第四章
浙江大学数学建模 实践基地
基于线性代数与 差分方程方法的模型
在第三章中，我们有多处对不连续变化的变量采取了连续
化的方法，从而建立了相应的微分方程模型。但是由于以
下原因：
第一,有时变量事实上只能取自一个有限的集合；
第二,有时采取连续化方法后建立的模型比较复杂，无法
求出问题的解，从而只能求它们的数值解。也就是说，在
建模时我们对离散变量作了连续化处理，而在求解时，又
对连续变量作了离散化处理，使之重新变为离散变量。所
以采取连续化方法的效果有时并不很好，因而是不可取的。
电子计算机的广泛应用为我们处理大量信息
提供了实现的可能，这就十分自然地提出了
一个问题，对具有离散变量的实际问题直接
建立一个离散模型是否更为可取？本章介绍
的几个模型就是基于这种想法建立起来的。
§ 4.1 状态转移问题
所谓状态转移问题讨论的是在一定的条件下，系统由一状态
逐步转移到另一状态是否可能，如果可以转移的话，应如何
具体实现？
例 4.1 人、狗、鸡、米过河问题
这是一个人所共知而又十分简单的智力游戏。某人要带狗、
鸡、米过河，但小船除需要人划外，最多只能载一物过河，
而当人不在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米，问此人应如何过河。
在本问题中，可采取如下方法：一物在此岸时相应分量为 1，
而在彼岸时则取 为 0，例如 （ 1,0,1,0） 表示人和鸡在此岸，
而狗和米则在对岸。
（ i） 可取状态,根据题意，并非所有状态都是允许的，例如
（ 0,1,1,0）就是一个不可取的状态。本题中可取状态（即系
统允许的状态）可以用穷举法列出来，它们是：
人在此岸 人在对岸
(1,1,1,1) (0,0,0,0)
(1,1,1,0) (0,0,0,1)
(1,1,0,1) (0,0,1,0)
(1,0,1,1) (0,1,0,0)
(1,0,1,0) (0,1,0,1)
总共有十个可取状态，对一般情况，应找出状态为可取的充
要条件。
（ ii） 可取运算,状态转移需经状态运算来实现。在实际问题
中，摆一次渡即可改变现有状态。为此也引入一个四维向量
（转移向量），用它来反映摆渡情况。例如 （ 1,1,0,0）
表示人带狗摆渡过河。根据题意，允许使用的转移向量只能
有（ 1,0,0,0，）、（ 1,1,0,0）、（ 1,0,1,0）、
（ 1,0,0,1）四个。
规定一个状态向量与转移向量之间的运算。规定状态向量与
转移向量之和为一新的状态向量，其运算为对应分量相加，
且规定 0+0=0,1+0=0+1=1,1+1=0。
在具体转移时，只考虑由可取状态到可取状态的转移。问题
化为：
由初始状态（ 1,1,1,1）出发，经奇数次上述运算转化为
（ 0,0,0,0）的转移过程。
我们可以如下进行分析,
（第一次渡河）
( 不可取)
( 不可取)
( 可取)
( 不可取)
( 0,1,1,1 )
( 0,1,1,0 )
( 0,1,0,1 )
( 0,0,1,1 )
( 1,0,0,0 )
( 1,0,0,1 )
( 1,0,1,0 )
( 1,1,0,0 )
( 1,1,1,1 )
?
?
?
?
?
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?
?
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?
?
?
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（第二次渡河）
?
?
?
?
?
?
?
?
( 1,0,0,0 )
( 1,0,0,1 )
( 1,0,1,0 )
( 1,1,0,0 )
( 0,1,0,1 )
( 可取)
( 不可取)
过的状态)( 循环,回到原先出现
( 不可取)
( 1,1,0,1 )
( 1,1,0,0 )
( 1,1,1,1 )
( 1,0,0,1 )
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
＝
以下可继续进行下去，直至转移目的实现。上述分析实际
上采用的是穷举法，对于规模较大的问题是不宜采用的。
例 4.2 夫妻过河问题
这是一个古老的阿拉伯数学问题。有三对夫妻要
过河，船最多可载两人，约束条件是根据阿拉伯
法律，任一女子不得在其丈夫不场的情况下与其
他男子在一起，问此时这三对夫妻能否过河？
这一问题的状态和运算与
前一问题有所不同，根据
题意，状态应能反映出两
岸的男女人数，过河也同
样要反映出性别
故可如下定义,（ i）
可取状态, 用 H和 W分别表示此岸的男子和女子
数，状态可用矢量 （ H,W） 表示，其中 0≤H、
W≤3。可取状态为（ 0,i）,(i,i),(3,i),0≤i≤3。
(i,i)为可取状态，这是因为总可以适当安排而使他
们是 i对夫妻。 （ ii） 可取运算,
过河方式可以是一对夫妻、两个男人或两个女人，
当然也可以是一人过河。转移向量可取成 ((－
1)im,(－ 1)in),其中 m,n可取 0,1,2，但必须
满足 1≤m+n≤2。当 j为奇数时表示过河。 当 j为偶
数时表示由对岸回来，运算规则同普通向量的加
法。
问题归结为由状态 (3,3)经 奇数次 可取运算，即由可取状
态到可取状态的转移，转化 为 (0,0)的转移问题。和上题一样，
我们既可以用计算机求解，也可以分析求解，此外，本题还
可用 作图 方法来求解。
在 H~W平面坐标中，以, ·”表示可取状态,从 A(3,3)经奇数
次转移到 达 O(0,0)。奇数次 转移时向左或下移 动 1-2格而落
在一个可取状态上,偶数次 转移时向右或上移 动 1-2格而落在
一个可取状态上。为了区分起见,用 红 箭线表示 奇 数次转移，
用 蓝 箭线表示第 偶 数 次转移,下图给出了一种可实现的方案,
故
A(3,3)
O(0,0) H
W
这 三 对夫妻是可以过河的 。假如按
这样的方案过 河,共需经过 十一 次摆
渡。
不难看出,在上述规则下,4对夫妻就
无法过河了,读者可以自行证明之,类
似可以讨论船每次可载三人的情况,
其结果 是 5对夫妻是可以过河的,而
六 对以上时就 无法过河 了。
浙江大学数学建模 实践基地
基于线性代数与 差分方程方法的模型
在第三章中，我们有多处对不连续变化的变量采取了连续
化的方法，从而建立了相应的微分方程模型。但是由于以
下原因：
第一,有时变量事实上只能取自一个有限的集合；
第二,有时采取连续化方法后建立的模型比较复杂，无法
求出问题的解，从而只能求它们的数值解。也就是说，在
建模时我们对离散变量作了连续化处理，而在求解时，又
对连续变量作了离散化处理，使之重新变为离散变量。所
以采取连续化方法的效果有时并不很好，因而是不可取的。
电子计算机的广泛应用为我们处理大量信息
提供了实现的可能，这就十分自然地提出了
一个问题，对具有离散变量的实际问题直接
建立一个离散模型是否更为可取？本章介绍
的几个模型就是基于这种想法建立起来的。
§ 4.1 状态转移问题
所谓状态转移问题讨论的是在一定的条件下，系统由一状态
逐步转移到另一状态是否可能，如果可以转移的话，应如何
具体实现？
例 4.1 人、狗、鸡、米过河问题
这是一个人所共知而又十分简单的智力游戏。某人要带狗、
鸡、米过河，但小船除需要人划外，最多只能载一物过河，
而当人不在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米，问此人应如何过河。
在本问题中，可采取如下方法：一物在此岸时相应分量为 1，
而在彼岸时则取 为 0，例如 （ 1,0,1,0） 表示人和鸡在此岸，
而狗和米则在对岸。
（ i） 可取状态,根据题意，并非所有状态都是允许的，例如
（ 0,1,1,0）就是一个不可取的状态。本题中可取状态（即系
统允许的状态）可以用穷举法列出来，它们是：
人在此岸 人在对岸
(1,1,1,1) (0,0,0,0)
(1,1,1,0) (0,0,0,1)
(1,1,0,1) (0,0,1,0)
(1,0,1,1) (0,1,0,0)
(1,0,1,0) (0,1,0,1)
总共有十个可取状态，对一般情况，应找出状态为可取的充
要条件。
（ ii） 可取运算,状态转移需经状态运算来实现。在实际问题
中，摆一次渡即可改变现有状态。为此也引入一个四维向量
（转移向量），用它来反映摆渡情况。例如 （ 1,1,0,0）
表示人带狗摆渡过河。根据题意，允许使用的转移向量只能
有（ 1,0,0,0，）、（ 1,1,0,0）、（ 1,0,1,0）、
（ 1,0,0,1）四个。
规定一个状态向量与转移向量之间的运算。规定状态向量与
转移向量之和为一新的状态向量，其运算为对应分量相加，
且规定 0+0=0,1+0=0+1=1,1+1=0。
在具体转移时，只考虑由可取状态到可取状态的转移。问题
化为：
由初始状态（ 1,1,1,1）出发，经奇数次上述运算转化为
（ 0,0,0,0）的转移过程。
我们可以如下进行分析,
（第一次渡河）
( 不可取)
( 不可取)
( 可取)
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( 0,1,1,1 )
( 0,1,1,0 )
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( 可取)
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过的状态)( 循环,回到原先出现
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以下可继续进行下去，直至转移目的实现。上述分析实际
上采用的是穷举法，对于规模较大的问题是不宜采用的。
例 4.2 夫妻过河问题
这是一个古老的阿拉伯数学问题。有三对夫妻要
过河，船最多可载两人，约束条件是根据阿拉伯
法律，任一女子不得在其丈夫不场的情况下与其
他男子在一起，问此时这三对夫妻能否过河？
这一问题的状态和运算与
前一问题有所不同，根据
题意，状态应能反映出两
岸的男女人数，过河也同
样要反映出性别
故可如下定义,（ i）
可取状态, 用 H和 W分别表示此岸的男子和女子
数，状态可用矢量 （ H,W） 表示，其中 0≤H、
W≤3。可取状态为（ 0,i）,(i,i),(3,i),0≤i≤3。
(i,i)为可取状态，这是因为总可以适当安排而使他
们是 i对夫妻。 （ ii） 可取运算,
过河方式可以是一对夫妻、两个男人或两个女人，
当然也可以是一人过河。转移向量可取成 ((－
1)im,(－ 1)in),其中 m,n可取 0,1,2，但必须
满足 1≤m+n≤2。当 j为奇数时表示过河。 当 j为偶
数时表示由对岸回来，运算规则同普通向量的加
法。
问题归结为由状态 (3,3)经 奇数次 可取运算，即由可取状
态到可取状态的转移，转化 为 (0,0)的转移问题。和上题一样，
我们既可以用计算机求解，也可以分析求解，此外，本题还
可用 作图 方法来求解。
在 H~W平面坐标中，以, ·”表示可取状态,从 A(3,3)经奇数
次转移到 达 O(0,0)。奇数次 转移时向左或下移 动 1-2格而落
在一个可取状态上,偶数次 转移时向右或上移 动 1-2格而落在
一个可取状态上。为了区分起见,用 红 箭线表示 奇 数次转移，
用 蓝 箭线表示第 偶 数 次转移,下图给出了一种可实现的方案,
故
A(3,3)
O(0,0) H
W
这 三 对夫妻是可以过河的 。假如按
这样的方案过 河,共需经过 十一 次摆
渡。
不难看出,在上述规则下,4对夫妻就
无法过河了,读者可以自行证明之,类
似可以讨论船每次可载三人的情况,
其结果 是 5对夫妻是可以过河的,而
六 对以上时就 无法过河 了。
