数学建模概论
浙江大学数学建模实践基地
? 数学模型 （ Mathematical Model）
是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题
本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客
观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一
现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。
? 数学建模 （ Mathematical Modeling）
应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。
§ 1.1 数学模型与数学建模
例 （ 万有引力定律的发现 ）
十五世纪中期, 哥白尼 提出了震惊世界的 日心说 。
丹麦著名的实验天文学 家 第谷 花了二十多年时间
观察纪录下了当 时已发现的五大 行星的运动情况 。
第谷的学生和助手 开普勒 对这些资料进行了九年时
间的分 析计算后 得出著名的 Kepler三定律 。
牛顿 根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分
方法推导出牛顿第三定律即 万有引力定律 。
1.行星轨道是一 个椭圆，太
太阳位于此椭圆的一个焦
点上。
2.行星在单位时间内 扫过的
面积不变。
3.行星运行周期的平方正比
于椭圆长半轴的三次方,
比例系数不随行星而 改变
（绝对常数）
开普勒三大定律
这其中必 定是某一 力学
规律 的反映，哼哼，我
要找出它。。。。
如图，有椭圆方程,
?c os1 e
pr
??
?drdA 221?矢径所扫过的面 积 A的微分为,
由开普勒第二定 律, ?? wr
dt
dA 2
2
1 常数
立即得出, ??
??? wrwrrwrdtd 22 2)(0
即, 02 ?? ?? wrwr
椭圆面积 wTrdt
dt
dAab T 2
0 2
1?? ??
由此得出
?? Tabwr ?22
常数
简单推导如下：
行星
r
?
太阳
我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种
不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点，
沿长轴方向的单位向量记 为 i,沿短轴方向的单位向量记
为 j，于是：
jir ?? s i nrc o sr ??
进而有 加速度
·c o ss i n)(2(s i n) ( c o s(
)s i nr(
dt
d
)c o sr(
dt
d
2
2
2
2
2
)) jiji
jira
????
??
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???
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??
wrwrrwr
以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向
量分别是
jiejie ???? c o ss i ns i nc o s ????? θr,
因此得出
rrwr ea )(
2?? ??
由于 02 ?? ?? wrwr
也就是说行星的加速度为
rrT
a ea
22
32 14
??? ?
由开普勒第三定律知 23 /Ta 为常数。若记
2
324
MT
aG ??
那么就导出著名的
万有引力定律：
再将椭圆方程 )c o s1( ?erp ??
两边微分两次，得 0)(1)( 22
3
2 ????? wr
rr
prwr
将前面得到的结果 和焦参数
代入，即得
22
32
2
rT
arwr 14 ?????? ?
T
abwr ?22 ?
a
bp 2?
rr
MmGF e
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浙江大学数学建模实践基地
? 数学模型 （ Mathematical Model）
是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题
本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客
观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一
现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。
? 数学建模 （ Mathematical Modeling）
应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。
§ 1.1 数学模型与数学建模
例 （ 万有引力定律的发现 ）
十五世纪中期, 哥白尼 提出了震惊世界的 日心说 。
丹麦著名的实验天文学 家 第谷 花了二十多年时间
观察纪录下了当 时已发现的五大 行星的运动情况 。
第谷的学生和助手 开普勒 对这些资料进行了九年时
间的分 析计算后 得出著名的 Kepler三定律 。
牛顿 根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分
方法推导出牛顿第三定律即 万有引力定律 。
1.行星轨道是一 个椭圆，太
太阳位于此椭圆的一个焦
点上。
2.行星在单位时间内 扫过的
面积不变。
3.行星运行周期的平方正比
于椭圆长半轴的三次方,
比例系数不随行星而 改变
（绝对常数）
开普勒三大定律
这其中必 定是某一 力学
规律 的反映，哼哼，我
要找出它。。。。
如图，有椭圆方程,
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由开普勒第二定 律, ?? wr
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简单推导如下：
行星
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太阳
我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种
不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点，
沿长轴方向的单位向量记 为 i,沿短轴方向的单位向量记
为 j，于是：
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进而有 加速度
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也就是说行星的加速度为
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那么就导出著名的
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