2005.5 北京大学物理学院王稼军编
§ 10 谐振电路
p398 5-67,68
R,L,C串联谐振电路
串联电路
矢量图
2222 )1()(
CLRIUUUU CLR
22 )1(
CLRI
UZ
R
C
L
tg
U
UUtg
R
Cl?
1
11
2005.5 北京大学物理学院王稼军编谐振现象
R,L,C串联 电路 振动系统
电源 周期性策动力
电源的频率与系统的固有频率一致时,发生谐振 （ 共振 ） 相当于速度共振
RZ
C
L
RZ
C
L
RZ
C
L
,0
1
,0
1
,0
1
2222 )1()(
CLRIUUUU CLR
0=2?f时 阻抗达到 极小值，此 时 电流 I达到 极大值 —— 谐振现象，
谐振条件
2005.5 北京大学物理学院王稼军编谐振时的特征
谐振频率
满足谐振条件的频率
LCfLCLC 2
1,1,1
00
2
0
固有频率 由电路中的 L,C的量值决定，即 由电路本身的性质决定
总电压与总电流的相位关系
R
C
L
tg?
1
1
U落后 I U超前 IU与 I同相位
2005.5 北京大学物理学院王稼军编谐振时的特征
总阻抗、总电流
谐振时 总阻抗极小 Z＝ R
总电流极大 Im=U/R
电压分配
总电压 U＝ UR＝ IR
这是否说明此时电感,电容上没有电压？
实际上，谐振时,L,C上的电压往往比总电压大几倍到几十倍
LRUZIU LmL 0
CR
UZIU
CmC
0?
URIU mR
QR LRZCRRZUUUU LCLC 0
0
1?
品质因数也叫
Q值
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
Q值的物理意义
品质因数是衡量谐振电路好坏的参量，其物理意义是多方面的
储能和耗能和 Q值的第一种物理意义
在 R,L,C串联电路中，电阻是耗能元件，而电感和电容是储能元件，在交流电一个周期内
TRIW R 2? )(
2
1)(
2
1 22 tCutLiW
CS
tIti?c o s)( 0?
电阻耗能 在 C,L中总储能
tCItCIu c s i n)2c o s ( 00
]s i n1c o s[21 22220 tCtLIW S
作周期性变化
LC
1
0
2
2
0
2
2
02
1
mS LIC
ILIW
不再随时间变化
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
WR与 WS之比
总储能 WS就是在谐振状态下，稳定地储能在电路中的电、
磁能
这能量是在谐振电路开始接通是经历的暂态过程中由外电路输入给它的
达到稳定后，为了维持稳定的振荡，外电路要不断地输入能量以补充电阻上的耗能 WR
WR与 WS之比反映了一个谐振电路储能的效率
2
2
0
2
2
02
1
mS LIC
ILIW
22
11
2
1
2
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Q
R
L
RC
RCC R TTRI
C
I
W
W
R
S
R
S
W
WQ?2?
Q值等于谐振电路中储存的能量与每个周期内消耗能量之比的 2π倍
Q 值高 —— 相对于储存的能量来说所需付出的能量耗散越少 。
2005.5 北京大学物理学院王稼军编频率的选择性和 Q值的第二种物理意义
如图,Q值越大，
谐振峰越尖锐，电路的频率选择性能越好
通频带宽度,Im的
70％处频率之间的宽度 △ f=|f1-f2|
f
fQ
0
证明
212121 ZZIIff,，、、,对应的电流和阻抗为设
R
UIII m
2
1
221 RI
U
I
UZZ 2
21
21
2
0
0
2
02 1)1(1
R
LR
cRR
LRZ
f 2?
00 2 f
R
LQ 0
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
两式相加，消去因子 (f1+f2),得
2
0
0
2
01
R
LRz 20
0
21
f
f
f
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1
2
0
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,1
或
Q
ffff 022
0
2
2
同样处理
fQfff 012
Q值越大,?f越小,谐振峰越尖锐,频率选择性能也越好 —— Q值的第二种物理意义 。
Q值越高,△ f越小电路的选择性能越好
2005.5 北京大学物理学院王稼军编电压分配和 Q值的第三种物理意义
Q值标志了谐振电路中电感,或电容上电压与总电压的比值
Q值越大，电感和电容上的电压与总电压之比越大
例如：一谐振电路的 Q＝ 100，
若测得 U＝ 5V,则 UL＝ UC＝ 500V
U
U
U
UQ LC
2005.5 北京大学物理学院王稼军编并联谐振
电路计算结果
222
22
)()1(
)(
CRLC
LRZ
R
LRCLtg ])([ 221
值均与有关在某个特定的频率 f0下,Z,?
也达到极值
谐振条件和频率 0?
0])([ 22 LRCL
0
2
0 2
1 f
L
R
LC
2
0
1
2
1?
L
R
LC
f
R很小时 LCf 1210
0也是解，但属于低频，不可能发生谐振
2005.5 北京大学物理学院王稼军编并联谐振
总阻抗、总电流
将 f0代入总阻抗 Z的表达式,可以看出谐振时,总阻抗达到极大 Zm；总电流达到极小 Im=U/Zm。
其实 Z为极大时,对应的频率应为 2
0
1
2
1?
L
R
LCf? 22
0
211
2
1'?
L
R
L
CR
LCf? '
00 ff?
是R 很小的条件'00 ff?
总电压与总电流的相位关系
U落后 I，
呈容性
U与 I同相位呈电阻性U超前 I，
呈感性
2005.5 北京大学物理学院王稼军编并联谐振
谐振时电流分配
由矢量图可见，总电流
I0很小,IC,IL很大
谐振时，两支路电流几乎为总电流的 Q倍
谐振电路在电子技术中有广泛的应用，特别是作为主要电路应用于选频放大器、振荡器、
滤波器中
Q
R
L
C
CRL
Z
Z
ZU
ZU
I
I
C
cc 0
0
0
00 /1
/
/
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思考题
§ 10 谐振电路
p398 5-67,68
R,L,C串联谐振电路
串联电路
矢量图
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1
11
2005.5 北京大学物理学院王稼军编谐振现象
R,L,C串联 电路 振动系统
电源 周期性策动力
电源的频率与系统的固有频率一致时,发生谐振 （ 共振 ） 相当于速度共振
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C
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0=2?f时 阻抗达到 极小值，此 时 电流 I达到 极大值 —— 谐振现象，
谐振条件
2005.5 北京大学物理学院王稼军编谐振时的特征
谐振频率
满足谐振条件的频率
LCfLCLC 2
1,1,1
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固有频率 由电路中的 L,C的量值决定，即 由电路本身的性质决定
总电压与总电流的相位关系
R
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1
1
U落后 I U超前 IU与 I同相位
2005.5 北京大学物理学院王稼军编谐振时的特征
总阻抗、总电流
谐振时 总阻抗极小 Z＝ R
总电流极大 Im=U/R
电压分配
总电压 U＝ UR＝ IR
这是否说明此时电感,电容上没有电压？
实际上，谐振时,L,C上的电压往往比总电压大几倍到几十倍
LRUZIU LmL 0
CR
UZIU
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0
1?
品质因数也叫
Q值
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
Q值的物理意义
品质因数是衡量谐振电路好坏的参量，其物理意义是多方面的
储能和耗能和 Q值的第一种物理意义
在 R,L,C串联电路中，电阻是耗能元件，而电感和电容是储能元件，在交流电一个周期内
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电阻耗能 在 C,L中总储能
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不再随时间变化
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
WR与 WS之比
总储能 WS就是在谐振状态下，稳定地储能在电路中的电、
磁能
这能量是在谐振电路开始接通是经历的暂态过程中由外电路输入给它的
达到稳定后，为了维持稳定的振荡，外电路要不断地输入能量以补充电阻上的耗能 WR
WR与 WS之比反映了一个谐振电路储能的效率
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Q值等于谐振电路中储存的能量与每个周期内消耗能量之比的 2π倍
Q 值高 —— 相对于储存的能量来说所需付出的能量耗散越少 。
2005.5 北京大学物理学院王稼军编频率的选择性和 Q值的第二种物理意义
如图,Q值越大，
谐振峰越尖锐，电路的频率选择性能越好
通频带宽度,Im的
70％处频率之间的宽度 △ f=|f1-f2|
f
fQ
0
证明
212121 ZZIIff,，、、,对应的电流和阻抗为设
R
UIII m
2
1
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2005.5 北京大学物理学院王稼军编
两式相加，消去因子 (f1+f2),得
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同样处理
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Q值越大,?f越小,谐振峰越尖锐,频率选择性能也越好 —— Q值的第二种物理意义 。
Q值越高,△ f越小电路的选择性能越好
2005.5 北京大学物理学院王稼军编电压分配和 Q值的第三种物理意义
Q值标志了谐振电路中电感,或电容上电压与总电压的比值
Q值越大，电感和电容上的电压与总电压之比越大
例如：一谐振电路的 Q＝ 100，
若测得 U＝ 5V,则 UL＝ UC＝ 500V
U
U
U
UQ LC
2005.5 北京大学物理学院王稼军编并联谐振
电路计算结果
222
22
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LRZ
R
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值均与有关在某个特定的频率 f0下,Z,?
也达到极值
谐振条件和频率 0?
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0也是解，但属于低频，不可能发生谐振
2005.5 北京大学物理学院王稼军编并联谐振
总阻抗、总电流
将 f0代入总阻抗 Z的表达式,可以看出谐振时,总阻抗达到极大 Zm；总电流达到极小 Im=U/Zm。
其实 Z为极大时,对应的频率应为 2
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L
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总电压与总电流的相位关系
U落后 I，
呈容性
U与 I同相位呈电阻性U超前 I，
呈感性
2005.5 北京大学物理学院王稼军编并联谐振
谐振时电流分配
由矢量图可见，总电流
I0很小,IC,IL很大
谐振时，两支路电流几乎为总电流的 Q倍
谐振电路在电子技术中有广泛的应用，特别是作为主要电路应用于选频放大器、振荡器、
滤波器中
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思考题
