辐射换热表面之间的相对位置对表面之间辐射换热量影响的
分析：
图 8-1示出了两个等温表面间的两种极端布置情况：图 a中两
表面无限接近，相互间的换热量最大；图 b中两表面位于同一平
面上，相互间的辐射换热量为零。
结论,由图可以看出，两个表面间的相对位置不同时，一个
表面发出而落到另一个表面上的辐射能的百分数随之而异，从而
影响到换热量。
角系数的定义,我们把表面 1发出的辐射能中落到表面 2上的
百分数称为表面 1对表面 2的角系数，记为
同理也可以定义表面 2对表面 1的角系数。
第八章 辐射换热的计算
8-1 角系数的定义、性质及计算
2,1X
角系数是一个纯几何因子。
在讨论角系数时，假定,(1) 所研究的表面是漫射的，表面
对射入辐射能的反射向空间不同方向概率是一样； (2)在所研究
表面的不同地点上向外发射的辐射热流密度是均匀的，排除了
因位置不同、方向不同向不同空间发射辐射能不同的可能。
在这两个假设下，物体的表面温度及发射率的改变只影响
到该物体向外发射的辐射能大小而不影响在空间的相对分布，
因而不影响辐射能落到其他表面上的百分数，因此也把角系数
当作一个纯粹的几何因子。
实际物体角系数的处理方法,实际工程问题虽然不一定满
足上述假定，但由此造成的偏差一般均在工程计算允许的范围
之内。
为讨论的方便，在研究角系数时把物体作为黑体来处理。
但所得到的结论对于漫灰表面均适合。
角系数有以下一些性质。
1· 角系数的相对性
图 8-2所示，微元 d1对 d2的角系数为：
按定义,
2
212
11b
111b1
1
21
2d,1d
r
c o sc o sdA
dAE
ddAc o sL
dA
dAdA
X
?
??
?
??
?
?
向外发出的总辐射能
上的辐射能发出落到由
(a)
上面公式利用了兰贝特定律和立体角的定义：
?????? LE,dco sdA dL
类似地有
2
211
1d,2d r
c o sc o sdAX
?
???
(b)
2r
dAd ??
当 时，净辐射换热为零，则有
由此可见
1d,2d22d,1d1 XdAXdA ?
(8-1)
这是两微元表面间角系数相对性的表达式。
1,22b22,11b12,1 XEAXEA ???
(c)
21 TT ?
1,222,11 XAXA ?
(8-2)
这是两有限大小表面间角系数的 相对
性 的表达式。
图 8-3所示两黑体表面间的辐射换热量 为：
1XXXXX ni
1i
i,1n,13,12,11,1 ?????? ?
?
?
?
此式表达的关系称为角系数的 完整
性 。表面 1为非凹表面时,。
若表面 1为图中虚线所示的凹表面
则表面 1对自己本身的角系数
不是零。
0X 1,1 ?
1,1X
（ 8-3）
2、角系数的完整性
对于由几个表面组成的封闭系统 (见图 8-4)，任何一个表面
对封闭腔各表面的角系数之间存在下列关系 (以表面 1为例示出 ),
3、角系数的可加性
图 8-5所示表面 1发射出去的辐射能落到表面 2上总能量等于
落到表面 2上各部分的辅射能之和，于是有
b2,11b1a2,11b12,11b1 XEAXEAXEA ??
故有 b2,1a2,12,1 XXX ??
如把表面 2进一步分成若干小块，
则仍有
?
?
?
N
1i
i2,12,1 XX
（ 8-4）
从表面 2发出落到表面 1上的总辐射能，等于从表面 2的各
个组成部分发出而落到表面 1上的辐射能之和。对图 8-5所示情
况可写出
1,b22bb21,a22ba21,22b2 XEAXEAXEA ??
所以
1,b2b21,a2a21,22 XAXAXA ?? (8-5a)
或
1,b2
2
b2
1,a2
2
a2
1,2 XA
AX
A
AX ?? (8-5b)
求解角系数的方法：
求解角系数的方法有直接积分法、代数分析法及几何分析
法等。
所谓 直接积分法 是按角系数的基本定义通过求解多重积分
而获得角系数的方法。对图 8-6所示，两个微元面之间角系数之
间函数关系为：
2
212
2d,1d r
c o sc o sdAX
?
???
显然，微分面积 对 的角系数应为1dA 2A
? ? ??? 2A 2 2212,1d r dAc o sc o sX
(d)
而表面 对 的角系数则可通过对式 (d)右端作下列 积分而
得出：
1A 2A
? ? ?????? ? ??? 1 2A 1A 2 2212,11 dAr dAc o sc o sXA
即
? ? ? ??? 1 2A A 2 1221
1
2,1 r
dAdAco sco s
A
1X （ 8-6）
这就是求解任意两表面之间角系数的积分表达式。对于这种四
重积分，需采用某些专门的技巧才能求解。
利用角系数的相对性、完整性及可加性，通过求解代数方
程而获得角系数的方法称为 代数分析法 。以图 8-10所示情况为
例进行研究。
1XX 3,12,1 ?? (e)
根据角系数的相对性和完整性可以写出,
1XX 3,21,2 ??
(f)
1XX 2,31,3 ??
(g)
1,222,11 XAXA ?
(h)
1,333,11 XAXA ?
(i)
2,333,22 XAXA ?
(j)
求解此联立方程式组，以 为例：
1
321
2,1 A2
AAAX ??? (8-7a)
2,1X
因为在垂直于纸面的方向上三个表
面的长度是相同的，若系统横断面
上三个表面的线段长度分别为
321 lll,、
图 8-11所示的表面 之间的
角系数的确定。
、1A 2A
作辅助线 ac和 bd，它们代表在垂直于纸
面的方向上无限延伸的两个表面。
根据角系数的完整性，表面 和 的角系
数为
1A 2A
bd,abac,abcd,ab XX1X ???
(k)
而 和 可以直接应用式 (8-7b)写出
ac,abX bd,abX
则式 (8-7a)可改写为
1
321
2,1 l2
lllX ???
(8-7b )
ab2
bcacabX
ac,ab
??? (l)
ab2
adbdabX
bd,ab
???
(m)
将式 (l),(m)代入式 (k)可得
ab2
)bdac()ad( b cX
cd,ab
???? (8-8)
按照式 (8-8)的组成，我们可以归纳出如下的一般关系,
的断面长度表面
不交叉线之和交叉线之和
1
2,1 A2X ?
?? (8-9)
对于在一个方向上长度无限延伸的多个表面组成的系统，
任意两个表面之间的角系数的计算式，都可以参照式 (8-9)的
结构关系写出，因此又把这种方法称为 交叉线法 。
例题 8-2试确定图 8-15所示的表面 1对表面 2的角系数
2,1X
解 由图 8-15可见，表面 2对 A、表面 2对结合面 l+A都是相互垂
直的矩形，因此角系数 与 都可用 图 8-8确定,
A,2X )A1(,2X ?
10.0X A,2 ? 15.0X )A1(,2 ??
由角系数的可加性，有
A,21,2)A1(,2 XXX ???
因此有
A,2)A1(,21,2 XXX ?? ?
根据角系数的相对性可得到
1 2 5.0
1
)10.015.0(5.2
A
)XX(A
A
XA
X
1
A,2)A1(,22
1
1,22
2,1
?
??
?
?
??
?
分析：
图 8-1示出了两个等温表面间的两种极端布置情况：图 a中两
表面无限接近，相互间的换热量最大；图 b中两表面位于同一平
面上，相互间的辐射换热量为零。
结论,由图可以看出，两个表面间的相对位置不同时，一个
表面发出而落到另一个表面上的辐射能的百分数随之而异，从而
影响到换热量。
角系数的定义,我们把表面 1发出的辐射能中落到表面 2上的
百分数称为表面 1对表面 2的角系数，记为
同理也可以定义表面 2对表面 1的角系数。
第八章 辐射换热的计算
8-1 角系数的定义、性质及计算
2,1X
角系数是一个纯几何因子。
在讨论角系数时，假定,(1) 所研究的表面是漫射的，表面
对射入辐射能的反射向空间不同方向概率是一样； (2)在所研究
表面的不同地点上向外发射的辐射热流密度是均匀的，排除了
因位置不同、方向不同向不同空间发射辐射能不同的可能。
在这两个假设下，物体的表面温度及发射率的改变只影响
到该物体向外发射的辐射能大小而不影响在空间的相对分布，
因而不影响辐射能落到其他表面上的百分数，因此也把角系数
当作一个纯粹的几何因子。
实际物体角系数的处理方法,实际工程问题虽然不一定满
足上述假定，但由此造成的偏差一般均在工程计算允许的范围
之内。
为讨论的方便，在研究角系数时把物体作为黑体来处理。
但所得到的结论对于漫灰表面均适合。
角系数有以下一些性质。
1· 角系数的相对性
图 8-2所示，微元 d1对 d2的角系数为：
按定义,
2
212
11b
111b1
1
21
2d,1d
r
c o sc o sdA
dAE
ddAc o sL
dA
dAdA
X
?
??
?
??
?
?
向外发出的总辐射能
上的辐射能发出落到由
(a)
上面公式利用了兰贝特定律和立体角的定义：
?????? LE,dco sdA dL
类似地有
2
211
1d,2d r
c o sc o sdAX
?
???
(b)
2r
dAd ??
当 时，净辐射换热为零，则有
由此可见
1d,2d22d,1d1 XdAXdA ?
(8-1)
这是两微元表面间角系数相对性的表达式。
1,22b22,11b12,1 XEAXEA ???
(c)
21 TT ?
1,222,11 XAXA ?
(8-2)
这是两有限大小表面间角系数的 相对
性 的表达式。
图 8-3所示两黑体表面间的辐射换热量 为：
1XXXXX ni
1i
i,1n,13,12,11,1 ?????? ?
?
?
?
此式表达的关系称为角系数的 完整
性 。表面 1为非凹表面时,。
若表面 1为图中虚线所示的凹表面
则表面 1对自己本身的角系数
不是零。
0X 1,1 ?
1,1X
（ 8-3）
2、角系数的完整性
对于由几个表面组成的封闭系统 (见图 8-4)，任何一个表面
对封闭腔各表面的角系数之间存在下列关系 (以表面 1为例示出 ),
3、角系数的可加性
图 8-5所示表面 1发射出去的辐射能落到表面 2上总能量等于
落到表面 2上各部分的辅射能之和，于是有
b2,11b1a2,11b12,11b1 XEAXEAXEA ??
故有 b2,1a2,12,1 XXX ??
如把表面 2进一步分成若干小块，
则仍有
?
?
?
N
1i
i2,12,1 XX
（ 8-4）
从表面 2发出落到表面 1上的总辐射能，等于从表面 2的各
个组成部分发出而落到表面 1上的辐射能之和。对图 8-5所示情
况可写出
1,b22bb21,a22ba21,22b2 XEAXEAXEA ??
所以
1,b2b21,a2a21,22 XAXAXA ?? (8-5a)
或
1,b2
2
b2
1,a2
2
a2
1,2 XA
AX
A
AX ?? (8-5b)
求解角系数的方法：
求解角系数的方法有直接积分法、代数分析法及几何分析
法等。
所谓 直接积分法 是按角系数的基本定义通过求解多重积分
而获得角系数的方法。对图 8-6所示，两个微元面之间角系数之
间函数关系为：
2
212
2d,1d r
c o sc o sdAX
?
???
显然，微分面积 对 的角系数应为1dA 2A
? ? ??? 2A 2 2212,1d r dAc o sc o sX
(d)
而表面 对 的角系数则可通过对式 (d)右端作下列 积分而
得出：
1A 2A
? ? ?????? ? ??? 1 2A 1A 2 2212,11 dAr dAc o sc o sXA
即
? ? ? ??? 1 2A A 2 1221
1
2,1 r
dAdAco sco s
A
1X （ 8-6）
这就是求解任意两表面之间角系数的积分表达式。对于这种四
重积分，需采用某些专门的技巧才能求解。
利用角系数的相对性、完整性及可加性，通过求解代数方
程而获得角系数的方法称为 代数分析法 。以图 8-10所示情况为
例进行研究。
1XX 3,12,1 ?? (e)
根据角系数的相对性和完整性可以写出,
1XX 3,21,2 ??
(f)
1XX 2,31,3 ??
(g)
1,222,11 XAXA ?
(h)
1,333,11 XAXA ?
(i)
2,333,22 XAXA ?
(j)
求解此联立方程式组，以 为例：
1
321
2,1 A2
AAAX ??? (8-7a)
2,1X
因为在垂直于纸面的方向上三个表
面的长度是相同的，若系统横断面
上三个表面的线段长度分别为
321 lll,、
图 8-11所示的表面 之间的
角系数的确定。
、1A 2A
作辅助线 ac和 bd，它们代表在垂直于纸
面的方向上无限延伸的两个表面。
根据角系数的完整性，表面 和 的角系
数为
1A 2A
bd,abac,abcd,ab XX1X ???
(k)
而 和 可以直接应用式 (8-7b)写出
ac,abX bd,abX
则式 (8-7a)可改写为
1
321
2,1 l2
lllX ???
(8-7b )
ab2
bcacabX
ac,ab
??? (l)
ab2
adbdabX
bd,ab
???
(m)
将式 (l),(m)代入式 (k)可得
ab2
)bdac()ad( b cX
cd,ab
???? (8-8)
按照式 (8-8)的组成，我们可以归纳出如下的一般关系,
的断面长度表面
不交叉线之和交叉线之和
1
2,1 A2X ?
?? (8-9)
对于在一个方向上长度无限延伸的多个表面组成的系统，
任意两个表面之间的角系数的计算式，都可以参照式 (8-9)的
结构关系写出，因此又把这种方法称为 交叉线法 。
例题 8-2试确定图 8-15所示的表面 1对表面 2的角系数
2,1X
解 由图 8-15可见，表面 2对 A、表面 2对结合面 l+A都是相互垂
直的矩形，因此角系数 与 都可用 图 8-8确定,
A,2X )A1(,2X ?
10.0X A,2 ? 15.0X )A1(,2 ??
由角系数的可加性，有
A,21,2)A1(,2 XXX ???
因此有
A,2)A1(,21,2 XXX ?? ?
根据角系数的相对性可得到
1 2 5.0
1
)10.015.0(5.2
A
)XX(A
A
XA
X
1
A,2)A1(,22
1
1,22
2,1
?
??
?
?
??
?
