§ 2.3 崖高的估算
假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功
能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下
一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，
假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算
山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。
我有一只具有跑
表功能的计算器。
方法一
假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式
来计算。例如,设 t=4秒,g=9.81米 /秒 2，则可求得 h≈78.5
米。
2
2
1 gth ?
我学过微积分，我可以做
得更好，呵呵。
vKmgdtdvmF ???
除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属 空气阻
力 。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下
落的速度，阻力系 数 K为常数，因而，由牛顿第二定律可
得：
k
gcev kt ?? ?令 k=K/m,解得
代入初始条件 v(0)=0，得 c=－ g/k，故有
kte
k
g
k
gv ???
再积分一次，得：
cekgtkgh kt ??? ?2
若设 k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得 h≈73.6米。
听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间
进一步深入考虑
不妨设 平均反应时间 为 0.1秒,假如仍 设 t=4秒，扣除反
应时间后应 为 3.9秒，代入 式 ①,求得 h≈69.9米。
222 )
1(
k
ge
k
t
k
g
k
ge
k
gt
k
gh ktkt ?????? ??①
多测几次，取平均
值
再一步深入考虑
代入初始条 件 h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：
将 e-kt用泰勒公式展开并 令 k→ 0+,即可
得出前面不考虑空气阻力时的结果。
还应考虑 回声 传回来所需要的时间。为此，令石块下落
的真正时间 为 t1，声音传回来的时间记 为 t2，还得解一个
方程组：
?
?
?
?
?
?
?
??
?
???
?
93
340
1
21
2
21
1
.tt
th
k
g
)e
k
t(
k
g
h
kt
这一方程组是
非线性 的，求
解不太容易，
为了估算崖高
竟要去解一个
非线性主程组
似乎不合情理相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可用方法二先求一次 h，令 t2=h/340，校正 t，求石
块下落时间 t1≈t-t2将 t1代入式 ① 再算一次，得出
崖高的近似值。例如,若 h=69.9米，则 t2≈0.21
秒，故 t1≈3.69秒，求得 h≈62.3米。
假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功
能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下
一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，
假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算
山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。
我有一只具有跑
表功能的计算器。
方法一
假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式
来计算。例如,设 t=4秒,g=9.81米 /秒 2，则可求得 h≈78.5
米。
2
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1 gth ?
我学过微积分，我可以做
得更好，呵呵。
vKmgdtdvmF ???
除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属 空气阻
力 。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下
落的速度，阻力系 数 K为常数，因而，由牛顿第二定律可
得：
k
gcev kt ?? ?令 k=K/m,解得
代入初始条件 v(0)=0，得 c=－ g/k，故有
kte
k
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再积分一次，得：
cekgtkgh kt ??? ?2
若设 k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得 h≈73.6米。
听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间
进一步深入考虑
不妨设 平均反应时间 为 0.1秒,假如仍 设 t=4秒，扣除反
应时间后应 为 3.9秒，代入 式 ①,求得 h≈69.9米。
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多测几次，取平均
值
再一步深入考虑
代入初始条 件 h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：
将 e-kt用泰勒公式展开并 令 k→ 0+,即可
得出前面不考虑空气阻力时的结果。
还应考虑 回声 传回来所需要的时间。为此，令石块下落
的真正时间 为 t1，声音传回来的时间记 为 t2，还得解一个
方程组：
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这一方程组是
非线性 的，求
解不太容易，
为了估算崖高
竟要去解一个
非线性主程组
似乎不合情理相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可用方法二先求一次 h，令 t2=h/340，校正 t，求石
块下落时间 t1≈t-t2将 t1代入式 ① 再算一次，得出
崖高的近似值。例如,若 h=69.9米，则 t2≈0.21
秒，故 t1≈3.69秒，求得 h≈62.3米。
