第七章 正弦稳态分析
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
在正弦信号激励下电路的稳态响应是电路理
论中的重要课题，这是因为正弦信号比较容
易产生和获得，在科学研究和工程技术中，
许多电气设备和仪器都是以正弦波为基本信
号的。
根据富里叶级数和富里叶积分的数学理论，
周期信号都能够分解为一系列正弦信号的迭
加。利用线性电路的迭加性，可以把正弦稳
态分析的方法推广到非正弦周期信号激励的
线性电路中去。因此也可以说，知道了正弦
稳态响应后，原则上就知道了任何周期信号
激励下的响应。
正弦量和相量
随时间按正弦规律变化的
电压和电流，称正弦电压
和正弦电流。
0
t?? sin ( )mAt???mA
y(t)=Amsin(?t+?)
Am最大值, ?角频率, ?初相位,
(-180?＜ ?＜ 180?)
若正弦量为电流 i(t),则 i(t)=Imsin(?t+?)其中 Im
是正弦电流最大值,I是正弦电流有效值。
最大值，角频率，初相位为正弦量的三要素。
三要素确定后，正弦量就被唯一确定。
有效值也称均方根值，即
? ?2
0
1 TI i t d t
T
? ?
以上情况同样适合于正弦电压
( ) s i n ( ) 2 s i n ( )mv t V t V t? ? ? ?? ? ? ?
? ?2
0
1 TV v t d t
T
? ?
实验室的交流电压表、电流表的表面标尺刻度都
是有效值，包括交流电机和电器上的铭牌。
有效值
0, 7 0 7
2
m
m
III??
0, 7 0 7
2
m
m
VVV??
正弦量的平均值则是指在一周期内其绝对值的平
均值，或者说其正半波的平均值。
2
0
2 s i n 0, 6 3 7
2
T
a m m mI I t d t I IT
??? ? ??
其中 Imsin?t= i(t)为正弦电流，对电压也同样适用。
平均值 2
0, 6 3 7a m mI I I??? 有效值大于其平均值
根据欧拉公式 c o s s i njej? ????
当 ?是 t的函数时，正弦量 Amsin(?t+?)可用复值函
数来表示 。
()s i n ( ) I m ( ) I m ( ) I m ( )j t j j t j t
m m m mA t A e A e e A e
? ? ? ? ??? ?? ? ? ?
其中
()s i n ( ) I m ( ) I m ( ) I m ( )j t j j t j t
m m m mA t A e A e e A e
? ? ? ? ??? ?? ? ? ?
j
mmA A e
? 是 t=0时的复值常数，称相量
称旋转相量,jt
mAe
? 称旋转因子 jte?
相量可表示为 j
m m mA A e A
? ?? ? ?
作为复数，相量又常用 s复平面上的有向线段
表示。这样的图称相量图。
设
111 jmmA A e ?? 222 jmmA A e ??
且 Am1=Am2=Am,?1=?2
同相
1mA2mA?j? 1?0
?1＞ ?2
1mA? 2mAj? 1?0
1mA 2m
A超前 ?角度
2mA 落后 1mA
?角度
?=90? 12
22
2
( 9 0 )
1
90
2
( c o s 9 0 s i n 9 0 )
jj
m m m
jjj
mm
j
mm
A A e A e
A e e A e j
j A e j A
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??
?
?
??
? ? ?
??
2 1 1
1
m m mA A Aj? ? ?
一个相量乘一个 j，向逆时针方向旋转 90?,乘一个 -j，
向顺时针方向旋转 90?,所以称 90jje? 90?旋转因子
1mA 2m?j? 1?0
旋转相量和正弦量之间的关系是一一对应关系
s i n ( ) I m ( )jtmmA t A e ??? ??
j? 1?0 2t??F?
2 mFF???0? 2t?2? t?
()ft
c o s ( ) R e ( )jtmmA t A e ??? ??
根据数学知识，任意个相同频率的正弦量的代
数和这些正弦量的任意阶导数的代数和，仍然
是同频率的正弦量。因此，相量 jmmA A e ??
完全用来表示和反应已知频率下的正弦量。但
相量并不等于正弦量，只有旋转相量才和正弦
量有一一对应关系。
mA
也称最大值相量。因为最大值与有效值 A
之间的关系 2
mAA?
()
s i n ( ) 2 s i n ( )
I m ( 2 ) I m ( 2 )
m
j t j t
A t A t
A e A e? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ?
??
其中 jA A e ? 称有效值相量，且 2
mAA?
正弦量与相量间属一种变换，称相量法变换 phj。
相量法变换 phj为已知正弦量变换成相量。
[ s i n ( ) ] [ 2 s i n ( ) ]mA p h j A t p h j A t A? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
[ s i n ( ) ]m m mA p h j A t A? ? ?? ? ? ?
相量法反变换 phj-1为已知相量，变换成正弦量。
112 s i n ( ) s i n ( ) [ ] [ ]
mA t A t p h j A p h j A? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ?
11s i n ( ) [ ] [ ]
m m mA t p h j A p h j A? ? ?
??? ? ? ?
几个定理
定理 1 若 ?为实数,Z(t)为任何实变数 t的复值函
数，则 Im[?Z(t)]= ?Im[Z(t)]
实数与复值函数相乘后取虚部等于复值函数
取虚部后与实数相乘。
定理 2 若 Z1(t) 和 Z2(t)为任何实变数 t的复值函数，
则 Im[Z1(t)+ Z2(t)]=Im[Z1(t)]+ Im[Z2(t)]。
复值函数相加后取虚部等于各复值函数取虚
部后相加。
定理 3 设 Z为复数，其极坐标形式是 jmZe?
I m ( ) I m I m ( )j t j t j tddZ e Z e j Z ed t d t? ? ????????
??
取虚部和求导的运算可互换；复值函数 jtmZe?
对 t 的导数等于该函数与 j?的乘积。
定理 4 设 Z1,Z2为复数,?为角频率。若所有时刻
12I m ( ) I m ( )j t j tZ e Z e???
则 Z1=Z2。反之，若 Z1=Z2，则在所有时刻
12I m ( ) I m ( )j t j tZ e Z e???
两角速度相同的旋转相量在所有时刻在虚轴上
的投影都相等，则这两相量相等。
用相量法求微分方程特解
1
0 1 11 s i n ( )
nn
n n mnn
d y d y d ya a a a y A t
d t d t d t
??
?
??? ? ? ? ? ?
其中 a0,a1,?, an及 Am,?,?均是实数。方
程特解为与输入同频率的正弦量。因为
s i n ( ) I m ( )jtmmA t A e ????? ()jmmA A e ?其中
微分方程特解可表示为
( ) s i n ( ) I m ( )jtp m my t Y t Y e ???? ? ?其中 ()jmmY Y e ?
按经典法，将特解代入原方程，进行一系列的
正弦量的微分和繁琐的三角公式运算。
现在用相量法求特解，即定常数 Ym和 ?。
将 yp(t)代入原方程
1
0 1 11 s i n ( )
nn
n n mnn
d y d y d ya a a a y A t
d t d t d t ??
?
??? ? ? ? ? ?
0 I m ( ) I m ( ) I m ( )
n
j t j t j t
m n m mn
da Y e a Y e A e
dt
? ? ?? ? ?
根据定理 1
0I m ( ) I m ( ) I m ( )
n
j t j t j t
m n m mn
d a Y e a Y e A e
dt
? ? ?? ? ?
根据定理 3
0I m [ ( ) ] I m ( ) I m ( )
n j t j t j t
m n m ma j Y e a Y e A e
? ? ?? ? ? ?
根据定理 2
0I m { [ ( ) ] } I m ( )
n j t j t
n m ma j a Y e A e
??? ? ? ?
根据定理 4
0[ ( ) ]
n
n m ma j a Y A? ? ? ?
由此得到代数方程
0[ ( ) ]
n
n m ma j a Y A? ? ? ?
1
01( ) ( ) ( )
m
m nn
nn
AY
a j a j a j a? ? ??
?
? ? ? ?
2 2 3 2
2 1 3( ) ( )
m
m
n n n n
A
Y
a a a a
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??? ? ?
?
? ? ? ? ?
偶 次 方 奇 次 方
3
1 13
2
2
t a n nn
nn
aa
aa
????
?
? ??
?
????
??
所以特解 ( ) s i n ( )
pmy t Y t????
用相量法求正弦激励下的微分方程的特解，是
原来的微分方程转换成复数代数方程。
对一阶电路求特解
01 s i n ( ) 2 s i n ( )m
dya a y A t A t
dt ? ? ? ?? ? ? ? ?
方法 1
22
10()
m
m
AY
aa ?
?
?
1 0
1
t a n a
a
??? ???
所以
mmYY ???
( ) s i n ( )pmy t Y t????
方法 2 对一阶电路方程两边取相量法正变换
01a j Y a Y A??? ? ?
2 2 1 0
01
01
1
1 0
22
1
01
( ) t a n
t a n
()
AA
Y
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aa
a
aA
aaa
?
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?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
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??
? ? ?
?
取相量法反变换
11 0
22
101
2( ) ( ) s i n ( t a n )
()
p
aAy t p h j Y t
aaa
???
?
??? ? ? ?
?
01 s i n ( ) 2 s i n ( )m
dya a y A t A t
dt ? ? ? ?? ? ? ? ?
正弦稳态响应
一个具有正弦激励的线性定常电路，其全响应
的形式为 y(t)=yh(t)+yp(t)。
其中 yh(t)是齐次解,yp(t)是方程的特解。
若电路变量 y(t)的所有固有频率是不同的（也就
是特征多项式没有多重零点），则有
1
() i
n
st
hi
i
y t k e
?
? ?
其中 si为 y的固有频率,ki是由初始条件确定的
积分常数。
yp(t)作为方程的特解，是一个与输入同频率的
正弦量，可以用相量法求得。
固有频率 si都位于 s平面的开左半平面上 (不包括虚
轴 )，所有的 esit都是衰减因子，当 t→ ?,yh(t)→ 0。
所以 y(t)?yp(t)=Ymsin(?t+?)
这表明不管电路的初始条件如何, 随着 t→ ?,电
路响应变成与激励同频率的正弦量。这样的电路
称渐近稳定电路，这个响应称正弦稳态响应。
固有频率 si中有一个或几个位于 s平面的开右半平
面上，响应中含有增长因子 esit,通常说,t→ ?，
yh(t)→ ?，电路是不稳定的。
固有频率 si大部分位于 s平面的开左半平面上，有
一些落在虚轴上 (即一些纯虚数的固有频率 j?i)
? 位于虚轴上的是多重固有频率 s1=s2=j?0,s3=s4
=-j?0(总以共轭形式出现 ),则齐次解中必定含有
001 2 3 4( ) ( )j t j tk k t e k k t e?? ?? ? ?
或用余弦表示成 k1sin(?0t+?1)+k2tsin(?0t+?2)。
显然,t→ ?,yh(t)→ ?,电路是不稳定的。
? 位于虚轴上的固有频率是单一的 s1=j?0,s2=
-j?0,但输入信号的角频率 ?与 ?0重合 (即 ?=?0),
响应中将含有 k t sin(?t+?),电路也是不稳定的。
? 位于虚轴上的固有频率是单一的 s1=j?0,s2=
-j?0,且输入信号的角频率 ?与 ?0不等 (即 ???0),
齐次解中含有 ksin(?0t+?),特解可用相量法求得
yp(t)=Ymsin(?t+?)。
当 t→ ?时，电路存在稳态响应,y(t)=ksin(?0t+?)
+ Ymsin(?t+?),此时响应并不和输入同频率，因
此也不能成为正弦稳态响应。
对于非线性电路或时变电路，即使有稳态解，通
常也不是与输入同频率的响应。
因此，对于由单一的正弦输入的线性定
常电路，只有当电路的固有频率都落在 s
复平面的开左半平面上，不论初始条件如
何，响应将随着 t→ ?而变成与输入同频率
的正弦量。这响应才称正弦稳态响应，这
响应可用相量法来求得。
值得指出，正弦稳态响应，它与初始条
件无关。
正弦稳态分析
我们把求解电路对正弦输入的正弦稳态响应称为
正弦稳态分析。
求正弦稳态响应的途径
( ) ( )
()
()
()
()
()
K C L t
V v t
K V L t
it
It
?
?
? ? ?? ? ? ?? ? ?? ??
?
?
节 点 法 相 量 法 解
回路法
微 分 方 程 复 数 代 数 方 程
网 络 方 程 网 络 方 程
支路关系
KCL
K V L
??
??
??
??
??支路关系
相量形式相量法 节点法回路法
基尔霍夫定律的相量形式
KCL,
1
( ) 0
n
k
k
it
?
??
11
I m ( ) I m ( 2 ) 0
nn
j t j t
m k k
kk
I e I e??
??
???? 其中 kjm k m kI I e ??
1
0
n
mk
k
I
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1
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k
k
I
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1
( ) 0
n
k
k
vt
?
??
11
I m ( ) I m ( 2 ) 0
nn
j t j t
m k k
kk
V e V e??
??
????
其中 kj
m k m kV V e
??
1
0
n
mk
k
V
?
??
或
1
0
n
k
k
V
?
??
电路元件上的电压、电流关系的相量表示
( ) s i n ( ) I m ( ) I m ( 2 )j t j tm v mv t V t V e V e????? ? ? ?
( ) s i n ( ) I m ( ) I m ( 2 )j t j tm i mi t I t I e I e????? ? ? ?
根据支路约束 (欧姆定律 )v(t)=Ri(t)
s i n ( ) s i n ( )m v m iV t R I t? ? ? ?? ? ?
I m ( ) I m ( ) I m ( )j t j t j tmmmV e R I e R I e?????
所以
mmV R I?
这就是电阻 R中的电压、电流
的相量关系。
正弦稳态
线性定常
电路 ()vtitR
电压、电流同相位，说明电压、
电流同时出现最大值。
RI RVvi???j? 1?0
mmV R I?
vjmmV V e ??
ijmmI I e ??
mm
vi
V R I
??
??
? ?
?
相量图 电阻元件的相量模型 RIRV
支路约束
正弦稳态
线性定常
电路 ()itvt()() d v ti t C dt?
I m ( ) [ I m ( ) ]
I m ( )
j t j t
mm
jt
m
d
I e C V e
dt
j C V e
??
??
?
?
所以
mmI j C V?? 1
mmVIjC??
( 9 0 )i v vj j j
m m mI e j C V e C V e
? ? ??? ???
因此
90
mm
iv
I C V?
??
??
? ??
?
相量图 电容元
件的相
量模型
CCV
+
-
1
jC??CI Cj? 1?0
电容电流最大值是电容电压最大
值的 ?C倍 (随 ?的不同而不同 )；
电容电流相位超前电压相位 90?。 90
mm
iv
I C V?
??
??
? ??
?
具有电阻的量纲,称为容抗 XC,即
因为
mmI C V?? 1 m
m
V
CI?
?
所以 1
C?
11
2CX C f C????
电容 XC与电容 C，频率 f成反比。所以电容元件
对高频电流呈现的容抗很小，而对直流 (f=0)所
呈现的容抗 XC=?,可视为开路。因此电容具有
隔直作用。
支路约束
正弦稳态
线性定常
电路 ()itvtL()() d i tv t L dt?
I m ( ) [ I m ( ) ]
I m ( )
j t j t
mm
jt
m
d
V e L I e
dt
j L I e
??
??
?
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所以
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mmIVjL??
( 9 0 )v i ij j j
m m mV e j C I e C I e
? ? ??? ???
因此
90
mm
vi
V L I?
??
??
? ??
?
相量图 电感元
件的相
量模型
LILVjL?
+
-
?LI LVj? 1?0
电感电压最大值是电感电流最大
值的 ?L倍 (随 ?的不同而不同 )；
电感电流相位滞后电压相位 90?。 90
mm
vi
V L I?
??
??
? ??
?
因为
mmV L I?? m
m
VL
I
? ?
所以 ?L具有电阻的量纲,称为感抗 XL，即
XL=?L=2?fL。
感抗 XL与电感 L，频率 f成正比。所以电感元
件对高频电流的阻碍很大，而对直流可视为
短路，即 XL=0。
对互感元件
1 1 1
2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
v t t i tdd
v t t i td t d t
?
?
? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?L
11 1 1 1 2
2 1 2 2
22
mm
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V LL I
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即
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同样
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1m m
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VI
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???? ????
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上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
在正弦信号激励下电路的稳态响应是电路理
论中的重要课题，这是因为正弦信号比较容
易产生和获得，在科学研究和工程技术中，
许多电气设备和仪器都是以正弦波为基本信
号的。
根据富里叶级数和富里叶积分的数学理论，
周期信号都能够分解为一系列正弦信号的迭
加。利用线性电路的迭加性，可以把正弦稳
态分析的方法推广到非正弦周期信号激励的
线性电路中去。因此也可以说，知道了正弦
稳态响应后，原则上就知道了任何周期信号
激励下的响应。
正弦量和相量
随时间按正弦规律变化的
电压和电流，称正弦电压
和正弦电流。
0
t?? sin ( )mAt???mA
y(t)=Amsin(?t+?)
Am最大值, ?角频率, ?初相位,
(-180?＜ ?＜ 180?)
若正弦量为电流 i(t),则 i(t)=Imsin(?t+?)其中 Im
是正弦电流最大值,I是正弦电流有效值。
最大值，角频率，初相位为正弦量的三要素。
三要素确定后，正弦量就被唯一确定。
有效值也称均方根值，即
? ?2
0
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T
? ?
以上情况同样适合于正弦电压
( ) s i n ( ) 2 s i n ( )mv t V t V t? ? ? ?? ? ? ?
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0
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T
? ?
实验室的交流电压表、电流表的表面标尺刻度都
是有效值，包括交流电机和电器上的铭牌。
有效值
0, 7 0 7
2
m
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III??
0, 7 0 7
2
m
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VVV??
正弦量的平均值则是指在一周期内其绝对值的平
均值，或者说其正半波的平均值。
2
0
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2
T
a m m mI I t d t I IT
??? ? ??
其中 Imsin?t= i(t)为正弦电流，对电压也同样适用。
平均值 2
0, 6 3 7a m mI I I??? 有效值大于其平均值
根据欧拉公式 c o s s i njej? ????
当 ?是 t的函数时，正弦量 Amsin(?t+?)可用复值函
数来表示 。
()s i n ( ) I m ( ) I m ( ) I m ( )j t j j t j t
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其中
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m m m mA t A e A e e A e
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? 是 t=0时的复值常数，称相量
称旋转相量,jt
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? 称旋转因子 jte?
相量可表示为 j
m m mA A e A
? ?? ? ?
作为复数，相量又常用 s复平面上的有向线段
表示。这样的图称相量图。
设
111 jmmA A e ?? 222 jmmA A e ??
且 Am1=Am2=Am,?1=?2
同相
1mA2mA?j? 1?0
?1＞ ?2
1mA? 2mAj? 1?0
1mA 2m
A超前 ?角度
2mA 落后 1mA
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?=90? 12
22
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m m mA A Aj? ? ?
一个相量乘一个 j，向逆时针方向旋转 90?,乘一个 -j，
向顺时针方向旋转 90?,所以称 90jje? 90?旋转因子
1mA 2m?j? 1?0
旋转相量和正弦量之间的关系是一一对应关系
s i n ( ) I m ( )jtmmA t A e ??? ??
j? 1?0 2t??F?
2 mFF???0? 2t?2? t?
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根据数学知识，任意个相同频率的正弦量的代
数和这些正弦量的任意阶导数的代数和，仍然
是同频率的正弦量。因此，相量 jmmA A e ??
完全用来表示和反应已知频率下的正弦量。但
相量并不等于正弦量，只有旋转相量才和正弦
量有一一对应关系。
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也称最大值相量。因为最大值与有效值 A
之间的关系 2
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()
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其中 jA A e ? 称有效值相量，且 2
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正弦量与相量间属一种变换，称相量法变换 phj。
相量法变换 phj为已知正弦量变换成相量。
[ s i n ( ) ] [ 2 s i n ( ) ]mA p h j A t p h j A t A? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
[ s i n ( ) ]m m mA p h j A t A? ? ?? ? ? ?
相量法反变换 phj-1为已知相量，变换成正弦量。
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??? ? ? ? ? ?
11s i n ( ) [ ] [ ]
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??? ? ? ?
几个定理
定理 1 若 ?为实数,Z(t)为任何实变数 t的复值函
数，则 Im[?Z(t)]= ?Im[Z(t)]
实数与复值函数相乘后取虚部等于复值函数
取虚部后与实数相乘。
定理 2 若 Z1(t) 和 Z2(t)为任何实变数 t的复值函数，
则 Im[Z1(t)+ Z2(t)]=Im[Z1(t)]+ Im[Z2(t)]。
复值函数相加后取虚部等于各复值函数取虚
部后相加。
定理 3 设 Z为复数，其极坐标形式是 jmZe?
I m ( ) I m I m ( )j t j t j tddZ e Z e j Z ed t d t? ? ????????
??
取虚部和求导的运算可互换；复值函数 jtmZe?
对 t 的导数等于该函数与 j?的乘积。
定理 4 设 Z1,Z2为复数,?为角频率。若所有时刻
12I m ( ) I m ( )j t j tZ e Z e???
则 Z1=Z2。反之，若 Z1=Z2，则在所有时刻
12I m ( ) I m ( )j t j tZ e Z e???
两角速度相同的旋转相量在所有时刻在虚轴上
的投影都相等，则这两相量相等。
用相量法求微分方程特解
1
0 1 11 s i n ( )
nn
n n mnn
d y d y d ya a a a y A t
d t d t d t
??
?
??? ? ? ? ? ?
其中 a0,a1,?, an及 Am,?,?均是实数。方
程特解为与输入同频率的正弦量。因为
s i n ( ) I m ( )jtmmA t A e ????? ()jmmA A e ?其中
微分方程特解可表示为
( ) s i n ( ) I m ( )jtp m my t Y t Y e ???? ? ?其中 ()jmmY Y e ?
按经典法，将特解代入原方程，进行一系列的
正弦量的微分和繁琐的三角公式运算。
现在用相量法求特解，即定常数 Ym和 ?。
将 yp(t)代入原方程
1
0 1 11 s i n ( )
nn
n n mnn
d y d y d ya a a a y A t
d t d t d t ??
?
??? ? ? ? ? ?
0 I m ( ) I m ( ) I m ( )
n
j t j t j t
m n m mn
da Y e a Y e A e
dt
? ? ?? ? ?
根据定理 1
0I m ( ) I m ( ) I m ( )
n
j t j t j t
m n m mn
d a Y e a Y e A e
dt
? ? ?? ? ?
根据定理 3
0I m [ ( ) ] I m ( ) I m ( )
n j t j t j t
m n m ma j Y e a Y e A e
? ? ?? ? ? ?
根据定理 2
0I m { [ ( ) ] } I m ( )
n j t j t
n m ma j a Y e A e
??? ? ? ?
根据定理 4
0[ ( ) ]
n
n m ma j a Y A? ? ? ?
由此得到代数方程
0[ ( ) ]
n
n m ma j a Y A? ? ? ?
1
01( ) ( ) ( )
m
m nn
nn
AY
a j a j a j a? ? ??
?
? ? ? ?
2 2 3 2
2 1 3( ) ( )
m
m
n n n n
A
Y
a a a a
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??? ? ?
?
? ? ? ? ?
偶 次 方 奇 次 方
3
1 13
2
2
t a n nn
nn
aa
aa
????
?
? ??
?
????
??
所以特解 ( ) s i n ( )
pmy t Y t????
用相量法求正弦激励下的微分方程的特解，是
原来的微分方程转换成复数代数方程。
对一阶电路求特解
01 s i n ( ) 2 s i n ( )m
dya a y A t A t
dt ? ? ? ?? ? ? ? ?
方法 1
22
10()
m
m
AY
aa ?
?
?
1 0
1
t a n a
a
??? ???
所以
mmYY ???
( ) s i n ( )pmy t Y t????
方法 2 对一阶电路方程两边取相量法正变换
01a j Y a Y A??? ? ?
2 2 1 0
01
01
1
1 0
22
1
01
( ) t a n
t a n
()
AA
Y
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aa
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aA
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?
?
?
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?
取相量法反变换
11 0
22
101
2( ) ( ) s i n ( t a n )
()
p
aAy t p h j Y t
aaa
???
?
??? ? ? ?
?
01 s i n ( ) 2 s i n ( )m
dya a y A t A t
dt ? ? ? ?? ? ? ? ?
正弦稳态响应
一个具有正弦激励的线性定常电路，其全响应
的形式为 y(t)=yh(t)+yp(t)。
其中 yh(t)是齐次解,yp(t)是方程的特解。
若电路变量 y(t)的所有固有频率是不同的（也就
是特征多项式没有多重零点），则有
1
() i
n
st
hi
i
y t k e
?
? ?
其中 si为 y的固有频率,ki是由初始条件确定的
积分常数。
yp(t)作为方程的特解，是一个与输入同频率的
正弦量，可以用相量法求得。
固有频率 si都位于 s平面的开左半平面上 (不包括虚
轴 )，所有的 esit都是衰减因子，当 t→ ?,yh(t)→ 0。
所以 y(t)?yp(t)=Ymsin(?t+?)
这表明不管电路的初始条件如何, 随着 t→ ?,电
路响应变成与激励同频率的正弦量。这样的电路
称渐近稳定电路，这个响应称正弦稳态响应。
固有频率 si中有一个或几个位于 s平面的开右半平
面上，响应中含有增长因子 esit,通常说,t→ ?，
yh(t)→ ?，电路是不稳定的。
固有频率 si大部分位于 s平面的开左半平面上，有
一些落在虚轴上 (即一些纯虚数的固有频率 j?i)
? 位于虚轴上的是多重固有频率 s1=s2=j?0,s3=s4
=-j?0(总以共轭形式出现 ),则齐次解中必定含有
001 2 3 4( ) ( )j t j tk k t e k k t e?? ?? ? ?
或用余弦表示成 k1sin(?0t+?1)+k2tsin(?0t+?2)。
显然,t→ ?,yh(t)→ ?,电路是不稳定的。
? 位于虚轴上的固有频率是单一的 s1=j?0,s2=
-j?0,但输入信号的角频率 ?与 ?0重合 (即 ?=?0),
响应中将含有 k t sin(?t+?),电路也是不稳定的。
? 位于虚轴上的固有频率是单一的 s1=j?0,s2=
-j?0,且输入信号的角频率 ?与 ?0不等 (即 ???0),
齐次解中含有 ksin(?0t+?),特解可用相量法求得
yp(t)=Ymsin(?t+?)。
当 t→ ?时，电路存在稳态响应,y(t)=ksin(?0t+?)
+ Ymsin(?t+?),此时响应并不和输入同频率，因
此也不能成为正弦稳态响应。
对于非线性电路或时变电路，即使有稳态解，通
常也不是与输入同频率的响应。
因此，对于由单一的正弦输入的线性定
常电路，只有当电路的固有频率都落在 s
复平面的开左半平面上，不论初始条件如
何，响应将随着 t→ ?而变成与输入同频率
的正弦量。这响应才称正弦稳态响应，这
响应可用相量法来求得。
值得指出，正弦稳态响应，它与初始条
件无关。
正弦稳态分析
我们把求解电路对正弦输入的正弦稳态响应称为
正弦稳态分析。
求正弦稳态响应的途径
( ) ( )
()
()
()
()
()
K C L t
V v t
K V L t
it
It
?
?
? ? ?? ? ? ?? ? ?? ??
?
?
节 点 法 相 量 法 解
回路法
微 分 方 程 复 数 代 数 方 程
网 络 方 程 网 络 方 程
支路关系
KCL
K V L
??
??
??
??
??支路关系
相量形式相量法 节点法回路法
基尔霍夫定律的相量形式
KCL,
1
( ) 0
n
k
k
it
?
??
11
I m ( ) I m ( 2 ) 0
nn
j t j t
m k k
kk
I e I e??
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???? 其中 kjm k m kI I e ??
1
0
n
mk
k
I
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??
1
0
n
k
k
I
?
??或
KVL,
1
( ) 0
n
k
k
vt
?
??
11
I m ( ) I m ( 2 ) 0
nn
j t j t
m k k
kk
V e V e??
??
????
其中 kj
m k m kV V e
??
1
0
n
mk
k
V
?
??
或
1
0
n
k
k
V
?
??
电路元件上的电压、电流关系的相量表示
( ) s i n ( ) I m ( ) I m ( 2 )j t j tm v mv t V t V e V e????? ? ? ?
( ) s i n ( ) I m ( ) I m ( 2 )j t j tm i mi t I t I e I e????? ? ? ?
根据支路约束 (欧姆定律 )v(t)=Ri(t)
s i n ( ) s i n ( )m v m iV t R I t? ? ? ?? ? ?
I m ( ) I m ( ) I m ( )j t j t j tmmmV e R I e R I e?????
所以
mmV R I?
这就是电阻 R中的电压、电流
的相量关系。
正弦稳态
线性定常
电路 ()vtitR
电压、电流同相位，说明电压、
电流同时出现最大值。
RI RVvi???j? 1?0
mmV R I?
vjmmV V e ??
ijmmI I e ??
mm
vi
V R I
??
??
? ?
?
相量图 电阻元件的相量模型 RIRV
支路约束
正弦稳态
线性定常
电路 ()itvt()() d v ti t C dt?
I m ( ) [ I m ( ) ]
I m ( )
j t j t
mm
jt
m
d
I e C V e
dt
j C V e
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??
?
?
所以
mmI j C V?? 1
mmVIjC??
( 9 0 )i v vj j j
m m mI e j C V e C V e
? ? ??? ???
因此
90
mm
iv
I C V?
??
??
? ??
?
相量图 电容元
件的相
量模型
CCV
+
-
1
jC??CI Cj? 1?0
电容电流最大值是电容电压最大
值的 ?C倍 (随 ?的不同而不同 )；
电容电流相位超前电压相位 90?。 90
mm
iv
I C V?
??
??
? ??
?
具有电阻的量纲,称为容抗 XC,即
因为
mmI C V?? 1 m
m
V
CI?
?
所以 1
C?
11
2CX C f C????
电容 XC与电容 C，频率 f成反比。所以电容元件
对高频电流呈现的容抗很小，而对直流 (f=0)所
呈现的容抗 XC=?,可视为开路。因此电容具有
隔直作用。
支路约束
正弦稳态
线性定常
电路 ()itvtL()() d i tv t L dt?
I m ( ) [ I m ( ) ]
I m ( )
j t j t
mm
jt
m
d
V e L I e
dt
j L I e
??
??
?
?
所以
mmV j L I?? 1
mmIVjL??
( 9 0 )v i ij j j
m m mV e j C I e C I e
? ? ??? ???
因此
90
mm
vi
V L I?
??
??
? ??
?
相量图 电感元
件的相
量模型
LILVjL?
+
-
?LI LVj? 1?0
电感电压最大值是电感电流最大
值的 ?L倍 (随 ?的不同而不同 )；
电感电流相位滞后电压相位 90?。 90
mm
vi
V L I?
??
??
? ??
?
因为
mmV L I?? m
m
VL
I
? ?
所以 ?L具有电阻的量纲,称为感抗 XL，即
XL=?L=2?fL。
感抗 XL与电感 L，频率 f成正比。所以电感元
件对高频电流的阻碍很大，而对直流可视为
短路，即 XL=0。
对互感元件
1 1 1
2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
v t t i tdd
v t t i td t d t
?
?
? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?L
11 1 1 1 2
2 1 2 2
22
mm
mm
V LL I
j
LL
V I
?
?? ??
???? ??
? ??
?? ????
?? ????
即
mm j??V L I
同样
1
m mj??I ΓV
1 11 1 1 2
2 1 2 2
2 2
1m m
m m
VI
j
VI
?
???? ??
?? ????
? ??
???? ????
???? ??
