第七章 正弦稳态分析
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
二阶带通函数 · 谐振
网络函数中含有 (j?)2项，称二阶函数，网络称
二阶网络，这里着重讨论 RLC串联和 RLC并联
电路的频率响应。
RLC串联网络，取 2V 为输出
则电压转移函数为
2
2
1
()
1 1 ( )
V R j R C
Nj
j R C j L CV R j L
jC
?
?
???
?
? ? ?
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令
0
1
RC? ?
0 LQ
R
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111
Nj
jL
RC
?
?
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?
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1V 2VRC
幅频特性
1()
111
Nj
jL
RC
?
?
?
?
????
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0 0 0
00
11 Lj L j j Q
R C R
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0
0
1
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1
N j A
jQ
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2
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1
A
Q
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()A ??1
20.5
0?1.52
0.667Q ? 1.6 7Q ?
5Q ? 10Q ?
幅频特性
2
2 0
0
1
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1.6 7Q ?
5Q ?10Q ?
相频特性
1 0
0
( ) t a n Q ???? ??? ??? ? ???
??
()A??1120
0.50?1.52 0.667Q ? 1.6 7Q ? 5Q? 10Q ?()??90?900.501.5
0.667Q ? 1.6 7Q ?
5Q ?10? ① 当 ?=?0时 A(?0)=1,?(?0)=0,这表明 ?=?0 时，输出和输入幅值相等,相位相同,而电路的
输入阻抗 (驱动点阻抗 )
1Z R j L
C? ?
??? ? ?
????
当
0
1
LC????
时,Z=R+j0=R
RLC串联电路谐振定义,
阻抗虚部为 0
阻抗角 ?Z=0
口电流与 口电压同相位
1L
C? ??
串联电路的阻抗 1Z R j L
C? ?
??? ? ???
??
?0 1XL
C? ???
L?
1
C?
0?
X
其电抗部分 X的频率特性为
当 ?<?0 1
L C? ?? X<0,容性电路
当 ?> ?0 1
L C? ?? X>0,感性电路
当 ?= ?0 1L
C? ??
X=0,电阻性电路
串联电路，谐振前呈容性电路；谐振后呈感性电路。
谐振时的频率称谐振频率
00
11,
2fL C L C? ???
当信号频率和电路的谐振频率一致时，电路便处谐
振状态。
② 右图可见，在谐振频率 ?0附
近，幅频特性曲线出现峰值，
?<?0或 ?>?0曲线急剧下降,因
此 ?0也称中心频率。在中心频
率两侧，当
()A ??1120
0.50?1.52 0.667Q ? 1.6 7Q ? 5Q ? 10Q ?1
1( ) 0, 7 0 7
2A ? ??
对应着 ?1和 ?2，其中 ?1为电路的下截止频率,?2
为上截止频率，电路的通频带 BW=?2-?1。
具有这种特性的电路，称为带通滤波器。
③ 图中可见，通频带与 Q的数值有关，称之为 RLC
串联电路谐振时的品质因数，一个重要的物理量。
Q值标志着电路在谐振时交流阻抗（电抗）与
纯电阻（入端）之间的关系。
RLC串联谐振时，电路中的感抗或容抗与电阻
R的比值。
0
0
11L LQ
R R C R C
?
?
??
④ 带通电路只允许它通频带内的信号通过，所以
通频带 BW是带通电路的一个重要参数，根据通
频带的定义,
2
2 0
0
11
()
2
1
A
Q
?
??
??
??
??
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2
2 0
0
1Q ??
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??
????
??
解得
2
0
1 1 14
2 QQ
?
?
??
? ? ? ???
??
应取正值
0
?
?
2
0
111
22QQ
?
?
??? ? ?
??
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2
10
11
1
22QQ
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????
??? ? ???
????
2
20
11
1
22QQ
??
????
??? ? ???
????
0
21BW Q
???? ? ?
这说明 BW与电路谐振时的品质因数成反比,Q越
大，带宽 BW越小，谐振曲线的形状越尖锐，电路
的选择性越好。
⑤ 串联谐振时，电路的阻抗呈电阻性，阻抗值
为最小，电流为最大值
1
0
VI
R?
当 ?<?0时 1L
C? ??
电路对电源呈现容性
当 ?>?0时 1L
C? ??
电路对电源呈现感性
电流都小于 I0
谐振时电容电压 10 1
01
000
C
V
I VR
V Q V
C C R C???
? ? ? ?
电感电压 0
0 0 0 1 1L
LV L I V Q V
R
??? ? ?
电容电压和电感电压都是信号源电压值的 Q倍，
因此串联谐振也称电压谐振。
在一般情况下，电路的品质因数都能达到
几十到几百，谐振电路的这种特性，在无
线电接收机中，得到广泛的应用，但在电
力系统中往往导致电感器的绝缘层和电容
器中的电介质被击穿，造成损失，因此，
在电力系统中应避免出现谐振现象。
一个 RLC串联谐振电路，其中心问题：谐
振频率 ?0(或 f0),选择性 (或通频带 )以及电
路中的电流与输入信号频率变化之间的规
律现象。
⑥ 串联谐振时谐振曲线
Cv Lv?0VSv
0?
I
串联谐振时，电路中的电
流为最大值
1
0
VI
R?
?=0,电容开路,电流为 0
?→ ?,电感开路,电流为 0
根据 11
2
2 1
VV
I
Z
RL
C
?
?
??
????
??
??
电流谐振曲线如兰线所示
表示电流、电压 与频率关系的图形称谐振曲线。
电感电压 VL和电容电压 VC,在谐振点都是 QV1。
VL和 VC最大值不在 ?0处,VC出现在 ?0前,VL出现在
?0之后。
⑦ 谐振时的电容电感能量
谐振时电压电流同相，电路功率因数 cos?=1，
平均功率 P=VI，表明电源向电阻提供能量。
无功功率 Q=VIsin?=0，表明电源与电路之间无
能量往返交换，但电感和电容间仍有着能量交
换，因为 Q = QL-QC=0，所以 QL= QC它们大小
相等，互相补偿。
设 RLC 电路的端电压、电流分别为
00( ) s i n 2 i nmv t V t V t????
0 0 0( ) s i n 2 i n s i n
m
m
Vi t I t I t t
R? ? ?? ? ?
有 2 2 2
0
11 s i n
22LmW L i L I t???
电容电压滞后电流 90o
0 0 0
00
1( ) s i n ( 9 0 ) c o s c o sm
C m C m
Iv t I t t V t
CC ? ? ???
??? ? ? ?
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??
有
2 2 2
0
11 c o s
22CmW C v C V t???
能量总和
2 2 2 2
00
11s i n c o s
22L C m mW W W L I t C V t??? ? ? ?
0
0
1,m
Cm
IV
C LC????
C m m
LVI
C??
22C m mC V L I? 2211
22C m mC V L I?
2 2 2 2 2 2 2
00
1 1 1( s i n c o s )
2 2 2m m C m CW L I t t L I C V L I C V??? ? ? ? ? ?
由 VC=QV(电容电压是电源电压 Q倍 )
2 2 2 2 2 2 2
00
1 1 1( s i n c o s )
2 2 2m m C m CW L I t t L I C V L I C V??? ? ? ? ? ?
W=CQ2V2
总能量是不随时间变化的常量，在电感和电容间，
进行电能与磁能间不断转换的周期性震荡。总能量
与品质因数的平方成正比,Q越大总能量越大,震荡
就激烈。通常，要求发生谐振，可提高品质因数。
2211
22 CLI CV?t0
CLW WW??L C
RLC并联网络
左图为 RLC 并联二阶带通电路。
在已知 RLC串联带通电路的情况
下，根据对偶原理，完全可以知
道 RLC并联带通电路的特性。该
并联电路的策动点导纳,
2 2 11 t a n
Y
BY G j B G j C G B Y
LG???
???? ? ? ? ? ? ? ? ? ???
??
当 B=0时 1 0C
L? ??? 0
1
LC? ?
电路对外呈纯电阻性，口电流与口电压同相 ?Y=0
GI1I1VC
谐振时,?=?0导纳 Y0=G为最小值，阻抗
Z0=1/Y0=1/G=R为最大值，电路呈现高阻抗。
若以电流源驱动，电路中的电压有效值
1
01
0
IV R I
Y??
为最大值
谐振时，电路的品质因数为容纳或感纳与入
端电导 G的比值
0
00
1C RCQR
G L G L L
?
??? ? ? ?
谐振时，电容电流
0 0 0 0 1 1CI C V C R I Q I??? ? ?
电感电流
0 0 1 1
00
1
L
RI V I Q I
LL??? ? ?
谐振时，电源只供应电阻的电流，电感、电
容回路中形成环流，其值为电源电流的 Q倍 (即
口电流的 Q倍 )，因此，并谐也称电流谐振。
若取电阻电流
为二阶函数，和 RLC串联网络的
GI
为输出量，则网络函数
2
1
()
1 ( ) 1
GI G j L GNj
j L G j L CI G j C
jL
?
?
???
?
? ? ?
????
2
1
() VNj
V
? ?
互为对偶形式。因此它们的频率响应必然相同。
通频带
0
21
1GBW
Q C R C
???? ? ? ? ?
0
21
1
2
fB W f f
Q R C?? ? ? ?
例
设计一 RLC串联谐振电路，谐振频率为 1MHz，
通频带为 0.02MHz，给定 C=50pF。
解
0 1 50
0, 0 2Q BW
?? ? ?
0
1Q
RC??
6 1 2
0
1 1 2 0 0 6 3, 7
2 1 0 5 0 1 0 5 0R CQ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?
0
1
LC? ?
2 2 1 2 1 2 2
0
1 1 1 0, 5 0 7
( 2 ) 1 0 5 0 1 0 2 0 0L m HC? ? ??? ? ? ? ?? ? ?
例 一线圈与电容串联，线圈电阻 R=16.2?电
感 L=0.26mH当把电容调节到 100pF时发生串
联谐振,① 求谐振频率及品质因数 ② 设外加
电压为 10?V 其频率等于电路的谐振频率，求
电路中的电流及电容电压 ③ 若外加电压仍为
10?V但其频率比谐振频率高 10%求电容电压
解 ① 谐振频率及品质因数为
3
0 3 1 2
11 9 9 0 1 0
2 2 0, 2 6 1 0 1 0 0 1 0
f H z
LC? ? ??
? ? ? ?
? ? ?
33
00 2 2 9 9 0 1 0 0, 2 6 1 0 100
1 6, 2
L f LQ
RR
?? ? ?? ? ?? ? ? ?
② 谐振时的电流及电容电压
6
6
0
1 0 1 0 0, 6 1 7 1 0 0, 6 1 7
1 6, 2
VI A A
R ?
?
??? ? ? ? ?
VC=QV=10-3V
或
3 1 2
0
11 1620
2 9 9 0 1 0 1 0 0 1 0CX C?? ?? ? ? ?? ? ? ?
630 1 6 2 0 0, 6 1 7 1 0 1 0 1CCV X I V m V??? ? ? ? ? ?
③ 电源频率比谐振频率提高 10%时
30' ( 1 0, 1 ) 1 0 8 9 1 0f f H z? ? ? ?
'
3 1 2
11 1460
2 1 0 8 9 1 0 1 0 0 1 0CX C?? ?? ? ? ?? ? ? ?
' 3 32 1 0 8 9 1 0 0, 2 6 1 0 1 7 8 0LXL ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?
' 2 2 2 2( ) 1 6, 2 (1 7 8 0 1 32460) 0
LCZ R X X? ? ? ?? ? ? ?
'
' 6 3
'
1460 1 0 1 0 0, 0 4 6 1 0 0, 0 4 6
320
C
C
XV V V m V
Z
??? ? ? ? ? ? ?
当电源频率偏离电路的谐振频率时，电容电压
显著下降，收音机就是利用这原理选择所需要
收听的电台广播，抑制其它电台的干扰。
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
二阶带通函数 · 谐振
网络函数中含有 (j?)2项，称二阶函数，网络称
二阶网络，这里着重讨论 RLC串联和 RLC并联
电路的频率响应。
RLC串联网络，取 2V 为输出
则电压转移函数为
2
2
1
()
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1
N j A
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2
2 0
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1
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20.5
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0.667Q ? 1.6 7Q ?
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5Q ?10? ① 当 ?=?0时 A(?0)=1,?(?0)=0,这表明 ?=?0 时，输出和输入幅值相等,相位相同,而电路的
输入阻抗 (驱动点阻抗 )
1Z R j L
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时,Z=R+j0=R
RLC串联电路谐振定义,
阻抗虚部为 0
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口电流与 口电压同相位
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串联电路的阻抗 1Z R j L
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当 ?= ?0 1L
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X=0,电阻性电路
串联电路，谐振前呈容性电路；谐振后呈感性电路。
谐振时的频率称谐振频率
00
11,
2fL C L C? ???
当信号频率和电路的谐振频率一致时，电路便处谐
振状态。
② 右图可见，在谐振频率 ?0附
近，幅频特性曲线出现峰值，
?<?0或 ?>?0曲线急剧下降,因
此 ?0也称中心频率。在中心频
率两侧，当
()A ??1120
0.50?1.52 0.667Q ? 1.6 7Q ? 5Q ? 10Q ?1
1( ) 0, 7 0 7
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对应着 ?1和 ?2，其中 ?1为电路的下截止频率,?2
为上截止频率，电路的通频带 BW=?2-?1。
具有这种特性的电路，称为带通滤波器。
③ 图中可见，通频带与 Q的数值有关，称之为 RLC
串联电路谐振时的品质因数，一个重要的物理量。
Q值标志着电路在谐振时交流阻抗（电抗）与
纯电阻（入端）之间的关系。
RLC串联谐振时，电路中的感抗或容抗与电阻
R的比值。
0
0
11L LQ
R R C R C
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④ 带通电路只允许它通频带内的信号通过，所以
通频带 BW是带通电路的一个重要参数，根据通
频带的定义,
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21BW Q
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这说明 BW与电路谐振时的品质因数成反比,Q越
大，带宽 BW越小，谐振曲线的形状越尖锐，电路
的选择性越好。
⑤ 串联谐振时，电路的阻抗呈电阻性，阻抗值
为最小，电流为最大值
1
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VI
R?
当 ?<?0时 1L
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电路对电源呈现容性
当 ?>?0时 1L
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电路对电源呈现感性
电流都小于 I0
谐振时电容电压 10 1
01
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电感电压 0
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电容电压和电感电压都是信号源电压值的 Q倍，
因此串联谐振也称电压谐振。
在一般情况下，电路的品质因数都能达到
几十到几百，谐振电路的这种特性，在无
线电接收机中，得到广泛的应用，但在电
力系统中往往导致电感器的绝缘层和电容
器中的电介质被击穿，造成损失，因此，
在电力系统中应避免出现谐振现象。
一个 RLC串联谐振电路，其中心问题：谐
振频率 ?0(或 f0),选择性 (或通频带 )以及电
路中的电流与输入信号频率变化之间的规
律现象。
⑥ 串联谐振时谐振曲线
Cv Lv?0VSv
0?
I
串联谐振时，电路中的电
流为最大值
1
0
VI
R?
?=0,电容开路,电流为 0
?→ ?,电感开路,电流为 0
根据 11
2
2 1
VV
I
Z
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电流谐振曲线如兰线所示
表示电流、电压 与频率关系的图形称谐振曲线。
电感电压 VL和电容电压 VC,在谐振点都是 QV1。
VL和 VC最大值不在 ?0处,VC出现在 ?0前,VL出现在
?0之后。
⑦ 谐振时的电容电感能量
谐振时电压电流同相，电路功率因数 cos?=1，
平均功率 P=VI，表明电源向电阻提供能量。
无功功率 Q=VIsin?=0，表明电源与电路之间无
能量往返交换，但电感和电容间仍有着能量交
换，因为 Q = QL-QC=0，所以 QL= QC它们大小
相等，互相补偿。
设 RLC 电路的端电压、电流分别为
00( ) s i n 2 i nmv t V t V t????
0 0 0( ) s i n 2 i n s i n
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电容电压滞后电流 90o
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由 VC=QV(电容电压是电源电压 Q倍 )
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2 2 2m m C m CW L I t t L I C V L I C V??? ? ? ? ? ?
W=CQ2V2
总能量是不随时间变化的常量，在电感和电容间，
进行电能与磁能间不断转换的周期性震荡。总能量
与品质因数的平方成正比,Q越大总能量越大,震荡
就激烈。通常，要求发生谐振，可提高品质因数。
2211
22 CLI CV?t0
CLW WW??L C
RLC并联网络
左图为 RLC 并联二阶带通电路。
在已知 RLC串联带通电路的情况
下，根据对偶原理，完全可以知
道 RLC并联带通电路的特性。该
并联电路的策动点导纳,
2 2 11 t a n
Y
BY G j B G j C G B Y
LG???
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当 B=0时 1 0C
L? ??? 0
1
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电路对外呈纯电阻性，口电流与口电压同相 ?Y=0
GI1I1VC
谐振时,?=?0导纳 Y0=G为最小值，阻抗
Z0=1/Y0=1/G=R为最大值，电路呈现高阻抗。
若以电流源驱动，电路中的电压有效值
1
01
0
IV R I
Y??
为最大值
谐振时，电路的品质因数为容纳或感纳与入
端电导 G的比值
0
00
1C RCQR
G L G L L
?
??? ? ? ?
谐振时，电容电流
0 0 0 0 1 1CI C V C R I Q I??? ? ?
电感电流
0 0 1 1
00
1
L
RI V I Q I
LL??? ? ?
谐振时，电源只供应电阻的电流，电感、电
容回路中形成环流，其值为电源电流的 Q倍 (即
口电流的 Q倍 )，因此，并谐也称电流谐振。
若取电阻电流
为二阶函数，和 RLC串联网络的
GI
为输出量，则网络函数
2
1
()
1 ( ) 1
GI G j L GNj
j L G j L CI G j C
jL
?
?
???
?
? ? ?
????
2
1
() VNj
V
? ?
互为对偶形式。因此它们的频率响应必然相同。
通频带
0
21
1GBW
Q C R C
???? ? ? ? ?
0
21
1
2
fB W f f
Q R C?? ? ? ?
例
设计一 RLC串联谐振电路，谐振频率为 1MHz，
通频带为 0.02MHz，给定 C=50pF。
解
0 1 50
0, 0 2Q BW
?? ? ?
0
1Q
RC??
6 1 2
0
1 1 2 0 0 6 3, 7
2 1 0 5 0 1 0 5 0R CQ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?
0
1
LC? ?
2 2 1 2 1 2 2
0
1 1 1 0, 5 0 7
( 2 ) 1 0 5 0 1 0 2 0 0L m HC? ? ??? ? ? ? ?? ? ?
例 一线圈与电容串联，线圈电阻 R=16.2?电
感 L=0.26mH当把电容调节到 100pF时发生串
联谐振,① 求谐振频率及品质因数 ② 设外加
电压为 10?V 其频率等于电路的谐振频率，求
电路中的电流及电容电压 ③ 若外加电压仍为
10?V但其频率比谐振频率高 10%求电容电压
解 ① 谐振频率及品质因数为
3
0 3 1 2
11 9 9 0 1 0
2 2 0, 2 6 1 0 1 0 0 1 0
f H z
LC? ? ??
? ? ? ?
? ? ?
33
00 2 2 9 9 0 1 0 0, 2 6 1 0 100
1 6, 2
L f LQ
RR
?? ? ?? ? ?? ? ? ?
② 谐振时的电流及电容电压
6
6
0
1 0 1 0 0, 6 1 7 1 0 0, 6 1 7
1 6, 2
VI A A
R ?
?
??? ? ? ? ?
VC=QV=10-3V
或
3 1 2
0
11 1620
2 9 9 0 1 0 1 0 0 1 0CX C?? ?? ? ? ?? ? ? ?
630 1 6 2 0 0, 6 1 7 1 0 1 0 1CCV X I V m V??? ? ? ? ? ?
③ 电源频率比谐振频率提高 10%时
30' ( 1 0, 1 ) 1 0 8 9 1 0f f H z? ? ? ?
'
3 1 2
11 1460
2 1 0 8 9 1 0 1 0 0 1 0CX C?? ?? ? ? ?? ? ? ?
' 3 32 1 0 8 9 1 0 0, 2 6 1 0 1 7 8 0LXL ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?
' 2 2 2 2( ) 1 6, 2 (1 7 8 0 1 32460) 0
LCZ R X X? ? ? ?? ? ? ?
'
' 6 3
'
1460 1 0 1 0 0, 0 4 6 1 0 0, 0 4 6
320
C
C
XV V V m V
Z
??? ? ? ? ? ? ?
当电源频率偏离电路的谐振频率时，电容电压
显著下降，收音机就是利用这原理选择所需要
收听的电台广播，抑制其它电台的干扰。
