第七章 正弦稳态分析
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
正弦稳态电路的相量图解法
在正弦稳态电路分析中，有时利用相量图求解
比较方便。相量图作为一种几何方法，具有形
象直观的特点，若与解析方法配合使用，两者
能够相辅相承，更利于求解。
利用相量图分析正弦电路时，正确选择参考相
量（即初相位为零值的相量）是关键。一般情
况下，串联电路常以电流为参考相量，对并联
电路，常以各支路的公共电压为参考相量。
例 右图中安培计和伏特计
的读数已标出 (都是正弦量
的有效值 )，求安培计 A0和
伏特计 V0的读数。
10j??5j ?
5? CX0V 1V
0A
1A100V10A
① 考虑到电阻的电压相量
RV
与电流相量
RI
同相，电阻又与电感串联，故取
RLII?
为参考相量。 RI R
V①
② 电感电压
LV
超前电流
LI
90o,RI RV
② LV1V50 2①
且有效值 VL=VR，得
1 RLV V V??
于是有 5 0 2
RV ?
③
1 0 2RR VI R??
RI RV③
LV1V
10 250 2①
②
④ 电容 XC的电流相量 XCI
超前
1V
90o RI RV③
LV1V
10 250 2X CI ①
②④
IXC=10,RI R
V③ LV1V10 250 2X CI ① ②④ 0I⑤10100 XRCI I I??⑤
1 0 2RI ?
I0=10
j??5j ?5?CX0V1VA1A100V10A
电容电压相量
RI R
V③ L
V1V
10 250 2
X CI ① ②④ 0I⑤1010
CV100⑥C
V
落后电流相量
0I
90o,且 VC=100 R
I RV③
LV1V
10 250 2
X CI ① ②④ 0I⑤1010
CV100⑥
⑦ 0V
100 2
⑦ 总电压相量
01 CV V V??
得
0 1 0 0 2 1 4 1V ??
10j??5j ?5?CX0V1VA1A100V10A⑥
正弦稳态功率
就电路而言，本质上是研究信号的传输
及信号在传输过程中能量的转换情况。
这同样适合于正弦信号。因此，功率的
问题无疑是一个很重要的问题，特别是
在交流电路中，存在着电容、电感元件
与电源之间能量的往返交换，这是在纯
电阻电路中没有的现象，因此，交流电
路的功率分析较为复杂。
瞬时功率
设 ( ) c o s 2 c o smi t I t I t????
则电压 v(t) 是同频率的正弦量，只是相位上
有所不同。 ( ) c o s ( ) 2 c o s ( )
mv t V t V t? ? ? ?? ? ? ?
电路在任一瞬间所吸取的功率 (即瞬时功率 )
等于输入端的瞬时电流与瞬时电压的乘积。
p(t)=v(t)i(t)=2VIcos(?t+?)cos?t
=VIcos?+VIcos(2?t+?)
式中 ? 为电路输入端电压超前电流的相位，
即电路的等效阻抗的阻抗角 (?=?Z),VI为有
效值，注意,-90o? ?Z? 90o 。
电路的瞬时功率可看成两个分量的迭加，其一为恒定
分量 VIcos?，另一为简谐分量 VIcos(2?t+?),简谐分量
的频率是电压或电流频率的 2倍。
由于电压、电流不同相，在每个周期内，当它们为正或
负时，功率为正 (p>0)，电源对电路作正功,能量从电源
送往电路，当电压、电流的符号相反，功率为负 (p<0),
电源对电路作负功，能量由电路释放送回电源，这就是
电源与电路间的能量往返交换。
,,v i p
c osVI ?
0p ? 0p ?0p ?0p ?
0 tpv vi
电源与电路间的能量往返交换，这种现象在纯电阻电
路电路中是不可能存在的，是由不耗能的储能元件
电容、电感造成的。 ()itvtR
若无源网络是纯电阻网络，网络的
阻抗角 ?=0,即电压、电流同相位，
pR(t)=VI(1+cos2?t)? 0
对电阻而言，任何时候的瞬时功率
都是正的，电阻总是耗能的。
若无源网络可用一个纯电容替换,网
络阻抗角 ?=-90o即电流超前电压 90o,
pC(t)=VIcos(2?t-90o)
在一周期内,半周期 p>0,电源将能量
输入电容,有半周期 p<0,电容将能量
吐还给电源，总能量为 0。
()itvtC
若无源网络是个电感,网络的阻
抗角 ?=90o,电压超前电流 90o
pL(t)=VIcos(2?t+90o)
能量的情况与电容一样。
由三角公式 c o s ( ) c o s c o s s i n s i n? ? ? ? ? ???
瞬时功率计算公式可分解成
( ) ( )
( ) c o s c o s c o s 2 s i n s i n 2
RXp t p t
p t V I V I t V I t? ? ? ? ?? ? ?
pR(t)= VIcos?(1+ cos2?t)? 0,说明在能量传输上不
改变方向,只有大小变化,这分量的大小表示电路能
量消耗的快慢程度，即电路等效阻抗电阻部分吸收
的瞬功率,称之为有功分量。
()itvtL
pX(t)= -VIsin?sin2?t,是瞬时功率的交变分量。曲线
与横坐标所用面积为电源与电路储能元件间吸收和
释放的能量，这分量代表电源与电路间能量往返交
换的速率，在平均意义上说是不作功的无功分量，
为电路等效阻抗电抗部分的瞬时功率。
( ) ( )
( ) c o s c o s c o s 2 s i n s i n 2
RXp t p t
p t V I V I t V I t? ? ? ? ?? ? ?
Rpp
c osVI ?1t 2t 3t 4tXp
p p t0
平均功率（有功功率）
电路中一般总有电阻，尽管电路的瞬时功率有正
有负，但在一个周期内，电路总是消耗功率的，
因此，电路吸收的平均功率一般恒大于零。
00
11 ( ) [ ( ) ( ) ] c o sTT
a v R XP p t d t p t p t d t V ITT ?? ? ? ???
其实平均功率就是电路瞬时功率的有功分量的平
均值（又等于瞬时功率有功分量交变部分的极大
值），因此，平均功率又称有功功率，简称功率，
单位：瓦 (W),千瓦 (KW)。
Pav=VIcos?表明正弦交流电路的有功功率，并不等于
电压有效值与电流有效值的乘积，还要乘上 cos?，打
一个折扣。 cos?称功率因数，其中 ? 称功率因数角。
其实 ? 就是阻抗角，它完全是由电路参数和拓扑结构
所决定，是由电感、电容引起的。
电感、电容在电路中并不消耗能量，但会在电路中与
电源出现能量往返交换现象，使电路的功率因数低于
纯电阻电路的功率因数 cos?=1，由
在相同电压作用下，为使负载获得相同功率，功率因
数越低，所需电流越大，加重了电源电流的负担。
c o s
avPI
V ??
如能改变阻抗角 (?→0 )就能减小电流。一般用电器是
感性的，因此常用并联电容来减小阻抗角。
无功功率
电路与电源往返交换能量的多少，与电路瞬时功率无
功分量的极大值 VIsin?有关，此值越大，则瞬时功率
无功分量波形的正负半周与横轴间构成的面积越大，
往返交换的能量也越多，因此，定义 Q 为无功功率
s inQ V I ?
无功功率表示电路与电源间往返交换能量的最大速率，
式中 sin?称无功因数。
无功功率的单位为无功伏安，简称乏 (VAR)、也可用
千乏 (KVAR)
视在功率 ?SQP
每个用电设备或用电器件,都有在一定条件下的安全
运行限额，即额定电压 V，额定电流 I,(VI都是有效
值 )，于是 S=VI称 S为视在功率，视在功率的单位为
伏安 (VA)、千伏安 (KVA)。
由于 S=VI,P=VIcos?,Q=VIsin?,
22S P Q??
可用功率三角形表示
在功率三角形中,功率因数角也是阻抗角，因此，阻
抗三角形、电压三角形与功率三角形相似。
?ZXR?ZVRVXV
复功率
视在功率、有功功率、无功功率和功率因数角，可以
用复功率来统一表示。
设任意单口电路的电流,电压为
( ) c o s ( ) 2 c o s ( )m i ii t I t I t? ? ? ?? ? ? ?
( ) c o s ( ) 2 c o s ( )m v vv t V t V t? ? ? ?? ? ? ?
ijI Ie ??
vjV V e ??
令 I? 为 I 的共轭复根,
ijI Ie ?
? ??,则复功率
() c o s s i nvij jS V I V I e V I e V I j V I P j Q?? ? ??? ?? ? ? ? ? ?
P为有功功率,Q为无功功率,
SS? 模为视在功率,
?为阻抗角，即功率因数角。
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
正弦稳态电路的相量图解法
在正弦稳态电路分析中，有时利用相量图求解
比较方便。相量图作为一种几何方法，具有形
象直观的特点，若与解析方法配合使用，两者
能够相辅相承，更利于求解。
利用相量图分析正弦电路时，正确选择参考相
量（即初相位为零值的相量）是关键。一般情
况下，串联电路常以电流为参考相量，对并联
电路，常以各支路的公共电压为参考相量。
例 右图中安培计和伏特计
的读数已标出 (都是正弦量
的有效值 )，求安培计 A0和
伏特计 V0的读数。
10j??5j ?
5? CX0V 1V
0A
1A100V10A
① 考虑到电阻的电压相量
RV
与电流相量
RI
同相，电阻又与电感串联，故取
RLII?
为参考相量。 RI R
V①
② 电感电压
LV
超前电流
LI
90o,RI RV
② LV1V50 2①
且有效值 VL=VR，得
1 RLV V V??
于是有 5 0 2
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③
1 0 2RR VI R??
RI RV③
LV1V
10 250 2①
②
④ 电容 XC的电流相量 XCI
超前
1V
90o RI RV③
LV1V
10 250 2X CI ①
②④
IXC=10,RI R
V③ LV1V10 250 2X CI ① ②④ 0I⑤10100 XRCI I I??⑤
1 0 2RI ?
I0=10
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电容电压相量
RI R
V③ L
V1V
10 250 2
X CI ① ②④ 0I⑤1010
CV100⑥C
V
落后电流相量
0I
90o,且 VC=100 R
I RV③
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X CI ① ②④ 0I⑤1010
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⑦ 0V
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⑦ 总电压相量
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得
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10j??5j ?5?CX0V1VA1A100V10A⑥
正弦稳态功率
就电路而言，本质上是研究信号的传输
及信号在传输过程中能量的转换情况。
这同样适合于正弦信号。因此，功率的
问题无疑是一个很重要的问题，特别是
在交流电路中，存在着电容、电感元件
与电源之间能量的往返交换，这是在纯
电阻电路中没有的现象，因此，交流电
路的功率分析较为复杂。
瞬时功率
设 ( ) c o s 2 c o smi t I t I t????
则电压 v(t) 是同频率的正弦量，只是相位上
有所不同。 ( ) c o s ( ) 2 c o s ( )
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电路在任一瞬间所吸取的功率 (即瞬时功率 )
等于输入端的瞬时电流与瞬时电压的乘积。
p(t)=v(t)i(t)=2VIcos(?t+?)cos?t
=VIcos?+VIcos(2?t+?)
式中 ? 为电路输入端电压超前电流的相位，
即电路的等效阻抗的阻抗角 (?=?Z),VI为有
效值，注意,-90o? ?Z? 90o 。
电路的瞬时功率可看成两个分量的迭加，其一为恒定
分量 VIcos?，另一为简谐分量 VIcos(2?t+?),简谐分量
的频率是电压或电流频率的 2倍。
由于电压、电流不同相，在每个周期内，当它们为正或
负时，功率为正 (p>0)，电源对电路作正功,能量从电源
送往电路，当电压、电流的符号相反，功率为负 (p<0),
电源对电路作负功，能量由电路释放送回电源，这就是
电源与电路间的能量往返交换。
,,v i p
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电源与电路间的能量往返交换，这种现象在纯电阻电
路电路中是不可能存在的，是由不耗能的储能元件
电容、电感造成的。 ()itvtR
若无源网络是纯电阻网络，网络的
阻抗角 ?=0,即电压、电流同相位，
pR(t)=VI(1+cos2?t)? 0
对电阻而言，任何时候的瞬时功率
都是正的，电阻总是耗能的。
若无源网络可用一个纯电容替换,网
络阻抗角 ?=-90o即电流超前电压 90o,
pC(t)=VIcos(2?t-90o)
在一周期内,半周期 p>0,电源将能量
输入电容,有半周期 p<0,电容将能量
吐还给电源，总能量为 0。
()itvtC
若无源网络是个电感,网络的阻
抗角 ?=90o,电压超前电流 90o
pL(t)=VIcos(2?t+90o)
能量的情况与电容一样。
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改变方向,只有大小变化,这分量的大小表示电路能
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的瞬功率,称之为有功分量。
()itvtL
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与横坐标所用面积为电源与电路储能元件间吸收和
释放的能量，这分量代表电源与电路间能量往返交
换的速率，在平均意义上说是不作功的无功分量，
为电路等效阻抗电抗部分的瞬时功率。
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平均功率（有功功率）
电路中一般总有电阻，尽管电路的瞬时功率有正
有负，但在一个周期内，电路总是消耗功率的，
因此，电路吸收的平均功率一般恒大于零。
00
11 ( ) [ ( ) ( ) ] c o sTT
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其实平均功率就是电路瞬时功率的有功分量的平
均值（又等于瞬时功率有功分量交变部分的极大
值），因此，平均功率又称有功功率，简称功率，
单位：瓦 (W),千瓦 (KW)。
Pav=VIcos?表明正弦交流电路的有功功率，并不等于
电压有效值与电流有效值的乘积，还要乘上 cos?，打
一个折扣。 cos?称功率因数，其中 ? 称功率因数角。
其实 ? 就是阻抗角，它完全是由电路参数和拓扑结构
所决定，是由电感、电容引起的。
电感、电容在电路中并不消耗能量，但会在电路中与
电源出现能量往返交换现象，使电路的功率因数低于
纯电阻电路的功率因数 cos?=1，由
在相同电压作用下，为使负载获得相同功率，功率因
数越低，所需电流越大，加重了电源电流的负担。
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如能改变阻抗角 (?→0 )就能减小电流。一般用电器是
感性的，因此常用并联电容来减小阻抗角。
无功功率
电路与电源往返交换能量的多少，与电路瞬时功率无
功分量的极大值 VIsin?有关，此值越大，则瞬时功率
无功分量波形的正负半周与横轴间构成的面积越大，
往返交换的能量也越多，因此，定义 Q 为无功功率
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无功功率表示电路与电源间往返交换能量的最大速率，
式中 sin?称无功因数。
无功功率的单位为无功伏安，简称乏 (VAR)、也可用
千乏 (KVAR)
视在功率 ?SQP
每个用电设备或用电器件,都有在一定条件下的安全
运行限额，即额定电压 V，额定电流 I,(VI都是有效
值 )，于是 S=VI称 S为视在功率，视在功率的单位为
伏安 (VA)、千伏安 (KVA)。
由于 S=VI,P=VIcos?,Q=VIsin?,
22S P Q??
可用功率三角形表示
在功率三角形中,功率因数角也是阻抗角，因此，阻
抗三角形、电压三角形与功率三角形相似。
?ZXR?ZVRVXV
复功率
视在功率、有功功率、无功功率和功率因数角，可以
用复功率来统一表示。
设任意单口电路的电流,电压为
( ) c o s ( ) 2 c o s ( )m i ii t I t I t? ? ? ?? ? ? ?
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令 I? 为 I 的共轭复根,
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() c o s s i nvij jS V I V I e V I e V I j V I P j Q?? ? ??? ?? ? ? ? ? ?
P为有功功率,Q为无功功率,
SS? 模为视在功率,
?为阻抗角，即功率因数角。
