轴坐标系。
是三个主轴方向的波矢分量，
是三个主轴方向的有效质量
分量 。
，、,321 kkk
32 *** mmm,！、
若等能面有旋转椭球的形
状（如 Ge.Si） 在导带底附近
(能量极小值的地方 )：
l
y
t
zx
m
k
m
kk
k
22222
) ??
?
?
?
（
）（?
若坐标轴如图所选,则沿, 方向的有效
质量为 (短轴方向 )称为横向有效质量,而
沿长轴方向 ( 方向 )为 称为纵向有效质
量。
xk zk
tm
yk lm
有效质量与等能面形状
即 函数有关，若从
实验上测出了有效质量
就可分析等能面的形状
以及 函数的性质。
)(k?
)(k?
3．回旋共振
在外加恒定磁场的作用下，自
由电子应当在等能面上运动，它的
轨道应当在垂直于磁场的平面与等
能面的交线上（而在真实空间中自
由电子在磁场中的运动轨迹应是螺
旋线）回旋频率：
mceBc /??
而 Blooch电子就与自由电
子有所不同，但若考虑能带边
上的电子（如半导体导带边上
的电子），在外加磁场作用下
电子应在等能面上回旋，电子
在波矢空间的轨道仍是在垂直
于磁场的平面与等能面的交线
上，回旋频率为：
cmeBc */??
若函数为：
同样磁场 与 有一夹角 （如
图中红线所示），则可以证明：
）（）（
l
z
t
yx
m
k
m
kk
k
222
2
2
?
?
? ?
?
?
B? zk
?
ltt mmmm
?? 2
2
2
2
s inc os
*
1
??
?
m*中已含有 和 的贡献。
若
tm lm
），、平面内（、在
2
?
? ?yx kkB
?
lt mmm ?*则
若外加一个与磁场方向垂直的
交变电场 当电场的 等于
电子的回旋频率 c时,电子
会从交变电场中大量吸收能量，
发生能量的共振吸收，称之为
回旋共振，若改变电场的频率，
根据共振吸收峰的位置，就可
以测出电子的回旋频率 c来。
）（ tE? ?
?
?
要用此方法测电子的有效质量，需电
子在两次碰撞之间的时间中来得及在
等能面上回旋一周，即, 1，此时
吸收峰的位置才能观察到。
若, 1不满足，则电子有可能与声
子发生碰撞，要减少电子与声子的碰
撞，具体来说要增大 就要求低温，
（一般在液氦温度）还要提高样品纯
度（减少与杂质的碰撞），同时还要
提高 大则回旋快，相应需要的
就可小些。
??c
??c
?
,B? B
? ?
§ 4能带理论的限制（金属一绝缘体转变）
以 Na的情况为例来说明。我们知道 Na是
金属，是一个导体，这主要是它的 3S能带是
半满的。现在，我们考虑如果用某种方法使
Na膨胀,以致于使它的点阵常数 a能任意增
大,那么是否对于 a取任何值时 Na材料仍然
保持是一个导体呢？如果能带模型是正确的
话，答案将是完全肯定的,因为不管 a值如
何变化,3S能带始终是半满的，它的金属性
始终存在。
然而事实上，上述结论是不完全正
确的,因为当点阵常数 a继续增加
到临界值 时，电导率 σ 突然下降
为零，把导体变成了绝缘体，并且
只要 a> 这个结论就一直保持不变，
这样当点阵常数足够大时金属就会
变成绝缘体，这叫作金属一绝缘体
转变，或称莫特（ Mott）转变。这
个结论用能带理论显然无法解释。
ca
ca
在能带理论中我们曾假设
布洛赫电子是非局域化的，这
就决定了金属的导电性质。作
为一个非局域化的粒子,Bloch
电子要在晶体的每个它所遇到
的原子上花费它的一部分时间，
而我们只是以平均的方式计算
了不同 Bloch电子间的相互作用。
我们知道，能带的宽度决定于交叠积分（以
后会讲到）的大小。交叠积分取决于相邻原
子间的距离即与 a有关。当 a增大时能带宽度
减小,在 a足够大时，它就变得很窄，在这
种情况下，能带模型就被破坏了，因为在能
带很窄的情况下，它要允许在同一个点阵位
置上存在两三个电子，而由于电子间排斥，
这种情况是不可能发生的，而当能带较宽时，
这种情况并不严重，因为尽管电子的能量都
相同，但它们可以用调整动能来补偿其库仑
势能的增加，而对于窄能带来说，电子的动
能已经很小，这种重新调整几乎是不可能的。
事实上，在 a很大时，晶体中电子
固有轨道已不再是 Bloch型，它们被局
限在以各自位置为中心的轨道上来缓
和很大的库仑势能。因此电子轨道如
同孤立原子中的情况一样被局域化，
导电性也就消失了，上述结论，即使
能级依然能形成能带，并且能带依然
是半满的，也同样是成立的，主要是
由于电子轨道变成局域化的了，无所
谓, 自由电子, 从而 也就失去了导电
性。
第八章 内容提要
1.准经典近似
2.Bloch电子在外加电磁场中的运动
3.在恒定磁场作用下 Bloch电子在波矢空间
的运动行为
4.空穴
5.空穴的性质
6.电子和空穴在恒定电场下的准经典运动
7.有效质量
8.回旋共振
§ 1.运动方程
1．准经典近似
点阵的周期势场是在点阵常数的范围内
变化，这样的势场只能用量子力学来处理，
因为它是一个微观场，但对于外加的宏观
的电磁场，在波包范围内基本是恒定的，
因此对于宏观场而言，可把波包的运动看
作经典粒子的运动，而采用经典力学的方
法来处理。这就是准经典近似方法（或称
半经典极限，之所以称, 半, 是因为对周
期场处理仍按量子力学的方法解决）。
2.运动方程
主要考虑 Bloch电子在外加电磁场下的
运动规律。
Bloch电子的速度是 Bloch波包的
群速度
三维时：
kv ??? ε?
1
)(1 kv k
?
?
????
若外加电场为,则外场对 Bloch电子要作
功，在 t时间内，电子的能量增加为：
又 ∵
(即电子能量的变化引起的波矢变化为 k)
又
比较
则
E?
?
te E v??? ??
?
k
k
???? )(
?
??
vkkv ?? ?????? )()(1 ??
??????? vte E v ???? 和
teEteEk ????? ?? ???? 即
若 足够小，则有：
三维时：
上式表明了电子在波矢空间的
运动规律。 从式中可看到：电
子晶体动量的变化率仅决定于
外力，而与周期势场无关。
t?
FeE
dt
dk ????
FEe
dt
kd ??
?
? ???
（真实空间中的运动规律）
（波矢空间中的运动规律）
?
?
?
?
?
?
1
v
F
dt
kd ?
?
? ?
考虑 Bloch电子在外加磁场 下
运动规律：
B?
Bv
c
e
dt
kdBv
c
eF ??
?
???? ??????
z
z
y
y
x
x
kk kkkkkv
???1
?
??
?
??
?
????? ??
?
???
??
?
?
Bloch电子的 函数的形式
与自由电子不同（自由电子等
能面是球面）。但在能带的极
值附近，可以近似展开成球面。
一般说来 决定于等能面的
形状，而等能面的梯度决定了
电子在波矢空间的速度：
)(k?
)(k?
B
c
e
dt
kd
k
?
?
?
? ???? ε
2
从上式可看出在外加磁场下,Bloch
电子在波矢空间的运动规律：
垂直于电子等能面的梯度。因此波
矢 在电子的等能面上运动。 即在外
加磁场 下电子的能量是不变的。 同
时,又垂直于,说明在波矢空间
的运动方向与磁场方向是垂直的。 在
与 垂直的平面上运动。 电子既要在
等能面上运动，又要在垂直于 的平面
上运动,则只能沿这两个面的交线运
动。
dt
kd?
dt
kd? B?
B?
B?
k?
k?
k?
B?
§ 2.空穴
电子从一个能带跃迁到上一个能带
中去，在原能带中留下一个空轨道，
这个空轨道称为空穴，空穴是一个
几乎充满的能带中的空轨道，它是
在波矢空间的能带中的概念，不是
真实空间中失去电子后的空位，也
不是原子离开原位置后留下的空位
缺陷，在外加电磁场下，空穴的行
为犹如一个带电量为 +e的粒子。
1.空穴的性质
〈 1〉 空穴的波矢是失去的哪个
电子波矢的负值，既一个能带
若失去了一个空轨道，称为空
穴，空穴的波矢
eh kk
??
??
空穴是描述失去了电子的能带的简捷方
法，一个充满的能带失去了电子就产生了
空轨道，空轨道的性质是与失去电子的能
带中的集体行为联系在一起的（即拿一个
电子，剩下 2N-1个电子），也就是说失去
了一个电子的能带既可以用 2N-1个电子的
集体行为来描写，也可以用一个空穴来描
写，空穴的行为是与 2N-1个电子的集体行
为联系在一起的。空穴是假象的粒子，是
准离子，主要是为了处理问题方便而引入
的，空穴的性质由几乎充满的电子的集体
行为所决定。
〈 2〉 空穴的能量
即空穴的能量等于失去的那个
电子的能量的负值。
）（）（ eehh kk ?? ??
〈 3〉 空穴的速度
即空穴的速度与失去了的那个
电子的速度相同。
eh vv
?? ?
〈 4〉 空穴的有效质量
即空穴的有效质量等于失去了
的那个电子的有效质量的负值 。
eh mm ??
电子的有效质量由电子的能带
曲线的曲率来定义：
有效质量是波矢 k的函数，由于
[空穴和电子的 ]能带曲线有中
心反演对称性，这两条曲线的
曲率是大小相等符号相反的，
则可得到
2
21
e
ee
dk
kd
me
）（??
eh mm ??
〈 5 〉 在外加电磁场中空穴的
运动方程如一个带电荷为 +e的
粒子的运动方程：
）（ Bv
c
Ee
dt
kd
h
h
???
?
?
???
1
2.电子和空穴在恒定电场下的半经
典运动
在外加恒定电场下，电子的波矢的
改变满足方程式：
在恒定电场中，电子的速度以均匀
速度变化，若 t=0时刻开始加电场，
则在时刻 t电子的波矢为
tEeOktk
?
???
?? ）（）（
Ee
dt
kd ?
?
? ??
在外加电场下 t时刻电子的速度
为,
]0[)]([ t
Ee
kvtkv
?
?
????
?? ）（
在 BZ边界上，电子由于受
Blagg反射形成驻波，驻波的速
度为零,∴ 在 BZ边界上电子的
速度 在一维情况下电
子的速度是有界函数
不象自由电子是线性函数
0?v?
dk
d
v
?
?
1
?
vmk ??? ?
一般情况下，对电流有贡献的
不是电子的波矢变化，而是电子的
速度变化，若 恒定，电子的 k
是随时间 t线性增加，而电子的速
度是周期性变化的。那么在恒定电
场下 Bloch电子对电场响应应当是
交流的，这个结果显然是错误的。
E?
k?
这主要是我们没有考虑电子的各
种散射，电子在运动过程中要与声子、
晶体中的杂质等发生碰撞，这种碰撞
使得把从电场中得到的定向运动的能
量耗散掉使得电子在波矢空间中
并不是随 t的改变而线性增大。而在
波矢空间中只运动一个很小的距离就
停止了。也就是说电子从电场获得的
能量与碰撞耗散的能量相等时就不动
了。
k?
例如,
则
也就是说电子在外场下获得的波矢改
变为，而一个 BZ的尺寸,即
电子的波矢改变仅为 BZ尺度 的 。
换句话说，电子只能在波矢空间在原
波矢附近运动一个极小的距离。所以
观察不到周而复始的变化，因而电子
对外加恒定电场就不可能有周期性的
响应。
s e c10/10 142 ??? ?mVE
1110~ ?? cmeE
?
?
1810~1 ?cm
a
910?
在外场作用下,空穴由 E到 D运动
到 D点,D位置是空轨道，在下一时刻，
电子在电场力 -e （ 在 -k方向）作用
下继续向 -k方向运动，空穴运动到了 C
点,空穴在波矢空间中与电子的运动
方向是相同的，都向 -k方向运动。 但
是空穴的波矢都沿正 k方向变化（ ∵ 在
波矢空间 ）。 这个结论与空
穴所满足的运动方程是一致的。
E?
he kk
?? ??
半导体的价带是几乎充满的，
我们用空穴来处理较方便，而
导带中只有少数电子，通常直
接用电子图象。半导体的总电
流是指价带中的空穴电流加上
导的电子电流，但这是对两个
能带来讲的。
§ 3.有效质量
1.有效质量的定义
一维情况下，,电子在
外场作用下得到的加速度为：
而由运动方程可知：
或
dk
dv ?
?
1?
dt
dk
dk
d
dt
dv
2
21 ?
?
?
?Fdtdk ? F
dt
dk ??
代入上式可得：
或
F
kdt
dv
??
?
?
??
?
?
?
?
? 2
2
2
1 ?
?
dt
dv
k
F ?
?
?
?
）（
2
2
2
?
?
我们定义,
叫作电子的有效质量,于是,
具有牛顿第二定律的形式。
*
2
2
2
m
k
?
?
?
）（
?
?
am
dt
dvmF ** ??
上式说明，在外场作用下，
Bloch电子要得到一个加速度，
我们定义有效质量后，电子的
质量不再是它的惯性质量，此
时的力只包括外力而不包括周
期势场的作用。（周期势场的
作用已含在有效质量 m*中）这
样我们就可用经典的牛顿定理
来处理问题。
现在我们看一看对简单的能
带在区边界处电子的有效质量，
在区边界处电子的能谱为：
为区边界上自由电子的动能，
U是周期势场的付里叶系数。
）（）（）（
u
k
m
k
λ
εε
2
1
~
2
~ 22
????
?
?
据有效质量的定义，看看在价
带边与导带边的表达形式，对
抛物线函数求二阶导数后：
）（
）（
umkd
kd
me
?? 2
1
1
~
~
11
2
2
2
???
?
对于价带：
对于导带：
一般情况下
对于导带边的电子的有效质量 m*?0
对于价带边的电子的有效质量 m*?0
）（
umme
?2111 ??
）（
umme
?2111 ??
|U|?,0~~ ??ukK,
根据
则 |me| | |
U在禁带宽度的数量级
而
∴ |me|/m～
）（
umme
?2111 ??
/1/ ?m
u
?21?
gEu ~
1/2,u?
?
Eg
对一般半导体 Eg～ 0.2～ 2ev,而
λ 在 20ev左右。
则 |me|/m ～ ～ 0.1～ 0.01
的范围。
∴ 电子的有效质量只是惯性质量
的 0.1～ 0.01。
?
?
Eg
引入 m*后,函数在区边界附近可写成,
对于导带中的电子,
(能量的零点取在价带边上 )
相当于一个自由电子的能谱。
对于价带中的空穴,
也相当于一个自由粒子,无论是电子或空穴
都可用自由粒子来处理,只不过用有效质量
来表示,只适用于区边界。
)(k?
geee Emkk ??
*·22 2/~~ ?）（?
*22 2/~~
hhh mkk ??）（?
电子的晶体动量和电子的速度
之间有：
上式只在区边界附近成立，因
为 随 k是逐点变化的，只有在
区边界附近才近似线形关系。
eee vmk
??? *?
dk
d?
同样空穴的晶体动量与空穴速
度之间也有：
引入有效质量后，与自由电子
的关系就相同了。
hhh vmk
??? ??
运动方程可写成：
Ee
dt
vd
m
e
e
?
?
??
*
Ee
dt
vd
m hh
??
?*或
引入电子或空穴的驰豫时间，
则电子或空穴在外场下的平均
漂移速度为：
e
e
e
m
Ee
v ?
*
?
?
??
h
h
h
m
Ee
v ?
*
?
?
??
电子或空穴在外电场下的电流,
这两部分电流加起来就是半导
体的总电流 (即价带中的空穴的
电流和导带中的电子的电流 )。
ee vneJ
?? ??
hh vPeJ
?? ?
2.有效质量张量
在晶体是各向异性的情况下有效质
量 m*将不再是标量，而是一个张量。
电子或空穴的速度：
电子或空穴的加速度：
）（ kv k
?
?
?
????
1
εε kkkk F
dt
kd
dt
vd
???
?
??
??
???????? )(11) 2（
写成分量形式：
则
是一个张量。
???
?
?
???
? F
m
F
kkdt
dv x ）（?? ?
??
??
*
2
2
11
?
??
?
kkm ??
?
?
2
2*
11
?
适当选用坐标系总可把张量对角化，
这样的坐标系称为主轴坐标系。
是三个主轴方向的波矢分量，
是三个主轴方向的有效质量
分量 。
，、,321 kkk
32 *** mmm,！、
若等能面有旋转椭球的形
状（如 Ge.Si） 在导带底附近
(能量极小值的地方 )：
l
y
t
zx
m
k
m
kk
k
22222
) ??
?
?
?
（
）（?
若坐标轴如图所选,则沿, 方向的有效
质量为 (短轴方向 )称为横向有效质量,而
沿长轴方向 ( 方向 )为 称为纵向有效质
量。
xk zk
tm
yk lm
有效质量与等能面形状
即 函数有关，若从
实验上测出了有效质量
就可分析等能面的形状
以及 函数的性质。
)(k?
)(k?
3．回旋共振
在外加恒定磁场的作用下，自
由电子应当在等能面上运动，它的
轨道应当在垂直于磁场的平面与等
能面的交线上（而在真实空间中自
由电子在磁场中的运动轨迹应是螺
旋线）回旋频率：
mceBc /??
而 Blooch电子就与自由电
子有所不同，但若考虑能带边
上的电子（如半导体导带边上
的电子），在外加磁场作用下
电子应在等能面上回旋，电子
在波矢空间的轨道仍是在垂直
于磁场的平面与等能面的交线
上，回旋频率为：
cmeBc */??
若函数为：
同样磁场 与 有一夹角 （如
图中红线所示），则可以证明：
）（）（
l
z
t
yx
m
k
m
kk
k
222
2
2
?
?
? ?
?
?
B? zk
?
ltt mmmm
?? 2
2
2
2
s inc os
*
1
??
?
m*中已含有 和 的贡献。
若
tm lm
），、平面内（、在
2
?
? ?yx kkB
?
lt mmm ?*则
若外加一个与磁场方向垂直的
交变电场 当电场的 等于
电子的回旋频率 c时,电子
会从交变电场中大量吸收能量，
发生能量的共振吸收，称之为
回旋共振，若改变电场的频率，
根据共振吸收峰的位置，就可
以测出电子的回旋频率 c来。
）（ tE? ?
?
?
要用此方法测电子的有效质量，需电
子在两次碰撞之间的时间中来得及在
等能面上回旋一周，即, 1，此时
吸收峰的位置才能观察到。
若, 1不满足，则电子有可能与声
子发生碰撞，要减少电子与声子的碰
撞，具体来说要增大 就要求低温，
（一般在液氦温度）还要提高样品纯
度（减少与杂质的碰撞），同时还要
提高 大则回旋快，相应需要的
就可小些。
??c
??c
?
,B? B
? ?
§ 4能带理论的限制（金属一绝缘体转变）
以 Na的情况为例来说明。我们知道 Na是
金属，是一个导体，这主要是它的 3S能带是
半满的。现在，我们考虑如果用某种方法使
Na膨胀,以致于使它的点阵常数 a能任意增
大,那么是否对于 a取任何值时 Na材料仍然
保持是一个导体呢？如果能带模型是正确的
话，答案将是完全肯定的,因为不管 a值如
何变化,3S能带始终是半满的，它的金属性
始终存在。
然而事实上，上述结论是不完全正
确的,因为当点阵常数 a继续增加
到临界值 时，电导率 σ 突然下降
为零，把导体变成了绝缘体，并且
只要 a> 这个结论就一直保持不变，
这样当点阵常数足够大时金属就会
变成绝缘体，这叫作金属一绝缘体
转变，或称莫特（ Mott）转变。这
个结论用能带理论显然无法解释。
ca
ca
在能带理论中我们曾假设
布洛赫电子是非局域化的，这
就决定了金属的导电性质。作
为一个非局域化的粒子,Bloch
电子要在晶体的每个它所遇到
的原子上花费它的一部分时间，
而我们只是以平均的方式计算
了不同 Bloch电子间的相互作用。
我们知道，能带的宽度决定于交叠积分（以
后会讲到）的大小。交叠积分取决于相邻原
子间的距离即与 a有关。当 a增大时能带宽度
减小,在 a足够大时，它就变得很窄，在这
种情况下，能带模型就被破坏了，因为在能
带很窄的情况下，它要允许在同一个点阵位
置上存在两三个电子，而由于电子间排斥，
这种情况是不可能发生的，而当能带较宽时，
这种情况并不严重，因为尽管电子的能量都
相同，但它们可以用调整动能来补偿其库仑
势能的增加，而对于窄能带来说，电子的动
能已经很小，这种重新调整几乎是不可能的。
事实上，在 a很大时，晶体中电子
固有轨道已不再是 Bloch型，它们被局
限在以各自位置为中心的轨道上来缓
和很大的库仑势能。因此电子轨道如
同孤立原子中的情况一样被局域化，
导电性也就消失了，上述结论，即使
能级依然能形成能带，并且能带依然
是半满的，也同样是成立的，主要是
由于电子轨道变成局域化的了，无所
谓, 自由电子, 从而 也就失去了导电
性。
第八章 内容提要
1.准经典近似
2.Bloch电子在外加电磁场中的运动
3.在恒定磁场作用下 Bloch电子在波矢空间
的运动行为
4.空穴
5.空穴的性质
6.电子和空穴在恒定电场下的准经典运动
7.有效质量
8.回旋共振
