§ 2.8 方桌问题
将一张四条腿的方桌放在不平的地面上，不
允许将桌子移到别处，但允许其绕中心旋转
，是否总能设法使其四条腿同时落地？
不附加任何条件，答案
显然 是否定的，
因此我们 假设
（ 1） 地面为连续曲面 （ 2）
方桌的四条腿长度相同
（ 3） 相对于地面的弯曲程
度而言，方桌的腿是足够长
的 （ 4）
方桌的腿只要有一点接触地
面就算着地。
总可以使三条腿
同时着地。
现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定
的。以方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如 图所示，方桌
的四条腿分别在 A,B,C,D处,A,C的初始位置在 x轴上，
而 B,D则在 y轴上，当方桌绕中 心 0旋转时，对角线 AC与 x轴
的夹角记为 θ。
容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确
定的。为消除这一不确定性，令 f(θ)为 A,C离地距离之和，
g(θ)为 B,D离地距离之和，它们的值 由 θ唯一确定。由 假设
（ 1）,f(θ),g(θ)均为 θ的连续函数。又 由 假设（ 3）,三条腿
总能同时着地,故 f(θ)g(θ)=0必成立（ θ）。不妨设
f(0)=0,g(0)>0（若 g(0)也为 0，则初始时刻已四条腿着地，不必
再旋转），于是问题归结为：
?
y
x
θC
D
A
B
o
已知 f(θ),g(θ)均为 θ的连续函数,f(0)=0,g(0)>0且对任意 θ有
f(θ)g(θ)=0，求证存在某一 θ0，使 f(θ0)=g(θ0)=0。
（证法一） 当 θ=π/2时,AC与 BD互换位置，故 f(π/2)>0,
g(π/2)=0。作 h(θ)=f(θ)-g(θ),显然,h(θ)也是 θ的连续函数，
h(0)=f(0)-g(0)<0而 h(π/2)=f(π/2)-g(π/2)>0，由连续函数的取
零值定理，存在 θo,0<θo<π/2,h(θ0)=0，即 f(θo)=g(θo)。
又由于 f(θo)g(θo)=0，故必有 f(θo)=g(θo)=0，证毕。
（证法二） 同证一可得 f(π/2)>0,g(π/2)=0。令 θo=sup {θ|f
(ζ)=0,0≤ζ<θ},显然 θ0<π/2。因为 f 连续，由上确界定义必
有 f(θ0)=0，且对任意小 的 ε>0，总有 δ>0且 δ<ε，使
f(θ0+δ)>0。因为 f(θ0+δ)g (θo+δ)=0，故必有 g (θ0+δ)=0，由 δ
可任意小且 g连续，可知必 有 g (θ0)=0，证毕。证法
二除用 到 f,g的连续性外，还用到了上确界的性质。