第七章 正弦稳态分析
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
电路的相量模型（符号电路）
()Svt()Rvt()Lvt()Cit时域电路
电路正弦稳态响应并不顾及电路初始条件，为求正弦
稳态响应
kV
表示支路电压,用相
量 kI用元件的相量模型表示相应的电路元件,R?R,C?
可用相量 表示支路电流
这种用于进行正弦稳态分析的电路，称电路的相量模
型，也称符号电路。
1
jC?, L?j?L。 SVIRVLVCjL?
相量模型（符号电路）
若电源中含有不同频率的正弦量，可对每种频
率成分建立相应的电路模型。
()Svt()Rvt()Lvt()Cit时域电路
若电路中含有多个正弦电源，各电源的频率不
完全相同，则可对每组相同频率的正弦电源分
别建立相应的电路模型。
SVIRVLVCjL?
相量模型（符号电路）
阻抗和导纳
在正弦稳态情况下，口电压相量与口电流相量之
比称策动点阻抗或驱动点阻抗（简称阻抗） 。
()
()
c o s s i n
vijm m m
v i Z
mm
m
ZZ
V V V
Z j e Z
II
I
Z j Z R j X
??
? ? ? ?
??
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
其中 阻抗的模 Z
Z? 阻抗角，约定 9 0 9 0
Z?? 剟
R 电阻,X电抗。
+
-
IRjX
在正弦稳态情况下，口电流相量与口电压相量之
比称策动点导纳或驱动点导纳（简称导纳）。
()
()
c o s s i n
iv
jm m m
iv
mm
m
Y Y Y
I I I
Y j e
VV
V
Y Y j Y
G j B
??
? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
其中 Y 导纳的模
导纳角，约定
Y? 9 0 9 0Y?? 剟
G 电导,B电纳。
对同一端口，在同一频率下 1Y
Z?
jBVGI
根据基尔霍夫定律的相量形式
1
1
[ ( ) ]
S R L C
V V V V R I j L I I
jC
R j L I Z I
C
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
欧姆定律的相量形式，称复数欧姆定律
输入阻抗 1
( ) ( )S LCVZ R j L R j X X
CI
?
?
? ? ? ? ? ? ?
2 2 1 2 2 1
1
1( ) t a n ( ) t a n LC
LC
L XX
CZ R L R X X
C R R
?
??
?
??
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
ms
Z v i
m
VZZ
I? ? ?? ? ? ? ?
SVIRVLVCjL?
相量模型（符号电路）
从关系式中可以看到，阻抗 Z(j?)是一个复数，且是频
率 ? 的函数，即同一单口网络，对不同的频率 ?有不同
频率的阻抗。
频率 ? 一经确定，即激励正弦信号频率一经确定，单口
网络的阻抗也就被确定，且仅由元件参数和网络拓扑所
决定，并不随端口电压或电流的变化而变化。当电路参
数变化时，阻抗也随之而变，那么
当激励是电流
SI
，根据
SV Z I?
，响应 V
将随阻抗 Z的变化而变化；
当激励是电压 SV,根据 SVI
Z
?
，响应
I
也将随阻抗 Z的变化而变化
1( ) ( )
LCZ R j L R j X XC? ?? ? ? ? ? ?
这种变化，不仅有大小的变化（模的变化）
mmV Z I?
或 m
m
VI
Z?
也有相位的变化,?v=?Z-?i 或 ?i=?v-?Z
阻抗角 1 1t a n
Z v i
L
C
R
?
?? ? ? ?
?
? ? ?
反映了端口电压与电流的相位关系，从关系式中清楚
可见 ?Z的大小是由电路参数和网络拓扑所决定，在同
一频率 ?下，电路参数不同，电压和电流之间的相位差
也就不同。
从阻抗角的关系式中也可看出，在频率 ?一定时，不仅
相位差的大小决定于电路参数和电路拓扑，而且电流是
滞后电压还是超前电压也与电路参数和电路拓扑有关。
电压超前电流，阻抗是感性的
1 0
L C Z v iX X L C? ? ? ??? ? ?> > > >
1 0
L C Z v iX X L C? ? ? ??? ? ?< < < <
电压滞后电流，阻抗是容性的
1 0
L C Z v iX X L C? ? ? ??? ? ?= = = =
电压电流同相，阻抗是电阻性的
因此，在分析和计算交流电路时，必须时刻具有交流的
概念，其中首先要有相位概念，而相位关系又反映在阻
抗角上。它和阻抗的模一起被称为阻抗，阻抗反映了网
络本身的固有特性。
阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而
是一个复数计算量。
对同一端口来说 1R
G?
1X
B?
2 2 2 2
11
( ) ( )
R j X
Y
Z R j X R j X R j X
RX
j G j B
R X R X
?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
??
在串联情况下 在并联情况下
1
n
k
k
ZZ
?
? ?
1
n
k
k
YY
?
? ?
测量方法：从电压表和电流表上可读得电压电流的有
效值，用相位计可测得阻抗角 ?Z和导纳角 ?Y
正弦稳态电路的相量分析法
相量分析法也称符号法，主要步骤为,
将时域电路变换为相量模型即符号电路（有时
可省略相量电路模型图）
根据相量形式的基尔霍夫定律和支路关系，建
立电路方程，用复数运算法则求解方程。
将所得响应变量的相量，表示成时域中的实函
数形式。
在第 1~4章中提供的各种结论和方法：节点
法、网络法、网络定理等都可应用到相量分析
法中。
例 Si 1
i 2iC1R2R0v
右示电路，求 v0(t) 。已知
R1=3K,R2=1K,C=30?F,
( ) 2 ( s i n s i n 1 0 s i n 1 0 0 0 )Si t t t t? ? ?
解：频率为 ?的电流源 激励下的符号电路如下
SI
1
2
12
1 S
R
II
RR
jC?
?
??
① 当 ?=1rad/s时,
1 0 ( )SI m A??
12
01 22
12
9 0 8 3, 1 6
1 S
RR
V R I I
RR
jC
? ? ?
??
01 ( ) 2 [ 9 0 s i n ( 8 3, 1 6 ) ]v t t??
SI 1I 2I0V
1
jC?1R 2R
② 当 ?=10rad/s时
12
02 22
12
5 7 6 3 9, 8
1
10
S
RR
V R I I
RR
jC
? ? ? ?
??
02 ( ) 2 [ 5 7 6 s i n ( 1 0 8 9, 8 ) ]v t t??
③ 当 ?=1000rad/s时
12
03 22
12
7 5 0 0
1
1000
S
RR
V R I I
RR
jC
? ? ? ?
??
03 ( ) 2 [ 7 5 0 s i n 1 0 0 0 ]v t t?
根据叠加定理，总输出电压
0 0 1 0 2 0 3( ) ( ) ( ) ( )
2 [ 9 0 s i n ( 8 3, 1 6 ) 5 7 6 s i n ( 1 0 3 9, 8 ) 7 5 0 s i n 1 0 0 0 ]
v t v t v t v t
t t t
? ? ?
? ? ? ? ?
两个重要结论
线性电路中电源若包含多种频率的正弦信号，
则可应用叠加定理求各单一频率的正弦稳态响
应。对每一单一频率的信号，可用相量模型分
析。
此例电路，对 ?? 1000rad/s的正弦信号几乎能
够不失真地传输 (即输出变量与输入变量同相
位 )。对低频信号 (如 ?? 10rad/s)，输出变量与
输入变量有较大的相位差，而且这类电路对低
频信号有较大的衰减作用。在实际应用中往往
取较大的电容 C，用以改善对低频信号的传输
能力。
例 求正弦稳态响应：网孔电流 i1(t),i2(t)
31 0 2 sin 1 0 t1i 2i 12i
500 F?3?4mH
10 0?1I 2I 12I2j??3?4j ?
电路的相量模型如右图。根
据 KVL
1
12
103 4 4
4 4 2 2
Ijj
j j j II
?? ??????
?? ?????
???? ???? ?
??????
1
2
3 4 4 1 0
2 4 2 0
Ijj
jj
I
????
? ? ? ???
?? ? ? ?
???? ? ? ?
????
1
1 0 4
02 2 0 2 0 9 0
1, 2 4 2 9, 7
3 4 4 8 1 4 1 6, 1 2 6 0, 3
2 4 2
j
j j
I
jj j
jj
?
?
? ? ? ?
?? ??
?
正弦稳态响应
1
1 0 4
02 2 0 2 0 9 0
1, 2 4 2 9, 7
3 4 4 8 1 4 1 6, 1 2 6 0, 3
2 4 2
j
j j
I
jj j
jj
?
?
? ? ? ?
?? ??
?
2
3 4 1 0
2 4 0 2 0 4 0 4 4, 7 2 1 1 6, 6
2, 7 7 5 6, 3
8 1 4 8 1 4 1 6, 1 2 6 0, 3
j
j j
I
jj
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
31 ( ) 2 [ 1, 2 4 s i n ( 1 0 2 9, 7 ) ]i t t??
32 ( ) 2 [ 2, 7 7 s i n ( 1 0 5 6, 3 ) ]i t t??
例 求电阻中的电流
500j??IR
1 100 0V ??500j??1000j ?1000j ?2000 ?I
方法 1 由于是求电阻 R中的
电流，可应用戴维宁定理。 ocV IeqZR
①
②
1I ocV1V2I 由左下图可知
1
12
100 0, 2
1 0 0 0 5 0 0 5 0 0
VI I j
j j j? ? ? ? ??
根据 KVL 对红线回路有
211 0 0 0 ( 5 0 0 ) 0o cV j I j I? ? ? ?
15 0 0 3 0 0 0o cV j I? ? ?
由右图 eqZ?
( 5 0 0 ) ( 1 0 0 0 )2 2 0 0 0
1 0 0 0 5 0 0eq
jjZj
jj
?? ? ? ? ?
?
300
0, 1 0 6 4 5
2 0 0 0 2 0 0 0
o c
eq
V
I
Z R j
? ? ? ?
? ? ?
eqZ?
15 0 0 3 0 0 0o cV j I? ? ?
①
②
1I ocV1V2I
方法 2 用分压关系求开路电压相量
ocV
节点 ① 对地电压相量
1
1000 2 0 0 0
1 0 0 0 5 0 0
jVV
jj? ? ??①
节点 ② 对地电压相量
1
500 1 0 0 0
500
jVV
j
?? ? ? ?
②
3 0 0 0o cV V V? ? ? ?①②
300 0, 1 0 6 4 5
2 0 0 0 2 0 0 0
o c
eq
VI
Z R j
? ? ? ?
? ? ?
当 C1≠C2,L1≠L2的情况下，方法 2就体现出优越性，比
方法 1简洁。
①
②
1I ocV1 2I
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
电路的相量模型（符号电路）
()Svt()Rvt()Lvt()Cit时域电路
电路正弦稳态响应并不顾及电路初始条件，为求正弦
稳态响应
kV
表示支路电压,用相
量 kI用元件的相量模型表示相应的电路元件,R?R,C?
可用相量 表示支路电流
这种用于进行正弦稳态分析的电路，称电路的相量模
型，也称符号电路。
1
jC?, L?j?L。 SVIRVLVCjL?
相量模型（符号电路）
若电源中含有不同频率的正弦量，可对每种频
率成分建立相应的电路模型。
()Svt()Rvt()Lvt()Cit时域电路
若电路中含有多个正弦电源，各电源的频率不
完全相同，则可对每组相同频率的正弦电源分
别建立相应的电路模型。
SVIRVLVCjL?
相量模型（符号电路）
阻抗和导纳
在正弦稳态情况下，口电压相量与口电流相量之
比称策动点阻抗或驱动点阻抗（简称阻抗） 。
()
()
c o s s i n
vijm m m
v i Z
mm
m
ZZ
V V V
Z j e Z
II
I
Z j Z R j X
??
? ? ? ?
??
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
其中 阻抗的模 Z
Z? 阻抗角，约定 9 0 9 0
Z?? 剟
R 电阻,X电抗。
+
-
IRjX
在正弦稳态情况下，口电流相量与口电压相量之
比称策动点导纳或驱动点导纳（简称导纳）。
()
()
c o s s i n
iv
jm m m
iv
mm
m
Y Y Y
I I I
Y j e
VV
V
Y Y j Y
G j B
??
? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
其中 Y 导纳的模
导纳角，约定
Y? 9 0 9 0Y?? 剟
G 电导,B电纳。
对同一端口，在同一频率下 1Y
Z?
jBVGI
根据基尔霍夫定律的相量形式
1
1
[ ( ) ]
S R L C
V V V V R I j L I I
jC
R j L I Z I
C
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
欧姆定律的相量形式，称复数欧姆定律
输入阻抗 1
( ) ( )S LCVZ R j L R j X X
CI
?
?
? ? ? ? ? ? ?
2 2 1 2 2 1
1
1( ) t a n ( ) t a n LC
LC
L XX
CZ R L R X X
C R R
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?
??
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
ms
Z v i
m
VZZ
I? ? ?? ? ? ? ?
SVIRVLVCjL?
相量模型（符号电路）
从关系式中可以看到，阻抗 Z(j?)是一个复数，且是频
率 ? 的函数，即同一单口网络，对不同的频率 ?有不同
频率的阻抗。
频率 ? 一经确定，即激励正弦信号频率一经确定，单口
网络的阻抗也就被确定，且仅由元件参数和网络拓扑所
决定，并不随端口电压或电流的变化而变化。当电路参
数变化时，阻抗也随之而变，那么
当激励是电流
SI
，根据
SV Z I?
，响应 V
将随阻抗 Z的变化而变化；
当激励是电压 SV,根据 SVI
Z
?
，响应
I
也将随阻抗 Z的变化而变化
1( ) ( )
LCZ R j L R j X XC? ?? ? ? ? ? ?
这种变化，不仅有大小的变化（模的变化）
mmV Z I?
或 m
m
VI
Z?
也有相位的变化,?v=?Z-?i 或 ?i=?v-?Z
阻抗角 1 1t a n
Z v i
L
C
R
?
?? ? ? ?
?
? ? ?
反映了端口电压与电流的相位关系，从关系式中清楚
可见 ?Z的大小是由电路参数和网络拓扑所决定，在同
一频率 ?下，电路参数不同，电压和电流之间的相位差
也就不同。
从阻抗角的关系式中也可看出，在频率 ?一定时，不仅
相位差的大小决定于电路参数和电路拓扑，而且电流是
滞后电压还是超前电压也与电路参数和电路拓扑有关。
电压超前电流，阻抗是感性的
1 0
L C Z v iX X L C? ? ? ??? ? ?> > > >
1 0
L C Z v iX X L C? ? ? ??? ? ?< < < <
电压滞后电流，阻抗是容性的
1 0
L C Z v iX X L C? ? ? ??? ? ?= = = =
电压电流同相，阻抗是电阻性的
因此，在分析和计算交流电路时，必须时刻具有交流的
概念，其中首先要有相位概念，而相位关系又反映在阻
抗角上。它和阻抗的模一起被称为阻抗，阻抗反映了网
络本身的固有特性。
阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而
是一个复数计算量。
对同一端口来说 1R
G?
1X
B?
2 2 2 2
11
( ) ( )
R j X
Y
Z R j X R j X R j X
RX
j G j B
R X R X
?
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在串联情况下 在并联情况下
1
n
k
k
ZZ
?
? ?
1
n
k
k
YY
?
? ?
测量方法：从电压表和电流表上可读得电压电流的有
效值，用相位计可测得阻抗角 ?Z和导纳角 ?Y
正弦稳态电路的相量分析法
相量分析法也称符号法，主要步骤为,
将时域电路变换为相量模型即符号电路（有时
可省略相量电路模型图）
根据相量形式的基尔霍夫定律和支路关系，建
立电路方程，用复数运算法则求解方程。
将所得响应变量的相量，表示成时域中的实函
数形式。
在第 1~4章中提供的各种结论和方法：节点
法、网络法、网络定理等都可应用到相量分析
法中。
例 Si 1
i 2iC1R2R0v
右示电路，求 v0(t) 。已知
R1=3K,R2=1K,C=30?F,
( ) 2 ( s i n s i n 1 0 s i n 1 0 0 0 )Si t t t t? ? ?
解：频率为 ?的电流源 激励下的符号电路如下
SI
1
2
12
1 S
R
II
RR
jC?
?
??
① 当 ?=1rad/s时,
1 0 ( )SI m A??
12
01 22
12
9 0 8 3, 1 6
1 S
RR
V R I I
RR
jC
? ? ?
??
01 ( ) 2 [ 9 0 s i n ( 8 3, 1 6 ) ]v t t??
SI 1I 2I0V
1
jC?1R 2R
② 当 ?=10rad/s时
12
02 22
12
5 7 6 3 9, 8
1
10
S
RR
V R I I
RR
jC
? ? ? ?
??
02 ( ) 2 [ 5 7 6 s i n ( 1 0 8 9, 8 ) ]v t t??
③ 当 ?=1000rad/s时
12
03 22
12
7 5 0 0
1
1000
S
RR
V R I I
RR
jC
? ? ? ?
??
03 ( ) 2 [ 7 5 0 s i n 1 0 0 0 ]v t t?
根据叠加定理，总输出电压
0 0 1 0 2 0 3( ) ( ) ( ) ( )
2 [ 9 0 s i n ( 8 3, 1 6 ) 5 7 6 s i n ( 1 0 3 9, 8 ) 7 5 0 s i n 1 0 0 0 ]
v t v t v t v t
t t t
? ? ?
? ? ? ? ?
两个重要结论
线性电路中电源若包含多种频率的正弦信号，
则可应用叠加定理求各单一频率的正弦稳态响
应。对每一单一频率的信号，可用相量模型分
析。
此例电路，对 ?? 1000rad/s的正弦信号几乎能
够不失真地传输 (即输出变量与输入变量同相
位 )。对低频信号 (如 ?? 10rad/s)，输出变量与
输入变量有较大的相位差，而且这类电路对低
频信号有较大的衰减作用。在实际应用中往往
取较大的电容 C，用以改善对低频信号的传输
能力。
例 求正弦稳态响应：网孔电流 i1(t),i2(t)
31 0 2 sin 1 0 t1i 2i 12i
500 F?3?4mH
10 0?1I 2I 12I2j??3?4j ?
电路的相量模型如右图。根
据 KVL
1
12
103 4 4
4 4 2 2
Ijj
j j j II
?? ??????
?? ?????
???? ???? ?
??????
1
2
3 4 4 1 0
2 4 2 0
Ijj
jj
I
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? ? ? ???
?? ? ? ?
???? ? ? ?
????
1
1 0 4
02 2 0 2 0 9 0
1, 2 4 2 9, 7
3 4 4 8 1 4 1 6, 1 2 6 0, 3
2 4 2
j
j j
I
jj j
jj
?
?
? ? ? ?
?? ??
?
正弦稳态响应
1
1 0 4
02 2 0 2 0 9 0
1, 2 4 2 9, 7
3 4 4 8 1 4 1 6, 1 2 6 0, 3
2 4 2
j
j j
I
jj j
jj
?
?
? ? ? ?
?? ??
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2
3 4 1 0
2 4 0 2 0 4 0 4 4, 7 2 1 1 6, 6
2, 7 7 5 6, 3
8 1 4 8 1 4 1 6, 1 2 6 0, 3
j
j j
I
jj
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
31 ( ) 2 [ 1, 2 4 s i n ( 1 0 2 9, 7 ) ]i t t??
32 ( ) 2 [ 2, 7 7 s i n ( 1 0 5 6, 3 ) ]i t t??
例 求电阻中的电流
500j??IR
1 100 0V ??500j??1000j ?1000j ?2000 ?I
方法 1 由于是求电阻 R中的
电流，可应用戴维宁定理。 ocV IeqZR
①
②
1I ocV1V2I 由左下图可知
1
12
100 0, 2
1 0 0 0 5 0 0 5 0 0
VI I j
j j j? ? ? ? ??
根据 KVL 对红线回路有
211 0 0 0 ( 5 0 0 ) 0o cV j I j I? ? ? ?
15 0 0 3 0 0 0o cV j I? ? ?
由右图 eqZ?
( 5 0 0 ) ( 1 0 0 0 )2 2 0 0 0
1 0 0 0 5 0 0eq
jjZj
jj
?? ? ? ? ?
?
300
0, 1 0 6 4 5
2 0 0 0 2 0 0 0
o c
eq
V
I
Z R j
? ? ? ?
? ? ?
eqZ?
15 0 0 3 0 0 0o cV j I? ? ?
①
②
1I ocV1V2I
方法 2 用分压关系求开路电压相量
ocV
节点 ① 对地电压相量
1
1000 2 0 0 0
1 0 0 0 5 0 0
jVV
jj? ? ??①
节点 ② 对地电压相量
1
500 1 0 0 0
500
jVV
j
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②
3 0 0 0o cV V V? ? ? ?①②
300 0, 1 0 6 4 5
2 0 0 0 2 0 0 0
o c
eq
VI
Z R j
? ? ? ?
? ? ?
当 C1≠C2,L1≠L2的情况下，方法 2就体现出优越性，比
方法 1简洁。
①
②
1I ocV1 2I
