第 1章 逻辑代数基础
第 1章 逻辑代数基础
1.1 概述
1.2 逻辑代数
第 1章 逻辑代数基础
物理量的分类,数字量和模拟量。
数字量,是指变化无论在时间上还是数值上都是离散的物理量。
模拟量,是指变化无论在时间上还是数值上都是连续的物理量。
数字信号,用于表示数字量的信号。
模拟信号,用于表示模拟量的信号。
数字电路,工作在数字信号下的电子电路。
模拟电路,工作在模拟信号下的电子电路。
本书主要研究数字电路的分析方法、设计方法及其应用
1.1 概述
1.1.1 数字电路和模拟电路
第 1章 逻辑代数基础
1.1.2 数制和码制
1.数制
数制,是指多位数码中每一位的构成方法及低位向相邻
高位的进位规则。
(1) 常用进制
十进制,由 0,1…9 十个数码组成，进位规则是逢十进
一，计数基数为 10，其按权展开式
例如：
10 ik iD ???
? ? 1051021011071022512 7, -3-2-10110 ??????????
第 1章 逻辑代数基础
二进制,由 0,1两个数码组成，进位规则是逢二进一，
计数基数为 2，其按权展开式为。
例如：
八进制,由 0,1…7 八个数码组成，进位规则是逢八进一，
计数基数为 8，其按权展开式为。
例如：
2 ik iD ???
? ? 21202021212021210 0 1.1 1 0 1 1 3--2-1012342 ????????????????
8 ik iD ???
? ? 8183831.33 -1018 ??????
第 1章 逻辑代数基础
十六进制,由 0,1…9, A,B…F 十六个数码组成，进位规
则是逢十六进一，计数基数为 16，其按权展开式
例如：
61 ik iD ???
? ? 16216B1612.1B -10116 ??????
第 1章 逻辑代数基础
(2) 常用进制之间的转换
十进制转换成二进制的方法,整数部分除以 2，取余数，读
数顺序从下往上；小数部分乘以 2，取整数，读数顺序从上
至下。
例如：
? ? ? ?0 0 1.1 1 0 1 12512 7, 210 ?
第 1章 逻辑代数基础
十进制转换成八进制的方法,整数部分除以 8，取余数，读
数顺序从下往上；小数部分乘以 8，取整数，读数顺序从上
至下。
例如：
第 1章 逻辑代数基础
十进制转换成十六进制的方法,整数部分除以 16，取余数，
读数顺序从下往上；小数部分乘以 8，取整数，读数顺序从上
至下。
例如：
? ? ? ?1 B, 225127,1610 ?
第 1章 逻辑代数基础
二进制转换成十进制的方法,将二进制数按权展开后，按十
进制数相加。
例如：
八进制转换成十进制的方法,将八进制数按权展开后，按十
进制数相加。
例如：
? ?
? ?25127.
2120202121202121001.11011
10
3--2-101234
2
?
????????????????
? ? ? ?25127.8183833, 13 10-1018 ???????
第 1章 逻辑代数基础
十六进制转换成十进制的方法,将十六进制数按权展开后，
按十进制数相加。
例如：
二进制转换成八进制的方法,以小数点为分界，整数部分向
左、小数部分向右，每 3位为一位，不足 3位的补 0，然后将
每个三位二进制数都用相应的一位八进制数取代。
例如：
? ? ? ?25127.16216B1612.1B 10-10116 ???????
? ? ? ?1.330 0 1.0 1 10 1 1 82 ?
第 1章 逻辑代数基础
八进制转换成二进制的方法,以小数点为分界，将每位八进
制数分别用相应的三位二进制数取代。
例如：
二进制转换成十六进制的方法,以小数点为分界，整数部分
向左、小数部分向右，每 4位为一位，不足 4位的补 0，然后
将每个四位二进制数都用相应的一位十六进制数取代。
例如：
十六进制转换成二进制的方法,以小数点为分界，将每位十
六进制数分别用相应的四位二进制数取代。
例如：
? ? ? ?0 0 1.0 1 10 1 11.33 28 ?
? ? ? ?2.B10 0 1 0.1 0 1 10 0 0 1 162 ?
? ? ? ?0010.101100012.B1 216 ?
第 1章 逻辑代数基础
2.码制
码制,为了便于记忆和查找，在编制代码时所遵循的规则。
二 -十进制编码,用四位二进制数中的任意十种组合来表示一
位十进制数，又称 BCD码。
常用的 BCD码有, 8421码、余 3码、循环码、余 3循环码、
2421码,5421码和 5211码等等，如表 1-1所示：
第 1章 逻辑代数基础
表 1-1 常用的 BCD码
第 1章 逻辑代数基础
1.2 逻辑代数
1.2.1逻辑代数中的三种基本运算
1.与、或、非的定义
如图 1-1所示，以开关 A,B的状态作为条件，闭合表示条件
具备，断开表示条件不具备 ；以指示灯 Z的状态作为结果，
灯亮表示结果发生，灯不亮表示结果不发生。
图 1-1 指示灯控制电路
第 1章 逻辑代数基础
与,只有决定事情发生的全部条件同时具备时，结果才发
生，又称逻辑乘。
或,只要决定事情发生的全部条件至少具备一个时，结果就
发生，又称逻辑加。
非,条件具备时，结果不发生，条件不具备时，结果一定发
生，又称逻辑求反。
第 1章 逻辑代数基础
2．与、或、非的真值表
表 1-2 与的真值表表 表 1-3 或的真值表表 表 1-4非的真值表
第 1章 逻辑代数基础
3．与、或、非的逻辑运算符号
与：,, 或者省略。如,Z=AB或者 Z=AB；
或,,+” 。如,Z=A+B；
非：变量上方的,”表示。如,。
?
AZ?
第 1章 逻辑代数基础
4．与、或、非的逻辑符号
图 1-2 与、或、非的逻辑符号
第 1章 逻辑代数基础
5．复合逻辑运算：与非、或非、与或非、异或、同或
与非的逻辑运算符号, ABBA 或?
表 1-5 与非的真值表
图 1-3 与非的逻辑符号
第 1章 逻辑代数基础
或非的逻辑运算符号：
BA ?
图 1-4 或非的逻辑符号
表 1-6 或非的真值表
第 1章 逻辑代数基础
与或非的逻辑运算符号是, CDAB ?
图 1-5 与或非的逻辑符号
表 1-7 与或非的真值表
第 1章 逻辑代数基础
异或运算 的定义是输入相异，输出为 1；输入相同，输出为
0。其逻辑运算符号是 。
表 1-8 异或的真值表
图 1-6 异或的逻辑符号
?
第 1章 逻辑代数基础
同或运算 的定义是输入相同，输出为 1；输入相异，输出为
0。其逻辑运算符号是 ⊙ 。
表 1-9 同或的真值表
图 1-7同或的逻辑符号
第 1章 逻辑代数基础
1.2.2逻辑函数的表示方法
逻辑函数,当输入变量取值确定之后，输出变量取值便随之
而定，输出变量和输入变量之间是一种函数关系。
逻辑函数的表示方法,逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图和
卡诺图。
1.逻辑函数的表示方法
（ 1） 逻辑真值表,是由输出变量取值与对应的输入变量取
值所构成的表格。列写方法是：
a) 找出输入、输出变量，并用相应的字母表示；
b)逻辑赋值。
c)列真值表。
第 1章 逻辑代数基础
例如三人表决电路，当输入变量 A,B,C中有两个或两个以
上取值为 1时，输出为 1；否则，输出为 0。
表 1-10三人表决电路的真值表
第 1章 逻辑代数基础
（ 2）逻辑函数式
逻辑函数式,是将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻
辑关系用与、或、非等逻辑运算符号连接起来的式子，又称
函数式或逻辑式。
例如：三人表决电路的逻辑函数式：
A B CCABCBABCAY ????
第 1章 逻辑代数基础
（ 3）逻辑图
逻辑图,是将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻辑关
系用与、或、非等逻辑符号表示出来的图形。
三人表决电路的逻辑图：
图 1-8 三人表决电路的逻辑图
第 1章 逻辑代数基础
2．逻辑函数表示方法之间的相互转换
（ 1）真值表 函数式
a)找出真值表中使函数值为 1的输入变量取值；
b）每个输入变量取值都对应一个乘积项，变量取值为 1，用
原变量表示，变量取值为 0，用反变量表示。
c)将这些乘积项相加即可。
第 1章 逻辑代数基础
（ 2）函数式 真值表
首先在表格左侧将个不同输入变量取值依次按递增顺序列出
来，然后将每组输入变量取值代入函数式，并将得到的函数
值对应地填在表格右侧即可。
（ 3）函数式 逻辑图
将函数式转换成逻辑图的方法：从输入到输出分别用相应的
逻辑符号取代函数式中的逻辑运算符号即可。
（ 4）逻辑图 函数式
将逻辑图转换成函数式的方法：从输入到输出分别用相应的
逻辑运算符号取代逻辑图中的逻辑符号即可。
第 1章 逻辑代数基础
3．逻辑函数的两种标准形式
（ 1）最小项和的形式
最小项,设 m为包含 n个因子的乘积项，且这 n个因子以原变
量形式或者反变量形式在 m中出现且只出现一次，称 m为 n变
量的一个最小项。 n变量共有个 最小项。
最小项的编号规则,使最小项 m值为 1 的输入变量取值所对
应的十进制数既为该最小项的编号，记作 。
2n
mi
第 1章 逻辑代数基础
表 1-11 三变量的最小项编号表
第 1章 逻辑代数基础
最小项的性质,
a)对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最小项值为 1；
b)任意两个最小项之积为 0；
c)全体最小项之和为 1；
d)具有逻辑相邻性的两个最小项相加，可合并为一项，并消去一
个不同因子。
将函数式化成最小项和的形式的方法为,
该函数式中的每个乘积项缺哪个因子，就乘以该因子加上其反
变量，展开即可。
第 1章 逻辑代数基础
[例 1-1] 将函数式化成最小项和的形式。
解：
? ? ? ? ? ?
? ?
? ??
?
?
?
???????
???????
??????
???
15,13,10,9,8,7,5
,,,,,,
1513109875
1015137589
m
mmmmmmm
mmmmmmm
DCBAA B C DDCABB C DADCBADCBADCBA
DCBADCCBAADDCBA
DCBABDCBAY
第 1章 逻辑代数基础
（ 2）最大项积的形式
最大项,设 M为包含 n个因子的和，且这 n个因子以原变量形
式或者反变量形式在 M中出现且只出现一次，称 M为 n变量的
一个最大项。 n变量共有 个最大项。
最大项的编号规则,使最大项 M值为 0 的输入变量取值所对
应的十进制数既是最大项的编号，记作 。
2n
Mi
第 1章 逻辑代数基础
表 1-12 三变量的最大项编号表
第 1章 逻辑代数基础
最大项的性质,
a)对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最大项值为 0；
b)任意两个最大项之和为 1；
c)全体最大项之积为 0；
d)具有逻辑相邻性的两个最大项相乘，可合并为一项，并消去
一个不同因子。
将函数式化成最大项积的形式的方法为,首先化成最小项和的
形式，然后直接写成除了这些最小项编号以外的最大项积的形
式。
第 1章 逻辑代数基础
[例 1-2] 将函数式化成最大项积的形式。
解：
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?DCBADCBADCBADCBA
DCBADCBADCBADCBADCBA
M
MMMMMMMMM
mmmmmmm
DCBAA B C DDCABB C DADCBADCBADCBA
DCBADCCBAADDCBA
DCBABDCBAY
???????????????
?????????????????????
?
?
???????
???????
??????
???
? 14,12,11,6,4,3,2,1,0
141211643210
1015137589
第 1章 逻辑代数基础
1.2.3 逻辑代数的基本公式、常用公式和基本定理
1,18个基本公式
AAAA
AA
????
????
01
1100
AAAAAA ????
10 ???? AAAA
ABBAABBA ??????
? ? ? ? ? ? ? ? CBACBACBACBA ??????????
? ? ? ? ? ?CABACBAACABCBA ??????????
BABABABA ??????
AA?
0110 ??
第 1章 逻辑代数基础
2,5个常用公式
ABAAB ??
AABA ??
BABAA ???
CAABBCCAAB ????
CAABB C DCAAB ????
第 1章 逻辑代数基础
3,3个基本定理
代入定理,在任何一个含有变量 A的逻辑等式中，若以一函
数式取代该等式中所有 A的位置，该等式仍然成立。
反演定理,在一个逻辑式 中,若将其中所有的,+”变成,·”，
,·”
变成,+”，,0”变成,1”,,1”变成,0”，原变量变成反变
量，反
变量变成原变量，所得函数式即为原函数式的反逻辑式，记
作,。
注意：
a）运算的优先顺序。
b）不是单个变量上的非号应保留不变。
Y
Y
第 1章 逻辑代数基础
[例 1-3] 试用反演定理求函数式 的反逻辑
式。
解：
对偶式,在一个逻辑式 中,若将其中所有的,+”变成,·”，
,·”变成,+”，,0”变成,1”,,1”变成,0”，所得函数式
即为原
函数式的对偶式，记作,。
对偶定理,若两个函数式相等，那么它们的对偶式也相等。
[例 1- 4] 试求函数式 的对偶式。
解：
? ? ? ?EDCBAY ?????
? ?EDCBAY ???
Y?
Y
? ? ? ?EDCBAY ??????
? ?EDCBAY ???
第 1章 逻辑代数基础
1.2.4逻辑函数的公式化简法
1．逻辑函数式的八种类型
与 -或式、与非 -与非式、或 -与非式、或非 -或式、与或非
式、与非 -与式、或 -与式、或非 -或非式。
与或式 与非 -与非式：将与或式两次求反，并用一次
德 ·摩根定理即可。
[例 1-5] 试将函数式 转换成与非 -与非
式。
解：
BADBA C DY ???
BADBA C D
BADBA C D
BADBA C DY
???
???
???
第 1章 逻辑代数基础
与或式 与或非式：先将与或式化成最小项和的形式，然
后直接写成除了这些最小项编号以外的那些编号的最小项的
或非形式。
[例 1-6] 试将函数式 转换成与或非式。
解：
BACBACY ???
? ? ? ? ? ?
CABCBACBA
mmm
mmmmm
CBABCACBACBACBAABC
CCBACBAACBBA
BACBACY
???
???
?????
??????
??????
???
640
23157
第 1章 逻辑代数基础
3．逻辑函数的公式化简法：是指熟练运用所学基本公式和
常用公式，将一个函数式化成最简形式。
与或式最简形式的标准是,该与或式中包含的乘积项的个数
不能再减少，且每个乘积项所包含的因子数也不能再减少。
常用公式化简法,并项法、吸收法、消因子法、消项法
、配项法。
第 1章 逻辑代数基础
并项法,
例如：
ABAAB ??
? ? BABBAABBCACBABCAABCBAY ?????????1
? ? BA B CBACA B CBCAA B CCBBAY ???????????3
? ? ? ?
? ? CCBACBA
CBABACABBACBABCAA B CCBAY
???????
??????????2
第 1章 逻辑代数基础
吸收法,
例如：
消因子法,
例如：
AABA ??
ABA B C DA B CABY ????1
? ? CABBCDACABCABBCDACABCABY ???????? ???????????? ??????2
BABAA ???
EDCABEDABCABABY ??????1
? ? CBACBABACABBACABCBAY ??????????2
ADCABDCACABDCACABABY ?????????3
第 1章 逻辑代数基础
消项法, 和 。
例如：
配项法, 或 。
例如：
CAABBCCAAB ???? CAABB C DCAAB ????
DEABABCC D E FDEABABCY ?????1
? ? ? ?
? ? ? ? DBACBAC D EDBACBA
C D EDBABACBAABC D EDBABDACBAA B CY
?????????????
??????????2
AAA ?? 1?? AA
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
BACACB
BACBACABCBACBCBA
BACBACABCBCBACBA
BACBAACBCCBABACBCBBAY
???
??????
??????
??????????1
第 1章 逻辑代数基础
? ? ? ? ? ?
ABACBC
ABCCABABCCBAABCBCA
ABCCABCBABCAY
???
??????
????2
? ?
CADAB
DCCADAB
B C EADCBAABDCCADAB
B C EADCBADBABDCCADABD
B C EADCBADABDCCADABDY
???
????
???????
????????
????????
第 1章 逻辑代数基础
1.2.5逻辑函数的卡诺图化简法
1,变量的卡诺图,用个小方块表示 n变量的全部最小项，并
使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起
来，所得图形称为 n变量的卡诺图。
图 1-9二变量卡诺图 图 1-10三变量卡诺图
第 1章 逻辑代数基础
图 1-12五变量卡诺图图 1-11四变量卡诺图
第 1章 逻辑代数基础
2．逻辑函数式和卡诺图之间的相互转换
函数式转换成卡诺图,首先将该函数式化成最小项和的形
式；然后将该函数式中包含的最小项在卡诺图相应位置
处填 1，其余位置处填 0。
[例 1-7] 试画出逻辑函数
的卡诺图。
解：
DCDBADCBDABCY ????
第 1章 逻辑代数基础
由卡诺图写函数式的方法,将卡诺图中所有填 1的小方块所
表示的最小项相加即可得到相应的函数式。
[例 1-8] 卡诺图如图 1-13所示，要求写出其函数式。
解,图 1-13例 1-12的卡诺图
解：
DCBADCBADA B CDCABDBCADCBADCBADCBAY ????????
第 1章 逻辑代数基础
3．一般逻辑函数的卡诺图化简
卡诺图化简法,是指利用卡诺图对逻辑函数进行化简。
（ 1）合并最小项规则
a)具有逻辑相邻性的 2个最小项相加，可合并为 1项，消去 1
对不同因子，保留公共因子。
b)具有逻辑相邻性的 4个最小项相加，且组成矩形组，可合
并为 1项，消去 2对不同因子，保留公共因子。
c)具有逻辑相邻性的 8个最小项相加，且组成矩形组，可合并
为 1项，消去 3对不同因子，保留公共因子。
d)具有逻辑相邻性的个最小项相加，且组成矩形组，可合并
为一项，消去 n对不同因子，保留公共因子。
第 1章 逻辑代数基础
卡诺图化简步骤,首先用卡诺图表示逻辑函数；然后选择化
简后的乘积项。
选择原则 为：
a)应包含该逻辑函数的全部最小项。
b)所选择的可合并的最小项矩形组数目应尽可能少。
c)所选择的可合并的最小项矩形组应包含尽可能多的最小
项。
第 1章 逻辑代数基础
[例 1-9]用卡诺图法化简函数
解：
CDDBADCBCDBAY ????
CDBDBAY ???
第 1章 逻辑代数基础
4．具有无关项的逻辑函数的卡诺图化简
无关项,约束项和任意项统称为无关项。
约束,指具体的逻辑问题对输入变量取值所加的限制。
约束项,不允许出现的输入变量取值所对应的最小项。
例如：一台电动机，有三种工作状态：正转、反转和停止。
如果用表示正转，则表示不正转；如果用表示反转，则表示
不反转；如果用表示停止，则表示不停止。当 A,B,C取值
为 100,010和 001时，分别表示电动机处于正转、反转和停
止状态；而当 A,B,C取值为 000,011,101,110和 111对
应的最小项即为约束项。
第 1章 逻辑代数基础
约束条件,可以用全部约束项之和等于 0表示。
任意项,是指在某些输入变量取值下，函数值是 0还
是 1都不影响电路的逻辑功能，这些输入变量取值所
对应的最小项称为任意项。
具有无关项的逻辑函数的卡诺图化简步骤是：
a) 用卡诺图表示具有无关项的逻辑函数；
b) 选择化简后的乘积项。
第 1章 逻辑代数基础
用卡诺图表示具有无关项的逻辑函数的方法是,将函数式中
所包含的最小项在卡诺图相应位置处填 1，无关项位置处填
×,其余位置处填 0。
选择化简后的乘积项的原则,有利于化简的 ×,当作 1处
理；不利于化简的 ×,当作 0处理。
第 1章 逻辑代数基础
[例 1-9] 试用卡诺图法化简具有无关项的逻辑函数：
。
解：
? ? ? ?
?
?
?
????
? ?
0
,,,,,,,,,
13732
151411108640
mmmm
mmmmmmmmDCBAY
约束条件：
，
CDADBY ???
第 1章 逻辑代数基础
1.1 概述
1.2 逻辑代数
第 1章 逻辑代数基础
物理量的分类,数字量和模拟量。
数字量,是指变化无论在时间上还是数值上都是离散的物理量。
模拟量,是指变化无论在时间上还是数值上都是连续的物理量。
数字信号,用于表示数字量的信号。
模拟信号,用于表示模拟量的信号。
数字电路,工作在数字信号下的电子电路。
模拟电路,工作在模拟信号下的电子电路。
本书主要研究数字电路的分析方法、设计方法及其应用
1.1 概述
1.1.1 数字电路和模拟电路
第 1章 逻辑代数基础
1.1.2 数制和码制
1.数制
数制,是指多位数码中每一位的构成方法及低位向相邻
高位的进位规则。
(1) 常用进制
十进制,由 0,1…9 十个数码组成，进位规则是逢十进
一，计数基数为 10，其按权展开式
例如：
10 ik iD ???
? ? 1051021011071022512 7, -3-2-10110 ??????????
第 1章 逻辑代数基础
二进制,由 0,1两个数码组成，进位规则是逢二进一，
计数基数为 2，其按权展开式为。
例如：
八进制,由 0,1…7 八个数码组成，进位规则是逢八进一，
计数基数为 8，其按权展开式为。
例如：
2 ik iD ???
? ? 21202021212021210 0 1.1 1 0 1 1 3--2-1012342 ????????????????
8 ik iD ???
? ? 8183831.33 -1018 ??????
第 1章 逻辑代数基础
十六进制,由 0,1…9, A,B…F 十六个数码组成，进位规
则是逢十六进一，计数基数为 16，其按权展开式
例如：
61 ik iD ???
? ? 16216B1612.1B -10116 ??????
第 1章 逻辑代数基础
(2) 常用进制之间的转换
十进制转换成二进制的方法,整数部分除以 2，取余数，读
数顺序从下往上；小数部分乘以 2，取整数，读数顺序从上
至下。
例如：
? ? ? ?0 0 1.1 1 0 1 12512 7, 210 ?
第 1章 逻辑代数基础
十进制转换成八进制的方法,整数部分除以 8，取余数，读
数顺序从下往上；小数部分乘以 8，取整数，读数顺序从上
至下。
例如：
第 1章 逻辑代数基础
十进制转换成十六进制的方法,整数部分除以 16，取余数，
读数顺序从下往上；小数部分乘以 8，取整数，读数顺序从上
至下。
例如：
? ? ? ?1 B, 225127,1610 ?
第 1章 逻辑代数基础
二进制转换成十进制的方法,将二进制数按权展开后，按十
进制数相加。
例如：
八进制转换成十进制的方法,将八进制数按权展开后，按十
进制数相加。
例如：
? ?
? ?25127.
2120202121202121001.11011
10
3--2-101234
2
?
????????????????
? ? ? ?25127.8183833, 13 10-1018 ???????
第 1章 逻辑代数基础
十六进制转换成十进制的方法,将十六进制数按权展开后，
按十进制数相加。
例如：
二进制转换成八进制的方法,以小数点为分界，整数部分向
左、小数部分向右，每 3位为一位，不足 3位的补 0，然后将
每个三位二进制数都用相应的一位八进制数取代。
例如：
? ? ? ?25127.16216B1612.1B 10-10116 ???????
? ? ? ?1.330 0 1.0 1 10 1 1 82 ?
第 1章 逻辑代数基础
八进制转换成二进制的方法,以小数点为分界，将每位八进
制数分别用相应的三位二进制数取代。
例如：
二进制转换成十六进制的方法,以小数点为分界，整数部分
向左、小数部分向右，每 4位为一位，不足 4位的补 0，然后
将每个四位二进制数都用相应的一位十六进制数取代。
例如：
十六进制转换成二进制的方法,以小数点为分界，将每位十
六进制数分别用相应的四位二进制数取代。
例如：
? ? ? ?0 0 1.0 1 10 1 11.33 28 ?
? ? ? ?2.B10 0 1 0.1 0 1 10 0 0 1 162 ?
? ? ? ?0010.101100012.B1 216 ?
第 1章 逻辑代数基础
2.码制
码制,为了便于记忆和查找，在编制代码时所遵循的规则。
二 -十进制编码,用四位二进制数中的任意十种组合来表示一
位十进制数，又称 BCD码。
常用的 BCD码有, 8421码、余 3码、循环码、余 3循环码、
2421码,5421码和 5211码等等，如表 1-1所示：
第 1章 逻辑代数基础
表 1-1 常用的 BCD码
第 1章 逻辑代数基础
1.2 逻辑代数
1.2.1逻辑代数中的三种基本运算
1.与、或、非的定义
如图 1-1所示，以开关 A,B的状态作为条件，闭合表示条件
具备，断开表示条件不具备 ；以指示灯 Z的状态作为结果，
灯亮表示结果发生，灯不亮表示结果不发生。
图 1-1 指示灯控制电路
第 1章 逻辑代数基础
与,只有决定事情发生的全部条件同时具备时，结果才发
生，又称逻辑乘。
或,只要决定事情发生的全部条件至少具备一个时，结果就
发生，又称逻辑加。
非,条件具备时，结果不发生，条件不具备时，结果一定发
生，又称逻辑求反。
第 1章 逻辑代数基础
2．与、或、非的真值表
表 1-2 与的真值表表 表 1-3 或的真值表表 表 1-4非的真值表
第 1章 逻辑代数基础
3．与、或、非的逻辑运算符号
与：,, 或者省略。如,Z=AB或者 Z=AB；
或,,+” 。如,Z=A+B；
非：变量上方的,”表示。如,。
?
AZ?
第 1章 逻辑代数基础
4．与、或、非的逻辑符号
图 1-2 与、或、非的逻辑符号
第 1章 逻辑代数基础
5．复合逻辑运算：与非、或非、与或非、异或、同或
与非的逻辑运算符号, ABBA 或?
表 1-5 与非的真值表
图 1-3 与非的逻辑符号
第 1章 逻辑代数基础
或非的逻辑运算符号：
BA ?
图 1-4 或非的逻辑符号
表 1-6 或非的真值表
第 1章 逻辑代数基础
与或非的逻辑运算符号是, CDAB ?
图 1-5 与或非的逻辑符号
表 1-7 与或非的真值表
第 1章 逻辑代数基础
异或运算 的定义是输入相异，输出为 1；输入相同，输出为
0。其逻辑运算符号是 。
表 1-8 异或的真值表
图 1-6 异或的逻辑符号
?
第 1章 逻辑代数基础
同或运算 的定义是输入相同，输出为 1；输入相异，输出为
0。其逻辑运算符号是 ⊙ 。
表 1-9 同或的真值表
图 1-7同或的逻辑符号
第 1章 逻辑代数基础
1.2.2逻辑函数的表示方法
逻辑函数,当输入变量取值确定之后，输出变量取值便随之
而定，输出变量和输入变量之间是一种函数关系。
逻辑函数的表示方法,逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图和
卡诺图。
1.逻辑函数的表示方法
（ 1） 逻辑真值表,是由输出变量取值与对应的输入变量取
值所构成的表格。列写方法是：
a) 找出输入、输出变量，并用相应的字母表示；
b)逻辑赋值。
c)列真值表。
第 1章 逻辑代数基础
例如三人表决电路，当输入变量 A,B,C中有两个或两个以
上取值为 1时，输出为 1；否则，输出为 0。
表 1-10三人表决电路的真值表
第 1章 逻辑代数基础
（ 2）逻辑函数式
逻辑函数式,是将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻
辑关系用与、或、非等逻辑运算符号连接起来的式子，又称
函数式或逻辑式。
例如：三人表决电路的逻辑函数式：
A B CCABCBABCAY ????
第 1章 逻辑代数基础
（ 3）逻辑图
逻辑图,是将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻辑关
系用与、或、非等逻辑符号表示出来的图形。
三人表决电路的逻辑图：
图 1-8 三人表决电路的逻辑图
第 1章 逻辑代数基础
2．逻辑函数表示方法之间的相互转换
（ 1）真值表 函数式
a)找出真值表中使函数值为 1的输入变量取值；
b）每个输入变量取值都对应一个乘积项，变量取值为 1，用
原变量表示，变量取值为 0，用反变量表示。
c)将这些乘积项相加即可。
第 1章 逻辑代数基础
（ 2）函数式 真值表
首先在表格左侧将个不同输入变量取值依次按递增顺序列出
来，然后将每组输入变量取值代入函数式，并将得到的函数
值对应地填在表格右侧即可。
（ 3）函数式 逻辑图
将函数式转换成逻辑图的方法：从输入到输出分别用相应的
逻辑符号取代函数式中的逻辑运算符号即可。
（ 4）逻辑图 函数式
将逻辑图转换成函数式的方法：从输入到输出分别用相应的
逻辑运算符号取代逻辑图中的逻辑符号即可。
第 1章 逻辑代数基础
3．逻辑函数的两种标准形式
（ 1）最小项和的形式
最小项,设 m为包含 n个因子的乘积项，且这 n个因子以原变
量形式或者反变量形式在 m中出现且只出现一次，称 m为 n变
量的一个最小项。 n变量共有个 最小项。
最小项的编号规则,使最小项 m值为 1 的输入变量取值所对
应的十进制数既为该最小项的编号，记作 。
2n
mi
第 1章 逻辑代数基础
表 1-11 三变量的最小项编号表
第 1章 逻辑代数基础
最小项的性质,
a)对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最小项值为 1；
b)任意两个最小项之积为 0；
c)全体最小项之和为 1；
d)具有逻辑相邻性的两个最小项相加，可合并为一项，并消去一
个不同因子。
将函数式化成最小项和的形式的方法为,
该函数式中的每个乘积项缺哪个因子，就乘以该因子加上其反
变量，展开即可。
第 1章 逻辑代数基础
[例 1-1] 将函数式化成最小项和的形式。
解：
? ? ? ? ? ?
? ?
? ??
?
?
?
???????
???????
??????
???
15,13,10,9,8,7,5
,,,,,,
1513109875
1015137589
m
mmmmmmm
mmmmmmm
DCBAA B C DDCABB C DADCBADCBADCBA
DCBADCCBAADDCBA
DCBABDCBAY
第 1章 逻辑代数基础
（ 2）最大项积的形式
最大项,设 M为包含 n个因子的和，且这 n个因子以原变量形
式或者反变量形式在 M中出现且只出现一次，称 M为 n变量的
一个最大项。 n变量共有 个最大项。
最大项的编号规则,使最大项 M值为 0 的输入变量取值所对
应的十进制数既是最大项的编号，记作 。
2n
Mi
第 1章 逻辑代数基础
表 1-12 三变量的最大项编号表
第 1章 逻辑代数基础
最大项的性质,
a)对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最大项值为 0；
b)任意两个最大项之和为 1；
c)全体最大项之积为 0；
d)具有逻辑相邻性的两个最大项相乘，可合并为一项，并消去
一个不同因子。
将函数式化成最大项积的形式的方法为,首先化成最小项和的
形式，然后直接写成除了这些最小项编号以外的最大项积的形
式。
第 1章 逻辑代数基础
[例 1-2] 将函数式化成最大项积的形式。
解：
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?DCBADCBADCBADCBA
DCBADCBADCBADCBADCBA
M
MMMMMMMMM
mmmmmmm
DCBAA B C DDCABB C DADCBADCBADCBA
DCBADCCBAADDCBA
DCBABDCBAY
???????????????
?????????????????????
?
?
???????
???????
??????
???
? 14,12,11,6,4,3,2,1,0
141211643210
1015137589
第 1章 逻辑代数基础
1.2.3 逻辑代数的基本公式、常用公式和基本定理
1,18个基本公式
AAAA
AA
????
????
01
1100
AAAAAA ????
10 ???? AAAA
ABBAABBA ??????
? ? ? ? ? ? ? ? CBACBACBACBA ??????????
? ? ? ? ? ?CABACBAACABCBA ??????????
BABABABA ??????
AA?
0110 ??
第 1章 逻辑代数基础
2,5个常用公式
ABAAB ??
AABA ??
BABAA ???
CAABBCCAAB ????
CAABB C DCAAB ????
第 1章 逻辑代数基础
3,3个基本定理
代入定理,在任何一个含有变量 A的逻辑等式中，若以一函
数式取代该等式中所有 A的位置，该等式仍然成立。
反演定理,在一个逻辑式 中,若将其中所有的,+”变成,·”，
,·”
变成,+”，,0”变成,1”,,1”变成,0”，原变量变成反变
量，反
变量变成原变量，所得函数式即为原函数式的反逻辑式，记
作,。
注意：
a）运算的优先顺序。
b）不是单个变量上的非号应保留不变。
Y
Y
第 1章 逻辑代数基础
[例 1-3] 试用反演定理求函数式 的反逻辑
式。
解：
对偶式,在一个逻辑式 中,若将其中所有的,+”变成,·”，
,·”变成,+”，,0”变成,1”,,1”变成,0”，所得函数式
即为原
函数式的对偶式，记作,。
对偶定理,若两个函数式相等，那么它们的对偶式也相等。
[例 1- 4] 试求函数式 的对偶式。
解：
? ? ? ?EDCBAY ?????
? ?EDCBAY ???
Y?
Y
? ? ? ?EDCBAY ??????
? ?EDCBAY ???
第 1章 逻辑代数基础
1.2.4逻辑函数的公式化简法
1．逻辑函数式的八种类型
与 -或式、与非 -与非式、或 -与非式、或非 -或式、与或非
式、与非 -与式、或 -与式、或非 -或非式。
与或式 与非 -与非式：将与或式两次求反，并用一次
德 ·摩根定理即可。
[例 1-5] 试将函数式 转换成与非 -与非
式。
解：
BADBA C DY ???
BADBA C D
BADBA C D
BADBA C DY
???
???
???
第 1章 逻辑代数基础
与或式 与或非式：先将与或式化成最小项和的形式，然
后直接写成除了这些最小项编号以外的那些编号的最小项的
或非形式。
[例 1-6] 试将函数式 转换成与或非式。
解：
BACBACY ???
? ? ? ? ? ?
CABCBACBA
mmm
mmmmm
CBABCACBACBACBAABC
CCBACBAACBBA
BACBACY
???
???
?????
??????
??????
???
640
23157
第 1章 逻辑代数基础
3．逻辑函数的公式化简法：是指熟练运用所学基本公式和
常用公式，将一个函数式化成最简形式。
与或式最简形式的标准是,该与或式中包含的乘积项的个数
不能再减少，且每个乘积项所包含的因子数也不能再减少。
常用公式化简法,并项法、吸收法、消因子法、消项法
、配项法。
第 1章 逻辑代数基础
并项法,
例如：
ABAAB ??
? ? BABBAABBCACBABCAABCBAY ?????????1
? ? BA B CBACA B CBCAA B CCBBAY ???????????3
? ? ? ?
? ? CCBACBA
CBABACABBACBABCAA B CCBAY
???????
??????????2
第 1章 逻辑代数基础
吸收法,
例如：
消因子法,
例如：
AABA ??
ABA B C DA B CABY ????1
? ? CABBCDACABCABBCDACABCABY ???????? ???????????? ??????2
BABAA ???
EDCABEDABCABABY ??????1
? ? CBACBABACABBACABCBAY ??????????2
ADCABDCACABDCACABABY ?????????3
第 1章 逻辑代数基础
消项法, 和 。
例如：
配项法, 或 。
例如：
CAABBCCAAB ???? CAABB C DCAAB ????
DEABABCC D E FDEABABCY ?????1
? ? ? ?
? ? ? ? DBACBAC D EDBACBA
C D EDBABACBAABC D EDBABDACBAA B CY
?????????????
??????????2
AAA ?? 1?? AA
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
BACACB
BACBACABCBACBCBA
BACBACABCBCBACBA
BACBAACBCCBABACBCBBAY
???
??????
??????
??????????1
第 1章 逻辑代数基础
? ? ? ? ? ?
ABACBC
ABCCABABCCBAABCBCA
ABCCABCBABCAY
???
??????
????2
? ?
CADAB
DCCADAB
B C EADCBAABDCCADAB
B C EADCBADBABDCCADABD
B C EADCBADABDCCADABDY
???
????
???????
????????
????????
第 1章 逻辑代数基础
1.2.5逻辑函数的卡诺图化简法
1,变量的卡诺图,用个小方块表示 n变量的全部最小项，并
使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起
来，所得图形称为 n变量的卡诺图。
图 1-9二变量卡诺图 图 1-10三变量卡诺图
第 1章 逻辑代数基础
图 1-12五变量卡诺图图 1-11四变量卡诺图
第 1章 逻辑代数基础
2．逻辑函数式和卡诺图之间的相互转换
函数式转换成卡诺图,首先将该函数式化成最小项和的形
式；然后将该函数式中包含的最小项在卡诺图相应位置
处填 1，其余位置处填 0。
[例 1-7] 试画出逻辑函数
的卡诺图。
解：
DCDBADCBDABCY ????
第 1章 逻辑代数基础
由卡诺图写函数式的方法,将卡诺图中所有填 1的小方块所
表示的最小项相加即可得到相应的函数式。
[例 1-8] 卡诺图如图 1-13所示，要求写出其函数式。
解,图 1-13例 1-12的卡诺图
解：
DCBADCBADA B CDCABDBCADCBADCBADCBAY ????????
第 1章 逻辑代数基础
3．一般逻辑函数的卡诺图化简
卡诺图化简法,是指利用卡诺图对逻辑函数进行化简。
（ 1）合并最小项规则
a)具有逻辑相邻性的 2个最小项相加，可合并为 1项，消去 1
对不同因子，保留公共因子。
b)具有逻辑相邻性的 4个最小项相加，且组成矩形组，可合
并为 1项，消去 2对不同因子，保留公共因子。
c)具有逻辑相邻性的 8个最小项相加，且组成矩形组，可合并
为 1项，消去 3对不同因子，保留公共因子。
d)具有逻辑相邻性的个最小项相加，且组成矩形组，可合并
为一项，消去 n对不同因子，保留公共因子。
第 1章 逻辑代数基础
卡诺图化简步骤,首先用卡诺图表示逻辑函数；然后选择化
简后的乘积项。
选择原则 为：
a)应包含该逻辑函数的全部最小项。
b)所选择的可合并的最小项矩形组数目应尽可能少。
c)所选择的可合并的最小项矩形组应包含尽可能多的最小
项。
第 1章 逻辑代数基础
[例 1-9]用卡诺图法化简函数
解：
CDDBADCBCDBAY ????
CDBDBAY ???
第 1章 逻辑代数基础
4．具有无关项的逻辑函数的卡诺图化简
无关项,约束项和任意项统称为无关项。
约束,指具体的逻辑问题对输入变量取值所加的限制。
约束项,不允许出现的输入变量取值所对应的最小项。
例如：一台电动机，有三种工作状态：正转、反转和停止。
如果用表示正转，则表示不正转；如果用表示反转，则表示
不反转；如果用表示停止，则表示不停止。当 A,B,C取值
为 100,010和 001时，分别表示电动机处于正转、反转和停
止状态；而当 A,B,C取值为 000,011,101,110和 111对
应的最小项即为约束项。
第 1章 逻辑代数基础
约束条件,可以用全部约束项之和等于 0表示。
任意项,是指在某些输入变量取值下，函数值是 0还
是 1都不影响电路的逻辑功能，这些输入变量取值所
对应的最小项称为任意项。
具有无关项的逻辑函数的卡诺图化简步骤是：
a) 用卡诺图表示具有无关项的逻辑函数；
b) 选择化简后的乘积项。
第 1章 逻辑代数基础
用卡诺图表示具有无关项的逻辑函数的方法是,将函数式中
所包含的最小项在卡诺图相应位置处填 1，无关项位置处填
×,其余位置处填 0。
选择化简后的乘积项的原则,有利于化简的 ×,当作 1处
理；不利于化简的 ×,当作 0处理。
第 1章 逻辑代数基础
[例 1-9] 试用卡诺图法化简具有无关项的逻辑函数：
。
解：
? ? ? ?
?
?
?
????
? ?
0
,,,,,,,,,
13732
151411108640
mmmm
mmmmmmmmDCBAY
约束条件：
，
CDADBY ???
