§ 4.4 差分方程建模
一、差分方程简介
以 t 表示时间，规 定 t只取非负整数。 t=0表示第一周期初，
t=1表示第二周期初等。 记 yt 为变量 y在时刻 t 时的取值，则
称 为 yt 的 一阶差分,称
为的 二阶差分 。类似地，可以定义 yt的 n阶差分。
由 t,yt及 yt的差分给出的方程称 为 yt差分方程，其中含的最
高阶差分的阶数称为该差分方程的 阶 。差分方程也可以写成
不显含差分的形式。例如，二阶差分方程
也可改写成
ttt yyy ??? ? 1
ttttttt yyyyyyy ??????????? ??? 1212 2)(
02 ????? ttt yyy 012 ??? ?? ttt yyy
满足一差分方程的序 列 yt称为此差分方程的解。类似于微分
方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶
数时，称此解为该差分方程 的 通解 。若解中不含任意常数，
则称此解为满足某些初值条件的 特解,例如，考察两阶差
分方程
02 ??? tt yy
易见
2s in
ty
t
?? 与
2c os
ty
t
?? 均是它的特解，而
tctcy t 2s i n2s i n 21 ?? ?? 则为它的通解，其 中 c1,c2为两个任
意常数。类似于微分方程，称差分方程
)()()()( 110 tbytaytayta tnntnt ???? ??? ?
为 n阶线性差分方程,当 ≠0时称其为 n阶非齐次线性差
分方程，而 )(tb
0)()()( 110 ???? ??? tnntnt ytaytayta ?
则被称为方程对应的 齐次线性差分方程 。
若所有的 ai(t)均为与 t无关的常数，则称其为 常系数差分
方程,即 n阶常系数线性差分方程可分成
)(110 tbyayaya tntntn ???? ??? ?（ 4.15）
的形式，其对应的齐次方程为
0110 ???? ??? tntntn yayaya ?（ 4.16）
)2(2)1(1 ttt ycycy ??
)1(ty )2(ty容易证明，若序列 与 均为方程（ 4.16）的解，则
也是方程（ 4.16）的解，其 中 c1,c2为任意常数，这说明，
齐次方程的解构成一个 线性空间 （解空间）。
此规律对于（ 4.15）也成立。
方程（ 4.15）可用如下的代数方法求其通解：
（ 步一 ）先求解对应的特征方程
0110 ???? ? tnnn yaaa ??? （ 4.17）
（ 步二 ）根据特征根的不同情况，求齐次方 程 (4.16)的通解
情况 1 若特征方程（ 4.17）有 n个互不相同的实根
1?
,…,
n?
，则齐次方程（ 4.16）的通解为
tnnt CC ?? ?? ?11 (C1,…,C n为任意常数 )
，
iC
情况 2 若 λ 是特征方程（ 4.17）的 k重根，通解中对应
于 λ的项为 tk
k tCC ?)( 11 ??? ?
为任意常数,i=1,…,k。
情况 3 若特征方程（ 4.17）有单重复根 ia ?? ??
通解中对应它们的项为 tt tt ???? s i nCc o sC 21 ?
22 ??? ?? 为 λ的模,??? a rc ta n? 为 λ的幅角。
情况 4 若 ia ?? ?? 为特征方程（ 4.17）的 k重复根，则通
解对应于它们的项为
tttt tktk ???? s i n)CC(c o s)CC( 12k1k1k1 ??? ???? ??
iC
为任意常数,i=1,…,2 k。
ty,若 yt为方程 (4.16)
的通解,则非齐次方程 (4.15)的通解为
（ 步三 ） 求非齐次方程 (4.15)的一个特解
tt yy ?
求非齐次方程（ 4.15）的特解一
般要用到 常数变易法,计算较繁。
对特殊形式 的 b(t)也可使用 待定
系数法 。
例 4.13 求解两阶差分方程 tyy tt ??? 2
解 对应齐次方程的特征方程为 012 ???,其特征根为
i??2,1?,对应齐次方程的通解为 tCtCy
t 2s i n2c o s 21
?? ??
原方程有形如 bat ? 的特解。代入原方程求得
2
1?a,
2
1??b,故原方程的通解为
2
1
2
1
2s i n2c o s 21 ??? ttCtC
??
在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，
在给定初值后，通常可用 计算机迭代 求解，但我们常常需要
讨论解的稳定性。对 差分方程 (4.15),若不论其对应齐次方程
的通解中任意常 数 C1,…,Cn如何取值,在 时总
有,则称方程 (7.14)的解是稳定 的,否则称其解为不
稳定 的,根据通解的结构不难看出,非齐次方程 (4.15)稳定的
充要条件为其所有特征根的模均小 于 1。
???t
0?ty
例 4.14（ 市场经济的蛛网模 型 ）
在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该
商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另
一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格
决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致
商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的
积极性，导致商品生产量的下降。
在市场经济中，对每一商品事实上存在着两个不同的
函数：
（ 1）供应函数 x=f(P),它是价格 P的单增函数，其曲
线称为供应曲线。
（ 2）需求函数 x=g(P),它是价格 P的单降函数，其
曲线称为需求曲线，供应曲线与需求曲线的
形状如图所示。
记 t时段初市场上的供应量 (即上
一时段的生产 量 )为 xt,市场上
该商品的价格 为 Pt 。商品成交的
价格是由需求曲线决定的,即
)(1 tt xgP ??
随着 ???t,Mt将趋于平衡点 M*,
即商品量将趋于平衡 量 x*,价格
将趋于平衡价 格 P*。 图中的箭线
反映了在市场经济下该商品的供
应量与价格的发展趋势。
x
o
P
P0
P2
P*
P1
xx1 x2 x0x*
需求曲线
供应曲线
M0
M2
M1
M*
①
P
o
M3
M2
M1
②
但是，如果供应曲线和需求曲
线呈图 ① 中的形状，则平衡点
M*是不稳定的,Mt将越来越远
离平衡点。
图 ① 和图 ② 的区别在哪里，
如何判定平衡点的稳定 性呢？
但是，如果供应曲线和需求曲线呈 图 ② 中的形状，则平衡点
M*是不稳定的,Mt将越来越远离平衡点。即使初始时刻的供
应量和价格对应于平衡点，一点微小的波动也会导致市场供
求出现越来越大的混乱。上述用图示法分析市场经济稳定性
的讨论在经济学中被称为市场经济的 蛛网模型 。
不难看出，在 图 ① 中平衡点
M*处供应曲线的切线斜率大于
需求曲线切线斜率的绝对值，
而在图 ② 中情况恰好相反。
现在利用差 分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是
否正确。我们知道，平衡 点 M*是否稳定取决于 在 M*附近供、
需曲线的局部性态。为此,用 M*处供、需曲线的线性近似
来代替它们，并讨论此线性近似模型 中 M*的稳定性。
设供应曲线与需求曲线的线性近似分别为
)( ** xxaPP ??? 和 )( ** xxbPP ??? 式中,a,b分别为供
应曲线在 M*处的切线斜率与需求曲线 在 M*处切线斜率的绝对值。
根据市场经济的规律，当供应量 为 xt时，现时段的价格
)( **1 xxbPP tt ????,又对价格 1?tP,由供应曲线
)( *1*1 xxaPP tt ??? ?? 解得下一时段的商品量
])([1)(1 *****1*1 PxxbPaxPPaxx ttt ???????? ??
)( ** xxabx t ??? 由此导出一阶差分方程：
*
1 1 xa
bx
a
bx
tt ??
??
?
? ???
? （ 4.18）
此差分方程的解在 (b/a)<1时是稳定的，从而证实了我们的
猜测。注意 到 a和 b的实际含义，上述结果在经济学上可作
如下解释,当 a>b时，顾客需求对价格的敏感度较小（小于
生产者的敏感程度），商品供应量和价格会自行调节而逐步
趋于稳定；反之,若 a<b（商品紧缺易引起顾客抢购），该
商品供售市场易造成混乱,
如果生产者对市场经济的蛛网模型有所了解，为了减少因价
格波动而造成的经济损失，他应当提高自己的经营水平，不
应当仅根据上一周期的价格来决定现阶段的生产量。例如可
以根据本时段与前一时段价格的平均值来确定生产量。此时，
若 t 时段的商品量为 xt 时，仍有
（ 4.21）
将（ 4.19）式、（ 4.21）式代入（ 4.20）式，整理得
)( **1 xxbPP tt ???? （ 4.19）
但 t+1时段的商品量则不再为 )(1 *
1
*
1 PPaxx tt ??? ??
而被修正为 )
2(
1 *1*
1 P
PP
axx
ttt ???? ?? （ 4.20）
由（ 4.19）式得 )( *
1* xxbPP tt ??? ?
*
11 )1(2 xa
bx
a
bx
a
bx
ttt ???? ??
（ 4.22）
（ 4.22）式是一个常系数二阶线性差分方程，特征方程为
02 2 ??? abab ??
其特征根为
4
8
2
a
b
a
b
a
b
??
?
?
?
?
???
??
记
a
br ? 。若 082 ?? rr,则 ? ? 2
4,m a x 221 ???
r???
此时差分方程（ 4.22）是不稳定的。
，
若 082 ?? rr,此时特征根
2,1?
为一对共轭复数，
)8(41 22,1 irrr ?????22,1
r?? 。
由线性差分方程稳定的条件,当 r<2即 b<2a时（ 4.22）式
是稳定的，从 而 M*是稳定的平衡点。
不难发现，生产者管理方式的
这一更动不仅使自己减少了因
价格波动而带来的损失，而且
大大消除了市场的不稳定性。
生产者在采取上述方式来确定
各时段的生产量后，如发现市
场仍不稳定（ b≥2a），可按类
似方法试图再改变确定生产量
的方式，此时可得到更高阶的
差分方程。对这些方程稳定性
条件的研究很可能会导出进一
步稳定市场经济的新措施。
例 4.15 国民经济的稳定性
国民收入的主要来源是生产，国民收入的开支主要用于消费
资金、投入再生产的积累资金及政府用于公共设施的开支。
现在我们用差分方程方法建立一个简略的模型，粗略地分析
一下国民经济的稳定性问题。
再生产的投资水 平 It取决于消费水平的变化量，设
0),( 1 ??? ? bCCbI ttt政府用于公共设施的开支在一个不太大的时期内变动不大，设
为常数 G。故由 GICy
ttt ???
可得出
GCCbayy tttt ???? ?? )( 11 。将 1?? tt ayC及21 ?? ? tt ayC 代入
10,1 ??? ? aayC tt 。
记 yt为第 t周期的国民收入,Ct为第 t周期的消费资金。 Ct的值决
定于前一周期的国民收入，设
Ga b yybay ttt ???? ?? 21)1( （ 4.23）
（ 4.23）式是一个二阶常系数差分方程，其特征方程为
0)1(2 ???? abba ??
，相应特征根为
1)1(41 22 ??? abba （ 4.24）
成立时才是稳定的。 （ 4.24）式可用于预报经济发展趋势。
现用待定系数法求方程 （ 4.23）的一个特解
ty
。令 Cy
t ?
代入（ 4.23）式，得
a
GC
?? 1
故当（ 4.24）式成立时，差分方程 （ 4.23）的通解为
a
GtCtCy t
t ???? 1)s i nc o s( 21 ???
其中 ρ为
2,1?
的模,ω为其幅角。
例如，若取
4
1?a,
2
1?b
易见，此时关系式 （ 4.12）成立，又若 取 y0=1600,y1=1700，
G=550，则由迭代公式
Ga b yybay ttt ???? ?? 21)1(
5 5 08389 21 ??? ?? tt yy
求得
y2=1862.5,y3=2007.8,y4=2110.3,y5=2171.2,y6=2201.2,
y7=2212.15,y8=2213.22,y9=2210.3,… 。
易见
2 2 0 01 ??? aGy t
例 4.16 商品销售量预测
(实例 )某商品前 5年的销售量见表 。现希望根据 前 5年的统
计数据预测 第 6年起该商品在各季度中的销售量。
从表中可以看出，该商品在 前 5年相同季节里的销售量呈增
长趋势，而在同一年中销售量先增后减，第一季度的销售量
最小而第三季度的销售量最大。预测该商品以后的销售情况，
一种办法是应 用 最小二乘法 建立经验模型。即根据本例中数
据的特征，可以按季度建立四个经验公式，分别用来预测以
后各年同一季度的销售量。例如，如认为第一季度的销售量
大体按线性增长，可设销售量
baty t ??)1(由
2
5
1
5
1
2
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
??
???
??
???
tt
t
t
tt
t
tt
ytty
a
15
25
32
17
15
24
30
15
13
20
27
15
12
18
26
14
11
16
25
12
1
2
3
4
第五年第四年第三年第二年第一年销售量季度
年份
???
?
???
? ???? ??
??
5
1
5
1 5
1,
5
1
tt
t ttyytayb
求得 a=1.3,b=9.5。
根据 预测第六年起第一季度的销售量 为
=17.3,=18.6,…
如认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或前几年同期销
售量的一定比例增长的，则可建立相应的差分方程模型。仍以
第一季度为例，为简便起见不再引入上标，以表示 第 t年第
一节季度的销售量，建立形式如下的差分方程：
5.93.1)1( ?? ty t
)1(6y )1(7y
110 ??? tt yaay 或 22110 ?? ??? ttt yayaay 等等。
上述差分方程中的系数不一定能使所有统计数据吻合，较为合
理的办法是用最小二乘法求一组总体吻合较好的数据。以建立
二阶差分方程
22110 ?? ??? ttt yayaay
为例，为选取 a0,a1,a2使
2
2110
5
3
)]([ ??
?
???? ttt
t
yyaay 最小，解线性方程组：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
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?
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????
????
???
?
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??
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?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
5
3
22
5
3
2
11
5
3
210
5
3
2
5
3
12
5
3
211
5
3
2
10
5
3
1
5
3
2
5
3
21
5
3
10
3
t
tt
t
t
t
tt
t
t
t
tt
t
tt
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
yyayayyay
yyayyayay
yayaya
即求解
?
?
?
?
?
???
???
???
5 3 14 3 44 8 336
5 9 14 8 35 3 840
4436403
210
210
210
aaa
aaa
aaa
得 a0=-8,a1=-1,a2=3。即所求二阶差分方程为
21 38 ?? ???? ttt yyy
虽然这一差分方程恰好使所有统计数据吻合，但这只是一个
巧合。根据这一方程，可迭代求出以后各年第一季度销售量
的预测值 y6=21,y7=19,… 等。
上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽
然其系数与前 5年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测
时预测值与事实不符。凭直觉，第六年估计值明显偏高，第
七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作分析，不难看出，
如分别对每一季度建立一差分方程，则根据统计数据拟合出
的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种 差异 应当
是微小的，故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差
分方程。 为此，将季度编号 为 t=1,2,…,20,令
410 ??? tt yaay 或 82410 ?? ??? ttt yayaay 等，利用全体数
据来拟合，求拟合得最好的系数。以二阶差分方程为例，为
求 a0,a1,a2使得
2
82410
20
9
210 )]([),,( ??
?
???? ? ttt
t
yayaayaaaf 最小
求解线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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?
?
?
?
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?
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?
?
?
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?
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?
?
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?
?
?
?
?
?
????
????
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
20
9
82
20
9
2
81
20
9
480
20
9
8
20
9
42
20
9
841
20
9
2
40
20
9
4
20
9
2
20
9
81
20
9
40
12
t
tt
t
t
t
tt
t
t
t
tt
t
tt
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
yyayayyay
yyayyayay
yayaya
即求解三元一次方程组
?
?
?
?
?
???
???
???
4 7 4 74 0 0 94 3 7 62 0 9
5 1 9 34 3 7 64 7 8 92 2 9
2 4 92 0 92 2 912
210
210
210
aaa
aaa
aaa
解得 a0=0.6937,a1=0.8737,a2=0.1941,故求得二阶差分方程
84 1 9 4 1.08 7 3 7.06 9 3 7.0 ?? ??? ttt yyy
（ t≥21）
根据此式迭代，可求得第六年和第七年第一季度销售量的预
测值为 y21=17.58,y25=19.16还是较为可信的。
例 4.16 人口问题的差分方程模型
在 § 3.2中，我们已经讨论了人口问题的两个常微分方程模
型 —— Malthus模型 和 Verhulst模型 （又称 Logistic模型）。
前者可用于人口增长的短期预测，后者在作中、长期预测时
效果较好。
1,离散时间 的 Logistic模型
在研究人口或种群数量的实际增长情况时，有时采用离散化
的时间变量更为方便。例如，有些种群具有相对较为固定的
繁殖期，按时段统计种群数量更接近种群的实际增长方式。
人口增长虽无这种特征，但人口普查不可能连续统计，任何
方式的普查都只能得到一些离散时刻的人口总量（指较大范
围的普查）。这样，如何建立人口问题的离散模型的问题十
分自然地提了出来。
建立离散模型的一条直接途径是 用 差分代替微分 。从人口问
题的 Logistic模型
?????? ???? NPaPPaaPdtdP 1)( aaN ?
可导出一阶差分方程
)1(1 NPaPPP tttt ???? （ 4.25）
(4.25)式中右端的因子 常被称为 阻尼因子 。 当 Pt＜＜
N时，种群增长接 近 Malthus模型；当 Pt接近 N时，这一因子
将越来越明显地发挥阻尼作用,若 Pt＜ N，它将使种群增长
速度 在 Pt接近 N时变得越来越慢，若 P＞ N，它将使种群呈负
增长。
)1( NPt?
（ 4.25）式可改写为
???
?
???
?
????? ttt PNa
aPaP
)1(1)1(1
（ 4.26）
记
???
?
???
?
?????? ttt PNa
axaP
)1(1),1(1
,于是 (4.26)式又可改写为
?,2,1,0 ),()1(1 ????? txfxbxx tttt （ 4.27）
虽然，（ 4.27）式是一个非线性差分方程，但对确定的初值 x0，
其后的 x1可利用方程确定的递推关系迭代求出。
差分方程（ 4.27）有两个平衡点,即 x*=0和 。类
似于微分方程稳定性的讨论，非线性差分方程平衡点的稳定
性也可通过对其线性近似方程平衡点稳定性的讨论部分地得
到确定（ 时不能确定除外）。例如，对,
讨论 在 x*处的线性近似方程
b
bx 1* ??
1??
b
bx 1* ??
)(1 tt xfx ??
))(( ***1 xxxfxx tt ?????
可知，当 12)(
* ????? bxf?
（即 31 ?? b ）时平衡点
b
b 1? 是稳定的，此时
Nxa NaP tt ??? )1( （ 11* ????? a abbxx t? ）
若当,则平稳点 是不稳定的，（这与对
一切 a,p*=N均为 Logistic方程的稳定平衡点不同）。12 ??? b? b
b 1?
一、差分方程简介
以 t 表示时间，规 定 t只取非负整数。 t=0表示第一周期初，
t=1表示第二周期初等。 记 yt 为变量 y在时刻 t 时的取值，则
称 为 yt 的 一阶差分,称
为的 二阶差分 。类似地，可以定义 yt的 n阶差分。
由 t,yt及 yt的差分给出的方程称 为 yt差分方程，其中含的最
高阶差分的阶数称为该差分方程的 阶 。差分方程也可以写成
不显含差分的形式。例如，二阶差分方程
也可改写成
ttt yyy ??? ? 1
ttttttt yyyyyyy ??????????? ??? 1212 2)(
02 ????? ttt yyy 012 ??? ?? ttt yyy
满足一差分方程的序 列 yt称为此差分方程的解。类似于微分
方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶
数时，称此解为该差分方程 的 通解 。若解中不含任意常数，
则称此解为满足某些初值条件的 特解,例如，考察两阶差
分方程
02 ??? tt yy
易见
2s in
ty
t
?? 与
2c os
ty
t
?? 均是它的特解，而
tctcy t 2s i n2s i n 21 ?? ?? 则为它的通解，其 中 c1,c2为两个任
意常数。类似于微分方程，称差分方程
)()()()( 110 tbytaytayta tnntnt ???? ??? ?
为 n阶线性差分方程,当 ≠0时称其为 n阶非齐次线性差
分方程，而 )(tb
0)()()( 110 ???? ??? tnntnt ytaytayta ?
则被称为方程对应的 齐次线性差分方程 。
若所有的 ai(t)均为与 t无关的常数，则称其为 常系数差分
方程,即 n阶常系数线性差分方程可分成
)(110 tbyayaya tntntn ???? ??? ?（ 4.15）
的形式，其对应的齐次方程为
0110 ???? ??? tntntn yayaya ?（ 4.16）
)2(2)1(1 ttt ycycy ??
)1(ty )2(ty容易证明，若序列 与 均为方程（ 4.16）的解，则
也是方程（ 4.16）的解，其 中 c1,c2为任意常数，这说明，
齐次方程的解构成一个 线性空间 （解空间）。
此规律对于（ 4.15）也成立。
方程（ 4.15）可用如下的代数方法求其通解：
（ 步一 ）先求解对应的特征方程
0110 ???? ? tnnn yaaa ??? （ 4.17）
（ 步二 ）根据特征根的不同情况，求齐次方 程 (4.16)的通解
情况 1 若特征方程（ 4.17）有 n个互不相同的实根
1?
,…,
n?
，则齐次方程（ 4.16）的通解为
tnnt CC ?? ?? ?11 (C1,…,C n为任意常数 )
，
iC
情况 2 若 λ 是特征方程（ 4.17）的 k重根，通解中对应
于 λ的项为 tk
k tCC ?)( 11 ??? ?
为任意常数,i=1,…,k。
情况 3 若特征方程（ 4.17）有单重复根 ia ?? ??
通解中对应它们的项为 tt tt ???? s i nCc o sC 21 ?
22 ??? ?? 为 λ的模,??? a rc ta n? 为 λ的幅角。
情况 4 若 ia ?? ?? 为特征方程（ 4.17）的 k重复根，则通
解对应于它们的项为
tttt tktk ???? s i n)CC(c o s)CC( 12k1k1k1 ??? ???? ??
iC
为任意常数,i=1,…,2 k。
ty,若 yt为方程 (4.16)
的通解,则非齐次方程 (4.15)的通解为
（ 步三 ） 求非齐次方程 (4.15)的一个特解
tt yy ?
求非齐次方程（ 4.15）的特解一
般要用到 常数变易法,计算较繁。
对特殊形式 的 b(t)也可使用 待定
系数法 。
例 4.13 求解两阶差分方程 tyy tt ??? 2
解 对应齐次方程的特征方程为 012 ???,其特征根为
i??2,1?,对应齐次方程的通解为 tCtCy
t 2s i n2c o s 21
?? ??
原方程有形如 bat ? 的特解。代入原方程求得
2
1?a,
2
1??b,故原方程的通解为
2
1
2
1
2s i n2c o s 21 ??? ttCtC
??
在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，
在给定初值后，通常可用 计算机迭代 求解，但我们常常需要
讨论解的稳定性。对 差分方程 (4.15),若不论其对应齐次方程
的通解中任意常 数 C1,…,Cn如何取值,在 时总
有,则称方程 (7.14)的解是稳定 的,否则称其解为不
稳定 的,根据通解的结构不难看出,非齐次方程 (4.15)稳定的
充要条件为其所有特征根的模均小 于 1。
???t
0?ty
例 4.14（ 市场经济的蛛网模 型 ）
在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该
商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另
一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格
决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致
商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的
积极性，导致商品生产量的下降。
在市场经济中，对每一商品事实上存在着两个不同的
函数：
（ 1）供应函数 x=f(P),它是价格 P的单增函数，其曲
线称为供应曲线。
（ 2）需求函数 x=g(P),它是价格 P的单降函数，其
曲线称为需求曲线，供应曲线与需求曲线的
形状如图所示。
记 t时段初市场上的供应量 (即上
一时段的生产 量 )为 xt,市场上
该商品的价格 为 Pt 。商品成交的
价格是由需求曲线决定的,即
)(1 tt xgP ??
随着 ???t,Mt将趋于平衡点 M*,
即商品量将趋于平衡 量 x*,价格
将趋于平衡价 格 P*。 图中的箭线
反映了在市场经济下该商品的供
应量与价格的发展趋势。
x
o
P
P0
P2
P*
P1
xx1 x2 x0x*
需求曲线
供应曲线
M0
M2
M1
M*
①
P
o
M3
M2
M1
②
但是，如果供应曲线和需求曲
线呈图 ① 中的形状，则平衡点
M*是不稳定的,Mt将越来越远
离平衡点。
图 ① 和图 ② 的区别在哪里，
如何判定平衡点的稳定 性呢？
但是，如果供应曲线和需求曲线呈 图 ② 中的形状，则平衡点
M*是不稳定的,Mt将越来越远离平衡点。即使初始时刻的供
应量和价格对应于平衡点，一点微小的波动也会导致市场供
求出现越来越大的混乱。上述用图示法分析市场经济稳定性
的讨论在经济学中被称为市场经济的 蛛网模型 。
不难看出，在 图 ① 中平衡点
M*处供应曲线的切线斜率大于
需求曲线切线斜率的绝对值，
而在图 ② 中情况恰好相反。
现在利用差 分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是
否正确。我们知道，平衡 点 M*是否稳定取决于 在 M*附近供、
需曲线的局部性态。为此,用 M*处供、需曲线的线性近似
来代替它们，并讨论此线性近似模型 中 M*的稳定性。
设供应曲线与需求曲线的线性近似分别为
)( ** xxaPP ??? 和 )( ** xxbPP ??? 式中,a,b分别为供
应曲线在 M*处的切线斜率与需求曲线 在 M*处切线斜率的绝对值。
根据市场经济的规律，当供应量 为 xt时，现时段的价格
)( **1 xxbPP tt ????,又对价格 1?tP,由供应曲线
)( *1*1 xxaPP tt ??? ?? 解得下一时段的商品量
])([1)(1 *****1*1 PxxbPaxPPaxx ttt ???????? ??
)( ** xxabx t ??? 由此导出一阶差分方程：
*
1 1 xa
bx
a
bx
tt ??
??
?
? ???
? （ 4.18）
此差分方程的解在 (b/a)<1时是稳定的，从而证实了我们的
猜测。注意 到 a和 b的实际含义，上述结果在经济学上可作
如下解释,当 a>b时，顾客需求对价格的敏感度较小（小于
生产者的敏感程度），商品供应量和价格会自行调节而逐步
趋于稳定；反之,若 a<b（商品紧缺易引起顾客抢购），该
商品供售市场易造成混乱,
如果生产者对市场经济的蛛网模型有所了解，为了减少因价
格波动而造成的经济损失，他应当提高自己的经营水平，不
应当仅根据上一周期的价格来决定现阶段的生产量。例如可
以根据本时段与前一时段价格的平均值来确定生产量。此时，
若 t 时段的商品量为 xt 时，仍有
（ 4.21）
将（ 4.19）式、（ 4.21）式代入（ 4.20）式，整理得
)( **1 xxbPP tt ???? （ 4.19）
但 t+1时段的商品量则不再为 )(1 *
1
*
1 PPaxx tt ??? ??
而被修正为 )
2(
1 *1*
1 P
PP
axx
ttt ???? ?? （ 4.20）
由（ 4.19）式得 )( *
1* xxbPP tt ??? ?
*
11 )1(2 xa
bx
a
bx
a
bx
ttt ???? ??
（ 4.22）
（ 4.22）式是一个常系数二阶线性差分方程，特征方程为
02 2 ??? abab ??
其特征根为
4
8
2
a
b
a
b
a
b
??
?
?
?
?
???
??
记
a
br ? 。若 082 ?? rr,则 ? ? 2
4,m a x 221 ???
r???
此时差分方程（ 4.22）是不稳定的。
，
若 082 ?? rr,此时特征根
2,1?
为一对共轭复数，
)8(41 22,1 irrr ?????22,1
r?? 。
由线性差分方程稳定的条件,当 r<2即 b<2a时（ 4.22）式
是稳定的，从 而 M*是稳定的平衡点。
不难发现，生产者管理方式的
这一更动不仅使自己减少了因
价格波动而带来的损失，而且
大大消除了市场的不稳定性。
生产者在采取上述方式来确定
各时段的生产量后，如发现市
场仍不稳定（ b≥2a），可按类
似方法试图再改变确定生产量
的方式，此时可得到更高阶的
差分方程。对这些方程稳定性
条件的研究很可能会导出进一
步稳定市场经济的新措施。
例 4.15 国民经济的稳定性
国民收入的主要来源是生产，国民收入的开支主要用于消费
资金、投入再生产的积累资金及政府用于公共设施的开支。
现在我们用差分方程方法建立一个简略的模型，粗略地分析
一下国民经济的稳定性问题。
再生产的投资水 平 It取决于消费水平的变化量，设
0),( 1 ??? ? bCCbI ttt政府用于公共设施的开支在一个不太大的时期内变动不大，设
为常数 G。故由 GICy
ttt ???
可得出
GCCbayy tttt ???? ?? )( 11 。将 1?? tt ayC及21 ?? ? tt ayC 代入
10,1 ??? ? aayC tt 。
记 yt为第 t周期的国民收入,Ct为第 t周期的消费资金。 Ct的值决
定于前一周期的国民收入，设
Ga b yybay ttt ???? ?? 21)1( （ 4.23）
（ 4.23）式是一个二阶常系数差分方程，其特征方程为
0)1(2 ???? abba ??
，相应特征根为
1)1(41 22 ??? abba （ 4.24）
成立时才是稳定的。 （ 4.24）式可用于预报经济发展趋势。
现用待定系数法求方程 （ 4.23）的一个特解
ty
。令 Cy
t ?
代入（ 4.23）式，得
a
GC
?? 1
故当（ 4.24）式成立时，差分方程 （ 4.23）的通解为
a
GtCtCy t
t ???? 1)s i nc o s( 21 ???
其中 ρ为
2,1?
的模,ω为其幅角。
例如，若取
4
1?a,
2
1?b
易见，此时关系式 （ 4.12）成立，又若 取 y0=1600,y1=1700，
G=550，则由迭代公式
Ga b yybay ttt ???? ?? 21)1(
5 5 08389 21 ??? ?? tt yy
求得
y2=1862.5,y3=2007.8,y4=2110.3,y5=2171.2,y6=2201.2,
y7=2212.15,y8=2213.22,y9=2210.3,… 。
易见
2 2 0 01 ??? aGy t
例 4.16 商品销售量预测
(实例 )某商品前 5年的销售量见表 。现希望根据 前 5年的统
计数据预测 第 6年起该商品在各季度中的销售量。
从表中可以看出，该商品在 前 5年相同季节里的销售量呈增
长趋势，而在同一年中销售量先增后减，第一季度的销售量
最小而第三季度的销售量最大。预测该商品以后的销售情况，
一种办法是应 用 最小二乘法 建立经验模型。即根据本例中数
据的特征，可以按季度建立四个经验公式，分别用来预测以
后各年同一季度的销售量。例如，如认为第一季度的销售量
大体按线性增长，可设销售量
baty t ??)1(由
2
5
1
5
1
2
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
??
???
??
???
tt
t
t
tt
t
tt
ytty
a
15
25
32
17
15
24
30
15
13
20
27
15
12
18
26
14
11
16
25
12
1
2
3
4
第五年第四年第三年第二年第一年销售量季度
年份
???
?
???
? ???? ??
??
5
1
5
1 5
1,
5
1
tt
t ttyytayb
求得 a=1.3,b=9.5。
根据 预测第六年起第一季度的销售量 为
=17.3,=18.6,…
如认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或前几年同期销
售量的一定比例增长的，则可建立相应的差分方程模型。仍以
第一季度为例，为简便起见不再引入上标，以表示 第 t年第
一节季度的销售量，建立形式如下的差分方程：
5.93.1)1( ?? ty t
)1(6y )1(7y
110 ??? tt yaay 或 22110 ?? ??? ttt yayaay 等等。
上述差分方程中的系数不一定能使所有统计数据吻合，较为合
理的办法是用最小二乘法求一组总体吻合较好的数据。以建立
二阶差分方程
22110 ?? ??? ttt yayaay
为例，为选取 a0,a1,a2使
2
2110
5
3
)]([ ??
?
???? ttt
t
yyaay 最小，解线性方程组：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
5
3
22
5
3
2
11
5
3
210
5
3
2
5
3
12
5
3
211
5
3
2
10
5
3
1
5
3
2
5
3
21
5
3
10
3
t
tt
t
t
t
tt
t
t
t
tt
t
tt
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
yyayayyay
yyayyayay
yayaya
即求解
?
?
?
?
?
???
???
???
5 3 14 3 44 8 336
5 9 14 8 35 3 840
4436403
210
210
210
aaa
aaa
aaa
得 a0=-8,a1=-1,a2=3。即所求二阶差分方程为
21 38 ?? ???? ttt yyy
虽然这一差分方程恰好使所有统计数据吻合，但这只是一个
巧合。根据这一方程，可迭代求出以后各年第一季度销售量
的预测值 y6=21,y7=19,… 等。
上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽
然其系数与前 5年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测
时预测值与事实不符。凭直觉，第六年估计值明显偏高，第
七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作分析，不难看出，
如分别对每一季度建立一差分方程，则根据统计数据拟合出
的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种 差异 应当
是微小的，故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差
分方程。 为此，将季度编号 为 t=1,2,…,20,令
410 ??? tt yaay 或 82410 ?? ??? ttt yayaay 等，利用全体数
据来拟合，求拟合得最好的系数。以二阶差分方程为例，为
求 a0,a1,a2使得
2
82410
20
9
210 )]([),,( ??
?
???? ? ttt
t
yayaayaaaf 最小
求解线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
20
9
82
20
9
2
81
20
9
480
20
9
8
20
9
42
20
9
841
20
9
2
40
20
9
4
20
9
2
20
9
81
20
9
40
12
t
tt
t
t
t
tt
t
t
t
tt
t
tt
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
yyayayyay
yyayyayay
yayaya
即求解三元一次方程组
?
?
?
?
?
???
???
???
4 7 4 74 0 0 94 3 7 62 0 9
5 1 9 34 3 7 64 7 8 92 2 9
2 4 92 0 92 2 912
210
210
210
aaa
aaa
aaa
解得 a0=0.6937,a1=0.8737,a2=0.1941,故求得二阶差分方程
84 1 9 4 1.08 7 3 7.06 9 3 7.0 ?? ??? ttt yyy
（ t≥21）
根据此式迭代，可求得第六年和第七年第一季度销售量的预
测值为 y21=17.58,y25=19.16还是较为可信的。
例 4.16 人口问题的差分方程模型
在 § 3.2中，我们已经讨论了人口问题的两个常微分方程模
型 —— Malthus模型 和 Verhulst模型 （又称 Logistic模型）。
前者可用于人口增长的短期预测，后者在作中、长期预测时
效果较好。
1,离散时间 的 Logistic模型
在研究人口或种群数量的实际增长情况时，有时采用离散化
的时间变量更为方便。例如，有些种群具有相对较为固定的
繁殖期，按时段统计种群数量更接近种群的实际增长方式。
人口增长虽无这种特征，但人口普查不可能连续统计，任何
方式的普查都只能得到一些离散时刻的人口总量（指较大范
围的普查）。这样，如何建立人口问题的离散模型的问题十
分自然地提了出来。
建立离散模型的一条直接途径是 用 差分代替微分 。从人口问
题的 Logistic模型
?????? ???? NPaPPaaPdtdP 1)( aaN ?
可导出一阶差分方程
)1(1 NPaPPP tttt ???? （ 4.25）
(4.25)式中右端的因子 常被称为 阻尼因子 。 当 Pt＜＜
N时，种群增长接 近 Malthus模型；当 Pt接近 N时，这一因子
将越来越明显地发挥阻尼作用,若 Pt＜ N，它将使种群增长
速度 在 Pt接近 N时变得越来越慢，若 P＞ N，它将使种群呈负
增长。
)1( NPt?
（ 4.25）式可改写为
???
?
???
?
????? ttt PNa
aPaP
)1(1)1(1
（ 4.26）
记
???
?
???
?
?????? ttt PNa
axaP
)1(1),1(1
,于是 (4.26)式又可改写为
?,2,1,0 ),()1(1 ????? txfxbxx tttt （ 4.27）
虽然，（ 4.27）式是一个非线性差分方程，但对确定的初值 x0，
其后的 x1可利用方程确定的递推关系迭代求出。
差分方程（ 4.27）有两个平衡点,即 x*=0和 。类
似于微分方程稳定性的讨论，非线性差分方程平衡点的稳定
性也可通过对其线性近似方程平衡点稳定性的讨论部分地得
到确定（ 时不能确定除外）。例如，对,
讨论 在 x*处的线性近似方程
b
bx 1* ??
1??
b
bx 1* ??
)(1 tt xfx ??
))(( ***1 xxxfxx tt ?????
可知，当 12)(
* ????? bxf?
（即 31 ?? b ）时平衡点
b
b 1? 是稳定的，此时
Nxa NaP tt ??? )1( （ 11* ????? a abbxx t? ）
若当,则平稳点 是不稳定的，（这与对
一切 a,p*=N均为 Logistic方程的稳定平衡点不同）。12 ??? b? b
b 1?
