?例 1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然
然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早
了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他
的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他
比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时
间？
§ 1.5 一些简单实例
似乎条件不够哦 。。
换一种想法，问题就迎刃而
解了。假如他的妻子遇到他后仍
载着他开往会合地点，那么这一
天他就不会提前回家了。提前的
十分钟时间从何而来？
显然是由于节省了从相遇点到
会合点，又从会合点返回相遇点这一
段路的缘故，故由相遇点到会合点需
开 5分钟。而此人提前了三十分钟到
达会合点，故相遇时他已步行了二十
五分钟。请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设？
例 2 某人第一天由 A地去 B地，第二天由
B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下，
可以保证途中至少存在一地，此人在两天
中的同一时间到达该地。
分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当
然,这里的情况要简单得多。
假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同
一天由 B去 A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中
相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到
达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。
（ 请自己据此给出严格证明）
?例 3 交通灯在绿灯转换成红灯时，有
一个过渡状态 —— 亮一段时间的黄灯。
请分析黄灯应当亮多久。
设想一下黄灯的作用是什么，不难看
出，黄灯起的是警告的作用，意思是
马上要转红灯了，假如你能停住，请
立即停车。停车是需要时间的，在这
段时间内，车辆仍将向前行驶一段距
离 L。这就是说，在离街口距离为 L
处存在着一条停车线（尽管它没被画
在地上），见图 1-4。对于那些黄灯亮
时已过线的车辆，则应当保证它们仍
能穿过马路。
马路的宽度 D是容易测得 的，问题的关键在 于 L
的确定。为确定 L，还应当将 L划分为两段,L1
和 L2,其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当
刹车的反应时间内驶过的路程, L2为刹车制动
后车辆驶过的路程。 L1较容易计算，交通部门对
司机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过
长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也
是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，
可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距离 L2
既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定
律计算出来 （ 留作习题） 。
黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第
一步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机
停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线
的车顺利穿过马路，即 T 至少应当达到 （ L+D）
/v。
D
L
例 4 餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，
某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗
一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，
否则会烫手，但也不能太低，否则不干净。
由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水
到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一
下这一问题。
盘子有大小吗?是什么样的盘子？
盘子是怎样洗的? ……… 不妨
假设 我们了解到：盘子大小相同，
均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠
盘子浸泡在热水中，然后 一
清洗。
不难看出，是水 的温度在决 定
洗盘子的数量 。盘子是先用冷水
洗过的，其后可能还会再用清水
冲洗，更换热水并非因为水太脏
了，而是因为 水不够热了 。
那么热水为什么会变冷呢？假如
你想建一个较精细的模型，你当
然应当把水池、空气等吸热的因
素都考虑进去，但餐馆老板的原
意只是想了解一下一池热水平均
大约可以洗多少盘子,杀鸡
焉用牛刀？
不妨可以提出以下 简化假设,
（ 1） 水池、空气吸热不计，只考虑
盘子吸热，盘子的大小、材料相同
（ 2） 盘子初始温度与气温相同，洗
完后的温度与水温相同
（ 3） 水池中的水量为常数，开始温
度为 T1，最终换水时的温度为 T2
（ 4） 每个盘子的洗涤时间 △ T是一
个常数。（ 这一假设甚至可以去掉
不要 ）
根据上述简化假设，利用热量守
衡定律，餐馆老板的问题就很容
易回答了，当然，你还应当调查
一下一池水的质量是多少，查一
下瓷盘的吸热系数和质量等。
可见,假设条件 的提出不 仅和你 研的
问题 有关，还和 你准备利用哪些知 识,
准备建立什么样的模型以及你准 备研
究的深入程度有关，即在你提出假设时，
你建模的框架已经基本搭好了。
例 5 将形状质量相同的砖块一一向右往外
叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可
以延伸多大距离。
设砖块是均质的，长度与重量均 为 1，其
重心在中点 1/2砖长处，现用 归纳法 推导。
Zn
(n－ 1)
n
(n＋ 1)
由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有：
1/2-Zn= (n－ 1) Zn
故 Zn =1/(2n)，从而上面 n块砖向右推出的
总距离为,
?
?
n
k k1 2
1
??????? ??
?
?? 11 2
1
2
1,时
n
n
k nk
n
故砖块向右可叠至 任意远,这一结果多少
有点出人意料。
例 6 某人住在某公交线附近，该公交线路
为在 A,B两地间运行，每隔 10分钟 A,B两
地各发出一班车，此人常在离家最近的 C
点等车，他发现了一个令他感到奇怪的现
象：在绝大多数情况下，先到站的总是由
B去 A的车，难道由 B去 A的车次多些吗？请
你帮助他找一下原因
AB发出车次显然是一样多的，
否则一处的车辆将会越积越多。
由于距离不同，设 A到 C行驶 31分
钟,B到 C要行驶 30分钟，考察一
个时间长度 为 10分钟的区间，例
如，可以从 A方向来的车驶 离 C站
时开始，在其后的 9分钟内到达的
乘客见到先来的车均为 B开往 A的，
仅有最 后 1分钟到达的乘客才见到
由 A来的车先到。由此可见，如果
此人 到 C站等车的时间是随机的，
则他先遇 上 B方向来的车的概率为
90% 。
例 4 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射
出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须
尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确
定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑
匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要
用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发
射射线的强度。
方法一
点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的 距离
的平方成反比，即
2k /dI ?
黑匣子所在 方向 很容易确定，关键在于确定 距离 。 设在
同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为 I1和 I2，
两测量点间的距离为 a，则有
2
2212 )(
// ?
?
?
?
?
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?
?
d
ad
ad
k
d
k
II
?
?
?
?
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?? 1
1
2/
I
I
ad
方法二
在 方法一 中，两检测点与黑匣子
位于一直线上，这一点比较容易
做到，主要缺点是结果对照度测
量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很
大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在 A
点测得黑匣子方向后,到 B点再测方向, AB 距
离为 a, ∠ BAC=α, ∠ ABC=β,利用正弦定理得
出 d = asinα /sin (α +β ) 。需要指出的是，当
黑匣子位于较远处而 α 又较小时,α +β 可能非
常接近 π （ ∠ ACB接近于 0），而 sin（ α +β ） 又
恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会
很大，为了使结果较好，应使 a也相对较大。
B
A
C
aαβ
然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早
了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他
的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他
比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时
间？
§ 1.5 一些简单实例
似乎条件不够哦 。。
换一种想法，问题就迎刃而
解了。假如他的妻子遇到他后仍
载着他开往会合地点，那么这一
天他就不会提前回家了。提前的
十分钟时间从何而来？
显然是由于节省了从相遇点到
会合点，又从会合点返回相遇点这一
段路的缘故，故由相遇点到会合点需
开 5分钟。而此人提前了三十分钟到
达会合点，故相遇时他已步行了二十
五分钟。请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设？
例 2 某人第一天由 A地去 B地，第二天由
B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下，
可以保证途中至少存在一地，此人在两天
中的同一时间到达该地。
分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当
然,这里的情况要简单得多。
假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同
一天由 B去 A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中
相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到
达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。
（ 请自己据此给出严格证明）
?例 3 交通灯在绿灯转换成红灯时，有
一个过渡状态 —— 亮一段时间的黄灯。
请分析黄灯应当亮多久。
设想一下黄灯的作用是什么，不难看
出，黄灯起的是警告的作用，意思是
马上要转红灯了，假如你能停住，请
立即停车。停车是需要时间的，在这
段时间内，车辆仍将向前行驶一段距
离 L。这就是说，在离街口距离为 L
处存在着一条停车线（尽管它没被画
在地上），见图 1-4。对于那些黄灯亮
时已过线的车辆，则应当保证它们仍
能穿过马路。
马路的宽度 D是容易测得 的，问题的关键在 于 L
的确定。为确定 L，还应当将 L划分为两段,L1
和 L2,其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当
刹车的反应时间内驶过的路程, L2为刹车制动
后车辆驶过的路程。 L1较容易计算，交通部门对
司机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过
长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也
是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，
可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距离 L2
既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定
律计算出来 （ 留作习题） 。
黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第
一步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机
停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线
的车顺利穿过马路，即 T 至少应当达到 （ L+D）
/v。
D
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例 4 餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，
某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗
一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，
否则会烫手，但也不能太低，否则不干净。
由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水
到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一
下这一问题。
盘子有大小吗?是什么样的盘子？
盘子是怎样洗的? ……… 不妨
假设 我们了解到：盘子大小相同，
均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠
盘子浸泡在热水中，然后 一
清洗。
不难看出，是水 的温度在决 定
洗盘子的数量 。盘子是先用冷水
洗过的，其后可能还会再用清水
冲洗，更换热水并非因为水太脏
了，而是因为 水不够热了 。
那么热水为什么会变冷呢？假如
你想建一个较精细的模型，你当
然应当把水池、空气等吸热的因
素都考虑进去，但餐馆老板的原
意只是想了解一下一池热水平均
大约可以洗多少盘子,杀鸡
焉用牛刀？
不妨可以提出以下 简化假设,
（ 1） 水池、空气吸热不计，只考虑
盘子吸热，盘子的大小、材料相同
（ 2） 盘子初始温度与气温相同，洗
完后的温度与水温相同
（ 3） 水池中的水量为常数，开始温
度为 T1，最终换水时的温度为 T2
（ 4） 每个盘子的洗涤时间 △ T是一
个常数。（ 这一假设甚至可以去掉
不要 ）
根据上述简化假设，利用热量守
衡定律，餐馆老板的问题就很容
易回答了，当然，你还应当调查
一下一池水的质量是多少，查一
下瓷盘的吸热系数和质量等。
可见,假设条件 的提出不 仅和你 研的
问题 有关，还和 你准备利用哪些知 识,
准备建立什么样的模型以及你准 备研
究的深入程度有关，即在你提出假设时，
你建模的框架已经基本搭好了。
例 5 将形状质量相同的砖块一一向右往外
叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可
以延伸多大距离。
设砖块是均质的，长度与重量均 为 1，其
重心在中点 1/2砖长处，现用 归纳法 推导。
Zn
(n－ 1)
n
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由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有：
1/2-Zn= (n－ 1) Zn
故 Zn =1/(2n)，从而上面 n块砖向右推出的
总距离为,
?
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n
n
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故砖块向右可叠至 任意远,这一结果多少
有点出人意料。
例 6 某人住在某公交线附近，该公交线路
为在 A,B两地间运行，每隔 10分钟 A,B两
地各发出一班车，此人常在离家最近的 C
点等车，他发现了一个令他感到奇怪的现
象：在绝大多数情况下，先到站的总是由
B去 A的车，难道由 B去 A的车次多些吗？请
你帮助他找一下原因
AB发出车次显然是一样多的，
否则一处的车辆将会越积越多。
由于距离不同，设 A到 C行驶 31分
钟,B到 C要行驶 30分钟，考察一
个时间长度 为 10分钟的区间，例
如，可以从 A方向来的车驶 离 C站
时开始，在其后的 9分钟内到达的
乘客见到先来的车均为 B开往 A的，
仅有最 后 1分钟到达的乘客才见到
由 A来的车先到。由此可见，如果
此人 到 C站等车的时间是随机的，
则他先遇 上 B方向来的车的概率为
90% 。
例 4 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射
出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须
尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确
定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑
匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要
用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发
射射线的强度。
方法一
点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的 距离
的平方成反比，即
2k /dI ?
黑匣子所在 方向 很容易确定，关键在于确定 距离 。 设在
同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为 I1和 I2，
两测量点间的距离为 a，则有
2
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I
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方法二
在 方法一 中，两检测点与黑匣子
位于一直线上，这一点比较容易
做到，主要缺点是结果对照度测
量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很
大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在 A
点测得黑匣子方向后,到 B点再测方向, AB 距
离为 a, ∠ BAC=α, ∠ ABC=β,利用正弦定理得
出 d = asinα /sin (α +β ) 。需要指出的是，当
黑匣子位于较远处而 α 又较小时,α +β 可能非
常接近 π （ ∠ ACB接近于 0），而 sin（ α +β ） 又
恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会
很大，为了使结果较好，应使 a也相对较大。
B
A
C
aαβ
