§ 9.2 合作对策模型
在上一章我们已经看到，从事某一活动的各方如能通
力合作，常常可以获得更大的总收益（或受到更小的总损
失）。本节主要讨论在这种合作中应当如何分配收益（或分
摊损失），这一问题如果处理不当，合作显然是无法实现的。
先让我们来分析一个具体实例
例 7 有三个位于某河流同旁的城镇城 1,城 2,城 3(如图 ） 三城
镇的污水必须经过处理后方能排入河中, 他们既可以单独建立污水
处理厂, 也可以通过管道输送联合建厂 。 为了讨论方便起见, 我们
再假设污水只能由上游往下游 。
用 Q表示污水量, 单位为米 3/秒, L表示管道长度, 单位为公里,
则有经验公式：
建厂费用
C1=730Q0.712（ 万元 ）
管道费用
C2=6.6Q0.51L(万元 ）
已知三城镇的污水量分别为：
Q1=5米 3/秒, Q2=3米 3/秒, Q3=5米 3/秒, 问：
三城镇应怎样处理污水方可使总开支最少？
每一城镇负担的费用应各为多少？
城一
城二
城三
38公里
20公里
分析 本问题中三城镇处理污水可以有五种方案：
(1)每城镇各建一个处理厂 （ 单干 ） 。
(2)城 1,城 2合建一个,城 3单独建一个 (1,2城合作建于城 2处 )。
(3)城 2,城 3合建一个,城 1单独建一个 (2,3城合作建于城 3处 )。
(4)城 3,城 1合建一个,城 2单独建一个 (1,3城合作建于城 3处 )。
(5)三城合建一个污水处理厂 （ 建于城 3处 ） 城一
城二
城三
38公里
20公里
容易计算,方案 总投资 (：万元 )
1 6200
2 5800
3 5950
4 6230
5 5560
以三城合作总投资为最
少
费用怎么分摊呢？
建厂费用按三城污水量之比
5,3,5分摊，管道是为城 1、
城 2建的，应由两城协商分
摊。
城一
城二
城三
38公里
20公里
建厂处
同意城 3意见，由城 2→ 城 3的管道费
用可按污水量之比 5,3,5分摊，但
城 1→ 城 2的管道费用应由城 1承担。
分摊方案有道理，但得作一
番, 可行性论证,,城 1的, 可行性论证,,
联合建厂费, （万元）
城 1负担, （万元）
城 1→ 城 2管道费,（万元）
全部由城 1负担
城 2→ 城 3管道费,（万元）
城 1负担, （万元）
城 1的总负担,约为 2457万元
4 5 3 0)535(730 712.0 ????
17424530135 ??
3 0 02056.6 51.0 ???
7 2 438)35(6.6 51.0 ????
5.42572485 ??
城 1自己建厂费用, 2300万元
合作后城 1费用增加！
差点做了冤大
头！！！
怎样找出一个合理的分摊原则，以保证合作的实现呢？
N人合作对策模型
设有一个 n人的集合 I={1,2,…,n}，其元素是某一合作的可能参加者。
(1)对于每一子集 S I，对应地可以确定一个实数 V(S)，此数的实际
意义为如果 S中的人参加此项合作，则此合作的总获利数为 V(S)，十分明
显,V(S)是定义于 I的一切子集上的一个集合函数。根据本问题的实际背
景，还应要求 V(S)满足以下性质,
?
=0（ 没有人参加合作则合作获利不能实现 ）)(?V
对一切满足 的 S1,S2成立
具有这种性质的集合函数 V（ S） 称为 I的特征函数 。
)()()( 2121 SVSVSSV ??? ??21 SS ?
(2)定义合作结果 V（ S）的分配为,其中
表示第 i人在这种合作下分配到的获利。显然，不同的合作应有不同的分
配，问题归结为找出一个合理的分配原则 来,被称为合作对策
))(,),(()( 1 VVV N??? ?? )(Vi?
)(V? )(V?
1953年 Shapley采用逻辑建模方法研究了这一问题。
首先，他归纳出了几条合理分配原则 应当满足
的基本性质（用公理形式表示），进而证明满足这
些基本性质的合作对策 是唯一存在的，从而妥
善地解决了问题。
)(V?
)(V?
是否存在 合理分配原则 )(V?
Shapley提出了以下公理：
设 V是 I上的特征函数, 是合作对策, 则有)(V?
公理 1 合作获利对每人的分配与此人的标号无关。
公理 2,即每人分配数的总和等于总获利数。?
?
?n
i
i IVV
1
)()(?
公理 3 若对所有包含的 i的子集 S有：
V(S-{i})=V(S),=0。)(V
i?
即若第 i人在他参加的任一合作中均不
作出任何贡献，则他不应从合作中获利
公理 4 若此 n个人同时进行两项互不影响的合作，则
两项合作的分配也应互不影响，每人的分配
额即两项合作单独进行时应分配数的和 。
利用上述公理可以证明满足公理 1~4的 是唯一存在的 (证明略 ) )(V?
存在 的公式吗)(V?
Shapley指出,可按 下列公式 给出：)(V?
?
?
???
iSS
i iSVSVSWV } ) ]{()(| ) [(|)(?
(11.1)
i=1,…,n
Si是 I中包含 i的一切子集所成的集合,
|S|表示集合 S中的元素个数, 而
!
| ) !|()!1|(||)(|
n
SnSSW ???
(11.2)
可视为 i在合作
S中所作的贡献
W(|S|)可看作这
种贡献的权因子
合作的获利真的不少于他单干时的获利吗
对每一 i∈ I，有 })({)( iVV
i ??求证,
证明, |S|=K时，包含 i的子集 S共有 个1
1??knC
即 个
)!()!1(
)!1(
KnK
n
??
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!
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|| KnK
n
n
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iSS
KS ??
??????
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故 = 1/n
1|)(|(|)(|
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?
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i
i SS KS
n
KSS
SWSW
从而
})({}){()( iViSVSV ???
又根据性质，有
} ) ]{()([|)(|)( iSVSVSWV
iSS
i ??? ?
?
?
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iSS
?? ?
?
故有
城 1 获利 =67+130=197（万元）
承担总费用,2300-197=2103（万元）
1300670W(|S|)[V(S)-V(S-
{I})]
1/31/61/61/3W(|S|)
3221|S|
39004000V(S)-V(S-{I})
250000V(S-{I})
64004000V(S)
{1,2,3}{1,3}{1,2}{1}S
)(1 V?
城一
城二
城三
38公里
20公里
建厂处
解决三城镇污水处理问题
城 1究竟应当承担多少费用
首先不难看出, S1={{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}}
计算出与 (11.1)式有关的数据并列成表
316
总投资大于单干总投资，
合作不可能实现，合作
获利为 0
城 2和城 3应该承担
的费用可类似算出
我们应该承担的是 2103万元！
在上一章我们已经看到，从事某一活动的各方如能通
力合作，常常可以获得更大的总收益（或受到更小的总损
失）。本节主要讨论在这种合作中应当如何分配收益（或分
摊损失），这一问题如果处理不当，合作显然是无法实现的。
先让我们来分析一个具体实例
例 7 有三个位于某河流同旁的城镇城 1,城 2,城 3(如图 ） 三城
镇的污水必须经过处理后方能排入河中, 他们既可以单独建立污水
处理厂, 也可以通过管道输送联合建厂 。 为了讨论方便起见, 我们
再假设污水只能由上游往下游 。
用 Q表示污水量, 单位为米 3/秒, L表示管道长度, 单位为公里,
则有经验公式：
建厂费用
C1=730Q0.712（ 万元 ）
管道费用
C2=6.6Q0.51L(万元 ）
已知三城镇的污水量分别为：
Q1=5米 3/秒, Q2=3米 3/秒, Q3=5米 3/秒, 问：
三城镇应怎样处理污水方可使总开支最少？
每一城镇负担的费用应各为多少？
城一
城二
城三
38公里
20公里
分析 本问题中三城镇处理污水可以有五种方案：
(1)每城镇各建一个处理厂 （ 单干 ） 。
(2)城 1,城 2合建一个,城 3单独建一个 (1,2城合作建于城 2处 )。
(3)城 2,城 3合建一个,城 1单独建一个 (2,3城合作建于城 3处 )。
(4)城 3,城 1合建一个,城 2单独建一个 (1,3城合作建于城 3处 )。
(5)三城合建一个污水处理厂 （ 建于城 3处 ） 城一
城二
城三
38公里
20公里
容易计算,方案 总投资 (：万元 )
1 6200
2 5800
3 5950
4 6230
5 5560
以三城合作总投资为最
少
费用怎么分摊呢？
建厂费用按三城污水量之比
5,3,5分摊，管道是为城 1、
城 2建的，应由两城协商分
摊。
城一
城二
城三
38公里
20公里
建厂处
同意城 3意见，由城 2→ 城 3的管道费
用可按污水量之比 5,3,5分摊，但
城 1→ 城 2的管道费用应由城 1承担。
分摊方案有道理，但得作一
番, 可行性论证,,城 1的, 可行性论证,,
联合建厂费, （万元）
城 1负担, （万元）
城 1→ 城 2管道费,（万元）
全部由城 1负担
城 2→ 城 3管道费,（万元）
城 1负担, （万元）
城 1的总负担,约为 2457万元
4 5 3 0)535(730 712.0 ????
17424530135 ??
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合作后城 1费用增加！
差点做了冤大
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怎样找出一个合理的分摊原则，以保证合作的实现呢？
N人合作对策模型
设有一个 n人的集合 I={1,2,…,n}，其元素是某一合作的可能参加者。
(1)对于每一子集 S I，对应地可以确定一个实数 V(S)，此数的实际
意义为如果 S中的人参加此项合作，则此合作的总获利数为 V(S)，十分明
显,V(S)是定义于 I的一切子集上的一个集合函数。根据本问题的实际背
景，还应要求 V(S)满足以下性质,
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=0（ 没有人参加合作则合作获利不能实现 ）)(?V
对一切满足 的 S1,S2成立
具有这种性质的集合函数 V（ S） 称为 I的特征函数 。
)()()( 2121 SVSVSSV ??? ??21 SS ?
(2)定义合作结果 V（ S）的分配为,其中
表示第 i人在这种合作下分配到的获利。显然，不同的合作应有不同的分
配，问题归结为找出一个合理的分配原则 来,被称为合作对策
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1953年 Shapley采用逻辑建模方法研究了这一问题。
首先，他归纳出了几条合理分配原则 应当满足
的基本性质（用公理形式表示），进而证明满足这
些基本性质的合作对策 是唯一存在的，从而妥
善地解决了问题。
)(V?
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是否存在 合理分配原则 )(V?
Shapley提出了以下公理：
设 V是 I上的特征函数, 是合作对策, 则有)(V?
公理 1 合作获利对每人的分配与此人的标号无关。
公理 2,即每人分配数的总和等于总获利数。?
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公理 3 若对所有包含的 i的子集 S有：
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即若第 i人在他参加的任一合作中均不
作出任何贡献，则他不应从合作中获利
公理 4 若此 n个人同时进行两项互不影响的合作，则
两项合作的分配也应互不影响，每人的分配
额即两项合作单独进行时应分配数的和 。
利用上述公理可以证明满足公理 1~4的 是唯一存在的 (证明略 ) )(V?
存在 的公式吗)(V?
Shapley指出,可按 下列公式 给出：)(V?
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Si是 I中包含 i的一切子集所成的集合,
|S|表示集合 S中的元素个数, 而
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(11.2)
可视为 i在合作
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种贡献的权因子
合作的获利真的不少于他单干时的获利吗
对每一 i∈ I，有 })({)( iVV
i ??求证,
证明, |S|=K时，包含 i的子集 S共有 个1
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故 = 1/n
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从而
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又根据性质，有
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})({|)(|})({ iVSWiV
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故有
城 1 获利 =67+130=197（万元）
承担总费用,2300-197=2103（万元）
1300670W(|S|)[V(S)-V(S-
{I})]
1/31/61/61/3W(|S|)
3221|S|
39004000V(S)-V(S-{I})
250000V(S-{I})
64004000V(S)
{1,2,3}{1,3}{1,2}{1}S
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城一
城二
城三
38公里
20公里
建厂处
解决三城镇污水处理问题
城 1究竟应当承担多少费用
首先不难看出, S1={{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}}
计算出与 (11.1)式有关的数据并列成表
316
总投资大于单干总投资，
合作不可能实现，合作
获利为 0
城 2和城 3应该承担
的费用可类似算出
我们应该承担的是 2103万元！
