作业
2-4,2-8
第二章 导热基本定律及稳态导热
2-1 导热基本定律
1、温度场
傅立叶定律为：,为求通过物体的热流量必须
知道物体内部的温度分布。一般地讲，物体的温度分布是坐标
和时间的函数，即
),z,y,x(ft ??
（ 2-1)
定义,物体内部存在着温度的空间，称为 温度场 。
分类,温度场有两大类。一类是稳态工作条件下的温度场，称
为 稳态温度场 (或称 定常温度场 )。另一类是变动工作条件下的
温度场，称为 非稳态温度场 （或称 非定常温度场 ）。
dx
dtA????
稳态温度分布的表达式简化为
)z,y,x(ft ? （ 2-2）
如图 1-1所示,如果物体的温
度仅在一个坐标方向上有变
化，这种情况下的温度场称
为 一维稳态温度场 。 图 1-1通过平板的一维导热
等温面, 温度场中同一瞬间同温度各点连成的面称为等温面。
在任何一个二维的截面上等温面表现为等温线。图 2-1是用等
温线图表示温度场的实例。
等温线的特点, 物体中的任一条等温线要么形成一个封闭
的曲线，要么终止在物体表面上，它不会与另一条等温线相
交。
图 2-1 温度场的图示
说明,当等温线图上
每两条相邻等温线间的
温度间隔相等时，等温
线的疏密可直观地反映
出不同区域导热热流密
度的相对大小 。
2、导热基本定律
更一般情况下的傅里叶定律如下：
x
t~
A ?
??
引入比例常数后一般的数学表达式如下：
x
tA
?
????? （ 2-3）
这就是比式 (1-1)的适用范围更广的导热基本定律 (又称傅里叶
定律 )的数学表达式 。
傅里叶定律用热流密度 q表示时有下列形式,
x
tq
?
???? (2-4)
当物体的温度是三个坐标的函数时，热流密度是一个矢量，
此时，傅里叶定律的热流密度矢量的一般形式为,
nntg r a d tq ?? ????????
(2-5)
图 2-2a表示了微元面积 dA附近的温度分布及垂直于该
微元面积的热流密度矢量。在图 2-2b中，虚线表示热流线，
相邻两条热流线之间沿热流线所传递的热流量处处相等，相
当于构成了一个热流通道。
在整个物体中,热流密度矢量的走向可以用热流线来
表示 。 热流线
是一组与等温
线处处垂直的
曲线，通过平
面上任一点的
热流线与该点
的热流密度矢
量相切 。 图 2-2二维等温线与热流线
3、导热系数
导热系数数学定义的具体形式为：
n
x
t
q
?
?
??? （ 2-6）
实际物体导热系数的数学关系式为：
)bt1(0 ????
说明,在工程实用计算中，在比较广阔的温度区间内大多数
材料的导热系数都容许采用上述线性近似关系计算。图 2-3示
出了物质导热系数对温度的依变关系 。
图 2-3 导热系数对温度的
依变关系
习惯上把导热系数小的材料称为 保温材料 (又称隔热材
料或绝热材料 ) 。我国标准规定，凡平均温度不高于 350
时导热系数不大于 0·12W/(m·K)的材料称为保温材料 。保温
材料出厂时一般都附有厂家提供的导热系数的数据 。
有一些材料，像木材、石墨以及上述多层抽真空结构
的超级保温材料等，它们各向的结构不同，因此不同方向上
的导热系数也有很大差别，这些材料称为 各向异性材料 。对
于各向异性材料，导热系数值必须指明方向才有意义。
C0
2-2 导热微分方程式及定解条件
为求出通过导热物体内的热流量,必须给出定解条件以及物
体内部的温度分布,即温度场。
可以根据能量守恒定律与傅里叶定律建立导热物体中的
温度场应当满足的数学关系式，称为 导热微分方程 。为此，
我们从导热物体中取出一个任意的微元平行六面体来作这种
分析。假定导热物体是各向同性的 。
如图 2-4中 及 所示。
通过 x=x,y=y,z=z三个微元表面
而导入微元体的热流量可根据傅里
叶定律写出为：
yx ??, z?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
????
?
?
????
dydx
z
t
dxdz
y
t
dydz
x
t
z
y
x
(a)
通过 三个表面导出微元体的热流
量亦可按傅里叶定律写出如下,
、dxx ?,dyy ? dzz?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
???
?
??
????
?
?
??
?
?
???
?
??
????
?
?
??
?
?
???
?
??
????
?
?
?
dz)d x d y
z
t
(
z
dz
z
dy)d x d z
y
t
(
y
dy
y
dx)d y d z
x
t
(
x
dx
x
zzdzz
yydyy
xxdxx
(b)
对于微元体，在任一时间间隔内有以下热平衡关系,
导入微元体的总热流量十微元体内热源
的生成热
=导出微元体的总热流量十微元体热力学
能 (即内能 )的增量
(c)
将式 (a),(b),(d)及 (e)代入 (c)，经整理得
???
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
??
?? )
z
t(
z)y
t(
y)x
t(
x
tc （ 2-7）
式 (2-7)的简化形式
(1)导热系数为常数
此时式 (2-7)化为
c
)
z
t
y
t
x
t(t
2
2
2
2
2
2
?
??
?
??
?
??
?
???
??
?
?(2-8)
微元体内热源的生成热 = dxdydz?? (e)
微元体热力学能的增量 = d x d y d ztc
??
?? (d)
式中，,称为热扩散率。物理意义见书 28
(2)导热系数为常数、无内热源
此时式 (2-8)简化为
)c/( ????
)
z
t
y
t
x
t(t
2
2
2
2
2
2
?
??
?
??
?
???
??
? (2-9)
(3)导热系数为常数、稳态
此时式 (2-8)可改写为
0
z
t
y
t
x
t
2
2
2
2
2
2
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?(2-10)
数学上，式 (2-10)称为泊松 (Poisson)方程，是常物性、稳态、
三维且有内热源问题的温度场控制方程式。
(4)导热系数为常数、无内热源、稳态
这时式 (2-9)简化成为以下拉普拉斯 (Laplace)方程,
0z ty tx t 2
2
2
2
2
2
?????????
（ 2-11）
参照图 2-5可以求出圆柱坐标系及球坐标系中的导热微分
方程。圆柱坐标系 (图 2-5a)为：
???
?
??
?
??
??
??
??
??
?
??
?
??
??
?? )
z
t(
z)
t(
r
1)
r
tr(
rr
1tc
2
(2-12)
图 2-5圆柱坐标系与球坐标系中的微元体
球坐标系（图 2-5b）
?
??
??
?
??
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
)
t
s in(
s inr
1
)
t
(
s inr
1
)
r
t
r(
rr
1t
c
2
22
2
2
(2-13)
对于具体情况，上面推导出的导热微分方程可以简化。
如对导热系数为常数、无内热源的一维稳态导热问题，式 (2-
7)最终简化成为
0dx td 2
2
?
（ 2-14）
如同求解高等数学上的微分方程一样，如果不给定一定
的条件，求得的解只能是通解。为求得某个条件下的特解，
必须给出一定的条件。对于传热学来说，这些使微分方程获
得适合某一特定问题的解的附加条件，称为 定解条件 。对 非
稳态导热 问题,定解条件有两个方面,即给出初始时刻温度
分布的 初始条件,以及给出导热物体边界上温度或换热情况
的 边界条件。
对于稳态导热问题，定解条件没有初始条件，仅有边界
条件。
导热问题的常见边界条件可归纳为以下三类,
(1)规定了边界上的温度值,称为第一类边界条件 。如规定
边界温度保持常数，即 常量。对于非稳态导热，这类边
界条件要求给出以下关系式,
?wt
0?? 时 )(ft
1w ??
(2-15)
(2)规定了边界上的热流密度值，称为 第二类边界条件 。如规
定边界上的热流密度保持定值，即 常数。?
wq
对于非稳态导热，这类边界条件要求给出以下关系式：
0?? 时 )(f)
n
t(
2w ???
??? （ 2-16）
式中,n为表面 A的外法线方向。
(3)规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数 h及周围
流体的温度,称为 第三类边界条件 。第三类边界条件可表
示为
ft
)tt(h)nt( fww ??????
(2-17)
在非稳态导热时，式中 h及 均可为时间的函数 。ft
2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其他变截面物体
的导热
1、通过平壁的导热
已知图 2-6所示，边界条件为
0x ? 时 1tt ? (a)
??x 时 2tt ? (b)
试解出温度分布，并确定 的具
体关系。
),,t,t(fq 21 ???
c onst??
0dx td 2
2
?
令,无内热源的一维稳态导热微分方程式
其通解为
21 cxct ??
(c)
由边界条件式确定积分常数，最后解得温度分布为：
1
12 txttt ?
?
??
(d)
?
?? 12 tt
dx
dt
(e)
21 tt,、?
由于 都是定值，所以温度成线性分布。
即
将式 (e)的关系代入傅里叶定律式：
dx
dtq ???
即可得热流密度的具体函数表达式：
tttq 21 ????????
（ 2-18）
对于表面积为 A，且两侧表面各自维持均匀温度的平板，
则有
tA ?????
(2-19)
热量传递、电量的转移、动量的转移、质量的转移有类
似之处。各种转移过程的共同规律性可归结为：
过程中的转移量 =
过程的阻力
过程的动力
在电学中，这种规律性就是欧姆定律，即
R
UI?
分母 为转移过程的阻力，称为热阻。
在平板导热中，与之相对应的表达式可从式 (2-19)的下列改
写形式中得出：
)A/(
t
??
??? (2-21)
)A/( ??
多层壁, 就是由几层不同材料叠在一起组成
的复合壁。
图 2-7所示为一个三层的多层壁，已知条
件如图所示。假定层与层之间接触良好，没
有引入附加热阻 (这种附加热阻称为接触热阻 )，
因此通过层间分界面就不会发生温度降落。
各层的面积热阻表达式如下,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
343
2
232
1
121
?
?
?
?
?
?
q
tt
q
tt
q
tt
(f)
应用串联过程的热阻叠加原理，的总热阻数学函数式：
3
3
2
2
1
141
q
tt
?
??
?
??
?
???
于是，可导得热流密度的计算公式
3
3
2
2
1
1
41 ttq
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? (2-22)
依次类推,n层多层壁的计算公式是
?
?
?
?
?
?
?
n
1i i
i
1n1 ttq
(2-23)
坐标系,这就成为沿半径方向的一维导热问题。为便
于分析，先假设材料的导热系数 等于常数。
解得热流密度后，层间分界
面上的末知温度
就可利用式 (f)求出。例如
32 tt,
1
1
12 qtt ?
??? (2-24)
2、通过圆筒壁的导热
考察一个内外半径分别为 的
圆筒壁，条件如图 2-8所示。采用圆柱
21 rr、
z),r,?（
?
导热微分方程式（ 2-12)经简化变为
0)drdtr(drd ?
（ 2-25）
边界条件的表达式为
1rr ?
时
1tt ?
(g)
2rr ?
时
2tt ?
(h)
对式 (2-25)积分两次，得其通解为
21 crlnct ??
(i)
由边界条件确定方程的系数。最终得：
)r/rln ()r/rln ( tttt 1
12
12
1
??? (2-26)
对式（ 2-26）求导数可得
)r/rln (
tt
r
1
dr
dt
12
12 ??
代入傅里叶定律得
)r/rln (
tt
rdr
dtq
12
21 ??????
（ 2-27）
对式（ 2-27）两边各乘以 求出通过整个圆筒壁面的
热流量。
rl2?
)/ln (
)(22
12
21
rr
ttlr l q ???????
（ 2-28）
根据热阻的定义，通过整个圆筒壁
的导热热阻为
l
ddtR
????
??
2
)/ln ( 12 （ 2-29）
与分析多层平壁一样，运用串联热阻叠加
的原则，可得通过图 2-9所示多层圆筒壁的导
热热流量。
334223112
41
/)d/dl n (/)d/dl n (/)d/dl n (
)tt(l2
?????
???? （ 2-30）
3、通过球壳的导热
对于内、外表面维持均匀恒定温度的空心球壁的导热，
在球坐标系中也是一个一维导热问题。相应的计算公式为
温度分布
21
2
212 r/1r/1
r/1r/1)tt(tt
?
????
热流量
21
21
r/1r/1
)tt(4
?
?????
热阻
)r/1r/1(4 1R 21 ????
2-4,2-8
第二章 导热基本定律及稳态导热
2-1 导热基本定律
1、温度场
傅立叶定律为：,为求通过物体的热流量必须
知道物体内部的温度分布。一般地讲，物体的温度分布是坐标
和时间的函数，即
),z,y,x(ft ??
（ 2-1)
定义,物体内部存在着温度的空间，称为 温度场 。
分类,温度场有两大类。一类是稳态工作条件下的温度场，称
为 稳态温度场 (或称 定常温度场 )。另一类是变动工作条件下的
温度场，称为 非稳态温度场 （或称 非定常温度场 ）。
dx
dtA????
稳态温度分布的表达式简化为
)z,y,x(ft ? （ 2-2）
如图 1-1所示,如果物体的温
度仅在一个坐标方向上有变
化，这种情况下的温度场称
为 一维稳态温度场 。 图 1-1通过平板的一维导热
等温面, 温度场中同一瞬间同温度各点连成的面称为等温面。
在任何一个二维的截面上等温面表现为等温线。图 2-1是用等
温线图表示温度场的实例。
等温线的特点, 物体中的任一条等温线要么形成一个封闭
的曲线，要么终止在物体表面上，它不会与另一条等温线相
交。
图 2-1 温度场的图示
说明,当等温线图上
每两条相邻等温线间的
温度间隔相等时，等温
线的疏密可直观地反映
出不同区域导热热流密
度的相对大小 。
2、导热基本定律
更一般情况下的傅里叶定律如下：
x
t~
A ?
??
引入比例常数后一般的数学表达式如下：
x
tA
?
????? （ 2-3）
这就是比式 (1-1)的适用范围更广的导热基本定律 (又称傅里叶
定律 )的数学表达式 。
傅里叶定律用热流密度 q表示时有下列形式,
x
tq
?
???? (2-4)
当物体的温度是三个坐标的函数时，热流密度是一个矢量，
此时，傅里叶定律的热流密度矢量的一般形式为,
nntg r a d tq ?? ????????
(2-5)
图 2-2a表示了微元面积 dA附近的温度分布及垂直于该
微元面积的热流密度矢量。在图 2-2b中，虚线表示热流线，
相邻两条热流线之间沿热流线所传递的热流量处处相等，相
当于构成了一个热流通道。
在整个物体中,热流密度矢量的走向可以用热流线来
表示 。 热流线
是一组与等温
线处处垂直的
曲线，通过平
面上任一点的
热流线与该点
的热流密度矢
量相切 。 图 2-2二维等温线与热流线
3、导热系数
导热系数数学定义的具体形式为：
n
x
t
q
?
?
??? （ 2-6）
实际物体导热系数的数学关系式为：
)bt1(0 ????
说明,在工程实用计算中，在比较广阔的温度区间内大多数
材料的导热系数都容许采用上述线性近似关系计算。图 2-3示
出了物质导热系数对温度的依变关系 。
图 2-3 导热系数对温度的
依变关系
习惯上把导热系数小的材料称为 保温材料 (又称隔热材
料或绝热材料 ) 。我国标准规定，凡平均温度不高于 350
时导热系数不大于 0·12W/(m·K)的材料称为保温材料 。保温
材料出厂时一般都附有厂家提供的导热系数的数据 。
有一些材料，像木材、石墨以及上述多层抽真空结构
的超级保温材料等，它们各向的结构不同，因此不同方向上
的导热系数也有很大差别，这些材料称为 各向异性材料 。对
于各向异性材料，导热系数值必须指明方向才有意义。
C0
2-2 导热微分方程式及定解条件
为求出通过导热物体内的热流量,必须给出定解条件以及物
体内部的温度分布,即温度场。
可以根据能量守恒定律与傅里叶定律建立导热物体中的
温度场应当满足的数学关系式，称为 导热微分方程 。为此，
我们从导热物体中取出一个任意的微元平行六面体来作这种
分析。假定导热物体是各向同性的 。
如图 2-4中 及 所示。
通过 x=x,y=y,z=z三个微元表面
而导入微元体的热流量可根据傅里
叶定律写出为：
yx ??, z?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
????
?
?
????
dydx
z
t
dxdz
y
t
dydz
x
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y
x
(a)
通过 三个表面导出微元体的热流
量亦可按傅里叶定律写出如下,
、dxx ?,dyy ? dzz?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
???
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??
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??
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?
?
dz)d x d y
z
t
(
z
dz
z
dy)d x d z
y
t
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y
dy
y
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x
t
(
x
dx
x
zzdzz
yydyy
xxdxx
(b)
对于微元体，在任一时间间隔内有以下热平衡关系,
导入微元体的总热流量十微元体内热源
的生成热
=导出微元体的总热流量十微元体热力学
能 (即内能 )的增量
(c)
将式 (a),(b),(d)及 (e)代入 (c)，经整理得
???
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
??
?? )
z
t(
z)y
t(
y)x
t(
x
tc （ 2-7）
式 (2-7)的简化形式
(1)导热系数为常数
此时式 (2-7)化为
c
)
z
t
y
t
x
t(t
2
2
2
2
2
2
?
??
?
??
?
??
?
???
??
?
?(2-8)
微元体内热源的生成热 = dxdydz?? (e)
微元体热力学能的增量 = d x d y d ztc
??
?? (d)
式中，,称为热扩散率。物理意义见书 28
(2)导热系数为常数、无内热源
此时式 (2-8)简化为
)c/( ????
)
z
t
y
t
x
t(t
2
2
2
2
2
2
?
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?
??
?
???
??
? (2-9)
(3)导热系数为常数、稳态
此时式 (2-8)可改写为
0
z
t
y
t
x
t
2
2
2
2
2
2
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?(2-10)
数学上，式 (2-10)称为泊松 (Poisson)方程，是常物性、稳态、
三维且有内热源问题的温度场控制方程式。
(4)导热系数为常数、无内热源、稳态
这时式 (2-9)简化成为以下拉普拉斯 (Laplace)方程,
0z ty tx t 2
2
2
2
2
2
?????????
（ 2-11）
参照图 2-5可以求出圆柱坐标系及球坐标系中的导热微分
方程。圆柱坐标系 (图 2-5a)为：
???
?
??
?
??
??
??
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??
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??
?? )
z
t(
z)
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r
1)
r
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2
(2-12)
图 2-5圆柱坐标系与球坐标系中的微元体
球坐标系（图 2-5b）
?
??
??
?
??
??
?
?
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?
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?
?
?
?
?
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1
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1
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1t
c
2
22
2
2
(2-13)
对于具体情况，上面推导出的导热微分方程可以简化。
如对导热系数为常数、无内热源的一维稳态导热问题，式 (2-
7)最终简化成为
0dx td 2
2
?
（ 2-14）
如同求解高等数学上的微分方程一样，如果不给定一定
的条件，求得的解只能是通解。为求得某个条件下的特解，
必须给出一定的条件。对于传热学来说，这些使微分方程获
得适合某一特定问题的解的附加条件，称为 定解条件 。对 非
稳态导热 问题,定解条件有两个方面,即给出初始时刻温度
分布的 初始条件,以及给出导热物体边界上温度或换热情况
的 边界条件。
对于稳态导热问题，定解条件没有初始条件，仅有边界
条件。
导热问题的常见边界条件可归纳为以下三类,
(1)规定了边界上的温度值,称为第一类边界条件 。如规定
边界温度保持常数，即 常量。对于非稳态导热，这类边
界条件要求给出以下关系式,
?wt
0?? 时 )(ft
1w ??
(2-15)
(2)规定了边界上的热流密度值，称为 第二类边界条件 。如规
定边界上的热流密度保持定值，即 常数。?
wq
对于非稳态导热，这类边界条件要求给出以下关系式：
0?? 时 )(f)
n
t(
2w ???
??? （ 2-16）
式中,n为表面 A的外法线方向。
(3)规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数 h及周围
流体的温度,称为 第三类边界条件 。第三类边界条件可表
示为
ft
)tt(h)nt( fww ??????
(2-17)
在非稳态导热时，式中 h及 均可为时间的函数 。ft
2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其他变截面物体
的导热
1、通过平壁的导热
已知图 2-6所示，边界条件为
0x ? 时 1tt ? (a)
??x 时 2tt ? (b)
试解出温度分布，并确定 的具
体关系。
),,t,t(fq 21 ???
c onst??
0dx td 2
2
?
令,无内热源的一维稳态导热微分方程式
其通解为
21 cxct ??
(c)
由边界条件式确定积分常数，最后解得温度分布为：
1
12 txttt ?
?
??
(d)
?
?? 12 tt
dx
dt
(e)
21 tt,、?
由于 都是定值，所以温度成线性分布。
即
将式 (e)的关系代入傅里叶定律式：
dx
dtq ???
即可得热流密度的具体函数表达式：
tttq 21 ????????
（ 2-18）
对于表面积为 A，且两侧表面各自维持均匀温度的平板，
则有
tA ?????
(2-19)
热量传递、电量的转移、动量的转移、质量的转移有类
似之处。各种转移过程的共同规律性可归结为：
过程中的转移量 =
过程的阻力
过程的动力
在电学中，这种规律性就是欧姆定律，即
R
UI?
分母 为转移过程的阻力，称为热阻。
在平板导热中，与之相对应的表达式可从式 (2-19)的下列改
写形式中得出：
)A/(
t
??
??? (2-21)
)A/( ??
多层壁, 就是由几层不同材料叠在一起组成
的复合壁。
图 2-7所示为一个三层的多层壁，已知条
件如图所示。假定层与层之间接触良好，没
有引入附加热阻 (这种附加热阻称为接触热阻 )，
因此通过层间分界面就不会发生温度降落。
各层的面积热阻表达式如下,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
343
2
232
1
121
?
?
?
?
?
?
q
tt
q
tt
q
tt
(f)
应用串联过程的热阻叠加原理，的总热阻数学函数式：
3
3
2
2
1
141
q
tt
?
??
?
??
?
???
于是，可导得热流密度的计算公式
3
3
2
2
1
1
41 ttq
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? (2-22)
依次类推,n层多层壁的计算公式是
?
?
?
?
?
?
?
n
1i i
i
1n1 ttq
(2-23)
坐标系,这就成为沿半径方向的一维导热问题。为便
于分析，先假设材料的导热系数 等于常数。
解得热流密度后，层间分界
面上的末知温度
就可利用式 (f)求出。例如
32 tt,
1
1
12 qtt ?
??? (2-24)
2、通过圆筒壁的导热
考察一个内外半径分别为 的
圆筒壁，条件如图 2-8所示。采用圆柱
21 rr、
z),r,?（
?
导热微分方程式（ 2-12)经简化变为
0)drdtr(drd ?
（ 2-25）
边界条件的表达式为
1rr ?
时
1tt ?
(g)
2rr ?
时
2tt ?
(h)
对式 (2-25)积分两次，得其通解为
21 crlnct ??
(i)
由边界条件确定方程的系数。最终得：
)r/rln ()r/rln ( tttt 1
12
12
1
??? (2-26)
对式（ 2-26）求导数可得
)r/rln (
tt
r
1
dr
dt
12
12 ??
代入傅里叶定律得
)r/rln (
tt
rdr
dtq
12
21 ??????
（ 2-27）
对式（ 2-27）两边各乘以 求出通过整个圆筒壁面的
热流量。
rl2?
)/ln (
)(22
12
21
rr
ttlr l q ???????
（ 2-28）
根据热阻的定义，通过整个圆筒壁
的导热热阻为
l
ddtR
????
??
2
)/ln ( 12 （ 2-29）
与分析多层平壁一样，运用串联热阻叠加
的原则，可得通过图 2-9所示多层圆筒壁的导
热热流量。
334223112
41
/)d/dl n (/)d/dl n (/)d/dl n (
)tt(l2
?????
???? （ 2-30）
3、通过球壳的导热
对于内、外表面维持均匀恒定温度的空心球壁的导热，
在球坐标系中也是一个一维导热问题。相应的计算公式为
温度分布
21
2
212 r/1r/1
r/1r/1)tt(tt
?
????
热流量
21
21
r/1r/1
)tt(4
?
?????
热阻
)r/1r/1(4 1R 21 ????
