? 圆周率是人类获得的最古老的数学概念
之一，早在大约 3700年前（即公元前 1700
年左右）的古埃及人就已经在 用 256/81（
约 3.1605）作为 π 的近似值了。几千年来
，人们一直没有停止过求 π 的努力。
§ 2.10 π的计算
古 典 方 法
分 析 方 法
其 它 方 法
? 概率方法
? 数值积分方法
古典方法
用什么方法来计 算 π 的近似值呢？显然，不可能仅根
据圆周率的定义，用圆的周长去除以直径。起先，人们
采用的都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近
的古典方法。
6边形 12边形 24边形 圆
? 阿基米德曾用圆内接 96边形和圆外切
96边形夹逼的方法证明了
7
22
71
223 ?? ?
由
和 导出
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96?? ?
? 公元 5世纪，祖冲之指出
3, 1 4 1 5 9 2 73, 1 4 1 5 9 2 6 ?? ?
比西方得到同样结
果几乎早了 1000年
? 十五世纪中叶，阿尔 ·卡西给出 π 的 16
位小数，打破了祖冲之的纪录
? 1579年,韦达证明
373, 1 4 1 5 9 2 6 5 353, 1 4 1 5 9 2 6 5 ?? ?
? 1630年,最后一位用古典方法求 π 的人
格林伯格也只求到了 π的第 39位小数
分析方法
从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的
分析方法来求 π 的近似值，其中应用的主
要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，在
本节中我们将介绍一些用此类方法求 π 近
似值的实例。
0 6 7 7 0 2.3
21
20
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? 在中学数学中证明过下面的等式
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左边三个正方形
组成的矩形中，
由
和 可得
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和
的展开式的收敛速度
都比 快得多
2
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3
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A
C
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? 麦琴 (Machin)给出
2 39
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5
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5
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239
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此式求得了 π的第 100位小数且全部正确
其它方法
除用古典方法与分析方法求 π 的近似值以
外，还有人用其他方法来求 π 的近似值。
这里我们将介绍两种方法：
概率方法
数值积分方法
? 概率方法
取一个二维数组（ x,y），取一个充分大的
正整 数 n，重复 n次，每次独立地从 （ 0,1）
中随机地取一对 数 x和 y,分别检验
x2+y2≤1 是否成立。 设 n次试验中等式成立
的共有 m次，令 π≈4m/n 。
但这种方法很难得到 π的较好的近似值。
?数值积分方法
? ?? 10 214 dxx?
? ?? 10 21 14 dxx?
还可用其它数值积
分公式来求，但用
此类方法 效果也很
难做得比用幂级数
展开更好
之一，早在大约 3700年前（即公元前 1700
年左右）的古埃及人就已经在 用 256/81（
约 3.1605）作为 π 的近似值了。几千年来
，人们一直没有停止过求 π 的努力。
§ 2.10 π的计算
古 典 方 法
分 析 方 法
其 它 方 法
? 概率方法
? 数值积分方法
古典方法
用什么方法来计 算 π 的近似值呢？显然，不可能仅根
据圆周率的定义，用圆的周长去除以直径。起先，人们
采用的都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近
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? 1630年,最后一位用古典方法求 π 的人
格林伯格也只求到了 π的第 39位小数
分析方法
从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的
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其它方法
除用古典方法与分析方法求 π 的近似值以
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这里我们将介绍两种方法：
概率方法
数值积分方法
? 概率方法
取一个二维数组（ x,y），取一个充分大的
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x2+y2≤1 是否成立。 设 n次试验中等式成立
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但这种方法很难得到 π的较好的近似值。
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还可用其它数值积
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此类方法 效果也很
难做得比用幂级数
展开更好
