在解决实际问题时，注意观察和善于想象是十分重要的，
观察与想象不仅能发现问题隐含的某些属性，有时还能顺
理成章地找到解决实际问题的钥匙。本节的几个例子说明，
猜测也是一种想象力。没有合理而又大胆的猜测，很难做
出具有创新性的结果。开普勒的三大定律（尤其是后两条）
并非一眼就能看出的，它们隐含在行星运动的轨迹之中，
隐含在第谷记录下来的一大堆数据之中。历史上这样的例
子实在太多了。在获得了一定数量的资料数据后，人们常
常会先去猜测某些结果，然后试图去证明它。猜测一经证
明就成了定理，而定理一旦插上想象的翅膀，又常常会被
推广出许多更为广泛的结果。即使猜测被证明是错误的，
结果也决不是一无所获的失败而常常是对问题的更为深入
的了解。
§ 2.9最短路径与最速方案问题
例 5（最短路径问题）
设有一个半径为 r 的圆形湖，圆心为 O。 A、
B 位于湖的两侧,AB连线过 O，见图。
现拟从 A点步行到 B点，在不得进入湖中的限
制下，问怎样的路径最近。
A B
O
r
将湖想象成凸出地面的木桩,在 AB间拉一根软线，当
线被拉紧时将得到最短路径。根据这样的想象，猜测
可以如下得到最短路径,过 A作圆的切线切圆于 E，过
B作圆的切线切圆 于 F。最短路径为由线 段 AE、弧 EF
和线段 FB连接而成的连续曲线（根据对称性,AE′,弧
E′F′,F′B连接而成的连续曲线也是）。
E F
E′ F′
以上只是一种猜测，现在来证明这一猜测是正确的。为此，
先介绍一下凸集与凸集的性质。
定义 2.1（ 凸集 ）称集合 R为凸集，若 x1,x2∈ R及 λ∈ [0，
1],总有 λx1+（ 1+λ） x2∈ R。即若 x1,x2∈ R，则 x1,x2
的连线必整个地落 在 R中。
定理 2.2（ 分离定理 ）对平面中的凸 集 R与 R外的一点 K，
存在直线 l,l 分离 R与 K，即 R与 K分别位于 l 的两侧（注：
对一般的凸 集 R与 R外的一点 K，则存在超平面分 离 R与
K），见图。
k
l
R下面证明猜想
猜测证明如下：
（方法一） 显然,由 AE,EF,FB及 AE′,E′F′,F′B围成
的区域 R是一凸集。利用 分离定理 易证最短径不可能经过 R
外的点，若不然，设 Γ为最短路径,Γ过 R外的一点 M，则
必存在直 线 l分离 M与 R，由于路径 Γ是连续曲线，由 A沿 Γ
到 M，必交 l于 M1，由 M沿 Γ到 B又必交 l于 M2。这样，直线
段 M1M2的长度必小于路 径 M1MM2的长度，与 Γ是 A到 B的
最短路径矛盾，至此，我们已证明最短路径必在凸集 R内。
不妨设路径经湖的上方到达 B点，则弧 EF必在路径 F上，又
直线段 AE是由 A至 E的最短路径，直线 FB是由 F到 B的最短
路径，猜测得证。
A BOr
E F
E′ F′
M1 M2M
Γ
l
还可用 微积分 方法求弧长，根据计算证
明满足限止条件的其他连续曲线必具有
更大的长度；此外，本猜测也可用 平面
几何 知识加以证明等。
根据猜测不难看出,例 5中的条件可以大大
放松，可以不必 设 AB过圆心，甚至可不必设
湖是圆形的。例如对 下图，我们可断定由 A
至 B的最短路径必 为 l1与 l2之一，其证明也不
难类似给出。
A
B
l1
l2 D
到此为止，我们的研讨还只局限于平面之中，
其实上述猜测可十分自然地推广到一般空间
中去。 1973年,J.W.Craggs证明了以上结果：
若可行区域的边界是光滑曲面。则最短路径必由下列弧组
成，它们或者是空间中的自然最短曲线，或者是可行区域
的边界弧。而且，组成最短路径的各段弧在连接点处必定
相切。
例 6 一辆汽车停于 A处并垂直于 AB方向，此
汽车可转的最小圆半径为 R，求不倒车而由
A到 B的最短路径。
解 （情况 1） 若 |AB|>2R，最短路径由 弧 AC与切线 BC组
成（见 图 ① ）。
（情况 2） 若 |AB|<2R，则最短路径必居 于 图 ② （ a）、
（ b） 两曲线之中。可以证明,（ b） 中的曲 线 ABC更短。
A R 2R B
R
C
① ②
A B
o
C
（ a）
C
A Bo1
o2
（ b）
例 7 驾驶一辆停于 A处与 AB成 θ1角度的汽
车到 B处去，已知 B处要求的停车方向必须
与 AB成 θ2角，试找出最短路径（除可转
的最小圆半径为 R外，不受其他限止）。
解 根据 Craggs定理并稍加分析可知，最短路径应
在 l1与 l2中，见图，比较 l1与 l2的长度，即可得到
最短路径。
A
l1
l2
B
θ2θ1
最速方案问题
例 8 将一辆急待修理的汽车由静止开始沿一
直线方向推至相隔 S米的修车处，设阻力不
计,推车人能使车得到的推力 f 满足,
-B≤f≤A,f>0为推力,f<0为拉力。问怎样
推车可使车最快停于修车处。
设该车的运动速度 为 υ=υ(t),根据
题意,υ(0)= υ(T)=0，其中 T为推车所
花的全部时间。由 于 -B≤f≤A，且
f=mυ′,可知 -b≤υ′≤a（其中 m为汽车质
量,a=A/m,b=B/m）。
据此不难将本例归纳为
如下的数学模型：
min T
υ(0)=υ(T)=0
? ?T Sυ ( t ) d t0 s, t
adtdvb ???
此问题为一泛函极值问题，求解十分困难，为得出一个最速
方案。我们作如下猜测：
猜测 最速方案为以最大推力将车推到某处，然后以最大拉
力拉之，使之恰好停于修车处，其中转换点应计算求出
证明 设 υ=υ(t)为在最速推车方案下汽车的速度，则
有 。设此方案不同于我们的猜测。现 从 O点出
发，作射线 y=at；从 （ t,0） 出发，作直 线 y=-b(t-T)交 y=at于
A，由于,曲线 υ=υ(t)必位于三角形区 域
DAT的内部，从而有 ΔOAT的面积大于 S。在 O到 T之间任取一
点 T′,过 T′作 AT的平行线交 OA于 A′。显然 ΔOA′T′的面积 S
（ T′） 是 T′的连续函数，当 T′=0时 S（ 0） =0，当 T′=T时,S（ T）
>S，故由连续函数的性质存在 某 T′<T,S（ T′） =S但这一结
果与 υ=υ(t)是最优方案下的车速的假设矛盾，因为用我们猜测
的推车方法推车，只 需 T′时间即可将车推到修车处,而 T′<T。
? ?T0 Sυ ( t ) d t
adtdvb ???
o
υ
t
A
T′ T
A′
S
y=at
y=-b(t-T)
观察与想象不仅能发现问题隐含的某些属性，有时还能顺
理成章地找到解决实际问题的钥匙。本节的几个例子说明，
猜测也是一种想象力。没有合理而又大胆的猜测，很难做
出具有创新性的结果。开普勒的三大定律（尤其是后两条）
并非一眼就能看出的，它们隐含在行星运动的轨迹之中，
隐含在第谷记录下来的一大堆数据之中。历史上这样的例
子实在太多了。在获得了一定数量的资料数据后，人们常
常会先去猜测某些结果，然后试图去证明它。猜测一经证
明就成了定理，而定理一旦插上想象的翅膀，又常常会被
推广出许多更为广泛的结果。即使猜测被证明是错误的，
结果也决不是一无所获的失败而常常是对问题的更为深入
的了解。
§ 2.9最短路径与最速方案问题
例 5（最短路径问题）
设有一个半径为 r 的圆形湖，圆心为 O。 A、
B 位于湖的两侧,AB连线过 O，见图。
现拟从 A点步行到 B点，在不得进入湖中的限
制下，问怎样的路径最近。
A B
O
r
将湖想象成凸出地面的木桩,在 AB间拉一根软线，当
线被拉紧时将得到最短路径。根据这样的想象，猜测
可以如下得到最短路径,过 A作圆的切线切圆于 E，过
B作圆的切线切圆 于 F。最短路径为由线 段 AE、弧 EF
和线段 FB连接而成的连续曲线（根据对称性,AE′,弧
E′F′,F′B连接而成的连续曲线也是）。
E F
E′ F′
以上只是一种猜测，现在来证明这一猜测是正确的。为此，
先介绍一下凸集与凸集的性质。
定义 2.1（ 凸集 ）称集合 R为凸集，若 x1,x2∈ R及 λ∈ [0，
1],总有 λx1+（ 1+λ） x2∈ R。即若 x1,x2∈ R，则 x1,x2
的连线必整个地落 在 R中。
定理 2.2（ 分离定理 ）对平面中的凸 集 R与 R外的一点 K，
存在直线 l,l 分离 R与 K，即 R与 K分别位于 l 的两侧（注：
对一般的凸 集 R与 R外的一点 K，则存在超平面分 离 R与
K），见图。
k
l
R下面证明猜想
猜测证明如下：
（方法一） 显然,由 AE,EF,FB及 AE′,E′F′,F′B围成
的区域 R是一凸集。利用 分离定理 易证最短径不可能经过 R
外的点，若不然，设 Γ为最短路径,Γ过 R外的一点 M，则
必存在直 线 l分离 M与 R，由于路径 Γ是连续曲线，由 A沿 Γ
到 M，必交 l于 M1，由 M沿 Γ到 B又必交 l于 M2。这样，直线
段 M1M2的长度必小于路 径 M1MM2的长度，与 Γ是 A到 B的
最短路径矛盾，至此，我们已证明最短路径必在凸集 R内。
不妨设路径经湖的上方到达 B点，则弧 EF必在路径 F上，又
直线段 AE是由 A至 E的最短路径，直线 FB是由 F到 B的最短
路径，猜测得证。
A BOr
E F
E′ F′
M1 M2M
Γ
l
还可用 微积分 方法求弧长，根据计算证
明满足限止条件的其他连续曲线必具有
更大的长度；此外，本猜测也可用 平面
几何 知识加以证明等。
根据猜测不难看出,例 5中的条件可以大大
放松，可以不必 设 AB过圆心，甚至可不必设
湖是圆形的。例如对 下图，我们可断定由 A
至 B的最短路径必 为 l1与 l2之一，其证明也不
难类似给出。
A
B
l1
l2 D
到此为止，我们的研讨还只局限于平面之中，
其实上述猜测可十分自然地推广到一般空间
中去。 1973年,J.W.Craggs证明了以上结果：
若可行区域的边界是光滑曲面。则最短路径必由下列弧组
成，它们或者是空间中的自然最短曲线，或者是可行区域
的边界弧。而且，组成最短路径的各段弧在连接点处必定
相切。
例 6 一辆汽车停于 A处并垂直于 AB方向，此
汽车可转的最小圆半径为 R，求不倒车而由
A到 B的最短路径。
解 （情况 1） 若 |AB|>2R，最短路径由 弧 AC与切线 BC组
成（见 图 ① ）。
（情况 2） 若 |AB|<2R，则最短路径必居 于 图 ② （ a）、
（ b） 两曲线之中。可以证明,（ b） 中的曲 线 ABC更短。
A R 2R B
R
C
① ②
A B
o
C
（ a）
C
A Bo1
o2
（ b）
例 7 驾驶一辆停于 A处与 AB成 θ1角度的汽
车到 B处去，已知 B处要求的停车方向必须
与 AB成 θ2角，试找出最短路径（除可转
的最小圆半径为 R外，不受其他限止）。
解 根据 Craggs定理并稍加分析可知，最短路径应
在 l1与 l2中，见图，比较 l1与 l2的长度，即可得到
最短路径。
A
l1
l2
B
θ2θ1
最速方案问题
例 8 将一辆急待修理的汽车由静止开始沿一
直线方向推至相隔 S米的修车处，设阻力不
计,推车人能使车得到的推力 f 满足,
-B≤f≤A,f>0为推力,f<0为拉力。问怎样
推车可使车最快停于修车处。
设该车的运动速度 为 υ=υ(t),根据
题意,υ(0)= υ(T)=0，其中 T为推车所
花的全部时间。由 于 -B≤f≤A，且
f=mυ′,可知 -b≤υ′≤a（其中 m为汽车质
量,a=A/m,b=B/m）。
据此不难将本例归纳为
如下的数学模型：
min T
υ(0)=υ(T)=0
? ?T Sυ ( t ) d t0 s, t
adtdvb ???
此问题为一泛函极值问题，求解十分困难，为得出一个最速
方案。我们作如下猜测：
猜测 最速方案为以最大推力将车推到某处，然后以最大拉
力拉之，使之恰好停于修车处，其中转换点应计算求出
证明 设 υ=υ(t)为在最速推车方案下汽车的速度，则
有 。设此方案不同于我们的猜测。现 从 O点出
发，作射线 y=at；从 （ t,0） 出发，作直 线 y=-b(t-T)交 y=at于
A，由于,曲线 υ=υ(t)必位于三角形区 域
DAT的内部，从而有 ΔOAT的面积大于 S。在 O到 T之间任取一
点 T′,过 T′作 AT的平行线交 OA于 A′。显然 ΔOA′T′的面积 S
（ T′） 是 T′的连续函数，当 T′=0时 S（ 0） =0，当 T′=T时,S（ T）
>S，故由连续函数的性质存在 某 T′<T,S（ T′） =S但这一结
果与 υ=υ(t)是最优方案下的车速的假设矛盾，因为用我们猜测
的推车方法推车，只 需 T′时间即可将车推到修车处,而 T′<T。
? ?T0 Sυ ( t ) d t
adtdvb ???
o
υ
t
A
T′ T
A′
S
y=at
y=-b(t-T)
