物理量大都带有量纲，其中基本量纲通常是质量（用 M表
示）、长度（ 用 L表示）、时间（ 用 T表示），有时还有温
度（用 Θ表示）。其他物理量的量纲可以用这些基本量纲来
表示，如速度的量纲为 LT-1，加速度的量纲为 LT-2，力的量纲
为 MLT-2，功的量纲为 ML2T-2等。
§ 2.6 量纲分析法建模
量纲分析的原理 是：当度量量纲的基本单位改变时，公式
本身并不改变，例如，无论长度取什么单位，矩形的面积
总等于长乘宽，即公式 S=ab并不改变。此外，在公式中只
有量纲相同的量才能进行加减运算，例如面积与长度是不
允许作加减运算的，这些限止在一定程度上限定了公式的
可取范围，即一切公式都要求其所有的项具有相同的量纲，
具有这种性质的公式被称为 是,量纲齐次,的。
例 3 在万有引力公式中，引力常数 G是有量纲的，根据量
纲齐次性,G的量纲为 M-1L3T-2，其实，在一量纲齐次的公
式中除以其任何一项，即可使其任何一项化为无量纲，因
此任一公式均可改写成其相关量的无量纲常数或无量纲变
量的函数。例如，与万有引力公式
相关的物理量有,G,m1,m2,r和 F。
现考察这些量的无量纲乘积
的量纲为
由于 是无量纲的量，故应有：
2
21
r
mGmF ?
edcba FrmmGπ 21?
π e)2 ( aeb3aaecb TLM ???????
?
?
?
?
?
??
???
????
0
0
0
ea
ed3a
aecb
π
?
?
?
?
?
??
???
????
0
0
0
ea
ed3a
aecb
此方程组中存在两个自由变量，其解构成一个二维线性空
间。取 （ a,b） =（ 1,0） 和 （ a,b） =（ 0,1）,得到方程组解
空间的一组基 （ 1,0,2,-2,-1） 和 （ 0,1,-1,0,0）,所有由这些
量组成的无量纲乘积均可用这两个解的线性组合表示。两
个基向量对应的无量纲乘积分别为：
2
1
22
2
2
1 m
mπ,
Fr
Gmπ ??
而万有引力定律则可写 成 f(π1,π2)=0，其对应的显函数为：
π1=g(π2),即
)(2
2
2
2
1
m
mh
r
mF ?
万有引
力定律
定理 2.1 （ Backinghamπ定理）方程当且仅当可以表
示为 f（ π1,π2…） =0时 才是量纲齐次的，其中 f是某
一函数,π1,π2… 为问题所包含的变量与常数的无量
纲乘积。
设此变换的零空间为 m维的，取此零空间的一组基
e1,……,em，并将其扩充 为 k维欧氏空间的一组基
e1,……,e m,em+1,……e k 令 πi=g-1(ei),i=1,…,k,显然,π1,…,
πm是无量纲的，而 πm+1,…,πk是有量纲的（若 k>m）。由
于公式量纲齐次当且仅当它可用无量纲的量表示，故方
程当且仅当可写 成 f(π1,…,πm)=0时才是量纲齐次的，
定理证毕。
证 设 x1,…,xk为方程中出现的变量与常数,,对这些变量与
常数的任一乘积,令
函数 g建立了 xi(i=1,…,k)的乘积所组成的空间 与 k维欧氏
空间之间的一个一一对应。现设涉及到的基本量纲有 n个,
它们 为 y1,…,yn.用这些基本量纲来表达 该 xi的乘幂,设此乘
幂的量纲为 令
易见 dg-1是 k维欧氏空间 到 n维欧氏空间的一个变换，这
里的 g-1为 g的逆变换。
k1 aka1 xx ? )a,,(a)xg ( x k1
aka1 k1 ?? ?
n1 bnb1 yy ? )b,,(b)xd ( x n1aka1 k1 ?? ?
例 4（理想单摆的摆动周期）
考察质量集中于距支点为 l 的质点上的无阻
尼 单摆，（如图），其运动为某周 期 t 的
左右摆动，现希望得到周期 t 与其他量之间
的 关系。
θ l
mg
考
察
edcba θltgmπ? π
π
?
?
?
?
?
??
??
?
0
0
0
2bc
db
a
此方程组中不含 e，故 （ 0,0,0,0,1） 为一解，对应的 π1=θ即
为无量纲量。为求另一个无纲量可 令 b=1，求得 （ 0,1,2，
-1,0）,对应有
l
gtπ 2?
故单摆公式可用
021 ?)π,f( π 0)
l
gtf( θ,2 ? 表示。
从中解出显函数
h( θ(lgt
2
?
则可得：
g
lk( θ(
g
lh( θ(t ?? 其中 )()( θhθk ?
此即理想单摆的周期公式。当然 k(θ)是无法求得的，事实
上，需要用椭圆积分才能表达它。
量纲分析法虽然简单，但使用时在技巧方面的要求较高，稍
一疏忽就会导出荒谬的结果或根本得不出任何有用的结果。
首先，它要求建模者对研究的问题有正确而充分的了解，能
正确列出与该问题相关的量及相关的基本量纲，容易看出，
其后的分析正是通过对这些量的量纲研究而得出的，列多或
列少均不可能得出有用的结果。其次，在为寻找无量纲量而
求解齐次线性方程组时，基向量组有无穷多种取法，如何选
取也很重要，此时需依靠经验，并非任取一组基都能得出有
用的结果。此外，建模者在使用量纲分析法时对结果也不应
抱有不切实际的过高要求，量纲分析法的基础是公式的量纲
齐次性，仅凭这一点又怎么可能得出十分深刻的结果，例如，
公式可能包含某些无量纲常数或无量纲变量，对它们之间的
关系，量纲分析法根本无法加以研究。
示）、长度（ 用 L表示）、时间（ 用 T表示），有时还有温
度（用 Θ表示）。其他物理量的量纲可以用这些基本量纲来
表示，如速度的量纲为 LT-1，加速度的量纲为 LT-2，力的量纲
为 MLT-2，功的量纲为 ML2T-2等。
§ 2.6 量纲分析法建模
量纲分析的原理 是：当度量量纲的基本单位改变时，公式
本身并不改变，例如，无论长度取什么单位，矩形的面积
总等于长乘宽，即公式 S=ab并不改变。此外，在公式中只
有量纲相同的量才能进行加减运算，例如面积与长度是不
允许作加减运算的，这些限止在一定程度上限定了公式的
可取范围，即一切公式都要求其所有的项具有相同的量纲，
具有这种性质的公式被称为 是,量纲齐次,的。
例 3 在万有引力公式中，引力常数 G是有量纲的，根据量
纲齐次性,G的量纲为 M-1L3T-2，其实，在一量纲齐次的公
式中除以其任何一项，即可使其任何一项化为无量纲，因
此任一公式均可改写成其相关量的无量纲常数或无量纲变
量的函数。例如，与万有引力公式
相关的物理量有,G,m1,m2,r和 F。
现考察这些量的无量纲乘积
的量纲为
由于 是无量纲的量，故应有：
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此方程组中存在两个自由变量，其解构成一个二维线性空
间。取 （ a,b） =（ 1,0） 和 （ a,b） =（ 0,1）,得到方程组解
空间的一组基 （ 1,0,2,-2,-1） 和 （ 0,1,-1,0,0）,所有由这些
量组成的无量纲乘积均可用这两个解的线性组合表示。两
个基向量对应的无量纲乘积分别为：
2
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而万有引力定律则可写 成 f(π1,π2)=0，其对应的显函数为：
π1=g(π2),即
)(2
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万有引
力定律
定理 2.1 （ Backinghamπ定理）方程当且仅当可以表
示为 f（ π1,π2…） =0时 才是量纲齐次的，其中 f是某
一函数,π1,π2… 为问题所包含的变量与常数的无量
纲乘积。
设此变换的零空间为 m维的，取此零空间的一组基
e1,……,em，并将其扩充 为 k维欧氏空间的一组基
e1,……,e m,em+1,……e k 令 πi=g-1(ei),i=1,…,k,显然,π1,…,
πm是无量纲的，而 πm+1,…,πk是有量纲的（若 k>m）。由
于公式量纲齐次当且仅当它可用无量纲的量表示，故方
程当且仅当可写 成 f(π1,…,πm)=0时才是量纲齐次的，
定理证毕。
证 设 x1,…,xk为方程中出现的变量与常数,,对这些变量与
常数的任一乘积,令
函数 g建立了 xi(i=1,…,k)的乘积所组成的空间 与 k维欧氏
空间之间的一个一一对应。现设涉及到的基本量纲有 n个,
它们 为 y1,…,yn.用这些基本量纲来表达 该 xi的乘幂,设此乘
幂的量纲为 令
易见 dg-1是 k维欧氏空间 到 n维欧氏空间的一个变换，这
里的 g-1为 g的逆变换。
k1 aka1 xx ? )a,,(a)xg ( x k1
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n1 bnb1 yy ? )b,,(b)xd ( x n1aka1 k1 ?? ?
例 4（理想单摆的摆动周期）
考察质量集中于距支点为 l 的质点上的无阻
尼 单摆，（如图），其运动为某周 期 t 的
左右摆动，现希望得到周期 t 与其他量之间
的 关系。
θ l
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此方程组中不含 e，故 （ 0,0,0,0,1） 为一解，对应的 π1=θ即
为无量纲量。为求另一个无纲量可 令 b=1，求得 （ 0,1,2，
-1,0）,对应有
l
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故单摆公式可用
021 ?)π,f( π 0)
l
gtf( θ,2 ? 表示。
从中解出显函数
h( θ(lgt
2
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则可得：
g
lk( θ(
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此即理想单摆的周期公式。当然 k(θ)是无法求得的，事实
上，需要用椭圆积分才能表达它。
量纲分析法虽然简单，但使用时在技巧方面的要求较高，稍
一疏忽就会导出荒谬的结果或根本得不出任何有用的结果。
首先，它要求建模者对研究的问题有正确而充分的了解，能
正确列出与该问题相关的量及相关的基本量纲，容易看出，
其后的分析正是通过对这些量的量纲研究而得出的，列多或
列少均不可能得出有用的结果。其次，在为寻找无量纲量而
求解齐次线性方程组时，基向量组有无穷多种取法，如何选
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用的结果。此外，建模者在使用量纲分析法时对结果也不应
抱有不切实际的过高要求，量纲分析法的基础是公式的量纲
齐次性，仅凭这一点又怎么可能得出十分深刻的结果，例如，
公式可能包含某些无量纲常数或无量纲变量，对它们之间的
关系，量纲分析法根本无法加以研究。
