某地区物
价指数图
§ 9.5 物价指数问题
怎样定义和计算物价指数
单种商品的情况
设基准年价格为 P0，目前价格为 P
可如下定义物价指数：
0
0 ),(
P
PPPI ?
社会中的商品不可能
只有一种。多种商品
的问题更为复杂
多种商品的情况
假设有两种商品，基准年价格分别为,,目前价格分别
为 P1,P2。可采用多种平均方法来定义：
01P 02P
? 算术平均值之比：
0
2
0
1
21
0
2
0
1
21
21
0
2
0
11
)(
2
1
)(
2
1
),,,(
PP
PP
PP
PP
PPPPI
?
?
?
?
?
?
? 比值的算术平均值：
???
?
???
? ??
0
2
2
0
1
1
21
0
2
0
12 2
1),,,(
P
P
P
PPPPPI
? 比值的调和平均值,
0
21
0
11
21
21
0
2
0
13
2),,,(
PPPP
PPPPPPI
??
? 比值的几何平均值,
0
2
0
1
21
21
0
2
0
14 ),,,( PP
PPPPPPI ?
假如存在着 n种商品，可以相应地写出类似的公式。上述方法没有区别不 同商品的重要性
事实上各种商品在人们生活中
所占地位不尽相同，例如，钢
琴降价 20%和粮食涨价 20%无
法对消。
模型的进一步改进
引入权系数
对各种商品的比值进行加权,并允许相对权系数随时间变化
符号说明
记,
，
),,( 0010 nPPP ??
),,( 1 nqqq ??),,( 1 nPPP ??
),,( 0010 nqqq ??
以 P0,q0分别表示基准年 n种商品的价格及相应的权系数，
以 P,q分别表示观察年 n种商品的价格及相应的权系数。
物价指数 I(P0,q0,P,q)为 的连续函数。
?? ? RR n4
物价指数函数
前面的公式能否取作物价指数函数
对衡量物价指数方法的一些具体要求：
（ 1）单调性
（ 2）权系数的不变性
（ 3）齐次性
（ 4）平均性
（ 5）货币单位的独立性
（ 6）商品单位的独立性
（ 7）基准年的独立性
（ 8）物价指数不因某种商品的淘汰而失去意义
用数学的语言将上述八条性质写成公理形式
任一物价指数函数 I(P0,q0,P,q)应满足以下要求：
PP?(1) 若,则 ),;,(),;,( 0000 qPqPIqPqPI ?
(2) =1),;,( 000 qPqPI
(3) ),;(),;,( 0000 qPqPIqPqPI ?? ?
(4)
),,1( m ax),,,(m i n 0000 niPPqPqPIPP
i
i
ii
i
i
????
(5) )( ),,,(),,:( 0000 ??? RqPqPIqPqPI ???
(6) ),,,(),,,( 001010 qPqPIqDDPqDDPI ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
D
?
?
0
01
?其中,且 λi>0 （ i=1,…,n ）
(7)
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
00
00
00
00
qPqPI
qPqPI
qPqPI
qPqPI ?
(8)
?? ? RqPqPIip ),,,(lim 000
公理（ 7） 的一些说明
若以 1972年为基准年（物价指数取为 1），则 1989年美
国物价指数为 1.660，而 1980年为 1.843，若以 1973年为基准
年，则 1979年和 1980年美国物价指数分别为 1.093和 1.209。
根据公理（ 7）的要求，应当有
,事实上，此式只近似成立。
093.1
209.1
660.1
843.1 ?
请大家自行验证前面给出的公
式 I1－ I4是否都能同时满足公
理系统的 (1)－ (8)要求
一些常用的物价指数函数是否满足公理系统的要求
nn
nn
PqPq
PqPq
Pq
PqqPqPI
00
1
0
1
0
1
0
1
00
0
00 ),,,(
??
????
?
??
此公式是由 laspeyres于 1871年提出，
在将近一个世纪的时间里,被广泛用
于计算物价指数
可以用构造法证明上式公理（ 7)不成立
,即
不一定成立。
00
0
00
0
00
0
00
0
Pq
Pq
Pq
Pq
Pq
Pq
Pq
Pq ?
00
0
00
0
Pq
Pq
Pq
Pq ?
00
00 ),,,(
Pq
qPqPqPI ?
?
此式是 Paasche在 1874年提出的，与
①不同的是计算时采用了现在的权
系数。
容易直接看出公理（ 2）不成立。
?
其中 ai>0，且
?
?
???
?
???
?? n
i
a
i
i
i
P
PqPqPI
1
0
00 ),,,(
1
1
??
?
n
i
ia
此式是平均方式（ 4）的一种自然
推广。 ai的取法和 q0,q有关，实质
上是权系数的一种变形 。
该式也不能同时满足公理（ 1） — （ 8）。
令某,则 I→0,而
若令某,则又有
0?ip
??R0
00 ?ip ???I
所有较自然地导出的平衡公
式均不能满足公理系统，是
否该公理系统有矛盾？
定理 11.7 不存在同时满足公里 (2),(3),(6),(7),(8)
的函数 I(Eichhorn,1976)
先证明以下两个引理：
引理 11.1 记, D1,D2为任意两个对角元素为正
的对角矩阵，则有：
nRe ??? )1,,1,1( ?
),,,(),,,(),,,( 122111121121 eDeDeeIeDeDeeIeDDeDDeeI ???? ??
证明：
),,,(),,,( ),,,(),,,( 1111
11
1
2
1
1211
2
1
121 eDeDeeIeDeDeeI
eDDeDDeeIeDDeDDeeI ?
?
??
?? ??
),,,(),,,( ),,,()7( 1111
11
1
11
1
2
1
121
1
11 eDeDeeI
eDeDeDeDI
eDDeDDeDeDI ?
??
???
?公理
),,(),,,( )2)(6( 111122 eDeeDeIeDeDeeI ?? ?公理
引理 11.2 记,则有：
???
?
???
??? ?
n
n PPPPPP
1,,1),,,(
1
1
1 ??
),,,(),,,( 1?? PPeeIePeeI
证明定理 11.7：
先引入下列矩阵,记
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
10
1
1
01
?
?
?
j
)0( ??
对角线上第 j个元素为 λ，
其余元素为 1的对角阵
证明：
)2(),,,( ),,,()7(),,,( ),,,( 11 公理公理 ?? PPePI ePePIPPeeI ePeeI 1
再记
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
0
0
?
? 作
?
?
??
n
j
j eeeeIP
1
),,,(
则有：
?
?
???
n
j
jj eeeeIP
1
1 ),,,(2.11引理
),,,(1.11 1111 eeeeI nn ?? ???? ??引理
),,,( 1 eeeeI ????
)1,,,( eeeeI
?
??
??? )2()1,,,( )3( 公理公理 eeeeI
令,则有
根据 P的定义，至少存在一个 j，使得
?? 0? ?? 0P
0),,,(l i m 0 ???? eeeeI j?
与公理（ 8）矛盾
上述公理系统隐含矛盾
上述公理间相对独立吗？
定理 11.7 满足公理（ 4）则必满足公理（ 2）。
证明,取 P=λP0，由公理（ 4）可知：
????? ???
?
?
???
???
???
?
???
??
0
0
000
0
0
m a x),,,(m i n
i
i
ii
i
i P
PqPqPI
P
P ??R?（ ）
因此：
若取 λ=1，即得出（ 2）成立。
?? ?),,,( 000 qPqPI
一个严谨的公理系统应当
满足公理间的无矛盾性和
相对独立性
综上所述，我们可以看到，若采用引入公理
系统建立逻辑模型的方法来讨论物价指数问题，
则至今仍存在难于克服的困难。有人曾考虑去掉
公理（ 8），当出现 Pi=0的情况时就用降维的公
式来计算，但这样做也有许多困难。寻找物价指
数计算方法的另一途径是利用统计方法找出经验
公式，这样做虽然能找出一些在短期内可以利用
的计算公式，但从根本上讲还是不能完全令人信
服的。如何严格定义物价指数以及如何计算它，
目前尚未妥善解决，还有待于进一步的研究和探
讨。
价指数图
§ 9.5 物价指数问题
怎样定义和计算物价指数
单种商品的情况
设基准年价格为 P0，目前价格为 P
可如下定义物价指数：
0
0 ),(
P
PPPI ?
社会中的商品不可能
只有一种。多种商品
的问题更为复杂
多种商品的情况
假设有两种商品，基准年价格分别为,,目前价格分别
为 P1,P2。可采用多种平均方法来定义：
01P 02P
? 算术平均值之比：
0
2
0
1
21
0
2
0
1
21
21
0
2
0
11
)(
2
1
)(
2
1
),,,(
PP
PP
PP
PP
PPPPI
?
?
?
?
?
?
? 比值的算术平均值：
???
?
???
? ??
0
2
2
0
1
1
21
0
2
0
12 2
1),,,(
P
P
P
PPPPPI
? 比值的调和平均值,
0
21
0
11
21
21
0
2
0
13
2),,,(
PPPP
PPPPPPI
??
? 比值的几何平均值,
0
2
0
1
21
21
0
2
0
14 ),,,( PP
PPPPPPI ?
假如存在着 n种商品，可以相应地写出类似的公式。上述方法没有区别不 同商品的重要性
事实上各种商品在人们生活中
所占地位不尽相同，例如，钢
琴降价 20%和粮食涨价 20%无
法对消。
模型的进一步改进
引入权系数
对各种商品的比值进行加权,并允许相对权系数随时间变化
符号说明
记,
，
),,( 0010 nPPP ??
),,( 1 nqqq ??),,( 1 nPPP ??
),,( 0010 nqqq ??
以 P0,q0分别表示基准年 n种商品的价格及相应的权系数，
以 P,q分别表示观察年 n种商品的价格及相应的权系数。
物价指数 I(P0,q0,P,q)为 的连续函数。
?? ? RR n4
物价指数函数
前面的公式能否取作物价指数函数
对衡量物价指数方法的一些具体要求：
（ 1）单调性
（ 2）权系数的不变性
（ 3）齐次性
（ 4）平均性
（ 5）货币单位的独立性
（ 6）商品单位的独立性
（ 7）基准年的独立性
（ 8）物价指数不因某种商品的淘汰而失去意义
用数学的语言将上述八条性质写成公理形式
任一物价指数函数 I(P0,q0,P,q)应满足以下要求：
PP?(1) 若,则 ),;,(),;,( 0000 qPqPIqPqPI ?
(2) =1),;,( 000 qPqPI
(3) ),;(),;,( 0000 qPqPIqPqPI ?? ?
(4)
),,1( m ax),,,(m i n 0000 niPPqPqPIPP
i
i
ii
i
i
????
(5) )( ),,,(),,:( 0000 ??? RqPqPIqPqPI ???
(6) ),,,(),,,( 001010 qPqPIqDDPqDDPI ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
D
?
?
0
01
?其中,且 λi>0 （ i=1,…,n ）
(7)
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
00
00
00
00
qPqPI
qPqPI
qPqPI
qPqPI ?
(8)
?? ? RqPqPIip ),,,(lim 000
公理（ 7） 的一些说明
若以 1972年为基准年（物价指数取为 1），则 1989年美
国物价指数为 1.660，而 1980年为 1.843，若以 1973年为基准
年，则 1979年和 1980年美国物价指数分别为 1.093和 1.209。
根据公理（ 7）的要求，应当有
,事实上，此式只近似成立。
093.1
209.1
660.1
843.1 ?
请大家自行验证前面给出的公
式 I1－ I4是否都能同时满足公
理系统的 (1)－ (8)要求
一些常用的物价指数函数是否满足公理系统的要求
nn
nn
PqPq
PqPq
Pq
PqqPqPI
00
1
0
1
0
1
0
1
00
0
00 ),,,(
??
????
?
??
此公式是由 laspeyres于 1871年提出，
在将近一个世纪的时间里,被广泛用
于计算物价指数
可以用构造法证明上式公理（ 7)不成立
,即
不一定成立。
00
0
00
0
00
0
00
0
Pq
Pq
Pq
Pq
Pq
Pq
Pq
Pq ?
00
0
00
0
Pq
Pq
Pq
Pq ?
00
00 ),,,(
Pq
qPqPqPI ?
?
此式是 Paasche在 1874年提出的，与
①不同的是计算时采用了现在的权
系数。
容易直接看出公理（ 2）不成立。
?
其中 ai>0，且
?
?
???
?
???
?? n
i
a
i
i
i
P
PqPqPI
1
0
00 ),,,(
1
1
??
?
n
i
ia
此式是平均方式（ 4）的一种自然
推广。 ai的取法和 q0,q有关，实质
上是权系数的一种变形 。
该式也不能同时满足公理（ 1） — （ 8）。
令某,则 I→0,而
若令某,则又有
0?ip
??R0
00 ?ip ???I
所有较自然地导出的平衡公
式均不能满足公理系统，是
否该公理系统有矛盾？
定理 11.7 不存在同时满足公里 (2),(3),(6),(7),(8)
的函数 I(Eichhorn,1976)
先证明以下两个引理：
引理 11.1 记, D1,D2为任意两个对角元素为正
的对角矩阵，则有：
nRe ??? )1,,1,1( ?
),,,(),,,(),,,( 122111121121 eDeDeeIeDeDeeIeDDeDDeeI ???? ??
证明：
),,,(),,,( ),,,(),,,( 1111
11
1
2
1
1211
2
1
121 eDeDeeIeDeDeeI
eDDeDDeeIeDDeDDeeI ?
?
??
?? ??
),,,(),,,( ),,,()7( 1111
11
1
11
1
2
1
121
1
11 eDeDeeI
eDeDeDeDI
eDDeDDeDeDI ?
??
???
?公理
),,(),,,( )2)(6( 111122 eDeeDeIeDeDeeI ?? ?公理
引理 11.2 记,则有：
???
?
???
??? ?
n
n PPPPPP
1,,1),,,(
1
1
1 ??
),,,(),,,( 1?? PPeeIePeeI
证明定理 11.7：
先引入下列矩阵,记
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
10
1
1
01
?
?
?
j
)0( ??
对角线上第 j个元素为 λ，
其余元素为 1的对角阵
证明：
)2(),,,( ),,,()7(),,,( ),,,( 11 公理公理 ?? PPePI ePePIPPeeI ePeeI 1
再记
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
0
0
?
? 作
?
?
??
n
j
j eeeeIP
1
),,,(
则有：
?
?
???
n
j
jj eeeeIP
1
1 ),,,(2.11引理
),,,(1.11 1111 eeeeI nn ?? ???? ??引理
),,,( 1 eeeeI ????
)1,,,( eeeeI
?
??
??? )2()1,,,( )3( 公理公理 eeeeI
令,则有
根据 P的定义，至少存在一个 j，使得
?? 0? ?? 0P
0),,,(l i m 0 ???? eeeeI j?
与公理（ 8）矛盾
上述公理系统隐含矛盾
上述公理间相对独立吗？
定理 11.7 满足公理（ 4）则必满足公理（ 2）。
证明,取 P=λP0，由公理（ 4）可知：
????? ???
?
?
???
???
???
?
???
??
0
0
000
0
0
m a x),,,(m i n
i
i
ii
i
i P
PqPqPI
P
P ??R?（ ）
因此：
若取 λ=1，即得出（ 2）成立。
?? ?),,,( 000 qPqPI
一个严谨的公理系统应当
满足公理间的无矛盾性和
相对独立性
综上所述，我们可以看到，若采用引入公理
系统建立逻辑模型的方法来讨论物价指数问题，
则至今仍存在难于克服的困难。有人曾考虑去掉
公理（ 8），当出现 Pi=0的情况时就用降维的公
式来计算，但这样做也有许多困难。寻找物价指
数计算方法的另一途径是利用统计方法找出经验
公式，这样做虽然能找出一些在短期内可以利用
的计算公式，但从根本上讲还是不能完全令人信
服的。如何严格定义物价指数以及如何计算它，
目前尚未妥善解决，还有待于进一步的研究和探
讨。
