第九章 金属费米面
§ 1.费米面构图
费米面是 T=OK时电子填充的最
高等能面,费米面附近的电子决定
金属的动力学性质,自由电子的费
米面是球面,但晶体中的电子受周
期势场的作用,费米面就不再是球
面,费米面的形状很重要,若知道
了费米面的形状就知道了决定金属
动力学性质的电子态,费米面是研
究金属动力学性质的指南。
能带构图法,显示的是在波矢
空间一定方向能量随波矢的变化,
同能带构图法一样,费米面也有三
种构图法,显示的是波矢空间 T=OK
时等能面的形状,三种图示法依据
的基本原理仍然是,
GKnKn
GKnKn
???
???
?
?
???
?
..
..
??
我们从自由电子的费米面出
发,即作空点阵近似下的三种费
米面构图,知道了自由电子的费
米面,把周期势场作为一种微扰,
在区边界上加一点修正,便可得
到近自由电子模型的费米面。
(一般金属中的周期势基本上是
弱周期势 )
1.自由电子费米面构图法
我们以二维正方点阵为例,先画 BZ,一般至少
要画到第 3BZ,费米球的半径为 kF,则晶体中
的总电子数为,
式中 S代表每个初基晶胞的电子数,a2
是初基晶胞的体积,S/a2是初基晶胞中
的电子浓度,对于二维正方点阵,
2．费米面的简约区图
要把表示同一个轨道的点连
接起来,就要根据
将第一ＢＺ以外的费米面的部
分移回到第一ＢＺ中,得出费米
面的简约区图。
GKnKn
GKnKn
???
???
?
?
???
?
..
..
??
3．自由电子费米面的周期区图
把自由电子的简约区图加上适当
的 在波矢空间重复可得到自由电
子费米面的周期区图,这样第 3BZ
内的简约区图上的四块费米面就连
接在了一起，成为一个花结型，此
时费米面就成为完整的，在简约区
图中代表同一轨道的分离点就连在
一起了。
4．近自由电子费米面
主要考虑周期势场为微扰对电子能量的影响，
这些影响主要有：
（ 1）区边界上产生能隙
自由电子的 E（ K）函数是抛物线，在弱周期
势场作用下，在区边界上有能隙出现，能隙
的大小取决于势函数的付里叶分量的系数，
由于能隙的出现，就会对外加恒定磁场下电
子的运动规律产生影响。
无能隙时电子在整个 E(K)曲
线上运动，产生能隙以后，电子
的能量只能在同一能带中变化，
而不能跨越能隙，只能在同一能
带周期性地变化，在外加恒定磁
场下，能带中的电子只能在同一
能带的等能面上运动。
（ 2）由于周期势场作微扰使得几乎所
有费米面都与区边界正交。
在区边界上, 曲线
在区边界处转弯，由于 Bravais点阵都
有中心反演对称性,BZ也有中心反演对
称性,即 k与 -k对应的能量相等,且
这是由于 曲线的中心反演对称性
得到的。
01 ???? kv ?? )(k??
)(k??
）（ 1
k
k kk ?
?
??
???
?
? ??
从 函数的平移对称性
显然应有,
而由（ 1）式应有,
)()( Gkk ??? ?? ??
）（ 2
2
2
G
G
Gk
k
kk
kk
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
）（ 3
2
2 G
G kk ?
?
?
?
?
??
?
? ??
)(k??
既要 (2)式成立,又要 (3)式成立,
显然只有,
在区边界上,波矢沿垂直于区边
界的方向变化,能量将是不变化
的,即等能面与区边界正交。
0
2
?
?
?
G
k
??
(3)周期势场的作用将使费米
面上的尖角部分钝化 (变圆滑 )
以二维正方点阵的第 3能带为例,
在恒定磁场下,自由电子费米面上
的电子沿费米面运动,若区边界上
有能隙出现,则电子只能在第 3能带
的费米面上 (即花结上 )运动,在每
一点电子的速度垂直于等能面,若
花结的尖角不变园滑的话,电子的
速度就不是唯一的。
周期势场的作用不仅使电子
只能在一个能带中运动,同时区边
界与费米面垂直,则必然使花结的
尖角变得园滑,只有这样才使电子
在每一点有一个唯一的速度,否则
在一个点就会有不止一个速度,因
此尖角部位就一定要变得园滑些,
而且有些费米面的小片可能在变
得园滑的过程中消失,
(4)费米面包围的总体积决定于电
子浓度,而于点阵作用的细节无关,
也就是说周期势场只能改变费米面
的形状而不能改变体积,
根据以上四点,我们可以把自由电
子费米面修正为近自由电子费米面。
? ?
3
1
3
2
3
3
)12(2
2
3
4
a
s
k
L
k
N F
F
?
?
?
????
费米面的作图可以归纳为下面的基
本步骤：
a.画出 BZ的扩展区图，至少要画三
级 BZ。
b.根据给定的点阵类型及初基晶胞
的价电子数算出费米波矢，在波矢
空间的第 1BZ以费米波矢 kF为半径
按比例画一个球。
c.识别自由电子费米面落在各级
BZ的各个部分，将属于同一 BZ
（或同一能带）的费米面的各部
分平移适当的倒易点阵矢量移回
到简约区中去，这样就得到自由
电子费米面的简约区图。
d.然后修正为近自由电子的费米
面，若需要周期区图，只需把简
约区图重复即可 。
5,Harrison （哈里森）构图法
利用此图一次便可得到简约区
图和周期区图。
基本方法是：
（ 1）首先根据每个初基晶胞中
的电子数算出费米波矢,并对给定的点
阵画出倒易点阵。
（ 2）在倒易空间以倒易阵点为
圆心，以费米波矢为半径画一个球。
（ 3）判断各 BZ的轨道的原则是：至少是
在一个球内的任意点是属于第 1BZ中已被电
子占据的轨道,或至少是被一个球覆盖的
区域是第 1BZ中已被电子占据的轨道，至少
是被两个球覆盖的区域是第 2BZ中已被电子
占据的轨道,至少是被三个球覆盖的区域
是第三 BZ中已被电子占据的轨道,依次类
推 …… 。 第 n BZ的费米面是由这样的边界
构成,它把至少是由 n个球所覆盖的区域
与 n-1个球所覆盖的区域分开。利用这种作
图方法，一次可得简约区图和周期区图。
§ 2.电子在恒定磁场下的运动轨道
1.电子轨道、空穴轨道和开轨道
（ 1）电子型轨道
(2)空穴型轨道,
S=2时的二维正方点阵的第一能带
的费米面作图如下,
在周期区图中第一能带的费米面是
闭合的,但由能带顶部得到的费米面是
空穴型的 (角隅上是空轨道 ),在外加恒
定磁场下,在这样的费米面上运动的电
子表现为好象是带正电的粒子,若此时
测霍耳系数,则 R>0,表现为正值,第二
能带的费米面在周期区图中是闭合的,
它是电子型费米面,表现为带负电的粒
子,此时测霍耳系数 R<0。
无论是电子型还是空穴型，电子的
运动轨道是闭合的，称之为闭合型轨道 。
（ 3）开轨道
一个三维空间的费米面，电
子运动的轨道类型取决于的方
向,因为在费米面上各种轨道都
有,如 Cu的费米面,取不同的方
向,电子的轨道就可能是电子型、
空穴型和开放型。
2．电子在波矢空间中运动轨道与
在真实空间中运动轨道之间的关系。
电子在波矢空间中轨道满足：
)1(1)()(1)( BrceBkcedt kd
??????
? ?????? ?
若 沿 Z方向，用 代表电子在真
实空间运动的轨道沿磁场方向的投
影。
为磁场方向的单位矢量,表示
在 方向的投影，而 表示 在
xy平面上的投影。由（ 1） × 得：
B?
?r?
BBrrr ?)?( ????? ???
B?
Br ???
r? B?
?r? r?
B?
? ????
?
? ????? r
c
eBrBBr
c
eB
dt
kdB ???????
?
? )(??
式中,上式的得到利用了
把上式对时间 t积分后得,
式中 是初始位矢,是波矢
初始值。
BBB ????
cbabcacba ????????? )()()( ??????
? ?)0()(?)0()( ktkB
eB
crtr ????? ?????
??
)0(?r? )0(k?
电子运动的轨道垂直于 的
方向,或电子在与磁场 垂直
的轨道上运动 (在波矢空间 ),
即 垂直于,相当
于 绕 B转 90度。
B?
B?
)(tk? B
? )(tkB ???
)(tk?
电子在真实空间运动的轨道
在与磁场 相垂直的平面上的
投影 就是电子在波矢空
间中运动轨道绕磁场方向转 90
度,并且在尺度上要乘以一个
因子。
这就是电子在真实空间中运
动的轨道与在波矢空间中运动
的轨道之间的关系。
B?
? ?)(tr??
eB
c?
由此,我们知道了电子在波矢空间
中的运动轨道，就可以推测出其在
真实空间的运动轨道来。
§ 3.等能面和轨道密度
前面讲的费米面的作图方法也
可用于绝缘体或半导体等能面的作
图，因为金属的费米面就是等能面
之一，自由电子的等能面是一些同
心球面，若考虑周期势场的微扰，
在区边界上等能面的形状发生改变，
远离区边界时近似为球形（与自由
电子相同）。
考虑一个正方点阵，在 BZ中
心其等能面与自由电子等能面
相同，在区边界附近向外突出，
第一能带在 Kx方向的顶点为 A，
在 Kx=Ky方向的区边界为 p，第
二能带的能量最低点为 B，能带
图如下：若能隙较大，无能带
交叠，能形成绝缘体，若有能
带交叠则形成二价金属。
自由电子的态密度是一个抛物线函数，
由于等能面在区边界处外突不再是一个球面，
使得在区边界处单位能量间隔中的面积增大，
即单位能量间隔中的状态数增大，也就是态
密度增大,在 A点处为最大，当 k越过 A点后
（在周期区图上）能量等值线开始收缩，在
P点就缩成一个点，态密度降为零，这是第
一 BZ的态密度的变化关系，第二能带从 B点
开始，能量等值线又开始外伸，由此可看出
第一、二能带的态密度的变化规律。
态密度是可用实验方法测定的，通常用软
X-ray发射谱，直接测出态密度曲线，其原
理为,用阴极射线照在晶体上可激发内层
电子,由外层电子填入内层轨道就会发出
X-ray。假定外层价电子能带是填满的，它
跃迁到内层能级上时，将发射 X-ray，由于
价电子是准连续地分布于外层能级上,发
射的 X-ray应是准连续的，其发射率与发射
强度的关系为：
发射强度 ∝ 发射几率 × D(ε )
即发射强度与单位能量之间隔的电子数
成正比。
发射的 X-ray的波长越短，越
容易观察态密度的变化（如 X-ray
波长 为 100A左右），通常用软 X-
ray（即能量较低的）测定，如对
金属钠在某一能量值时 D(ε) 突然
下降 [∵ 金属的价带是半满的，在
空轨道处无电子，故 D(ε) 下降非
常陡峭）而绝缘体的 D(ε) 是逐渐
下降的 。 ]
§ 4.紧束缚近似（ Tight-Binding）
1.紧束缚近似的基本原理
近自由电子模型适用于简单的金属
的价电子能带，但对一些过渡金属及
半导体、绝缘体，它们的价电子不象
金属中价电子那样自由，它们既被束
缚于一个原子附近，又有一定的几率
在晶体中运动，对于这种结构，用近
自由电子模型去处理引起的误差是很
大的，必须利用另一种模型 --紧束缚
近似。
当电子紧紧束缚在原子周围时，
电子的波函数相应于孤立原子的波函
数，将此波函数作为零级波函数，以
原子间的互作用作为微扰来处理单电
子的 Schodinger方程，这种方法称为
紧束缚近似法。实际上紧束缚近似法
与近自由电子模型是两个极端模型，
紧束缚近似法适用于过渡金属，半导
体与绝缘体的能带分析。
2.TB近似下的电子能谱
设晶体中第 j个原子的波函数为：,
由此线性组合对 j求和得到晶体中电子的波
函数：
根据 Bloch定理，周期势场中电子的波函数
必定是 Bloch函数，因此 必定为 Bloch
函数,系数 的选取必使 满足 Bloch
定理。 当系数：
时,是一个 Bloch函数。
)( jrr ????
)()( jjk
j
k rrcr
??? ?? ?? ? ??
)(rk ???
jkc? )(rk ???
)(rk ???
jrki
jk eNc
??
? ??
1
∵
? ?
)(
1
)(
1
)(
1
)(
)(
r
N
e
Trre
N
e
rTre
N
Tr
k
Tki
j
Trki
j
Tki
j
rki
j
k
j
j
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
??
????
????
?
???
?
?
?
根据微扰论计算一级近似下的能量：
)(;)(
?1
)(
?
)(
1?
)(
)(
jjmm
jm
rrki
jm
jm
rrki
jm
rrrr
dvHe
N
dvrrHrre
N
kHk
mj
mj
????
??????
???
???
????
?
???
??
??
???
???
????
??
??
为求此积分，把 平移一个矢量,
或令, 代表
第 m个原子相对于第 j个原子的位矢，
于是
r? jr?
jmm rr
??? ???rrr
j ???
???
)()( rrr j ??? ??? ?? ? ? ?
dvrHr
dvrHrdvH
rrrrrr
m
mjm
mjmm
)(
?
)(
)(
?
)(
?
)())(
???
???
???????
???
?????
????
??
????
????????
?
??
?
??
于是电子在一级微扰下的能量为：
两次求和可写成 m原子的求和的 N倍,N
是晶体中的原子数即：
dvrHre
N
kHk mrrki
jm
mj )(
?
)(1
? )( ????? ???
??? ?? ?? ???
??
??
??????
?
???
???
dvrHre
N
NkHk
eNe
m
ki
m
ki
m
rrki
jm
m
mmj
)(
?
)(
1?
)(
????? ??
????
?
???
?
?
能量决定于位矢相差 的
波函数的积分,这个积分称之为
交叠积分,一般情况下我们认为
只有最近邻原子的波函数才交
叠,不是最近邻原子的波函数不
交叠,不交叠时交叠积分为零。
m?
?
因此在最近邻近似下，当 m=0时，
表示晶体哈密顿量在原子波函数下的
平均值,
用 代表最近邻原子之间的位置矢量，
则令：
于是：
这就是紧束缚近似下，并且只考虑最
近邻原子的电子波函数交叠时的电子
能量。
?
dvrHr )(?)( ?? ??? ? ???
??
???? ???? ? dvrHr )(?)( ???
k
ki
m
mekHk ?
????
??? ? ?????? ??
?
以简单立方晶体为例，对于 SC晶体，
每个原子有 6个最近邻：
代入上式可得紧束缚近似下的电子能
谱：
用三角函数化简得：
这就是 SC晶体 S态电子的紧束缚能带 。
).0.0(.)0..0(.)0.0.( aaam ??????
)( aikaikaikaikaikaikk zzyyxx eeeeee ???????? ?????? ?
)c o sc o s( c o s2 akakak zyxk ????? ??? ?
画出 kx方向的能带曲线是一个
余弦函数：
(1)带宽
带宽决定于函数的极大值与极小值
之差：
（在 BZ中心）
（在 BZ顶角上）
∴ △ ε =12 。
能带的宽度与交叠积分的成正比，
不交叠时宽带为零。
??? 6m i n ???
??? 6m a x ???
?
(2)等能面
当 函数是常数时为等能面，由于
函数是三角函数，等能面不再是球
面。下面我们讨论等能面的形状。
a,ka,1 （即在区中心的情况）
代入 函数中：
式中
等能面显然是球面。
k??
k??
2222
2
11c o s,
2
11c o s akakakak
yyxx ????
22
2
11c o s akak
zz ??
226)( akk γγαε ?????
k??
2222
zyx kkkk ???
b.当 附近时
（即在区边界的顶角上）
即把原点移到顶角上，代入 表达式
中：
a
kkk zyx ????
akKakKakK zzyyxx
??? ?????? ~,~,~
)(k??
)c o sc o s( c o s2 akakak zyxk ????? ??? ?
利用：
则：
)
~
2
1
1(
~
c o s)
~
c o s ( 2
2
aKaKaK xxx ?????? ?
)~211(~c o s)~c o s ( 22 aKaKaK yyy ?????? ?
)~211(~c o s)~c o s ( 22 aKaKaK zzz ?????? ?
22~6)~( aKK ???? ????
(3)有效质量
（带底）
（带顶）
表现为各向同性。
∴ 在各向同性条件下的有效质量为：
由此看出有效质量与交叠积分成正比，
226 akr
k ??? ?????
22~6)~( aKrK ??? ????
2
2
2
2
2
2 a
k
m
??
??
?
?
?
??
对于 bcc晶体，在最近邻近似下
计算 S能级的能带。它有 8个最
近邻,此时
由此可以算出 bcc晶体的
函数为,
.)1.1.1(
2
???? am??
)(k??
akakakk zyx
2
1c o s
2
1c o s
2
1c o s8)( ??? ????
对于 fcc晶体,每个原子有 12个
最近邻,
)??(21,)??(21,)??(21 zxzyyxm ?????????
)
2
1
c os
2
1
c os
2
1
c os
2
1
c os
2
1
c os
2
1
( c os4)(
akakakak
akakk
yxzx
zy
??
???? ???
?
紧束缚近似这种模型与近
自由电子模型一样是一种极端
模型,这两种模型适用于不同
的材料,然而对于一些具体的
材料,这两种模型都显的太极
端了。要把这两种方法组合起
来,可产生许多处理能带的方
法,但无论怎样处理,电子的
波函数必定是 Bloch函数。
§ 5.费米面测量
----De Haas-Van Alphen效应
1.De Haas-Van Alphen效应
1932年 De Haas在测量金属 Bi单晶的
磁化率时发现,Bi单晶的磁化率在低
温、强磁场下随静磁场的增加有振荡
现象，而且即使改变磁场的方向也仍
能观察到磁化率的振荡现象。这种现
象称为 DHVA效应。
2.外加磁场下电子轨道的量子化
由量子力学可知，在外加恒定磁场下自由电
子在波矢空间的运动轨道是闭合的（在等能
面上运动），且能量是量子化的：
对于 Bloch电子，只要沿闭合轨道运动，回
旋频率与电子运动的等能面的形状、轨道有
关：
回旋周期：
mc
eBn
ccn ??? ??? ?)2
1(
)( Bv
c
e
dt
kd ??
?
?
???
?
?
??
??
? dk
eB
cT
c
?2
表示电子速度与磁场方向
垂直的分量，积分沿闭合回路
积一周,电子在 K空间沿闭合
轨道的回旋频率：
积分与费米面的形状、轨道的
形状有关。
?v
1)(22 ?
?
??? vdkc eBTc ????
若磁场 加在 kz方向,我们考
虑在 kx,ky方向的 函数的形
式，当 =0时，自由电子的函
数为：
kx,ky分布在 这样一些正
方格点上。
)(k??
B?
)(
2
)( 22
2
yx kkmk ??
???
2)2(
L
?
B?
若沿 kz方向加一静磁场,电子沿
闭合轨道运动,能量是量子化的,
电子的能量只能处在
这样一些能级上,而不再是波矢空
间的 的格点上,这些能级称为
磁能级,
cn n ?? ?)2
1( ??
2)2(
L
?
每一个磁能级的能量等值面都
是圆,只有这些面上的点才是 K允
许的取值,磁能级与磁能级之间
的状态是不允许的,磁场的作用是
把电子的状态束缚在磁能级上,自
由电子的磁能级是一系列同心圆,
相邻的磁能级之间的能量差
为, 。
c??
对于 Bloch电子在外加磁场下沿波矢
空间闭合轨道运动，按量子理论，其能
量也应是量子化的，所不同的是对
Bloch电子能量量子化后：
式中 r是一个常数（取值在 1/2附近，取
决于费米面的形状），这些磁能级在波
矢空间的形状决定于费米面的形状和势
场的的形式，每一个磁能级都是能量等
值线，外加磁场的作用仍是把电子的状
态束缚在磁场能级上。
cn rn ?? ?)( ??
特别注意，再外加磁场作
用下，波矢空间中允许的 k值要
集中到磁能级上去，而不是落
在磁能级上的 k才允许的，因为
加磁场或不加磁场 k空间的总的
状态数是不变的，这些点在 k空
间各磁能级上的分布是非常密
集的，每个磁能级是一条能量
等值线。
(1)能量相差 的两条能量等值线之间
的能量差：
??
是垂直于能量等值线的波矢改变，
即能量从 之间的波矢变化。
对于二维情况
是在 x.y平面上电子的速度分量，
即与磁场垂直的速度分量，两个能量
等值线之间的面积：
?? kk ?????? ?
??k
??? ???
?? ???? vk ??
?v
? ???? dkks
而
或写为：
这个电子回旋频率的公式是很有用
的。
?
?
??? vk ??
2
1
2
)
.
(
2
?
??
c
eB
s
v
kd
c
eB
v
dk
s
c
c
?
?
?
?
??
?
??
?????
?
??
??
sc
eB
c ?
?? επω
2
2
?
把上面的公式变形可得：
这就是 Onsages的著名结论。
上式说明电子沿闭合轨道运动，其能量
是量子化的，能量以 为单位量子化，
则波矢空间中电子回旋轨道的面积以
为单位量子化。
即：
?
?
c
eB
s
c
??
?
2
?
?
?
c??
?c
eB?2
cnn rnc
eBrnS ??? ?
? )(
2)( ????
磁能级在 k空间是能量等值线,随
外加磁场增大,磁能级的能量等值线围
的面积 S也增大,相邻的两个磁能级夹
的面积为 2π eB/ch,随磁场增大,此面
积也越大,由此可看出磁能级夹的面积
与量子数无关,随 增大,相应的能级
要拉开 (相邻的能级间的能量差增大 ),
磁能级在 K空间扩展，相邻的磁能级之
间夹的面积也越来越大。
B?
（２）磁能级的简并度
在周期性边界条件下，波矢空间
每个 k占有的面积,波矢空间
中相邻的二个磁能级之间的面积为
2π eB/ch,外加磁场后，电子的轨
道都分布在磁能级上，则轨道数为：
B
L
eBD ??? ?? 2)2/(2
2)2(
L
?
D是不考虑自旋时的磁能级的
简并度,ρ 为比例系数 。
上式说明每一个磁能级上布居的
状态数与量子数无关，只与磁场
成正比，若外加磁场由弱到强增
大，每一个磁能级包围的面积都
增大，每一个磁能级上的状态数
也增大，磁能级的简并度也随
的增大而增大。
c
eL
??? 2
2
?
B?
（３）费米面的情况
磁能级是能量等值线，费米面
也是能量等值面，当磁场增强
时，磁能级一个个向外扩展，
若等于某个值时，使得第 n+1个
磁能级刚好与费米面重合，此
时的磁场记为,同时磁能
级包围的面积为 。1?n
B
1?nS
当 时,与费米
面面积相等。 当 继续增强，
要超出费米面，而第 个磁能
级又要扩展到费米面附近，将
接触到费米面，此时的磁场为
当 与费米面重合时。
1?nBB
??＝
Fn SS ??1
1?nS
nS
nB
nS
Fn SS ? ?c
ern
B
S
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F ?2)( ??
B?
磁能级一个个向外扩展，到
费米面又脱离费米面，磁能级
上升到费米面到脱离费米面的
磁场变化的倒数的周期应满足：
这是相邻的两个磁能级依次上
升到费米面又脱离费米面时磁
场的变化应满足的关系。
cs
e
Bc
e
BB
S
nn ??
ππ 212)11(
1
????
?
只要磁场的改变量
下一个磁能级又上升到费米面
上 …… 。表现为一个周期现象，
当外加磁场 增大时，相邻的
磁能级由接触到脱离费米面由
决定。
cs
e
B ?
?21 ??
B?
cs
e
B ?
?21 ??
３,振荡的产生：
每当磁能级上升到费米面上
将脱未脱之时，系统的能量最
高，而上升的电子数与下降的
电子数相同时系统的能量最低，
系统的能量呈周期性振荡，振
荡的周期就是一个磁能级上升
到费米面的周期。
磁化率随 的增大而振荡，
是由于在磁场中电子能量量子
化的结果,磁能级在 K空间包围
的面积也是量子化的，磁能级
扩展的周期性变化导致了磁化
率作周期性振荡。
B?
４,极值轨道
从数学上可以证明对振荡周
期真正有贡献的轨道是极大值
和极小值轨道，不大不小的哪
些轨道对振荡周期无贡献，振
荡周期将是极大值轨道和极小
值轨道振荡周期的叠加。
若 也在变化，则：
以上是对自由电子而言。
取边界条件允许的所有值，由两个
量子数 n和 决定，当 n一定时,取
边界条件允许的值，此时的磁能级成
为管状的，称为朗道管，这个管在平
面上的截面是一个圆，朗道管上的电
子不一定有相同的能量,朗道管本身不
是等能面。
czzn nkmk ?? ?
? )
2
1(
2)(
2
2
???
zk
zk
zk zk
5.实际金属的费米面
DHVA效应的实验条件是强磁
场,超低温,高纯度单晶试样,这
是为了保证在驰豫时间范围内
电子要来得及在轨道上回旋一
周,即 。
1???? c
Cu.Ag.Au的费米面是第一 BZ中的畸变球,
当电子浓度时,可算出自由电子的费米波矢
Cu.Ag.Au都是 fcc点阵结构,倒易点阵是
bcc点阵,在 k空间沿 (111)方向是最短的,即
第一 BZ的内切球直径为,
两个四边形面之间的距为 12.57/a>9.80/a,
沿不同方向加磁场,利用 DHVA效应测极值轨
道便可绘出费米面。
akank FF 80.929.4)3( 2
12 ??? ?
aak 90.10)
2(32
0 ???
?
内容提要
1,费米面
2.紧束缚近似
3,De Haas-Van Alphen效应
§ 1.费米面构图
费米面是 T=OK时电子填充的最
高等能面,费米面附近的电子决定
金属的动力学性质,自由电子的费
米面是球面,但晶体中的电子受周
期势场的作用,费米面就不再是球
面,费米面的形状很重要,若知道
了费米面的形状就知道了决定金属
动力学性质的电子态,费米面是研
究金属动力学性质的指南。
能带构图法,显示的是在波矢
空间一定方向能量随波矢的变化,
同能带构图法一样,费米面也有三
种构图法,显示的是波矢空间 T=OK
时等能面的形状,三种图示法依据
的基本原理仍然是,
GKnKn
GKnKn
???
???
?
?
???
?
..
..
??
我们从自由电子的费米面出
发,即作空点阵近似下的三种费
米面构图,知道了自由电子的费
米面,把周期势场作为一种微扰,
在区边界上加一点修正,便可得
到近自由电子模型的费米面。
(一般金属中的周期势基本上是
弱周期势 )
1.自由电子费米面构图法
我们以二维正方点阵为例,先画 BZ,一般至少
要画到第 3BZ,费米球的半径为 kF,则晶体中
的总电子数为,
式中 S代表每个初基晶胞的电子数,a2
是初基晶胞的体积,S/a2是初基晶胞中
的电子浓度,对于二维正方点阵,
2．费米面的简约区图
要把表示同一个轨道的点连
接起来,就要根据
将第一ＢＺ以外的费米面的部
分移回到第一ＢＺ中,得出费米
面的简约区图。
GKnKn
GKnKn
???
???
?
?
???
?
..
..
??
3．自由电子费米面的周期区图
把自由电子的简约区图加上适当
的 在波矢空间重复可得到自由电
子费米面的周期区图,这样第 3BZ
内的简约区图上的四块费米面就连
接在了一起，成为一个花结型，此
时费米面就成为完整的，在简约区
图中代表同一轨道的分离点就连在
一起了。
4．近自由电子费米面
主要考虑周期势场为微扰对电子能量的影响，
这些影响主要有：
（ 1）区边界上产生能隙
自由电子的 E（ K）函数是抛物线，在弱周期
势场作用下，在区边界上有能隙出现，能隙
的大小取决于势函数的付里叶分量的系数，
由于能隙的出现，就会对外加恒定磁场下电
子的运动规律产生影响。
无能隙时电子在整个 E(K)曲
线上运动，产生能隙以后，电子
的能量只能在同一能带中变化，
而不能跨越能隙，只能在同一能
带周期性地变化，在外加恒定磁
场下，能带中的电子只能在同一
能带的等能面上运动。
（ 2）由于周期势场作微扰使得几乎所
有费米面都与区边界正交。
在区边界上, 曲线
在区边界处转弯，由于 Bravais点阵都
有中心反演对称性,BZ也有中心反演对
称性,即 k与 -k对应的能量相等,且
这是由于 曲线的中心反演对称性
得到的。
01 ???? kv ?? )(k??
)(k??
）（ 1
k
k kk ?
?
??
???
?
? ??
从 函数的平移对称性
显然应有,
而由（ 1）式应有,
)()( Gkk ??? ?? ??
）（ 2
2
2
G
G
Gk
k
kk
kk
?
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?
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?
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）（ 3
2
2 G
G kk ?
?
?
?
?
??
?
? ??
)(k??
既要 (2)式成立,又要 (3)式成立,
显然只有,
在区边界上,波矢沿垂直于区边
界的方向变化,能量将是不变化
的,即等能面与区边界正交。
0
2
?
?
?
G
k
??
(3)周期势场的作用将使费米
面上的尖角部分钝化 (变圆滑 )
以二维正方点阵的第 3能带为例,
在恒定磁场下,自由电子费米面上
的电子沿费米面运动,若区边界上
有能隙出现,则电子只能在第 3能带
的费米面上 (即花结上 )运动,在每
一点电子的速度垂直于等能面,若
花结的尖角不变园滑的话,电子的
速度就不是唯一的。
周期势场的作用不仅使电子
只能在一个能带中运动,同时区边
界与费米面垂直,则必然使花结的
尖角变得园滑,只有这样才使电子
在每一点有一个唯一的速度,否则
在一个点就会有不止一个速度,因
此尖角部位就一定要变得园滑些,
而且有些费米面的小片可能在变
得园滑的过程中消失,
(4)费米面包围的总体积决定于电
子浓度,而于点阵作用的细节无关,
也就是说周期势场只能改变费米面
的形状而不能改变体积,
根据以上四点,我们可以把自由电
子费米面修正为近自由电子费米面。
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3
1
3
2
3
3
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2
3
4
a
s
k
L
k
N F
F
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?
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????
费米面的作图可以归纳为下面的基
本步骤：
a.画出 BZ的扩展区图，至少要画三
级 BZ。
b.根据给定的点阵类型及初基晶胞
的价电子数算出费米波矢，在波矢
空间的第 1BZ以费米波矢 kF为半径
按比例画一个球。
c.识别自由电子费米面落在各级
BZ的各个部分，将属于同一 BZ
（或同一能带）的费米面的各部
分平移适当的倒易点阵矢量移回
到简约区中去，这样就得到自由
电子费米面的简约区图。
d.然后修正为近自由电子的费米
面，若需要周期区图，只需把简
约区图重复即可 。
5,Harrison （哈里森）构图法
利用此图一次便可得到简约区
图和周期区图。
基本方法是：
（ 1）首先根据每个初基晶胞中
的电子数算出费米波矢,并对给定的点
阵画出倒易点阵。
（ 2）在倒易空间以倒易阵点为
圆心，以费米波矢为半径画一个球。
（ 3）判断各 BZ的轨道的原则是：至少是
在一个球内的任意点是属于第 1BZ中已被电
子占据的轨道,或至少是被一个球覆盖的
区域是第 1BZ中已被电子占据的轨道，至少
是被两个球覆盖的区域是第 2BZ中已被电子
占据的轨道,至少是被三个球覆盖的区域
是第三 BZ中已被电子占据的轨道,依次类
推 …… 。 第 n BZ的费米面是由这样的边界
构成,它把至少是由 n个球所覆盖的区域
与 n-1个球所覆盖的区域分开。利用这种作
图方法，一次可得简约区图和周期区图。
§ 2.电子在恒定磁场下的运动轨道
1.电子轨道、空穴轨道和开轨道
（ 1）电子型轨道
(2)空穴型轨道,
S=2时的二维正方点阵的第一能带
的费米面作图如下,
在周期区图中第一能带的费米面是
闭合的,但由能带顶部得到的费米面是
空穴型的 (角隅上是空轨道 ),在外加恒
定磁场下,在这样的费米面上运动的电
子表现为好象是带正电的粒子,若此时
测霍耳系数,则 R>0,表现为正值,第二
能带的费米面在周期区图中是闭合的,
它是电子型费米面,表现为带负电的粒
子,此时测霍耳系数 R<0。
无论是电子型还是空穴型，电子的
运动轨道是闭合的，称之为闭合型轨道 。
（ 3）开轨道
一个三维空间的费米面，电
子运动的轨道类型取决于的方
向,因为在费米面上各种轨道都
有,如 Cu的费米面,取不同的方
向,电子的轨道就可能是电子型、
空穴型和开放型。
2．电子在波矢空间中运动轨道与
在真实空间中运动轨道之间的关系。
电子在波矢空间中轨道满足：
)1(1)()(1)( BrceBkcedt kd
??????
? ?????? ?
若 沿 Z方向，用 代表电子在真
实空间运动的轨道沿磁场方向的投
影。
为磁场方向的单位矢量,表示
在 方向的投影，而 表示 在
xy平面上的投影。由（ 1） × 得：
B?
?r?
BBrrr ?)?( ????? ???
B?
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B?
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式中,上式的得到利用了
把上式对时间 t积分后得,
式中 是初始位矢,是波矢
初始值。
BBB ????
cbabcacba ????????? )()()( ??????
? ?)0()(?)0()( ktkB
eB
crtr ????? ?????
??
)0(?r? )0(k?
电子运动的轨道垂直于 的
方向,或电子在与磁场 垂直
的轨道上运动 (在波矢空间 ),
即 垂直于,相当
于 绕 B转 90度。
B?
B?
)(tk? B
? )(tkB ???
)(tk?
电子在真实空间运动的轨道
在与磁场 相垂直的平面上的
投影 就是电子在波矢空
间中运动轨道绕磁场方向转 90
度,并且在尺度上要乘以一个
因子。
这就是电子在真实空间中运
动的轨道与在波矢空间中运动
的轨道之间的关系。
B?
? ?)(tr??
eB
c?
由此,我们知道了电子在波矢空间
中的运动轨道，就可以推测出其在
真实空间的运动轨道来。
§ 3.等能面和轨道密度
前面讲的费米面的作图方法也
可用于绝缘体或半导体等能面的作
图，因为金属的费米面就是等能面
之一，自由电子的等能面是一些同
心球面，若考虑周期势场的微扰，
在区边界上等能面的形状发生改变，
远离区边界时近似为球形（与自由
电子相同）。
考虑一个正方点阵，在 BZ中
心其等能面与自由电子等能面
相同，在区边界附近向外突出，
第一能带在 Kx方向的顶点为 A，
在 Kx=Ky方向的区边界为 p，第
二能带的能量最低点为 B，能带
图如下：若能隙较大，无能带
交叠，能形成绝缘体，若有能
带交叠则形成二价金属。
自由电子的态密度是一个抛物线函数，
由于等能面在区边界处外突不再是一个球面，
使得在区边界处单位能量间隔中的面积增大，
即单位能量间隔中的状态数增大，也就是态
密度增大,在 A点处为最大，当 k越过 A点后
（在周期区图上）能量等值线开始收缩，在
P点就缩成一个点，态密度降为零，这是第
一 BZ的态密度的变化关系，第二能带从 B点
开始，能量等值线又开始外伸，由此可看出
第一、二能带的态密度的变化规律。
态密度是可用实验方法测定的，通常用软
X-ray发射谱，直接测出态密度曲线，其原
理为,用阴极射线照在晶体上可激发内层
电子,由外层电子填入内层轨道就会发出
X-ray。假定外层价电子能带是填满的，它
跃迁到内层能级上时，将发射 X-ray，由于
价电子是准连续地分布于外层能级上,发
射的 X-ray应是准连续的，其发射率与发射
强度的关系为：
发射强度 ∝ 发射几率 × D(ε )
即发射强度与单位能量之间隔的电子数
成正比。
发射的 X-ray的波长越短，越
容易观察态密度的变化（如 X-ray
波长 为 100A左右），通常用软 X-
ray（即能量较低的）测定，如对
金属钠在某一能量值时 D(ε) 突然
下降 [∵ 金属的价带是半满的，在
空轨道处无电子，故 D(ε) 下降非
常陡峭）而绝缘体的 D(ε) 是逐渐
下降的 。 ]
§ 4.紧束缚近似（ Tight-Binding）
1.紧束缚近似的基本原理
近自由电子模型适用于简单的金属
的价电子能带，但对一些过渡金属及
半导体、绝缘体，它们的价电子不象
金属中价电子那样自由，它们既被束
缚于一个原子附近，又有一定的几率
在晶体中运动，对于这种结构，用近
自由电子模型去处理引起的误差是很
大的，必须利用另一种模型 --紧束缚
近似。
当电子紧紧束缚在原子周围时，
电子的波函数相应于孤立原子的波函
数，将此波函数作为零级波函数，以
原子间的互作用作为微扰来处理单电
子的 Schodinger方程，这种方法称为
紧束缚近似法。实际上紧束缚近似法
与近自由电子模型是两个极端模型，
紧束缚近似法适用于过渡金属，半导
体与绝缘体的能带分析。
2.TB近似下的电子能谱
设晶体中第 j个原子的波函数为：,
由此线性组合对 j求和得到晶体中电子的波
函数：
根据 Bloch定理，周期势场中电子的波函数
必定是 Bloch函数，因此 必定为 Bloch
函数,系数 的选取必使 满足 Bloch
定理。 当系数：
时,是一个 Bloch函数。
)( jrr ????
)()( jjk
j
k rrcr
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)(rk ???
jkc? )(rk ???
)(rk ???
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根据微扰论计算一级近似下的能量：
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jm
jm
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???
???
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为求此积分，把 平移一个矢量,
或令, 代表
第 m个原子相对于第 j个原子的位矢，
于是
r? jr?
jmm rr
??? ???rrr
j ???
???
)()( rrr j ??? ??? ?? ? ? ?
dvrHr
dvrHrdvH
rrrrrr
m
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???
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???
?????
????
??
????
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?
??
?
??
于是电子在一级微扰下的能量为：
两次求和可写成 m原子的求和的 N倍,N
是晶体中的原子数即：
dvrHre
N
kHk mrrki
jm
mj )(
?
)(1
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???
???
dvrHre
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m
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m
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m
rrki
jm
m
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1?
)(
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????
?
???
?
?
能量决定于位矢相差 的
波函数的积分,这个积分称之为
交叠积分,一般情况下我们认为
只有最近邻原子的波函数才交
叠,不是最近邻原子的波函数不
交叠,不交叠时交叠积分为零。
m?
?
因此在最近邻近似下，当 m=0时，
表示晶体哈密顿量在原子波函数下的
平均值,
用 代表最近邻原子之间的位置矢量，
则令：
于是：
这就是紧束缚近似下，并且只考虑最
近邻原子的电子波函数交叠时的电子
能量。
?
dvrHr )(?)( ?? ??? ? ???
??
???? ???? ? dvrHr )(?)( ???
k
ki
m
mekHk ?
????
??? ? ?????? ??
?
以简单立方晶体为例，对于 SC晶体，
每个原子有 6个最近邻：
代入上式可得紧束缚近似下的电子能
谱：
用三角函数化简得：
这就是 SC晶体 S态电子的紧束缚能带 。
).0.0(.)0..0(.)0.0.( aaam ??????
)( aikaikaikaikaikaikk zzyyxx eeeeee ???????? ?????? ?
)c o sc o s( c o s2 akakak zyxk ????? ??? ?
画出 kx方向的能带曲线是一个
余弦函数：
(1)带宽
带宽决定于函数的极大值与极小值
之差：
（在 BZ中心）
（在 BZ顶角上）
∴ △ ε =12 。
能带的宽度与交叠积分的成正比，
不交叠时宽带为零。
??? 6m i n ???
??? 6m a x ???
?
(2)等能面
当 函数是常数时为等能面，由于
函数是三角函数，等能面不再是球
面。下面我们讨论等能面的形状。
a,ka,1 （即在区中心的情况）
代入 函数中：
式中
等能面显然是球面。
k??
k??
2222
2
11c o s,
2
11c o s akakakak
yyxx ????
22
2
11c o s akak
zz ??
226)( akk γγαε ?????
k??
2222
zyx kkkk ???
b.当 附近时
（即在区边界的顶角上）
即把原点移到顶角上，代入 表达式
中：
a
kkk zyx ????
akKakKakK zzyyxx
??? ?????? ~,~,~
)(k??
)c o sc o s( c o s2 akakak zyxk ????? ??? ?
利用：
则：
)
~
2
1
1(
~
c o s)
~
c o s ( 2
2
aKaKaK xxx ?????? ?
)~211(~c o s)~c o s ( 22 aKaKaK yyy ?????? ?
)~211(~c o s)~c o s ( 22 aKaKaK zzz ?????? ?
22~6)~( aKK ???? ????
(3)有效质量
（带底）
（带顶）
表现为各向同性。
∴ 在各向同性条件下的有效质量为：
由此看出有效质量与交叠积分成正比，
226 akr
k ??? ?????
22~6)~( aKrK ??? ????
2
2
2
2
2
2 a
k
m
??
??
?
?
?
??
对于 bcc晶体，在最近邻近似下
计算 S能级的能带。它有 8个最
近邻,此时
由此可以算出 bcc晶体的
函数为,
.)1.1.1(
2
???? am??
)(k??
akakakk zyx
2
1c o s
2
1c o s
2
1c o s8)( ??? ????
对于 fcc晶体,每个原子有 12个
最近邻,
)??(21,)??(21,)??(21 zxzyyxm ?????????
)
2
1
c os
2
1
c os
2
1
c os
2
1
c os
2
1
c os
2
1
( c os4)(
akakakak
akakk
yxzx
zy
??
???? ???
?
紧束缚近似这种模型与近
自由电子模型一样是一种极端
模型,这两种模型适用于不同
的材料,然而对于一些具体的
材料,这两种模型都显的太极
端了。要把这两种方法组合起
来,可产生许多处理能带的方
法,但无论怎样处理,电子的
波函数必定是 Bloch函数。
§ 5.费米面测量
----De Haas-Van Alphen效应
1.De Haas-Van Alphen效应
1932年 De Haas在测量金属 Bi单晶的
磁化率时发现,Bi单晶的磁化率在低
温、强磁场下随静磁场的增加有振荡
现象，而且即使改变磁场的方向也仍
能观察到磁化率的振荡现象。这种现
象称为 DHVA效应。
2.外加磁场下电子轨道的量子化
由量子力学可知，在外加恒定磁场下自由电
子在波矢空间的运动轨道是闭合的（在等能
面上运动），且能量是量子化的：
对于 Bloch电子，只要沿闭合轨道运动，回
旋频率与电子运动的等能面的形状、轨道有
关：
回旋周期：
mc
eBn
ccn ??? ??? ?)2
1(
)( Bv
c
e
dt
kd ??
?
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eB
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c
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表示电子速度与磁场方向
垂直的分量，积分沿闭合回路
积一周,电子在 K空间沿闭合
轨道的回旋频率：
积分与费米面的形状、轨道的
形状有关。
?v
1)(22 ?
?
??? vdkc eBTc ????
若磁场 加在 kz方向,我们考
虑在 kx,ky方向的 函数的形
式，当 =0时，自由电子的函
数为：
kx,ky分布在 这样一些正
方格点上。
)(k??
B?
)(
2
)( 22
2
yx kkmk ??
???
2)2(
L
?
B?
若沿 kz方向加一静磁场,电子沿
闭合轨道运动,能量是量子化的,
电子的能量只能处在
这样一些能级上,而不再是波矢空
间的 的格点上,这些能级称为
磁能级,
cn n ?? ?)2
1( ??
2)2(
L
?
每一个磁能级的能量等值面都
是圆,只有这些面上的点才是 K允
许的取值,磁能级与磁能级之间
的状态是不允许的,磁场的作用是
把电子的状态束缚在磁能级上,自
由电子的磁能级是一系列同心圆,
相邻的磁能级之间的能量差
为, 。
c??
对于 Bloch电子在外加磁场下沿波矢
空间闭合轨道运动，按量子理论，其能
量也应是量子化的，所不同的是对
Bloch电子能量量子化后：
式中 r是一个常数（取值在 1/2附近，取
决于费米面的形状），这些磁能级在波
矢空间的形状决定于费米面的形状和势
场的的形式，每一个磁能级都是能量等
值线，外加磁场的作用仍是把电子的状
态束缚在磁场能级上。
cn rn ?? ?)( ??
特别注意，再外加磁场作
用下，波矢空间中允许的 k值要
集中到磁能级上去，而不是落
在磁能级上的 k才允许的，因为
加磁场或不加磁场 k空间的总的
状态数是不变的，这些点在 k空
间各磁能级上的分布是非常密
集的，每个磁能级是一条能量
等值线。
(1)能量相差 的两条能量等值线之间
的能量差：
??
是垂直于能量等值线的波矢改变，
即能量从 之间的波矢变化。
对于二维情况
是在 x.y平面上电子的速度分量，
即与磁场垂直的速度分量，两个能量
等值线之间的面积：
?? kk ?????? ?
??k
??? ???
?? ???? vk ??
?v
? ???? dkks
而
或写为：
这个电子回旋频率的公式是很有用
的。
?
?
??? vk ??
2
1
2
)
.
(
2
?
??
c
eB
s
v
kd
c
eB
v
dk
s
c
c
?
?
?
?
??
?
??
?????
?
??
??
sc
eB
c ?
?? επω
2
2
?
把上面的公式变形可得：
这就是 Onsages的著名结论。
上式说明电子沿闭合轨道运动，其能量
是量子化的，能量以 为单位量子化，
则波矢空间中电子回旋轨道的面积以
为单位量子化。
即：
?
?
c
eB
s
c
??
?
2
?
?
?
c??
?c
eB?2
cnn rnc
eBrnS ??? ?
? )(
2)( ????
磁能级在 k空间是能量等值线,随
外加磁场增大,磁能级的能量等值线围
的面积 S也增大,相邻的两个磁能级夹
的面积为 2π eB/ch,随磁场增大,此面
积也越大,由此可看出磁能级夹的面积
与量子数无关,随 增大,相应的能级
要拉开 (相邻的能级间的能量差增大 ),
磁能级在 K空间扩展，相邻的磁能级之
间夹的面积也越来越大。
B?
（２）磁能级的简并度
在周期性边界条件下，波矢空间
每个 k占有的面积,波矢空间
中相邻的二个磁能级之间的面积为
2π eB/ch,外加磁场后，电子的轨
道都分布在磁能级上，则轨道数为：
B
L
eBD ??? ?? 2)2/(2
2)2(
L
?
D是不考虑自旋时的磁能级的
简并度,ρ 为比例系数 。
上式说明每一个磁能级上布居的
状态数与量子数无关，只与磁场
成正比，若外加磁场由弱到强增
大，每一个磁能级包围的面积都
增大，每一个磁能级上的状态数
也增大，磁能级的简并度也随
的增大而增大。
c
eL
??? 2
2
?
B?
（３）费米面的情况
磁能级是能量等值线，费米面
也是能量等值面，当磁场增强
时，磁能级一个个向外扩展，
若等于某个值时，使得第 n+1个
磁能级刚好与费米面重合，此
时的磁场记为,同时磁能
级包围的面积为 。1?n
B
1?nS
当 时,与费米
面面积相等。 当 继续增强，
要超出费米面，而第 个磁能
级又要扩展到费米面附近，将
接触到费米面，此时的磁场为
当 与费米面重合时。
1?nBB
??＝
Fn SS ??1
1?nS
nS
nB
nS
Fn SS ? ?c
ern
B
S
n
F ?2)( ??
B?
磁能级一个个向外扩展，到
费米面又脱离费米面，磁能级
上升到费米面到脱离费米面的
磁场变化的倒数的周期应满足：
这是相邻的两个磁能级依次上
升到费米面又脱离费米面时磁
场的变化应满足的关系。
cs
e
Bc
e
BB
S
nn ??
ππ 212)11(
1
????
?
只要磁场的改变量
下一个磁能级又上升到费米面
上 …… 。表现为一个周期现象，
当外加磁场 增大时，相邻的
磁能级由接触到脱离费米面由
决定。
cs
e
B ?
?21 ??
B?
cs
e
B ?
?21 ??
３,振荡的产生：
每当磁能级上升到费米面上
将脱未脱之时，系统的能量最
高，而上升的电子数与下降的
电子数相同时系统的能量最低，
系统的能量呈周期性振荡，振
荡的周期就是一个磁能级上升
到费米面的周期。
磁化率随 的增大而振荡，
是由于在磁场中电子能量量子
化的结果,磁能级在 K空间包围
的面积也是量子化的，磁能级
扩展的周期性变化导致了磁化
率作周期性振荡。
B?
４,极值轨道
从数学上可以证明对振荡周
期真正有贡献的轨道是极大值
和极小值轨道，不大不小的哪
些轨道对振荡周期无贡献，振
荡周期将是极大值轨道和极小
值轨道振荡周期的叠加。
若 也在变化，则：
以上是对自由电子而言。
取边界条件允许的所有值，由两个
量子数 n和 决定，当 n一定时,取
边界条件允许的值，此时的磁能级成
为管状的，称为朗道管，这个管在平
面上的截面是一个圆，朗道管上的电
子不一定有相同的能量,朗道管本身不
是等能面。
czzn nkmk ?? ?
? )
2
1(
2)(
2
2
???
zk
zk
zk zk
5.实际金属的费米面
DHVA效应的实验条件是强磁
场,超低温,高纯度单晶试样,这
是为了保证在驰豫时间范围内
电子要来得及在轨道上回旋一
周,即 。
1???? c
Cu.Ag.Au的费米面是第一 BZ中的畸变球,
当电子浓度时,可算出自由电子的费米波矢
Cu.Ag.Au都是 fcc点阵结构,倒易点阵是
bcc点阵,在 k空间沿 (111)方向是最短的,即
第一 BZ的内切球直径为,
两个四边形面之间的距为 12.57/a>9.80/a,
沿不同方向加磁场,利用 DHVA效应测极值轨
道便可绘出费米面。
akank FF 80.929.4)3( 2
12 ??? ?
aak 90.10)
2(32
0 ???
?
内容提要
1,费米面
2.紧束缚近似
3,De Haas-Van Alphen效应
