附录：国内外大学生数学建模竞赛试题选编 附录1. 美国大学生数学建模竞赛（MCM）问题（1985—1999） MCM85问题—A 动物群体的管理 在一个资源有限的环境里（即有限的食物、空间、水等等）生存着天然存在的一些动物群体。试选择一种鱼类或哺乳动物（例如北美矮种马、鹿、兔、鲑鱼、带条纹的欧洲鲈鱼）以及一个你能获得适当数据的环境，并制定一个对该动物群体的捕获量的最佳方案。 MCM85问题—B 战略物资储备的管理 钴对许多工业是必不可少的（1979年仅国防需要就占了全世界钴生产量的17%），但是钴不产在美国，大部分钴来自政治上不稳定的中非地区。 1946年制订的战略和稀有作战物资存贮法令要求钴的储存量应保证美国能渡过3年战争时期，50年代政府按要求存贮了，但在70年代卖掉了大部分贮量，而在70年代后期决定重新贮存，贮存的指标是8540万磅，到1982年获得了贮量的一半，附图1-1反映了1960~1980年美国对钴的毛需求。 试建立一个战略金属钴的储存管理数学模型。你需要考虑诸如以下一些问题：贮量应多大？应以多大的速率获得贮量？买这些金属的合理价格应该是多少？还要求你考虑诸如以下的问题：贮量达到多大时储备的钴可以被动用？应以多大的速率来减少？卖出这些金属的合理价格应该是多少？应该怎样分配法？（附页中有关钴的资源、价格、需求及再循环等方面的更多的信息。） 关于钴的有关信息 1985年政府计划需要2500万磅钴。 美国国内大约有1亿磅可靠的钴的储备。附图1.2给出了1960年—1982年美国市场上钴的价格，若价格达到22美元1磅时，在本土生产钴才是经济可行的（1981）。需要用4年的时间才能进行持续稳定的生产经营，从而每年可生产600万磅钴。 1980年占决消耗量70%的120万磅钴被再次利用，得到了重新处理。 MCM86问题-A 水道测量数据 附表1.1给出了在以码（yard）为单位的直角坐标为X、Y的水面处以英尺计的水的深度Z，水深数据是在低潮时测得的。 附表1.1 水道测量数据，在低潮时测得的水深 X Y Z 129.0 157.5 7.5 -6.5 4 9 140.0 107.5 141.5 -81.0 8 9 108.5 77.0 28.0 3.0 6 8 88.0 81.0 147.0 56.5 8 8 185.0 162.0 22.5 -66.5 6 9 195.0 162.0 137.5 84.0 8 4 105.5 117.5 85.5 -38.5 8 9  船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75,200）×（-50,150）里的哪些地方船要避免进入。 MCM86问题-B 应急设施的位置 里奥兰翘（Rio Rancho）镇迄今还没有自己的应急设施。1986年该镇得到了建立两个应急设施的安全拨款。每个设施都把救护站、消防队和警察所合在一起。附图1.4给出了1985年每个长方街区应急事件的次数。北边的L形状的区域是一个障碍，而南边的长方形区域是一个有浅水池塘的公园。应急车辆驶过一条南北向的街道平均要花15s，而通过一条东西向的街道平均要花20s。你的任务就是确定这两个应急设施的位置，使得总的响应时间最少。 （1）假定需求集中在每个街道的中心而应急设施位于街角处。 （2）假定需求是沿包围每个街区的街道上均匀分布的，而应急设施可位于街道的任何地方。 附图1.4 1985年里奥兰翘每个长方街区应急事件的数目 MCM87问题-A 盐的存贮 美国中西部的一个州把冬天用来洒在马路上的盐存贮在一个穹顶仓库里大约有15年了。附图1-5表示在过去15年中盐是怎么存贮的。通过驾驶铲斗车在由盐铺成的坡道上进出仓里并利用铲斗车上的铲子把盐装进仓里或从仓里取出来。 最近，一个小组确定这种做法是不安全的。如果铲斗车太靠近盐堆的顶端，盐可能会滑动，而铲斗车就要翻到加固仓库而筑的拥壁上去。小组建议，如果用铲斗车堆盐，那么盐堆的最高高度不要超过15英尺。 对这种情况建立一个数学模型并求仓库中的盐堆的最大高度。 图中仓高15.24米（50英尺），拥壁高1.22米（4英尺），仓的外直径31.40米（103英尺），门的净空高6.02米（19英尺9英寸），铲斗车高3.28米（10英尺9英寸）。 MCM87问题-B 停车场 在新英格兰（New England）地区一个镇上位于街角处的一停车场，场主雇你来设计该停车场的车位安排方式，即设计“在地上的线应怎样划法”。 你一定认识到要把尽可能多的车塞进停车场会导致以直角停靠的方式一辆挨一辆地排成行。但是缺少经验的司机对于这种停靠方式是有困难的，这可能引起昂贵的保险费支出。为了减少停靠车辆时可能造成的损坏，场主就要雇用一些熟练的汽车司机作为“专职停靠司机”。另一方面，如果汽车从通道进来有一个足够大的“转弯半径”的话，那么大多数司机看来都不会有很大的困难一次就停靠到位。当然通道愈宽能容纳的车辆就愈少，这就会导致停车场场主收入的减少。 MCM88问题-A 确定毒品走私船的位置 相距5.43哩（8.74公里）的两个监听站收同时听到一个短暂的无线电讯号。收听到讯号的时候测向仪分别定位在111°和119°（见附图1-6），测向仪的精度为±2°。该讯号来自一个毒品交易活跃的地，据推测该处有一只机动船正等着有人来取毒品。当时正值黄昏，无风、无潮流。一架小型直升飞机离开监听站①的简易机场并能精确地沿111°角方向飞行，直升飞机的飞行速度是走私船的3倍。在离船152.4公尺（500英尺）时船上能听到直升飞机的声音。直升飞机只有一种侦察仪器——探照灯。在61公尺（200英尺）远的地方探照灯只能照明半径为7.6公尺（25英尺）的圆域。 （1）说明飞行员能找到正等着的毒品船的（最小）区域。 （2）研究一种直升飞机的最佳搜索方法。 在你的计算中要有95%的精度。 MCM88问题-B 两辆铁路平板车的装货问题 有7种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t,以厘米计）及重量（w,以kg计）是不同的。下表给出了每种包装箱的厚度、重量和数量。每辆平板车有10.2m长的地方可用来装包装箱（象面包片那样），载重为40t。由于当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。试把包装箱装上平板车而使浪费的空间最小。 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7  t(cm) 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0  W(kg) 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000  件数 8 7 9 6 6 4 8   MCM89问题-A 蠓的分类 两种蠓Af和Apf已由生物学家W.L.Grogna和W.W.Wirth（1981年）根据它们的触角长度和翼长加以区分（见附图1.8），9只Af蠓用“⊙”标记，6只Apf蠓用“·”标记，根据给出的触角长度和翼长识别出一只标本是Af还是Apf是重要的。 （1）给定一只Af或者Apf族的蠓，你如何正确地区分它属于哪一族？ （2）将你的方法用于触角长和翼长分别为（1.24, 1.80），（1.28,1.84），（1.40,2.04）的3个标本。 （3）设Af是宝贵的传粉益虫，Apf是某种疾病的载体，是否应该修改你的分类方法，若需修改，怎么改？ MCM89问题-B 飞机排队 机场通常都用“先来先服务”的原则来分配飞机跑道，即当飞机准备好离开登机口时，驾驶员电告地面控制中心，加入等候跑道的队伍。 假设控制塔可以从快速联机数据库中得到每架飞机的如下信息： （1）预定离开登机口的时间。 （2）实际离开登机口的时间。 （3）机上乘客人数。 （4）预定在下一站转机的人数和转机的时间。 （5）到达下一站的预定时间。 又设共有7种飞机，载客量从100人起以50人递增，载客最多的一种是400人。试开发和分析一种能使乘客和航空公司双方满意的数学模型。 MCM90问题-A 药物在大脑中的分布 进行大脑功能紊乱的研究需要试验新药的的疗效，譬如脑内注射治疗帕金斯病的多巴胺，为此要计算注射后药物在脑内空间分布的形状和大小。以便精确估计药物影响的范围。 试验数据是50个圆柱形组织样本中的药量（见附图1-9和下表），每个圆柱体高0.76mm、底面直径0.66mm，相互平行的圆柱体的中心位于1mm×0.76mm×1mm的格点网上，于是各圆柱体的底面彼此相连，而侧面互不接触。注射点位于最高计数值的圆柱体中心附近。当然，药物也会到达各圆柱体之间和50个样本范围以外的地方。 表1 后排样本数据 164 442 1320 414 188  480 7022 14411 5158 352  2091 23027 28353 13138 681  789 21260 20921 11731 727  213 1303 3765 1715 453   表1 后排样本数据 163 324 432 243 166  712 4055 6098 1048 232  2137 15531 19742 4785 330  444 11431 14960 3182 301  294 2061 1036 258 188  请估计药物在影响范围内的分布。 试验数据用计数单位表示（1单位合4.753×10-13克分子药量），例如表中后排中央那个圆柱体组织含有28353个计数单位药量。 MCM90 问题-B 扫雪问题 地图中实线表示马里兰州（Maryland）威克米克市（Wicomico）清除积雪区域的双行道路（见附图1.10），虚线是州高速公路。雪后，两辆扫雪车从地图*号标出的两点的每一地点以西约6.44公里（4英里）处出发清扫道路上的积雪，试为两车找出有效的路径。扫雪车可以通过高速公路进出市内道路。 假定扫雪过程中车子不会损坏或停止，并且道路交叉处也无特殊扫雪要求。 MCM91问题-A 估计水塔的水流量 某些州的用水管理机构需估计公众用水速度（单位是加仑/小时）和每日总用水量的数据。许多地主没有测量流入或流出市政水箱流量的设备而只能测量水箱（附图1.11）中的水位（误差不超过0.5%）。当水箱水位低于最低水位L时，水泵抽水灌入水箱直到水箱水位达到最高水位H为止，但是也无法测量水泵的流量。因此，在水泵开动时无法立即将水箱中的水位和用水量联系起来，这种情形一天发生一次或二次，每次约为二小时。 附表1.2 某小镇某天水塔水位 时间（秒） 水位（0.003米） 时间（秒） 水位（0.003米）  0 3316 6635 10619 13937 17921 21240 25223 28543 32284 35932 39332 39435 43318 3175 3110 3054 2994 2947 2892 2850 2795 2752 2697 水泵开动 水泵开动 3550 3445 46636 49953 53936 57254 60574 64554 68535 71854 75021 79254 82649 85968 89953 93270 3350 3260 3167 3087 3012 2927 2842 2767 2697 水泵开动 水泵开动 3475 3397 3340  估计所有时刻（包括水抽水期间）流出水箱的流量f(t)，并估计一天的总用水量。附表1.2给出的是某一天小镇的真实数据。 表中以秒为单位给出，水位单位是0.003米（0.01英尺）。例如，3316秒以后，水箱中的水深是9.48米（31.10英尺），水箱为高12.19米（40英尺）、直径为17.37米（57英尺）的正圆柱。通常水泵在水位落到8.23米（27英尺）以下开始抽水而水位回长至10.82米（25.5英尺）时，水泵停止工作。 MCM91问题-B 通讯网络的极小生成树 两个通讯站之间的通讯线路的费用正比于线路的长度，传统的一组通讯站的极小生成树的费用，可以通过引入一些“虚拟”通讯站并构成新的所谓Steiner树的办法业降低。用这种办法节省的费用可以达到14.4%（即），而一个有n个通讯站的网络要求用不多于n－2个虚拟点一构造费用最省的Steiner树。下面是两个最简单的例子。 对于局部网络，常常要用直折线距离（或称方格距离）而不能用欧几里德直线距离。对于这种尺度可以计算距离如附图1.12所示。 设你希望对有9个通讯站的局部网络设计一个极小费用生成树，它们的直角坐标是： a(0,15),b(5,20)c(16,24),d(20,20),e(33,25),f(23,11),g(35,7),h(25,0),I(10,3)。若必须用方格距离而且一切虚拟点必须位于格子点上（即坐标为整数），每条线的纲用就是它长度。 （1）求网络的极小费用树。 （2）设每个通讯站需费用d3/2·w。其中d为通讯站的度，若w=1.2，求极小费用时。 （3）试将这一问题加以推广。 MCM92问题-A 航空控制雷达的功率 要求你确定一大型机场航空控制雷达的发射功率，机场当局希望在考虑到安全和费用的情况下使雷达功率最小。 因受到已有的天线和接收线路的限制，你只能改进雷达功率。要回答的问题是为了发现相距100km的标准客机，雷达必须有多大的发射功率（W）。 技术指标： （1）雷达天线截面是旋转抛物面，焦距长1m，在与其顶点相切的平面上的投影为一椭圆，长轴6m，短轴2m。位于焦点处的主瓣能量束为椭圆锥，长轴方向1rad（弧度），短轴方向50mrad（毫弧度）。天线与能量束图形如附图1.13所示。 （2）飞机的有效反射面积是75m2，这表明初始模型可设飞机等价于一个垂直于天线轴向的面积75m2的圆盘（天线轴向穿过圆盘中心），对雷达作100%的反射。可以考察其他模型或在职个初始模型基础上加工。 （3）接收线路具有足够的灵敏度，雷达接收器（位于天线焦点处）可接收达到10mW8毫瓦）的回波信号。 MCM92问题-B 应急电力修复系统 沿海地区的电力公司必须配备由暴风雨引起电力中断的紧急响应机构。它需要的数据包括为恢复供电用的时间、费用及用目标标准决定的断电的“代价”。过去HECO（理想的电力公司）因缺少按优先顺序处理事故的程序而受到非议。 HECO有一个数据库可以实时存以请求服务的电话记录，其中包括下列信息：记录的请求时间；请求者的类型；受影响的估计人数；地点（x, y）。 维修站位于坐标（0，0）和（40，40）处（英里）。HECO服务的区域是－65＜x＜65，－50＜y＜50，有很好的都市交通网。维修人员在每班的开始和结束时必须回到维修站。公司规定在暴风雨离开这个区域之前不外出工作，除非近郊铁路部门或医院请求服务，如果有维修人员，这些地方的事故可及时处理。 HECO请你建立一个准则，对附表1.3列出的服务请求排出修复的时间表，并且满足附表1.4列出的规则。注意，第一个电话是上午4：20收到的，暴风雨离开的时间是上午6：00，并且还有许多断电事故直到这天很晚的时候都没有报告。 HECO需要一个对他们有用的技术报告和一份以非专业语言写的“实施纲要”。进而，他们也欢迎对未来工作的建议。为确定带有优先顺序的时间表，你还需要作出会加的假设。详述这些假设，将来你可以要求有更多的数据，如果这样，详述你需要的信息。 附表1.3 风暴修复需求 时间 (h: min) 位置 类型 受影响人数 估计修复时间（一队需要小时数）  4:20 5:30 5:35 5:55 (－10, 30) (3, 3) (20, 5) (－10, 5) 事业（有线电视） 住宅 事业（医院） 事业（铁路系统） 7 20 240 25工人；75000乘客 6 7 8 5  6:00 风暴离开，工程队可以派出  6:05 6:06 6:08 6:09 6:15 6:20 6:20 6:22 6:25 6:40 6:55 7:00 7:00 7:00 7:00 7:05 7:10 7:10 7:10 7:10 7:20 7:45 7:50 8:15 8:20 8:35 8:50 9:50 10:30 10:30 10:35 10:50 11:30 (3,30) (5,20) (60,45) (1,10) (5,20) (5,－25) (12,18) (7,10) (－1,19) (－20,－19) (－1,30) (－20,－30) (40,20) (1,－20) (8,－23) (25,15) (－10,－10) (－1,2) (8,－25) (18,55) (7,35) (20,0) (－6,30) (10,40) (15,－25) (－20,－35) (47,30) (55,50) (－18,－35) (－1,50) (－7,－8) (5,－25) (8,20) 住宅 区域* 住宅 政府（市政厅） 事业（购物中心） 政府部门（消防部门） 住宅 区域* 工业（报业公司） 工业（工厂） 区域* 政府（高中） 政府（小学） 事业（饭店） 政府（警察局、监狱） 政府（小学） 住宅 政府（学院） 工业（电脑制造） 住宅 区域* 住宅 事业（医院） 事业（几家商店） 政府（交通灯） 事业（银行） 住宅 住宅 住宅 事业（市中心） 事业（机场） 政府（消防部门） 区域* 45 2000 ？ ？ 200工人 15工人 350 400 190 395 ？ 1200学生 1700 25 125 1900 ？ 3000 450工人 350 400 800 300 50 ？ 20 40 ？ 10 150 350工人 15 300 2 7 9 7 5 3 6 12 10 7 6 3 ？ 12 7 5 9 8 5 10 9 5 5 6 3 5 ？ 12 10 5 4 5 12  *区域指二个或多个其他类型的结合  附表1-4 维修人员规则 1、维修站地点在（0,0）和（40,40）。 2、一个维修队由3名有训练的工人组成。 3、维修队只在每班开始和结束时到维修站报告。 4、在每个维修站，任何时间都要有一个维修队值班，处理日常任务，只是在暴风雨离开之前他们才可派出执行“紧急”任务。 5、维修队每班工作8小时。 6、每个维修站有6个维修队。 7、维修队在一个工作日中只能加一个班，加班工资是正常工资的一倍半。 MCM93问题-A 加速餐厅剩菜堆肥的生成 一家注重环境的学校餐厅正用微生物把顾客没吃完的食物转化生成堆肥。每天餐厅把吃剩的食物和泥浆（粘结剂）混合，再把它们和厨房里空易弄碎的色拉菜以及少量扯碎的纸片混合，并把混合物用来培养真菌和土壤细菌，它们把泥浆、绿叶菜、纸片消化形成有用的堆肥。易碎的绿叶菜为真菌培养物提供氧气，而纸片则吸收过量的湿气。但有时真菌培养物显得不能或不肯消化顾客留下的那么多的剩饭菜。餐厅并没有因为真菌培养物没有胃口而责怪厨师长。餐厅收到要大量购买他们生产的堆肥报价。所以餐厅正在研究增加堆肥产量的方法。由于无力营建一套新的堆肥设备，因此餐厅首先致力于寻求能加速真菌培养物活力的方法，例如，通过亿化真菌培养物的环境（眼下大约是48.8℃即120F和100%湿度的环境下生成堆肥的），或通过优化喂给真菌培养物的混合物组成，或同时优化两者以达到加速真菌培养物的活力）。 试决定在用作真菌培养物的混合物中泥浆、绿叶菜和纸片的比例与真菌将混合物生成堆肥的速度间是否存在任何关系。若你认为不存在任何关系，试说明理由。否则，试决定什么样的比例会加速真菌培养物的活力。 除了按竞赛规则说明中规定的格式写的技术报告外，请为餐厅经理提供一页长的用非技术术语言表示的实施建议。 作为数据，下表列出了分别存在放在不同箱子中用磅表示的混合物组成各种原料的数量，以及把混合物喂给真菌的日期以及完全生成堆肥的日期（以表示生成堆肥所需的时间）： 泥浆（磅） 绿叶菜（磅） 纸片（磅） 喂入日期 生成堆肥的日期  86 112 71 203 79 105 121 110 82 57 77 52 31 79 21 82 28 52 15 32 44 60 51 38 0 0 0 0 0 0 0 0 9 6 7 6 1990,7,13 90,7,17 90,7,24 90,7,27 90,8,10 90,8,13 90,8,20 90,8,22 91,4,30 91,5,2 91,5,7 91,5,10 90,8,10 90,8,13 90,8,20 90,8,22 90,9,12 90,9,18 90,9,24 90,10,8 91,6,18 91,6,20 91,6,25 91,6,28   MCM93问题-B 倒煤台的操作方案 Aspen-Boulder煤矿公司经营包括一个单个的大型倒煤台（coal tipple,见[注]）在内的装煤设施。当装煤列车到达时，从倒煤台往上装煤。一列标准列车要用3小时装满，而倒煤台的容量是一列半标准列车。每天，铁道部门向这个装煤设施发送3例标准列车。这些列车可在当地时间上午5点到下午8点的任何时间内到达。每列列车有3辆机车。如果一列车到达后因当地时间上午5点到下午8点的任何时间内到达。每列列车有3辆机车。如果一列车到达后因等待装煤而停滞在那里（即处于等待服务状态）的话，铁道部门要征收一种称为滞期费的特别费用，每小时每辆机车5000美元。此外，每周星期四上午11点到下午1点之间有一列大容量列车到达。这种特殊的列车有5辆机车并能装两列标准列车的煤。一个装煤工作班要用6个小时直接从煤矿运煤来把空的倒煤台装满。这个工作班（包括它用的设备）的费用是每小时9000美元。可以调用第二个工作班运行一个附加的倒煤台操作系统来提高装煤速度，而费用为每小时12000美元，出于安全的原因，当往倒煤台装煤时，不能往列车上装煤。每当由于往倒煤台装煤而中断往列车上装煤时，就要征收滞期费。 煤矿公司的经理部门要请教你们如何决定该倒煤台的装煤操作的年预期开支，你们的分析应包括考虑以下的问题： （1）应调用几次第二个工作班？ （2）预期的月滞期费是多少？ （3）如果标准列车能按调度在确切的时间到达，什么样的日调安排能使装煤费用最少？ （4）调用第三个费用为每小时12000美元的倒煤台操作系统工作班，能否降低年操作费用？ （5）该倒煤台每天能否再装第四辆标准列车的煤？ [注]《英汉铁路词典》，人民铁道出版社，1977，p.910关于tipple一字的解释为：倒煤台（煤矿上车将煤翻卸在煤仓内，再从煤仓滑到铁路货车）。 MCM94问题-A 混凝土地板的设计 美国住房和城市发展部（HUD）正在考虑建造从单幢住宅到公寓楼大小不同的住宅。公司主要关心的是如何降低房主定期支付的费用——特别是暖气和冷气的费用。建房地区位于全年温度变化不大的温带地区。 通过特殊的建筑技术，HUD公司能不依靠对流——即不需要依靠开门开窗——来帮助调节温度。这些住宅都是只有混凝土板作地基的单层住宅。你们被雇用为顾问来分析混凝土地板中的温度变化，由此决定地板表面的平匀温度能否全年保持在指定的舒适范围内。如果可能的话，什么样的尺寸和形状能做到这点？ 第一部分：地板温度 给定由附表1.5给出的每天温度的变化范围，试研究混凝土厚板中温度的变化。假定最高温度在中午达到，最低温度在午夜达到。试决定能否在只考虑辐射的条件下设计厚板使其表面的平均温度保持在指定的舒适范围内。一开始，先假定热是通过暴露在外的，混凝土板的周边传入住宅的，而厚板的上、下表面是绝热的。试就这些假设是否恰当及假设的敏感性出作评价。如果你们不能找到满足附表1.5 条件的解，你们能作出满足你们提出的附表1-5的厚板的设计吗？ 附表1.5 周围温度 舒适范围  最高29.5℃(85F) 最低15.5℃(60F) 最高24.5℃(76F) 最低18.3℃(65F)  第二部分：建筑物温度 试分析一开始所作假设的实用性，并将其推广到分析单层住宅内温度的变化。住宅内的温度能否保持在舒适的范围内。 第三部分：建筑费用 考虑到建筑的各种限制及费用，试提出一种考虑HUD公司关于降低甚至免去暖气和冷气费用这一目标的设计。 MCM94问题-B 通讯网络 在你们的公司里，各部门每天都要分享信息。这种信息包括前一天的销售统计和当前的生产指南。尽快公布这些信息是十分重要的。 假设一个通讯网络被用来从一台计算机向另一台计算机传输数据组（文件）。作为例子，考虑附图1.14所示的模型： 顶点V1,V2,…,Vm表示计算机，边e1,e2,…,en表示（由边的端点表示的计算机之间）要传输的文件。T(ex)表示传输文件ex所需的时间。C(Vy)表示计算机Vy同时能传输多少个文件的容量。文件传输时，有关计算机将被完全占用。C（Vy）=1表示计算机Vy一次只能传输一个文件。 我们有兴趣的是以最优的方式安排传输，使得传输完所有文件所用的总时间最小。这个最小总时间称为接通时间（makespan）。请为你们的公司考虑以下三种情形： 情形A：你们公司有28个部门。每个部门有一台计算机，在附图?1.15中每台计算机用顶点表示。每天必传输27个信息，在附图1.15中用边来表示。对于这个网络，以所有的x、y，有T(ex)=1,C(Vy)=1。试找出该网络的最优安排并求出接通时间。你们能向主管人员证明你们求得的接通时间是最小可能（最优）的吗？叙述你们求解该问题的方法。你们的方法适用于一般情形吗，即是否适用于T(ex)、C(Vy)以及图结构都是任意的情形？ 情形B：假设你们公司改变了传输要求。现在你必须在同样的基本网络结构（附图1.16）上考虑不同类型和大小的文件。传输这些文件所需时间由附表1.6中每条边的T(ex)项表出。对所有y仍有C(VY)=1。试对新网络找出最优安排和接通时间。你们能证明对新网络而言你们求得的最小接通时间是最小可能的吗？叙述你们求解该问题的方法。你们的方法适用于一般情形吗？试对任何特异的或出乎意料的结果发表评论。 情形C：你们公司正考虑扩展业务。如果公司真的这样做的话，每天有几个新文件（边）要传输。这种业务扩展还包括计算机系统的升级换代。28个部门中的某些部门将配备新的计算机使之每次能传输不止一个文件。所有这些变化都在附图1.16以及附表1.7、附表1.8中表明。你们能找到的最优安排和接通时间是什么？你们能证明对该网络而言而这个接通时间是最小可能的吗？叙述你们求解该问题的方法。试对任何特异的或者出乎意料的结果发表评论。 附表1.6 情形B的文件传输时间数据 X 1 2 3 4 5 6 7  T(ex) 3.0 4.1 4.0 7.0 1.0 8.0 3.2  X 8 9 10 11 12 13 14  T(ex) 2.4 5.0 8.0 1.0 4.4 9.0 3.2  X 15 16 17 18 19 20 21  T(ex) 2.1 8.0 3.6 4.5 7.0 7.0 9.0  X 22 23 24 25 26 27   T(ex) 4.2 4.4 5.0 7.0 9.0 1.2   附表1.7 情形C的文件传输时间数据 X 1 2 3 4 5 6 7  T(ex) 3.0 4.1 4.0 7.0 1.0 8.0 3.2  X 8 9 10 11 12 13 14  T(ex) 2.4 5.0 8.0 1.0 4.4 9.0 3.2  X 15 16 17 18 19 20 21  T(ex) 2.1 8.0 3.6 4.5 7.0 7.0 9.0  X 22 23 24 25 26 27 28  T(ex) 4.2 4.4 5.0 7.0 9.0 1.2 6.0  X 29 30 31 32 33 34 35  T(ex) 1.1 5.2 4.1 4.0 7.0 2.4 9.0  X 36 37 38 39 40 41 42  T(ex) 3.7 6.3 6.6 5.1 7.1 3.0 6.1  附表1.8 情形C的计算机容量数据 Y 1 2 3 4 5 6 7  C(Vy) 2 2 1 1 1 1 1  Y 8 9 10 11 12 13 14  C(Vy) 1 2 3 1 1 1 2  Y 15 16 17 18 19 20 21  C(Vy) 1 2 3 1 1 1 2  Y 22 23 24 25 26 27 28  C(Vy) 2 1 1 1 2 1 1   MCM95问题-A 单螺旋线 本问题旨在协助一家小规模的生物技术公司设计、论证、编程以及测试一个数学算法，这一算法用于在合理时间内找出一般空间位置的一条螺旋线与一个平面的所有交点的位置。 相似的计算机几何辅助设计程序使工程师们能够看到所设计物件的平面部分，例如一台飞机喷气发动机，一根汽车悬架或是一台医疗设备。此外，工程师们还可以用颜色或曲线在平面上显示出一些量，如气流、应力、温度等。进而，工程师们可以扫视整个物件中这样的平面部分，以获取它的三维立体形象，以及它对运动、力、热的反应。为达到这样的效果，计算机程序必须非常迅速、精确地确定所观察平面与所设计物件每一部分的所有交点的位置。通用的“方程解法”原则上可以计算出这些交点，但是对于某些具体问题，特殊方法可能比通用方法更快捷、更精确。特别是，通用的计算机几何辅助设计软件被证实运行速度太慢而不能在合理时间内完成计算，或是规模太大而不适合该公司所开发的医疗设备。以上考虑该公司着手解决以下这个问题。 问题： 设计、验证、编程、测试一种方法，用来计算出空间一般方位（任意位置以及任意方向）的一个平面和一条螺旋线的所有交点。 一段螺旋线可以表示如一段螺旋悬置的弹簧或者一根化学或医疗设备上的管道等。 由于必须从几个角度来检验这种解决方法，因此，需要对所提出的算法进行理论性论证，这一点可以通过对算法的某些部分的数学论证，以及用已知实例对最后程序进行的测试来实现时。这样的论证与测试是政府医政部门所要求的。 MCM95问题-B Aluacha Balachlava学院 Aluacha Balaclaca大学院最近雇用了一名新院长。由于该院的教职员工薪金问题，原院长被迫辞职，因此新院长应把建立公平合理的工资体制为当务之急。首先，她雇用了你们背景： 存在四种教师级别，由低到高依次为：讲师、助理教授、副教授、教授。拥有博士学位的教师可雇为助理教授；正在攻读博士学位的教师可雇为讲师，且当其完成学位以后即可自动升为助理教授；担当副教授七年或七年以上的教师，可提出申请要求晋升为教授。能否晋升则由院长根据教授会的推荐作出决定，这个环节与你们无关。 校方只需支付教师9月到6月十个月的工资。加薪从9月份开始，可用于加工薪的资金总额每年均不一样，一般来说，只有到3月份才知道下一年的资金数目。今年，对于以前没有教学经验的讲师，其起点薪金是37000美元；助理教授是32000美元。在其他院校教学的资历可以被承认，但最多认可七年。 原则： ——在资金充足的情况下，所有教师每年都应得到加薪。 ——一旦升职，教师可从中得到切实的利益。假如某位教授在最短的时间内获得提升，那么，他因此而增加的收入大致相当于一般教师（没有升职）七年里所增加的收入。 ——按时提升（在某一职位上任职七或八年以后）并且有25年或25年以上工作经历的教师，退休时的工资大约是刚刚参加工作的教师的工资的两倍。 ——对于同一级别的教师，有较多工作经验者得到的收入比工作经验较少者高。但是，由一年额外工作经历带来的收入差异将与日俱减。换句话说，如果两个教师处于同一级别，他们的工资收入将渐渐接近。 方案： 首先，在不考虑生活消费增长的情况下，设计一个新的工资体制。然后，再加入生活消费增长的因素。该项目的最后一项任务就是设计一个转化程序，以实现把已有教师的所有工资转到你设计的体制中，而不能减少任何一位教师的工资。已有教师的工资、级别、工作时间见表1。讨论你所认为会优化这一体制的所有改进措施。 院长要求得到一份可实施的具体的工资体制计划，同时还需要一份简洁明了的实施纲要，可承交给理事会和广大教师。纲要上应概括说明这一模型、其假设、它的优点和缺点以及它的效果。 添加表格（附表1.9） 序号 服务年限 级别 工资/ 美元 序号 服务年限 级别 工资/ 美元 序号 服务年限 级别 工资/ 美元  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 4 19 20 11 15 17 23 10 7 20 18 19 15 4 34 28 9 22 21 20 4 14 23 21 20 5 19 15 18 7 5 6 8 10 23 20 9 32 15 22 6 5 5 16 23 9 8 23 39 4 5 46 4 19 6 6 20 21 4 6 17 20 4 16 15 20 6 6 6 副 教 授 助理教授 助理教授 教 授 教 授 助理教授 教 授 助理教授 副 教 授 副 教 授 副 教 授 教 授 副 教 授 助理教授 教 授 助理教授 助理教授 副 教 授 副 教 授 助理教授 助理教授 副 教 授 教 授 副 教 授 副 教 授 助理教授 副 教 授 助理教授 教 授 助理教授 助理教授 副 教 授 教 授 助理教授 教 授 副 教 授 教 授 副 教 授 助理教授 副 教 授 讲 师 副 教 授 副 教 授 助理教授 助理教授 教 授 教 授 教 授 副 教 授 讲 师 助理教授 教 授 副 教 授 教 授 副 教 授 副 教 授 教 授 教 授 副 教 授 助理教授 助理教授 教 授 助理教授 副 教 授 教 授 教 授 助理教授 副 教 授 助理教授 54000 43508 39072 53900 44206 37538 48844 32841 49981 42549 42649 60087 38002 30000 60576 44562 30893 46351 50979 48000 32500 38462 53500 42488 43892 35330 41147 34040 48944 30128 35330 35942 57295 36991 60576 48926 57956 52214 39259 43672 45500 52262 57170 36958 37538 58974 49971 62742 52058 26500 33130 59749 37954 45833 35270 43037 59755 57797 53500 32319 35668 59333 30500 41352 43264 80935 45365 35941 49134 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 4 4 7 12 2 1 1 16 4 21 12 4 16 24 6 16 5 19 17 6 14 5 9 4 25 23 17 4 3 24 2 20 9 24 6 14 19 12 10 18 21 8 19 10 5 1 22 10 7 26 20 1 8 14 23 1 15 20 6 10 14 12 1 17 6 2 4 5 21 助理教授 助理教授 助理教授 副 教 授 助理教授 副 教 授 助理教授 副 教 授 副 教 授 教 授 助理教授 讲 师 教 授 教 授 助理教授 教 授 助理教授 教 授 助理教授 助理教授 副 教 授 助理教授 副 教 授 助理教授 教 授 教 授 助理教授 助理教授 助理教授 教 授 教 授 教 授 助理教授 助理教授 副 教 授 教 授 副 教 授 助理教授 助理教授 副 教 授 副 教 授 助理教授 副 教 授 副 教 授 助理教授 讲 师 教 授 副 教 授 助理教授 教 授 副 教 授 助理教授 副 教 授 副 教 授 副 教 授 助理教授 助理教授 副 教 授 助理教授 助理教授 助理教授 副 教 授 助理教授 教 授 助理教授 副 教 授 副 教 授 助理教授 副 教 授 29500 30186 32400 44501 31900 62500 34500 40637 35500 50521 35158 28500 46930 55811 30128 46090 28570 44612 36313 33479 38624 48500 35150 50583 60800 38464 39500 52000 56922 78500 52345 35798 43925 35270 35270 49272 40427 37021 44166 16157 32500 40785 38698 31170 26161 47974 37793 38117 62370 51991 31500 35941 39294 51991 51991 30000 34638 56836 35451 32756 32922 36451 30000 48134 40436 54500 55000 32210 43160 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 2 7 9 21 22 7 12 9 3 13 6 19 4 27 9 5 2 3 17 5 22 6 17 20 2 20 21 21 5 19 18 18 23 12 6 7 23 22 3 15 4 21 23 1 6 2 16 24 9 28 9 12 9 6 2 5 2 2 2 9 4 8 23 21 2 26 助理教授 助理教授 副 教 授 教 授 教 授 副 教 授 助理教授 助理教授 助理教授 讲 师 助理教授 教 授 教 授 教 授 副 教 授 副 教 授 助理教授 教 授 助理教授 副 教 授 助理教授 助理教授 助理教授 助理教授 教 授 助理教授 副 教 授 教 授 教 授 副 教 授 副 教 授 助理教授 教 授 教 授 助理教授 助理教授 副 教 授 教 授 助理教授 副 教 授 助理教授 副 教 授 教 授 助理教授 助理教授 讲 师 教 授 副 教 授 副 教 授 教 授 讲 师 教 授 助理教授 助理教授 教 授 助理教授 助理教授 副 教 授 教 授 副 教 授 助理教授 副 教 授 教 授 教 授 教 授 副 教 授    MCM96问题-A 环境噪声场 海洋中存在着背景噪音场，地震引起的摄动等，海面上航行的船只以及生活在大海中哺乳动物都是具有不同频率范围的噪音源。我们要考察如何利用这种背景噪音测定大的移动目标，例如海面下的潜艇。假定潜艇不产生固有噪音；只利用测量背景噪音场的变化所得到的信息，研制一种能够探测出移动潜艇的存在，并测出它的速度、尺寸及航行方向的方法。从一个固定频率和振幅的噪音着手进行。 MCM96问题-B 竞赛试卷的评阅方法 在确定象数学建模竞赛这种形式比赛的优胜者时，常常要评阅大量的答卷，比如说，有P=100份答案，由J位评阅人组成的小组来完成评阅任务。基于竞赛资金，对于能够聘请的评阅人数量和评阅时间的限制，如果P=100，通常取J=8。理想的情况是每个评阅人看所有的答案，并将它们一一排序，但这种方法工作量太大。另一种方法是进行一系列的筛选，在一次筛选中每个评阅人只看一定数量的答卷，并给出分数。为了减少所看答卷的数量，考虑如下的筛选模式：如果答卷是被排序的，则在每个评阅人给出的排序中排在最下面的30%答卷被筛除；如果答卷被打分（比如说从1分到10分），则某个截止分数线以下的答卷宗被筛除。这样，通过筛选的答卷重新放在一起返回给评阅小组，重复上述过程，人们关注的是，每个评阅人看的答卷总数要显著地小于P。评阅过程直到剩下W份答卷时停止，这些就是优胜者。当J=100通常取W=3。 你的任务是利用排序、打分及其它方法的组合，确定一种筛选模式，按照这种模式，最后选中的W份答卷只能来自“最好的”2W份答案（所谓“最好的”是指，我们假定存在着一种评阅人一致赞同的答卷的绝对排序）。例如，用你给出的方法得到的最后3份答卷将全部包括在“最好的”6份答卷中，在所有满足上述要求的方法中，希望你能给出使每个评阅人所看答卷份数最少的一种方法。 注意，在打分时可能会存在系统偏差：例如，对于一批答卷，一位评阅人平均给70分，而另一位可能给80分。在你给出的模式中如何调节尺度来适应竞赛参数（P，J和W）的变化。 MCM97问题-A Velocitaptor（疾走龙属）问题 Velociraptor mongoliensis是生活在距今约7500万年前后白垩纪（译注：白垩纪为距今1.36~0.65亿年的地质年代，是中生代最后的纪）的一种食肉类恐龙。 古生物学家认为这是一种非常顽强的猎食其他动物的野兽，而且可能是成对或成群地外出追猎的。然而，不幸的是无法象观察现代哺乳食肉动物在野外是如何追猎其食物的行为那样观察到Velociraptor在野外的追猎行为。一组古生物学家来到你们队请求你们在Velociraptor的追猎行为的建模方面给予帮助。他们希望把你们的结果与研究狮子、老虎及其他类似食肉动物行为的生物学家的研究报告相比较。 成年Velociptor平均长3米，髋高0.5米，重约45公斤。据估计，这种动物跑得非常快，速度可达60公里/小时，持续约15秒。在这种速度的冲刺后，它要停下来休息在其肌肉中增加乳酸以恢复体力。 假设Velociraptor捕食一种称为Thescelosaurus（太西龙属）neglectus的大小与Velociraptor差不多的双足食草动物。从Thescelosanrus化石的生物力学分析得知Thescelosaurus可以50公里/小时的速度长时间奔跑。 （1）假设Velociraptor是一只独居的猎食其他动物的野兽，试设计一个单个的Velociraptor潜近猎物并追猎一只单个的thescelosaurus的策略以及被追捕物逃避追捕的策略的数学模型。假如当Velociraptor潜近15米内时，thescelosaurus总能觉察到，根据栖息地及气候的条件不同，甚至可以在（多达50米的）更大的范围内觉察欲捕食它的动物的存在。此外，由于Velociraptor的身体结构及体能，它在全速奔跑时的拐弯半径是有限的。据估计，拐弯半径大约是其髋高的三倍。另一方面，thescelosaurus却是极其灵活的，其拐弯半径只有0.5米。 （2）更现实地，假设Velociraptor是成对外出追猎的，试设计一个新的关于成对的Velociraptor潜近猎物并追猎一只单个的thescelosaurus的策略以及被追捕物逃避追捕的策略的数学模型。利用第一部分给出的假定和限制。 MCM97问题-B 为取得富有成果的讨论怎样搭配与会成员 为讨论重要问题，特别是长远规划问题而召开小组讨论会正变得越来越普遍。人们相信很多人参加会妨碍有成果的讨论，甚至一位占支配地位的人能控制并操纵会议的讨论。因此，在公司的董事会召集全体董事会议之前应先开一些讨论有关事务的小组会议，这些规模较小的小组会议仍然有被某个占支配地位的人控制的危险。为降低这种危险，常用的办法是安排每个小组开几次会，每次会有不同的人参加。 An Tostal公司的一次会议的参加者为29位公司董事会成员，其中9位是在职董事（即公司的雇员）。会议要开一天，每个小组上午开三段，下午四段，每段会议开45分钟，从上午9：00到下4：00每整点开始开会，中午12：00午餐。上午的每段会议都有6个小组讨论会，每个小组讨论会都由公司的一位资深高级职员来主持讨论。这些资深高级职员都不是董事会的成员。因此，每位资深高级职员都要主持三个不同的小组讨论会，这些资深高级职员不参加下午的讨论会，下午的每段会议只有4个不同的小组讨论会。 公司董事长要一份公司董事参加7段会议的每个小组讨论会的分配名单。这份搭配名单要尽可能多地把董事均匀搭配。理想的搭配应每一位董事和另一位董事一起参加小组讨论会的次数相同，与此同时要使不同段的小组中在一起开过会的董事数达到最小。 名单中的搭配还应满足下列两个准则： （1）在上午的讨论会上，不允许一位董事参加由同一位资深高级职员主持的两次会议。 （2）每个分组讨论会都不应有不匀称数目的在职董事参加。 给出一张1—9号在职董事、10—29号董事、1— 6号公司资深高级职员的搭配名单。说明该名单在多大程度上满足了前面提出的各种要求和规则，因为有的董事可能在最后一分钟宣布不参加会议，也可能不在名单上的董事将出席会议，因此一个能使秘书在一小时前得到变更与会与否通知的情况下来调整搭配的算法定会得到赏识。如果算法还能用于涉及不同水平的与会者参加的未来的会议中每类与会者搭配的话，那就更理想了。 MCM’98问题-A 核磁共振扫描仪 1、背景介绍 核磁共振仪（MRI）是一种用于工业和医疗诊断的仪器。它可以扫描三维物体（例如脑），并以一个三维数组的形式反映出测量结果、三维数组的每个元素记录一个单元体的信息：它包含一个数了，这个数字反映该单元体位置的灰度值，即这个地区的水浓度值，例如：0代表高的含水量（黑色），128代表中等含水量（灰色），255代表低含水量（白色）。这种MRI还具有这样的功能；在屏幕上画出任何水平或垂直穿过三维数组表示的物体的切片（即切片平行于笛卡尔坐标轴：X或Y或Z轴）但是现有算法，不能画倾斜的切片，算法在角度和参数选择方面受到限制，只能在特定的大型工作站上运行，并且使单元之间的边界变得模糊不清。 一个可以在PC机上执行的比较理想灵活的算法可以完成以下功能： （1）对由少量（细菌或病毒）入侵引起的病变，提出治疗方案（高精度）。 （2）给MRI定刻度。 （3）观察空间位置倾斜的平面的结构，如对动物某部位组织的研究。 （4）能够画截面的图形，这个截面可以是以任意角度穿过由黑白线画成的脑部图，为了设计这样一种算法，我们能够获得单元体的空间位置和灰度值（经过处理过，如消除噪声处理等），不需要得到由MRI收集的初始数据。 2、问题 设计并测试一种算法，它能以三维数组的形式反映空间任何位置和方向的平面信息，并且尽可能保持原有灰度值（用插值而不用拟合）。 3、数据集合 典型的数据集包括一个三维数组A,A(i,j,k)表示在位置(x,y,z)ijk的点的浓度，一般说来，A(i,j,k)的范围是0~225，在多数情况下，数据集非常大，参赛组应设计数据集，并且测试和检验算法，数据集最好能引起医疗诊断的兴趣，参赛组应指出什么性质的数据集限制了他们算法的有效性。 4、总结 算法必须能画出空间中穿过的三维数组表示的物体形成的切片的图像，平面可以是任意方向和位置的（平面也可能不经过任何数据点），算法的结果应是被检测物体被所选平面所截部分的浓度（灰度）的模型。 MCM’98问题-B 等级扩张 前景 一些学院管理人想对一优生班学院（ABC）里的学生分等。一般讲，ABC的教师已经给学生打了高分（目前的平均成绩是A－），因而无法区分好学生和中等学生。但是，最丰厚的奖学金只有最好的10%的学生才能得到，因此分等的确是有必要的。 已经考虑过各班里学生之间的比较，并利用这一信息，建立了分类。例如，如果一个班里全部学生都得了A，那么这个班里得A的学生只能算是平均水平。反之，若一个学生得了班里唯一的A，则这个学生显然高于平均水平，比较从几个班级得出的信息，也许可以将学院里的学生以十分之一、十分之一地区分出来（最好的10％，其次的10%等）。 问题： （1）假定成绩是（A+,A,A－,B+,…）给出的办法能够奏效吗？ （2）假定成绩是（A,B,C,…）给出的办法能够奏效吗？ （3）有其他办法来分等吗？ MCM’99（问题-A）深深的撞击 一段时间以来，美国航空航天局（NASA）一直在考虑一颗小行星撞击地球会产生什么样的后果。 作为这一努力的一部分，你的队被要求考虑如果小行星撞击在南极洲这样的冲撞所产生的后果。有一些看法认为冲撞在那里可能会产生与撞击在地球其他部位有明显不同的后果。 你可以假设小行星直径大约为1000m左右，而且它直接撞击在南极处（the South Pole）。你的队被要求提供这样的小行星撞击的一个损失的估计。特别，NASA希望要一个总损失的估计和人类可能损失的评定，一个对南半球海洋中食物生产区损害的估算和对由于南级冰被的大规模融化而可能造成的海岸洪水泛滥的一个估算。 MCM’99问题B 违规集中 许多公共设施在室内贴有标志，指出室内超过一特定数目的人是“违规”的。这个数字可能是根据在紧急情况下人们可从此室出口撤出的速度来决定，类似地，电梯及其他设施常贴有一个“最大容量”。 建立一个数学模型以确定贴什么样的数在标志上作为“法定容量”。作为你解答的一部分，除了在起火或其他紧急情况下人们的安全外，讨论在考虑占据房间（或空间）“违规”时可能给出人数的准则。此外，对于你建立的规模，考虑带有可能移动家俱的房间，如一个自助餐厅（有桌子和椅子），一个体育馆，一个公共游泳池以及一个带有如行和过道的演讲厅之间的区别。你也许会希望比较和对照不同环境的变化：电梯，演讲厅，游泳池，自助餐厅或体育馆，可能会怎么样。如同摇滚音乐会和足球锦标赛那样的集中，可看作特殊情况。将你的模型用于一个或多个你们学院（或相邻城镇）的公共设施。将你的结果和所标的容量（如贴有一个）作一比较，你的模型可能会受到增加容量的利益所刺激，给地方报纸写一篇文章为你们的分析辩护。 MCM99问题C 地面污染 背景 污染体计有一些实际上很重要但理论上非常困难的数学问题。这些问题之一是根据从预料的污染地区周围（不必是直接地）取得的很少几个测量结果精确估计渗透到不可到达的地下的污染位置和污染总量，污染源的位置。 例 一组数据位于： http://www.comap.com/mcm/procata.xls 数据组显示了1990至1997年从10口监测井（MW）里取得的地下水中的污染物测量结果，单位为毫克/每升。八口井的位置和高度已知并在下面给出。前面两个数是一地图上笛卡儿网格中井的位置的坐标，第三个数是英尺，表示井中水面高于标准水平的垂直高度。 井号（ft） X-坐标（ft） Y-坐标（ft） 升高度（ft）  WM-1 WM-3 WM-7 WM-9 WM-11 WM-12 WM-13 WM-14 4187.5 9062.5 7625.0 9125.0 9062.5 9062.5 9026.5 4750.0 6374.0 4375.0 5812.5 4000.0 5187.5 4662.5 5000.0 2562.5 1482.23 1387.92 1400.19 1384.53 1394.26 1394.25 1394.25 1412.00  数据组中另两口井（MW-27和MW-33）的位置和升高度未知。数据组中，在井号之后你还能看到字母T，M或B，表示测量值取自井的顶部，中部或底部。这样，MW-7B和MW-7W取自同一井，但前者取自底部而后者取自中部。同时，其余测量结果表明这一地区的水有汉向MW-9的倾向。 问题1 建立一数学模型来确定：由数据表示的区域在这一时期内部是否有新污染产生，如有，验明这些新的污染并估计污染源的位置和时间。 问题2 在收集数据之前有一个问题，如何使数据和模型能得出污染位置和总量的估计。液态化学品可能已从由相同土壤制成的一个储藏设施中大量相似的储藏桶之一中渗透出来。由于在有很多大桶时探查十分昂贵而又危险，只测量储藏设施外围附近或有意向地带的表面，确定何种边界或表面（其内有储藏设施）的测量及测量数目被用于数学模型，可以确定是否发生了泄漏，当发生泄漏时，可测定泄漏发生在何处（哪一个桶）及有多少液体已泄漏出来。 MCM2000问题-A 空间交通管制 为加强安全并减少空中交通指挥员的工作量，联邦航空局(FAA)考虑对空中交通管制系统添加软件，以便自动探测飞行器飞行路线可能的冲突，并提醒指挥员。为完成此项工作，FAA的分析员提出了下列问题。 要求A: 对于给定的两架空中飞行的飞机，空中交通指挥员应在什么时候把该目标视为太靠近，并予以干预。 要求B: 空间扇形是指某个空中交通指挥员所控制的三维空间部分。给定任意一个空间扇形，我们怎样从空中交通工作量的方位来估量它是否复杂？当几个飞行器同时通过该扇形时,在下面情形所确定的复杂性会达到什么程度：（1）在任一时刻？（2）在任意给定的时间范围内？（3）在一天的特别时间内？在此期间可能出现的冲突总数是怎样影响着复杂性来的？ 提出所添加的软件工具对于自动预告冲突并提醒指挥员，这是否会减少或增加此种复杂性？ 在作出你的报告方案的同时，写出概述（不多于二页）使FAA分析员能提交给FAA当局Jane Garvey ，并对你的结论进行答辩。 MCM2000问题-B 无线电信道分配 我们寻找无线电信道配置模型。在一个大的平面区域上设置一个传送站的均衡网络，以避免干扰。一个基本的方法是将此区域分成正六边形的格子(蜂窝状)，如图1。传送站安置在每个正六边形的中心点。 容许频率波谱的一个区间作为各传送站的频率。将这一区间规则地分割成一些空间信道，用整数1,2,3,…来表示。每一个传送站将被配置一正整数信道。同一信道可以在许多局部地区使用，前提是相邻近的传送站不相互干扰。根据某些限制设定的信道需要一定的频率波谱，我们的目标是极小化频率波谱的这个区间宽度。这可以用跨度这一概念。跨度是某一个局部区域上使用的最大信道在一切满足限制的配置中的最小值。在一个获得一定跨度的配置中不要求小于跨度的每一信道都被使用。 令s为一个正六边形的一侧的长度。我们集中考虑存在两种干扰水平的一种情况。 要求A：频率配置有几个限制：第一，相互靠近的两个传送站不能配给同一信道。第二,由于波谱的传播，相互距离在2s內的传送站必须不配给相同或相邻的信道，它们至少差2。在这些限制下，在图1中我们关于跨度能说些什么。 要求B：假定前述图1中的格子在各方向延伸到任意远，回答要求A。 要求C：在下述假定下，重复要求A和B。更一般地假定相互靠近的传送站的信道至少差一个给定的整数k，同时那些隔开一点的保持至少差1。关于跨度和关于设计配置的有效策略作为k的一个函数，我们能说点什么。 要求D：考虑问题的一般化，比如各种干扰水平，或不规则的传送站布局。其他什么因素在考虑中是重要的。 要求E：写一篇短文（不超过两页）给地方报纸，阐述你的发现。 MCM2000问题-C 大象：什么时候足够了？ “归根到底，如果象群对于栖息地造成不尽人意的影响，就要考虑对它们的驱除，即使是运用淘汰法则”。国家地理杂志（地球年鉴）1999年12月 在位于南非的一个巨大的国家公园里，栖息着近乎11000只象。管理策略要求一个健康的环境以便维持11000只象的稳定群落。公园的管理员们逐年统计象的总数。在过去的20年间，整个群落经受驱除得以保持其总数尽量接近11000只。这个过程涉及枪杀（对于大部分）和每年转移近乎600到800只象到异地。 近年来，公众抗议枪杀这些象。此外，即使每年转移少量的象也是不可能了。然而，一种避孕注射法开发成功，它可以在两年期间内阻止一只成熟的母象受孕。 下面是一些关于这个公园内象的信息： 很少发生象本身移入移出该公园的事。 性别比非常接近1:1，而且采取控制措施力求维持均衡。 新生幼象的性别比也是1:1左右。双胞胎的机会接近于1.35%。 母象在10岁和12岁之间第一次怀孕，平均每3.5年产下一个崽儿，直到60岁左右为止。怀孕期约为22个月。 避孕注射使一只母象每个月发情（但不怀孕）。象通常在3.5年内仅求偶一次，所以，上述按月周期能够引起附加的反应。 一只母象可以每年注射而没有任何有害的影响。一只成熟的母象在上次注射后两年内将不能怀孕。 新生幼象中的70%到80%活到一岁，其后，存活率非常高（超过95%）并且在各年龄段一致，直到60岁左右；假定象死于70岁之前是恰当的。 在这个公园内没有狩猎，偷猎也是微乎其微。 公园管理部门有一个粗略的数据文件，其中列出近两年内由这个地区运出的象的大致年龄和性别。这组数据可在网站http://www.comap.com/icm/icm2000data.xls上找到。可惜的是，没有关于在这个公园内被射杀和留下来的象的可用数据。 你的全部任务是发展和利用模型来研究避孕注射会如何用于控制象的数量。特别是： 任务1：发展和利用一个模型来推测年龄在2岁到60岁之间象的合理存活率。并且推测这个大象群落的当前年龄结构。 任务2：估计每年有多少只母象需要避孕注射以保持这个群落固定在11000只象左右。说明被处理数据的不确定性如何影响你的估计。试加评论这个群落年龄结构的任何改变以及会如何影响旅游者。（你或许要前瞻30-60年左右。） 任务3：假如每年转移50至300只象是可行的，这会怎样减少承受避孕注射的象只数量？试加评定避孕注射和转移之间的折衷办法。 任务4：若干反对避孕注射的人提出疑问，如果发生一场大量象只的突然灭绝（由于疾病或不受控制的偷猎），即使立即停止避孕注射，这个群落重新壮大的能力也会受到严重阻碍。对这个顾虑进行研究并作出回应。 任务5：这个公园的管理部门不相信建模。他们特别表示，由于缺少完整的数据，任何通过模型来引导他们作出决定的尝试都构成一种愚弄。除了你的技术报告之外，请附上一份字斟句酌写给公园管理部门的报告（最多三页），对于他们的疑虑作出回应并且给予劝告。还要提出一些办法来增加公园管理部门对于你的模型和结论的信赖程度。 任务6：如果你的模型有效，南非的其他大象公园会乐于采用它。请为各种规模的公园（300至25000只象）准备一项避孕注射计划，同时带有略微不同的存活率和转运可能性。 MCM2001问题-A题：选择自行车车轮 有不同类型的车轮可以让自行车手们用在自己的自行车上。两种基本的车轮类型是分别用金属辐条和实体圆盘组装而成（见图1）。辐条车轮较轻，但实体车轮更符合空气动力学原理。对于一场公路竞赛，实体车轮从来不会用作自行车的前轮但可以用作后轮。 职业自行车手们审视竞赛路线，并且请一位识文断字的人推断应该使用哪种车轮。选择决定是根据沿途山丘的数量和陡度，天气，风速，竞赛本身以及其他考虑作出的。你所喜爱的参赛队的教练希望准备妥当一个较好的系统，并且对于给定的竞赛路线已经向你的参赛队索取有助于确定宜用哪种车轮的信息。 这位教练需要明确的信息来帮助作出决定，而且已经要求你的参赛队完成下面列出的各项任务。对于每项任务都假定，同样的辐条车轮将总是装在前面，而装在后面的车轮是可以选择的。 任务1.?提供一个给出风速的表格，在这种速度下实体后轮所需要的体能少于辐条后轮。这个表格应当包括相应于从百分之零到百分之十增量为百分之一的不同公路陡度的风速。（公路陡度定义为一座山丘的总升高除以公路长度。如果把山丘看作一个三角形，它的陡度是指山脚处倾角的正弦。）一位骑手以初始速度45kph从山脚出发，他的减速度与公路陡度成正比。对于百分之五的陡度，骑上100米车速要下降8kph左右。 任务2.?提供一个例证，说明这个表格怎样用于一条时间试验路线。 任务3.?请判明这个表格是不是一件决定车轮配置的适当工具，并且关于如何作出这个决定提出其他建议。 MCM2001问题-B ?逃避飓风怒吼（一场恶风…） 1999年，在Floyd飓风预报登陆之前，撤离南卡罗来纳州沿海地区的行动导致一场永垂青史的交通拥塞。车水马龙停滞在州际公路I-26上，那是内陆上从Charleston通往该州中心Columbia相对安全处所的主要干线。正常时轻松的两个小时驱车路要用上18个小时才能开到头。许多车竟然沿途把汽油消耗净尽。幸运的是，Floyd飓风掉头长驱北上，这次放过了南卡罗来纳州，但是，公众的喧嚷正在迫使该州官员们寻找各种办法，以求避免这场交通恶梦再度出现。 倾力解决这个问题的主要提议是I-26公路上的车辆转向疏散，因此，包括通往海岸的多条次级公路在内，从两个侧面疏导车流在内陆从Charleston开往Columbia?。 把提议付诸实施的计划已经由South Carolina Emergency Preparedness Division准备好（而且贴在互联网上）。从Myrtle Beach和Hilton Head通往内地的主干道上车辆转向疏散的方案也在规划中。 这里有一张南卡罗来纳州的简化地图。Charleston有近500,000人，Myrtle Beach有200,000人左右，而另一个250,000人分散在沿岸其余地区。（如果查找，更精确的数据随处可用。） 州与州之间有两条车辆往来的次级公路，自然大都市地区除外，那里有三条。Columbia，又一个500,000人左右的大都市地区，没有充足的旅店空间为撤退者提供食宿（包括沿其他路线来自大北边的一些人），所以，若干车辆继续撤离，沿着I-26公路开往Spartanburg市；沿着I-77公路北上Charlotte市；而且沿着I-20公路东进Atlanta市。在1999年，从Columbia开往西北方向的车辆行进得非常慢。对这个问题建立一个模型，调查研究哪种策略可以降低在1999年观察到的拥挤。这里有一些问题需要加以考虑： 在什么条件下，把I-26的两条开往海岸的次级公路变成开往Columbia的两条次级公路，特别是把整个I-26变成单行道会使撤离交通状况得到重大改善？ 在1999年，南卡罗来纳州的整个沿海地区奉命同时撤离。如果采取另一种策略，逐个郡按某个时间段错开撤离，同时与飓风对沿岸影响的模式相协调，撤离交通状况会改善吗？ 在I-26公路旁边有若干较小的高速公路从海岸延伸到内陆。在什么条件下，把车辆流转向这些道路会改善撤离交通？ 在Columbia建立更多临时收容所来减少离开Columbia的车辆，这会对撤离交通状况有什么影响？ 在1999年，离开海岸的许多家庭一路上携带他们的船只，露营设备和汽车住宅。许多家庭驾驶他们的所有汽车。在什么条件下，应当对携带的车辆类型或车辆数目加以限制以求保证适时撤离？ 在1999年，人们还会记得，若干Georgia州 and Florida州的沿岸居民逃避较早预报的Floyd飓风南部登陆，沿着I-95公路北上而加重了南卡罗来纳州交通问题。他们对于撤离交通的冲击会有多大？ 要清楚地指明，为了比较各种策略，使用什么方法对实施状况予以评测。 要求：预备一篇简短的报刊文章，不超过两页，向公众解释你的研究成果和结论。 MCM2001问题-C 我们的水系—不确定的前景 斑马贻贝，Dreissena polymorpha，是指甲般大小的淡水软体动物，经由越洋货轮的压舱水不留意引入北美。自上个世纪80年代中期引入以来，它们已经遍布五大湖并且扩展到越来越多的美国和加拿大内陆水系。斑马贻贝依附在各种表面上，诸如码头，船壳，商用鱼网，吸水管和阀门，本地软体动物和其他斑马贻贝。它们的为人所知的天敌，某些潜水鸭，淡水鹧鸪，鲤鱼，以及鲟鱼，没有足够的数量对他们产生重大的影响。斑马贻贝已经严重地冲击五大湖生态系统和经济。许多社区正在设法控制或者消灭这些水生害虫。原始资料：Great Lakes Sea Grant Networkhttp://www.sgnis.org/ 研究人员正在试图分辨与斑马贻贝在北美水系蔓延有关的环境变数。可以限制或阻止斑马贻贝扩展的相关因素是不确定的。你可以查阅若干参考数据，包括供水系统中一些化学药品和物质的列表，这些或许对斑马贻贝在各个水系的扩展产生影响。此外，你可以假定，单独的斑马贻贝每年都能生长15毫米，生命期介于4-6年之间。常见的贻贝每天吞吐1升水。 要求A：研讨可能影响斑马贻贝扩展的环境因素。 要求B：利用化学数据，提供在： http://www.comap.com/undergraduate/contests/icm/imagesdata/LakeAChem1.xls 和贻贝增殖数据，提供在： http://www.comap.com/undergraduate/contests/icm/imagesdata/LakeAPopulation1.xls 对于斑马贻贝在湖泊A中的数量增长建立模型。要保证熟读有关收集斑马贻贝数 据的说明。 要求C：利用来自另一位科学家的关于湖泊A的附加数据，提供在： http://www.comap.com/undergraduate/contests/icm/imagesdata/LakeAChem2.xls 和附加的贻贝增殖数据，提供在： http://www.comap.com/undergraduate/contests/icm/imagesdata/LakeAPopulation2.xls 证实你依据要求B所建模型的合理性。借助于这个附加数据，调整你的前面的模 型。分析你的模型的效能，讨论它的灵敏度。 要求D：利用来自美国两个湖泊（湖泊B和湖泊C）的化学数据，提供在： http://www.comap.com/undergraduate/contests/icm/imagesdata/LakeB.xlsLakeB.xls 和http://www.comap.com/undergraduate/contests/icm/imagesdata/LakeC.xlsLakeC.xls 确定这些湖泊是否易受斑马贻贝扩展的损害。论述你的预言。 要求E：?临近湖泊B（见要求D）的社区正在考虑在接近湖泊的路面上采取特殊冬季除冰 政策。请为当地政府官员就有关除冰化学制剂政策编写一个工作指导。在你的工作指导中，要对冬季除冰给予斑马贻贝增殖的长期冲击申明你的预见。 要求F：美国的一个当地社区提议引进刺鳍鱼。斑马贻贝较少被当地鱼类吃掉，所以，它们就在生态上充当了一种终结者。但是，100 mm以上的刺鳍鱼几乎唯一地以斑马贻贝为食。具有讽刺意味的是，由于栖息地破坏，刺鳍鱼在俄罗斯黑海和里海的原始栖息地中面临危险。除了你的技术报告以外，请包括一个特地为当地社区。 领导编写的言简意赅的报告（至多三页），对他们引进刺鳍鱼的提议作出反应。也要建议多种方法在各个水系内和水系之间降低贻贝的增殖。 有关收集斑马贻贝数据的说明 斑马贻贝的发育状态划分成三个阶段：面盘幼体（幼虫），沉积幼体和成年贻贝。面盘幼体（极细微的斑马贻贝幼虫）悬浮在水中漂来荡去一到三个星期，尔后开始寻找硬的行将依附的表面并且开始它们的成年生活。查看斑马贻贝幼虫是困难的，因为它们不易单凭裸眼看清楚。沉积幼体贻贝可以在船只和汽艇一类光滑表面上摸到。年深日久的斑马贻贝侵扰会覆盖一个表面，甚至形成厚厚的垫子，有时达到很高的密度。沉积贻贝的密度由安放在湖泊中的三块15x15 cm沉积板来测定。顶上的板在整个取样季节（S –季节性的）中都留在水中以便评估季节累积。中间和底下两块板在经过特定时间段（A—替换性的）以后取走待查，这个时间段在数据文件中由Lake Days表示。 沉积板被放在显微镜下，而且，在板的下表面上所有沉积贻贝被计数，尔后在贻贝/m2单位下完成密度报告。 各类数据存放在无格式xls文件中：LakeAChem1of.xls, LakeAPopulation1.xls, LakeAChem2of.xls, LakeAPopulation2.xls, LakeB.XLS, LakeC.XLS MCM2002问题- A 风和喷水池 在一个楼群环绕的宽阔的露天广场上，装饰喷泉把水喷向高空。刮风的日子，风把水花从喷泉吹向过路行人。喷泉射出的水流受到一个与风速计（用于测量风的速度和方向）相连的机械装置控制，前者安装在一幢邻近楼房的顶上。这个控制的实际目标，是要为行人在赏心悦目的景象和淋水浸湿之间提供可以接受的平衡：风刮得越猛，水量和喷射高度就越低，从而较少的水花落在水池范围以外。 你的任务是设计一个算法，随着风力条件的变化，运用风速计给出的数据来调整由喷泉射出的水流。 MCM2002问题-B 航空公司超员订票 你备好行装准备去旅行，访问New York城的一位挚友。在检票处登记之后，航空公司职员告诉说，你的航班已经超员订票。乘客们应当马上登记以便确定他们是否还有一个座位。 航空公司一向清楚，预订一个特定航班的乘客们只有一定的百分比将实际乘坐那个航班。因而，大多数航空公司超员订票?也就是，他们办理超过飞机定员的订票手续。而有时，需要乘坐一个航班的乘客是飞机容纳不下的，导致一位或多位乘客被挤出而不能乘坐他们预订的航班。 航空公司安排延误乘客的方式各有不同。有些得不到任何补偿，有些改订到其他航线的稍后航班，而有些给予某种现金或者机票折扣。 根据当前情况，考虑超员订票问题： 航空公司安排较少的从A地到B地航班 机场及其外围加强安全性 乘客的恐惧 航空公司的收入迄今损失达数千万美元 建立数学模型，用来检验各种超员订票方案对于航空公司收入的影响，以求找到一个最优订票策略，就是说，航空公司对一个特定的航班订票应当超员的人数，使得公司的收入达到最高。确保你的模型反映上述问题，而且考虑处理“延误”乘客的其他办法。此外，书写一份简短的备忘录给航空公司的CEO（首席执行官），概述你的发现和分析。 MCM2002问题-C 如果我们过分扫荡自己的土地，将会失去各种各样的蜥蜴。  佛罗里达灌木蜥蜴是一种灰色或灰褐色小蜥蜴，遍布于佛罗里达中部和大西洋沿岸地区的沙质高地上。佛罗里达濒危动植物委员会把这种灌木蜥蜴归类为濒危的生物。 在网址http://www.comap.com/undergraduate/contests/icm/2002problem/scrublizard.pdf你将会找到一份有关这种佛罗里达灌木蜥蜴的实情说明。 佛罗里达灌木蜥蜴的长期存活，有赖于保留适当的空间搭配和灌木丛生地带的规模。 任务1：讨论在佛罗里达州促使灌木蜥蜴丧失适当栖息地的各种因素。为了保留这些栖息地，你会提出哪些建议？并且论述实现你的建议的各种障碍。 任务2：利用表1中提供的数据估计数值Fa（成年蜥蜴平均产卵量）；Sj（处在出生和第一个繁殖季节之间的幼年蜥蜴存活率）；Sa（成年蜥蜴平均存活率）。 表1 摘要数据是关于一群灌木蜥蜴的，它们先被捕捉尔后连续跟踪四年。幼小蜥蜴（0岁）在出生当年夏季不产卵。所有其他雌蜥蜴的平均孵卵量与身体尺寸成比例，正如线性函数y=0.21*(SVL)-7.5所表示的，其中y是孵卵量，而SVL是鼻子到肛门以mm为单位的长度。 年度 年龄 存活总数 雌蜥蜴存活数平均雌蜥蜴身长 (mm) 1 0 972 495 30.3  2 1 180 92 45.8  3 2 20 11 55.8  4 3 2 2 56.0   任务3：人们推测，参数Fa ，Sj 和Sa与一片灌木地带的露天沙质区的规模和总量有关联。利用提供在表2中的数据构造若干函数来针对不同地带估计Fa ，Sj 和Sa 。此外，构造函数对给定地带评估其承载灌木蜥蜴的能力C。 表2 关于8个灌木地带的摘要数据，包括灌木蜥蜴的生命变化速率。对于每个地带，雌蜥蜴的年产卵量（Fa），幼小蜥蜴存活率（Sj），以及成年蜥蜴存活率（Sa），连同地带规模和露天沙质栖息地的总量列在一起。 灌木地带 地带规模(公顷) 沙质栖息地(公顷) Fa Sj Sa 密度(蜥蜴数/公顷)  A 11.31 4.80 5.6 0.12 0.06 58  B 35.54 11.31 6.6 0.16 0.10 60  C 141.76 51.55 9.5 0.17 0.13 75  D 14.65 7 .55 4.8 0.15 0.09  E 63.24 20.12 9.7 0.17 0.11 80  F 132.35 54.14 9.9 0.18 0.14 82  G 8.46 1.67 5.5 0.11 0.05 40  H 278.26 184.32 11.0 0.19 0.15 115   任务4：已有许多动物研究表明，在一个栖息地带中，食物，空间，掩蔽地，抑或繁殖配偶可能受限制的，这就导致动物个体在各个地带之间迁徙。有关灌木蜥蜴的迁徙原因缺少明确的证据。不过，确有百分之十的幼年蜥蜴在各个地带之间游走，而这种迁徙会影响一个地带中群体规模。成年蜥蜴显然不迁徙。利用下面直方图中给出的数据估计在任何两个地带i和j之间经迁徙而存活的蜥蜴的概率。 表3? 直方图 幼年蜥蜴的迁徙数据，是经由个体标记，释放，再捕获直到6个月后获取的。对于再捕捉的测量工作是在距离释放地点方圆750m内进行。  ?任务5：对于表3中给出的地表形貌，建立模型估计灌木蜥蜴的整个群体规模。而且，确定哪些地带适于灌木蜥蜴栖息，哪些地带会不支持一个有生存力的群体。 对于一个展布在Avon Park Air Force Range上面的具有29个地带的地表形貌，下面的表格列出了各个地带规模和露天沙质栖息地。参看： http://www.comap.com/undergraduate/contests/icm/2002problem/map.jpg 给出的一张地表形貌的地图。 灌木带标识 地带规模(公顷) 沙质栖息地(公顷)  1 13.66 5.38  2 32.74 11.91  3 1.39 0.23  4 2.28 0.76  5 7.03 3.62  6 14.47 4.38  7 2.52 1.99  8 5.87 2.49  9 22.27 8.44  10 19.25 7.58  11 11.31 4.80  12 74.35 19.15  13 21.57 7.52  14 15.50 2.82  15 35.54 11.31  16 2.93 1.15  17 47.21 10.73  18 1.67 0.13  19 9.80 2.23  20 39.31 7.15  21 2.23 0.78  22 3.73 1.02  23 8.46 1.67  24 3.89 1.89  25 1.33 1.11  26 0.85 0.79  27 8.75 5.30  28 9.77 6.22  29 13.45 4.69   任务6：空中摄影业已确定，在佛罗里达灌木区域内，植被密度一年增长6%左右。请针对一个可控燃烧政策提出建议。 MCM2003问题-A 特技人 将要拍摄电影的一个惊险动作场面，你是特技场面负责人！一个特技人将骑着摩托车，越过一头大象，落在一堆纸箱上，纸箱用来缓冲人和车。你需要保护特技人，并且使用相对较少的纸箱（较低的费用，不被摄入镜头，等等）。 你的任务是： 决定使用何种尺寸的纸箱 决定使用多少个纸箱 决定纸箱如何堆放 决定对纸箱的任何改动是否有帮助 推广到不同组合的重量（特技人和摩托车）以及不同的跳跃高度 注意到，在“明日帝国”中，角色James Bond骑着摩托车越过一架直升飞机。 MCM2003问题-B Gamma刀治疗方案 立体定位放射外科，用单一高剂量离子化射束在X光机精确界定下照射颅内的一个小的3D脑瘤，与此同时，并没有处方剂量的任何显著份额伤及周边的脑组织。在这个领域中，一般有三种形式的射束可以采用，分别是Gamma刀单元， 带电重粒子射束， 以及来自直线加速器的外用高能光子束。 Gamma刀单元具备的单一高剂量离子化射束，是201个钴-60单位源通过厚重的盔状物发射出来的。所有的201条射束同时交会于一个等中心(最大放射剂量点)，从而在有效剂量的水平上形成一个近似球形的剂量分布。照射这个等中心来达到处方剂量称为一个“shot”。 多个shot可以表述为不同的球。四个可以互换的外部校准的盔状物分别具有4，8，14和18mm的射束通道直径, 都可以用来照射不同尺寸的体积。对于大于一个“shot”的目标体积，可以用多个shot来覆盖整个目标。实际上，大多数目标体积要用1到15个“shot”加以处理。在这里，目标体积是一个有界的通常包含数百万个点的三维数字图象。 放射外科学的目的是消除肿瘤细胞同时保存正常的结构。由于治疗过程中会涉及物理限制和生物不确定性，一个治疗方案就需要考虑到所有那些限制和不确定性。一般而言，一个最优的治疗方案需要符合如下的要求： 穿过目标体积的剂量梯度最小 为目标体积配置特异性的相同剂量轮廓线 为目标和关键器官配置特异性的剂量-体积限制条件 对正常组织或器官的整个体积照射要剂量总和最小 对指定的正常组织点的剂量要限制在忍耐剂量以下 使关键体积所需的最大剂量达到最小 在Gamma单元治疗方案中，有以下限制： 禁止“shot”伸展到目标以外 禁止“shot”交迭（避免热点） 用有效的剂量覆盖尽可能多的目标体积，但至少90%目标体积要被“shot”覆盖 用尽可能少的“shot” 你的任务是用球体填充问题模型来建立最优的Gamma刀治疗方案，并且提出一个求解的算法。在设计算法时你要记住: 它必须是相当有效率的。 MCM2003问题-C 航空行李的扫描对策：要鉴别还是不加鉴别, 这是这个问题 你们是交通安全管理局（TSA）安全运行办公室的分析作业组, 负责美国中西部地区。新的法律不久将规定, 全国429个民用机场要借助爆炸品侦测系统（EDSs，见图1）对所有验关的包裹进行100%的扫描鉴别。EDSs用计算合成的X线断层技术来扫描验关包裹，与医院里使用CAT扫描的办法差不多。利用每个包裹的多层X线影像，EDSs生成包裹内容的三维图象，显示每件物品的密度。这些信息则用来确定包裹里是否有爆炸装置。对EDSs的试验表明, 每台设备92%的时间在工作而且每小时可检查160到210个包裹。 ? ? ? Figure 1: Explosive Detection System (EDS) TSA一直在积极地买进EDSs并安装在全国的各个机场。据悉，购买这些设备每台要花近一百万美元，其重量达8吨，而且在一个机场安装需耗费数千美元，因而，确定配置在每个机场的准确的设备台数以及如何在应用方面（一旦可用）达到最优，是一个重要的问题。 当前，制造商不能为机场制造出联邦托管所需要的EDSs的预期台数来适应对验关行李进行100%的扫描。TSA正在要求对所有机场需求EDSs的估计台数有一个详细的分析，由于只有有限数量的EDS机可供使用，中西部地区的机场安全主任（Mr. Sheldon）对此并不感到惊讶。此外，既然每个机场可用的空间和基金有限，Mr. Sheldon认为, 对于涌现出来的各种技术实地进行详尽的分析势在必行。在未来的十年中, 若干前景看好的具有更适度的空间和劳力花费的技术将会问世（例如，X光衍射造影；基于中子的侦测；四极场谐振；毫米波成像；以及微波成像）。 任务1：你们的主任Mr. Sheldon已经给你们分派了任务：建立一个模型来确定本区域的两个最大设施，机场A & B，所需要的EDS的台数，相关数据在技术信息图表（TIS）?附录A里有说明。仔细地描述你们在模型设计中所作的假设条件，然后借助TIS表1提供的数据，用你们的模型来提出所需的EDSs台数。 任务2：准备一份短的（1页）意见书附在你们的模型上，对TIS表1中所列各组航班隶属的航空公司说明安全相关的任务和航行守则。 任务3：由于安全扫描需要时间并可能拖延乘客，机场A & B的机场管理人员请求你们建立一个模型，帮助航空公司确定怎样安排不同型号的班机在高峰时间起飞。仔细地描述在模型设计中所作的假设条件，并且用你们的模型为两个机场制定一个排序表，所需数据见表1。 任务4： 依据你们的分析，关于在两个机场为高峰期班机验关包裹的扫描，你们能给Mr. Sheldon和航空公司什么样的建议？ （译注：无“Task 5”，原文如此） 任务6：Mr. Sheldon认识到你们的工作可能引起全国的反响，请求你们写一个备忘录解释如何调整你们的模型来为中西部地区共193个机场确定所需的EDS台数和定期航线日程安排。他将把备忘录连同模型及分析一起送给在TSA的安全运行办公室主任（他的老板）和这个地区的其他机场的安全管理员，以期听取他们的意见和可能的参照执行。 与较高危险相关联的附加安全措施要求，高达20%的乘客既要把他们全部验关行李经过EDS扫描，还要经过爆炸品痕迹探测器（ETD）扫描，尽管一台EDS在分辨验关行李中的爆炸设备方面是98.5%准确的。ETD用质谱测定技术探测炸药混合物的微小颗粒。买一台ETD机要花45,000美元，不过，运行ETD机的劳力支出却相当于EDS的十倍。ETD每小时可处理40到50个包裹，98%的时间在运行，在辨别炸药物质上有99.7%的准确性。目前，ETD机还不是联邦认证的，但是Mr. Sheldon相信，它们不久将成为国家机场安全系统的一个必备的部分。 任务7：修改你们的EDS模型进而加入ETD机的应用，并且确定机场A & B所需的ETD的数目以及是否需要改变班机的排序表。因为这些信息将影响整个国家级的决定，给国土安全局主任和TSA的主任写一份备忘录，告诉他们对强化扫描政策的技术分析。根据它提供的数值判定，这个政策下的花费合理吗？应当用ETD代替所有的EDS装置吗？ 任务8：国土安全局主任也必须决定怎样更好地资助未来的科学研究项目。应用你们的EDS/ETD模型来检查一下在设备技术、花费、准确性、速度和运行可靠性方面的改变所可能产生的效果。请给出对于安全系统性能影响甚大的科学、技术、工程和数学等研究领域（STEM）相关建议。并把你们的建议附在任务7的备忘录中。 ? 附录A? 技术信息图表（TIS） Table 1（表1）  虽然表1中的所有班机都在一个高峰期间起飞，但他们的实际起飞时间是由航空系统在设计他们的飞行排序表时安排的。直到所有验关包裹通过EDS扫描鉴别后班机才能起飞。为了避免因未扫描的包裹导致令人不快的航班延迟，航空系统可以灵活地安排高峰期间航班的起飞时间。 历史数据表明, 不多于85个座位的班机起飞时基本上70%到100%的座位坐满。有128到215个座位的班机起飞时一般是60%到100%的座位已满。而有350个座位的班机起飞时大体上50%到100%的座位已坐满。乘客大都提前45分钟到2个小时到达机场。对并非往返的班机而言，航空系统要求:20%的乘客不得交验任何行李，20%的乘客可以交验一个行李，其余的乘客交验两个行李。 初步估算指出,机场A安装每台EDS需耗资$100,000改善现有的基础设施（加固地面，等），而机场B安装每台EDS只需耗资$80,000。