第一章 数字逻辑基础
§ 1-1 数制与编码
§ 1-2 逻辑代数基础
§ 1-3 逻辑函数的标准形式
§ 1-4 逻辑函数的化简
小结
§ 1-1 数制与编码
进位计数制
数制转换
数值数据的表示
常用的编码
§ 1-2 逻辑代数基础
逻辑变量及基本逻辑运算
逻辑函数及其表示方法
逻辑代数的运算公式和规则
§ 1-3 逻辑函数的标准形式
函数表达式的常用形式
逻辑函数的标准形式
§ 1-4 逻辑函数的简化
代数法化简函数
图解法化简函数
逻辑函数简化中的几个实际问题
进位计数制
1、十进制
=3? 102 + 3? 101+ 3? 100+ 3? 10-1 +3? 10-2
权 权 权 权 权
特点,1)基数 10,逢十进一,即 9+1=10
3)不同数位上的数具有不同的权值 10i。
4)任意一个十进制数, 都可按其权位
展成多项式的形式
(333.33)10
位置计数法 按权展开式
(N)10=(Kn-1 ? K1 K0,K-1 ? K-m)10
?
?
??
?
1n
mi
i10
iK
2)有 0-9十个数字符号和小数点，数码 K i从 0-9
=Kn-1 10n-1+? +K1101+K0100+K-1 10-1+? +K-m 10-m
返 回
数基
表示相对小数点
的位置
返 回
二进制
任意进制
1）基数 R,逢 R进一,
3）不同数位上的数具有不同的权值 Ri。
4） 任意一个 R进制数，都可按其权位
展成多项式的形式
(N)R=(Kn-1 ? K1 K0,K-1 ? K-m)2
=Kn-1 Rn-1+? +K1R1+K0R0+K-1 R-1+? K-m R-m
?
?
??
?
1n
mi
iR
iK
2) 有 R个数字符号和小数点,数码 K i从 0~(R-1)
1）基数 2,逢二进一,即 1+1=10
3）不同数位上的数具有不同的权值 2i。
4）任意一个二进制数，都可按其权位
展成多项式的形式
(N)2=(Kn-1 ? K1 K0,K-1 ? K-m)2
=Kn-1 2n-1+? +K121+K020+K-1 2-1+? K-m 2-m
?
?
??
?
1n
mi
i2
iK
2)有 0-1两个数字符号和小数点,数码 K i从 0-1
十 二 八 十六 十 二 八 十六
0 0 0 0 0 0 0 8 1 0 0 0 10 8
1 0 0 0 1 1 1 9 1 0 0 1 11 9
2 0 0 1 0 2 2 10 1 0 1 0 12 A
3 0 0 1 1 3 3 11 1 0 1 1 13 B
4 0 1 0 0 4 4 12 1 1 0 0 14 C
5 0 1 0 1 5 5 13 1 1 0 1 15 D
6 0 1 1 0 6 6 14 1 1 1 0 16 E
7 0 1 1 1 7 7 15 1 1 1 1 17 F
常用数制对照表
返 回
数 制 转 换
十进制 非十进制
非十进制 十进制
二进制 八、十六进制
八、十六进制 二进制
十进制与非十进制间的转换
非十进制间的转换
返 回
? 整数部分的转换
十进制转换成二进制
除基取余法,用目标数制的 基数 （ R=2） 去除 十
进制数, 第一次 相除所得余数为目的数的 最低位
K0,将所得 商 再除以 基数, 反复执行上述过程,
直到商为, 0‖,所得余数为目的数的 最高位 Kn-1。
例：（ 81） 10=（？） 2
得：（ 81） 10 =（ 1010001） 2
81402010520 ?2?2?2?2?2?2?2
1
K0
0
K1
0
K2
0
K3
1
K4
0
K5
1
K6
1
返 回
? 小数部分的转换
十进制转换成二进制
乘基取整法, 小数 乘以目标数制的 基数 （ R=2）, 第
一次 相乘结果的 整数 部分为目的数的 最高位 K-1,将其小
数部分再乘基数依次记下整数部分, 反复进行下去, 直
到小数部分为, 0‖,或满足要求的 精度 为止 （ 即根据设
备字长限制, 取有限位的近似值 ） 。
例,（ 0.65） 10 =(? )2 要求精度为小数五位。
0.65 ?2
K-1
1
0.3 ?2
K-2
0
0.6 ?2
K-3
1
0.2 ?2
K-4
0
0.4 ?2
K-5
0
0.8
由此得,(0.65)10=(0.10100)2
综合得,(81.65)10=(1010001.10100)2
返 回
如 2-5,只要求到小
数点后第五位
十进制 二进制 八进制、十六进制
非十进制转成十进制
方法, 将相应进制的数按权展成多
项式, 按十进制求和
(F8C.B)16
= F× 162+8× 161+C× 160+B× 16-1
= 3840+128+12+0.6875
=3980.6875
例：
返 回
返 回
非十进制间的转换
? 二进制与八进制间的转换
从 小数点 开始, 将二进制数的整数和小数部分 每
三位 分为 一组, 不足 三位的分别在整数的最高位
前和小数的最低位后 加, 0‖补足, 然后每组用等
值的八进制码替代, 即得目的数 。
例 8,11010111.0100111 B =? Q1010 1.01 0 1 B = 327.234 Q
11010111.0100111
小数点为界
0 00
723 2 3 4
返 回
非十进制间的转换
? 二进制与十六进制间的转换
从 小数点 开始, 将二进制数的整数和小数部分 每
四位 分为 一组, 不足 四位的分别在整数的最高位
前和小数的最低位后 加, 0‖补足, 然后每组用等
值的十六进制码替代, 即得目的数 。
例 9,111011.10101 B =? H111011.10101 B = 3B.A8 H
111011.10101
小数点为界
00 000
B3 A 8
X1 = + 1101101 X2 = - 1101101
数值数据的表示
一,真值 与 机器数
数符（ +/-） +尾数
（数值的绝对值 ）
符号（ +/-）数码化
最高位,―0‖表示, +‖―1‖表示, -‖
二,带符号二进制数的代码表示
1,原码 [X]原,原码
反码
补码
变形补码
尾数部分的表示形式：
最高位,―0‖表示, +‖―1‖表示, -‖
符号位 +尾数部分（真值）
原码的性质：
? ―0‖有两种表示形式
[+00… 0]原 = 000… 0 而 [-00… 0]原 = 100… 0
? 数值范围,+（ 2n –1-1） ≤ [X]原 ≤ -（ 2n-1-1）
如 n = 8,原码范围 01111111～ 11111111,数值范围
为 +127～ -127
? 符号位后的尾数即为真值的数值
返 回
数值数据的表示
2,反码 [X]反,符号位 + 尾数部分
?反码的性质
正数：尾数部分与真值形式相同
负数：尾数为真值数值部分按位取反
X1 = +4
X2 = -4
[X1]反 = 00000100
[X2]反 = 11111011
3,补码 [X]补,符号位 + 尾数部分
正数：尾数部分与真值同即 [X]补 = [X]正
负数,尾数为真值数值部分按位取反加 1
即 [X]补 = [X]反 + 1
? ―0‖有两种表示形式
[+00… 0]反 = 000… 0 而 [-00… 0]反 = 111… 1
? 数值范围,+（ 2n –1-1） ≤ [X]反 ≤ -（ 2n-1-1）
如 n = 8,反码范围 01111111～ 10000000,数值范围
为 +127～ -127
? 符号位后的尾数是否为真值取决于符号位
返 回
补码的性质：
数值数据的表示
双符号位：正数 - ―00‖
负数 - ―11‖
符号位 + 尾数
应用：
两个符号位 （ S1S0） 都作为数值一起参
与运算, 运算结果的符号如两个符号位
相同, 结果正确；不同则溢出 。
判断是否有溢出
方法：
4、变形补码 [X]变补：例, 已知 X1 = -1110 B, X2 = +0110 B,求 X1+
X2 =？
[X1]补 = 1 0010 -1110B
+） [X2]补 = 0 0110 +1000B
[X1+X2]补 = 1 1000 -1000B
故得 [X1+X2]补 = 11000 即 X1+ X2 = -1000 B例：已知 X1 = 48,X2 = 31 求 X1 + X2 =？
X1 = +48 [X1]变补 = 00 110000
+） X2 = +31 +） [X2]变补 = 00 011111
X1 + X2 = +79 [X1+ X2]变补 = 01 001111
? ―0‖有一种表示形式
[+00… 0]补 = 000… 0 而 [-00… 0]补 = 1 000… 0
? 数值范围,+(2n-1-1） ≤ [X]补 ≤ -2n-1
如 n = 8,补码范围 01111111～ 10000000，
数值范围为 +127～ -128
? 符号位后的尾数并不表示真值大小
?用补码进行运算时，两数补码之和等于两
数和之补码，即
[X1]补 +[X2]补 = {X1+X2}补 （ mod 2n）
常用编码
?自然二进制码
?格雷码
?二 —十进制码
?奇偶检验码
? ASCII码等 。
常用的 编码,
用一组二进制码按一定规则排列起
来以表示数字、符号等特定信息。
（一）自然二进制码及格雷码
? 自然二进制码
常用四位自然二进制码, 表示十进
制数 0--15,各位的权值依次为 23、
22,21,20。
? 格雷码
2.编码还具有反射性, 因此又可称其
为反射码 。
1.任意两组 相邻码 之间只有 一位 不同 。
注：首尾两个数码即最小数 0000和最大
数 1000之间也符合此特点, 故它可称为
循环码
返 回
按自然数顺序
排列的二进制
码
?自然二进制码
?格雷码
?二 —十进制码
?奇偶检验码
? ASCII码等 。
常用的 编码, （ 二 ） 二 —十进制 BCD码
? 有权码
用四位二进制代码对
十进制数的各个数码
进行编码 。
有权码表示十进制数符：
D = b3w3 + b2w2 + b1w1 + b0w0 + c
偏权系数 c= 0时为有权码 。
1? 8421BCD（ NBCD）码
2 7 6, 8
↓ ↓ ↓ ↓
010 0111 0110 1000
例：（ 276.8） 10 =（？ ） NBCD
（ 276.8） 10 =（ 0010011101101000） NBCD
四位二进制数中的每一
位都对应有固定的权
常用编码
返 回
?自然二进制码
?格雷码
?二 —十进制码
?奇偶检验码
? ASCII码等 。
常用的 编码,
? 无权码
2.其它有权码
2421,5421,5211
1,余 3码
余 3码中有效的十组代码为
0011～ 1100代表十进制数 0-
-9
2,其它无权码
? 字符编码
ASCII码：七位代码表示 128个字符
96个为图形字符
控制字符 32个 。
常用编码
返 回
§ 1-2 逻辑代数基础
逻辑变量及基本逻辑运算
逻辑函数及其表示方法
逻辑代数的运算公式和规则
逻辑变量及基本逻辑运算
一、逻辑变量
取值：逻辑 0,逻辑 1。 逻辑 0和逻辑 1不代
表 数值大小, 仅表示相互矛盾, 相互对立
的 两种逻辑状态
二、基本逻辑运算
与运算
或运算
非运算 返 回
逻辑表达式
F= A ? B = AB
与逻辑真值表与逻辑关系表
与逻辑
开关 A 开关 B 灯 F
断 断
断 合
合 断
合 合
灭
灭
灭
亮
A B F
1 0
1 1
0 1
0 0
0
0
1
0
A
B F
?
逻辑符号
只有决定某一事件的 所有条件 全部具备，
这一事件才能发生
与逻辑运算符，也有用, ?”,
,∧,,, ∩,,, &‖表示
逻辑表达式
F= A + B
或逻辑真值表
或逻辑
A
B F
? 1
逻辑符号
只有决定某一事件的 有一个或一个以上 具
备，这一事件才能发生
A B F
1 0
1 1
0 1
0 0
1
1
1
0
N个输入：
F= A + B+,..+ N
或逻辑运算符，也有
用, ∨,,, ∪, 表
示
返 回
返 回非逻辑 当决定某一事件的条件满足时, 事件不发生；反之事件发生,
非逻辑真值表
逻辑符号
A F1
A F
0 1
1 0
逻辑表达式
F= A
―-‖非逻辑运算符
三、复合逻辑运算
与非逻辑运算
F1=AB
或非逻辑运算
F2=A+B
与或非逻辑运算
F3=AB+CD
异或运算
A B F
1 0
1 1
0 1
0 0
1
1
0
0 逻辑表达式
F=A?B=AB+AB
A
B F
=1
逻辑符号
A B F
1 0
1 1
0 1
0 0
0
0
1
1
同或运算
逻辑表达式
F=A B= A?B
A
B F
=1
逻辑符号
―?‖异或逻辑运
算符
―⊙ ‖同或逻辑运
算符
返 回
0V
3V
工作原理
? A,B中有一个
或一个以上为
低电平 0V
? 只有 A,B全
为高电平 3V，
二极管与门电路
0V3V
3V 3V
A B F
3V3V 3V
3V
0V 0V
0V
3V 0V
0V
0V
0V
返 回
（四） 正逻辑 与 负逻辑
则输出 F就为低
电平 0V
则输出 F才为
高电平 3V
A B F
VL VL
VL
VL
VH
VL
1 1 1
A B F
1 0
0 1
0 0
0
0
0
0
A B F
0 1
0 0
1 0
1 1
1
1
1
VL VH
VH VL
VH VH
电平关系 正逻辑 负逻辑
正与 = 负或
正或 = 负与
正与非 = 负或非
正或非 = 负与非
正、负逻辑间关系 逻辑符号等效
? 在一种逻辑符号的所有入, 出
端同时加上或者去掉小圈, 当一
根线上有两个小圈, 则无需画圈
? 原来的符号互换（与 ←→ 或、
同或 ←→ 异或 ）
高电平 VH用逻辑 1表示,
低电平 VL用逻辑 0表示
返 回（四） 正逻辑 与 负逻辑
（与门） （或门）高电平 VH用逻辑 0表示,低电平 V
L用逻辑 1表示
逻辑函数及其表示方法
一、逻辑函数
用有限个与, 或, 非逻辑运算符, 按某种逻辑关
系将逻辑变量 A,B,C,...连接起来, 所得的表
达式 F = f（ A,B,C,...） 称为逻辑函数 。
二,逻辑函数的表示方法
真值表 逻辑函数式 逻辑图 波形图
输入变量 不同取值组合 与 函
数值 间的对应关系列成表格 用 逻辑符号 来表示函数式的运算关系
输入变量
输出变量
取值：逻辑 0、逻辑 1。逻辑 0和逻辑 1不代表 数值
大小,仅表示相互矛盾、相互对立的 两种逻辑态反映 输入和输出波形变
化的图 形又叫时序图
A B C F
0 0 00
0 1
0 01
0 111 00
1 10
1 11 011
断,0‖
合,1‖
亮,1‖
灭,0‖
C开,F灭 0
0
0
0
C合,A,B中
有一个合,F亮
1
1
,均
断,F灭
0
逻辑函数式
?挑出函数值为 1的项
1
?每个函数值为 1的输入变量取值组合写成一个 乘积项
?这些乘积项作 逻辑加
输入变量取值为 1用 原变量 表
示 ;反之, 则用 反变量 表示
ABC,ABC,ABC
F= ABC+ABC+ABC 返 回
逻辑图
F= ABC+ABC+ABC
乘积项 用 与门 实现,
和项 用 或门 实现
波形图
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
返 回
逻辑代数的运算公式和规则
? 公理、定律与常用公式
公理
交换律
结合律
分配律
0-1律
重叠律
互补律
还原律
反演律
0?? 0 = 0
0?? 1 =1 ?? 0 =0
1?? 1 = 1
0?+ 0 = 0
0?+ 1 =1 + 0 =1
1?+ 1 = 1
A??B = B ??A A?+ B = B ?+ A
(A??B?)? C = A?? (B?? C)
(A+ B?)+ C = A+ (B+ C)
自等律 A??( B?+ C ) = A?? B+ A?? C
A?+ B ? C =( A?+ B)? (A+ C )
A? 0=0 A+ 1=1
A? 1=A A+ 0=A
A? A=0 A+A=1A?A=A A+ A=A
A? B= A+B A+ B=AB
A= A
吸收律
消因律
包含律
合并律A? B+ A? B =A (A+ B) ? (A+ B) =A
A+A? =A+B A ? (A+B)=A
A+ A? B =A+B A? (A+ B) =A ? B
AB+ A C +BC= AB+ A C
(A+B)( A+ C )(B+C)= ( +B)(A +C)
证明方法
利用真值表
例：用真值表证明反演律
A B AB A+ B A? B A+B
0 0
0 1
1 0
1 1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
? A? B= A+B A+ B=AB
返 回
??? BCCAAB
BCAA B CCAAB ????
B)C ( 1AC)A B ( 1 ????
??? CAAB 等式右边
由此可以看出：与或表达式中, 两个乘积项分别包
含 同一因子 的 原 变量和 反 变量, 而两项的剩余因子
包含在第三个乘积项中, 则第三项是多余的
CAABB C D ECAAB ????公式可推广：
例：证明包含律 CAABBCCAAB ???? 成立
BC)AA(CAAB ???
返 回利用基本定律
逻辑代数的运算公式和规则
? 三个基本运算规则
? 代入规则, 任何一个含有某变量的等式，如果 等
式 中所有出现此 变量 的位置均代之以
一个 逻辑函数式,则此等式依然成立
例,A? B= A+B
BC替代 B
得 ABC BCA ?? CBA ???
由此反演律能推广到 n个变量：
n 21n 21
n 21n 21
AAAAAA
AAAA A A
???
???
????
????
??
??
利用反演律
基本运算规则
? 反演规则,
对于任意一个逻辑函数式 F，做如下处理：
? 若把式中的运算符,,‖换成, +‖,―+‖ 换成,,‖;
? 常量, 0‖换成, 1‖,,1‖换成, 0‖；
? 原 变量换成 反 变量,反 变量换成 原 变量
那么得到的 新函数式 称为原函数式 F的 反函数式 。
注：
① 保持原函数的运算次序 --先与后或，必要时适当地加入括号
② 不属于单个变量上的非号有两种处理方法
? 非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换
? 将非号去掉，而非号下的函数式保留不变
例,F(A,B,C)
CBAB )C A(BA ??????
其反函数为 )CBA(BCA)BA(F ?????
???
或
)CBA(B)CA()BA(F ????? ???
返 回
基本运算规则
? 对偶式, 对于任意一个逻辑函数，做如下处理：
1）若把式中的运算符,,‖换成, +‖,,+‖换成,,‖；
2）常量, 0‖换成, 1‖,,1‖换成, 0‖
得到新函数式为原函数式 F的对偶式 F′,也称对偶函数
?对偶规则：
如果两个函数式相等, 则它们对应的对偶式也相
等 。 即 若 F1 = F2 则 F1′ = F2′ 。 使公式的
数目增加一倍 。
? 求对偶式时 运算顺序不变, 且它只 变 换 运
算符和常量, 其 变量 是 不变 的 。
注：
? 函数式中有, ?” 和, ⊙, 运算符, 求反
函数及对偶函数时, 要将运算符, ?” 换成
,⊙,,, ⊙, 换成, ?” 。
例,B1CAABF ????
其对偶式 )B 0() CA ()BA('F ????
??
返 回
§ 1-3 逻辑函数的标准形式
函数表达式的常用形式
逻辑函数的标准形式
函数表达式的常用形式
? 五种常用表达式
F(A,B,C) CAAB ?? ―与 ― 或, 式
)BA)(CA( ??? ―或 ― 与, 式
CAAB ?? ―与非 ― 与非, 式
BACA ????
―或非 ― 或非, 式
BACA ?? ?? ―与 ― 或 ― 非, 式
基本形式
?表达式形式转换
CA AB F ?? CAAB ?? CAAB ?? 返 回
利用还原律 利用反演律
逻辑函数的标准形式
最小项：
n个变量有 2n个最小项，记作 mi
3个变量有 23（ 8） 个最小项
CBA CBA
m0 m1
000 001
0 1
CBA BCA CBA CBA CAB ABC
m2 m3 m4 m5 m6 m7
010 011 100 101 110 111
2 3 4 5 6 7
n个变量的逻辑函数中, 包括 全部 n个变量
的 乘积项 （ 每个变量必须而且只能以原变
量或反变量的形式出现一次 ）
一,最小项 和 最大项
乘积项 和项
最小项
二进制数
十进制数
编号
最小项编号 i-各输入变
量 取值 看成 二进制数,
对应的 十进制数
0 0 1
A B C
0 0 0
m0
CBA
m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
CBA CBA BCA CBA CBA CAB ABC
?
?
?
1-n2
0i
imF
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
1
1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
三变量的最小项
最小项的性质：
? 同一组变量取值任意 两个不同 最小项
的 乘积 为 0。 即 mi?mj=0 (i≠ j)
? 全部 最小项之 和 为 1，即
??
?
?
12
0i
i 1m
n
? 任意一组变量取值,只有一个 最小 项
的值为 1，其它最小项的值均为 0
? 最大项
n个变量有 2n个最大项，记作 ??i
n个变量的逻辑函数中, 包括 全部 n个变量
的 和项 （ 每个变量必须而且只能以原变量
或反变量的形式出现一次 ）
? 同一组变量取值任意 两个不同 最大项
的 和 为 1。 即 Mi+Mj=1 (i≠ j)
? 全部 最大项之 积 为 0，即
? 任意一组变量取值, 只有一个 最大 项
的值为 0,其它最大项的值均为 1
最大项：
最大项的性质：
??
?
?
12
0i
i 0M
n
返 回
?? 最小项与最大项的关系
? 相同编号的最小项和最大项存在互补关系
即, mi = Mi Mi = mi
? 若干个最小项之和表示的表达式 F,其反函数 F可
用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示 。
例：
7531 mmmmF ????
7531 mmmmF ????
m1 m3 m5 m7= ? ? ?
7531 MMMM ???
=
返 回
逻辑函数的标准形式
? 标准积之和 ( 最小项）表达式
式中的每一个乘
积项均为最小项
F(A,B,C,D) D C BADCBADC B AD C B A ????
8510 mmmm ????
?? )8 5 1 0(m,、、
例,求函数 F(A,B,C,D) CB ABA ??? 的标准积之
和表达式
解,F(A,B,C,D) CB ABA ??? CB ABA ?? ?
CB A)CC(BA ??? CB ACBABCA ???
123 mmm ??? ?? )3 2 1(m,、
利用反演律 利用互补律，补
上所缺变量 C
A B C
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
mi
0
1
2
3
4
5
6
7
FMi
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
1
0
1
1
1
例,已知函数的真值表，写出该函数的标准积之和表达式
? 从真值表找出 F为 1
的对应最小项
解,
1 1 3 3 1
5 5 1
1 0 6 6 1
1 1 7 7 1
?然后将这些项逻辑加
F(A,B,C)
B CCABCBABCA ????
7653 mmmm ????
?? )7 6 5 3(m,、、
§ 1-4 逻辑函数的简化
代数法化简函数
图解法化简函数
逻辑函数简化中的几个实际问题
函数的简化依据
?? 逻辑电路所用门的数量少
?? 每个门的输入端个数少
?? 逻辑电路构成级数少
?? 逻辑电路保证能可靠地工作
降低成本
提高电路的工作
速度和可靠性
逻辑函数的简化
返 回
最简式的标准
? 首先是式中 乘积项最少
? 乘积项中含的变量少
? 与或表达式的简化
代数法化简函数
与门的输入端个数少
? 实现电路的与门少
? 下级或门输入端个数少
方法：
? 并项,利用 ABAAB ?? 将两项并为一项，
且消去一个变量 B
? 消项,利用 A + AB = A消去多余的项 AB
? 配项：利用 CAABBCCAAB ???? 和互补律、
重叠律先增添项，再消去多余项 BC
? 消元：利用 BABAA ??? 消去多余变量 A
代数法化简函数
CBDBDAACF ????例,试简化函数
解,CBDBDAACF ????
利用反演律
)BA(DCBAC ????
ABDCBAC ???
配项加 AB
ABDABCBAC ????
消因律
DABCBAC ????
消项 AB
DCBAC ???
? 或与表达式的简化
F（或与式） 求对偶式 F?（与或式） 简化 F?
（最简与或式） 求对偶式 F（ 最简 或与式）
返 回
图形法化简函数
? 卡诺图（ K图）
图中的 一小格 对应真值表中的 一行,
即对应一个 最小项,又称真值图
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
m0
m1
m2
m3 A
A
B B
AB BA
AB AB
A
B 10
1
0 m0 m1
m2 m3
mi
A
BC
0
1
00 01 11 10
00 01 11 10 00
01
11
10
m0 m1 m2m3
m4 m5 m6m7
m0 m1 m2m3
m4 m5 m6m7
m12 m13 m14m15
m8 m9 m10m11
AB
CD
二
变
量
K
图
三
变
量
K
图
四
变
量
K
图
K
图
的
特
点
图形法化简函数
? k图为方形图 。 n个变量的函数 --k图有 2n个小方
格, 分别对应 2n个最小项 ；
? k图中行, 列两组变量取值按循环码规律排列,
使变量各最小项之间具有 逻辑相邻性 。
上下左右几何相邻的方格
内，只有一个因子不同
? 有三种几何相邻,邻接, 相对 （ 行列两端 ） 和对
称 （ 图中以 0,1分割线为对称轴 ） 方格均属相邻
00 01 11 10
00
01
11
10
m0 m1 m2m3
m4 m5 m6m7
m12 m13 m14m15
m8 m9 m10m11
AB
CD
四
变
量
K
图
两个相邻格圈在一起，
结果消去一个变量
ABD
AD
A
1
四个相邻格圈在一起，
结果消去两个变量八个相邻格圈在一起，
结果消去三个变量
十六个相邻格圈在
一起，结果 ?mi=1
卡诺图化简函数规则：
? 几何相邻的 2i（ i = 1,2,3… n） 个小格 可合
并在一起构成正方形或矩形圈, 消去 i个变量, 而
用含 （ n - i） 个变量的积项标注该圈 。
动画 返 回
图形法化简函数
? 与或表达式的简化
步
骤
? 先将函数填入相应的卡诺图中, 存在的最小
项对应的方格填 1,其它填 0。
? 合并：按作圈原则将图上填 1的方格圈起来,
要求圈的 数量少, 范围大, 圈 可重复包围 但每
个圈内必须有 新 的最小项 。
? 每个圈写出一个乘积项。按取同去异原则
? 最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式
返 回
? 根据函数填写卡诺图
1,已知函数为最小项表达式, 存在的最小项对应的格
填 1,其余格均填 0。
2,若已知函数的真值表, 将真值表中使函数值为 1的
那些最小项对应的方格填 1,其余格均填 0。 例子
3,函数为一个复杂的运算式, 则先将其变成 与或式,
再用直接法填写 。 例子
? 作圈的步骤
1,孤立的单格单独画圈
2,圈的 数量少, 范围大, 圈 可重复包围 但每个圈内必
须有 新 的最小项
3、含 1的格都应被圈入，以防止遗漏积项
图形法化简函数
返 回
例 1：直接给出函数的真值表求函数的最简与或式。 见例 1
例 2：直接给出函数的复杂的运算式。 见例 2
例 4,含有无关项的函数的化简 。
图形法化简函数
返 回
? 含有 无关项 的函数的化简
? 填函数的卡诺图时只在无关项对应的格内
填任意符号, Φ‖,,d或, × ‖。
处理方法：
无关项 对于变量的 某些取值组合, 所对应的 函数值
是不定 。 通常 约束项和任意项 在逻辑函数中
统称为无关项
? 化简时可根据需要视为, 1‖也可视为, 0‖，
使函数化到最简 。 例子
图形法化简函数
返 回
逻辑函数简化中的几个实际问题
? 具有多输出端电路的简化
? 只允许原变量输入的逻辑电路的简化
返 回
小 结
? 几种常用的数制：二进制, 八进制, 十六进制和十进
制以及相互间的转换
? 码制部分：自然二进制码, 格雷码, 和常用的 BCD码
任意一个 R进制数按权展开,?
?
??
1-n
m- i
i
iR RkN)(
? 带符号数在计算机中的三种基本表示方法：原码, 反
码和补码,
运算结果的正确性以及溢出的性质：利用变形补码可判
断机器 。
? 逻辑问题的描述可用真值表, 函数式, 逻辑图, 卡诺
图和时序图
? 分析和设计逻辑电路的重要数学工具：布尔代数
作业
1-2 1-3 1-5 1-6 1-8 1-10 1-11
1-12 1-13 1-15 1-17 1-19 1-21
例,将 F(A,B,C,D) ACBCADCBABDCA ?????
化为最简与非 —与非式。
解：
01
00 01 11 10
00
11
10
CD
AB
AB
1
1
1 1 1 1
B CD
1
1ACD
ABC
1 1
AC
1 1
m14,m15
两次填 1
0
0
00
图形法化简函数
例：图中给出输入变量 A,B,C的真值表, 填写函数的卡
诺图
A B C F
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
0
1
1
1
0
0
0
A
BC
0
1
00 01 11 10
11
1
0 0
0 00
图形法化简函数
例：图中给出输入变量 A,B,C的真值表, 填写函数的卡
诺图
A B C F
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
0
1
1
1
0
0
0
A
BC
0
1
00 01 11 10
11
1
0 0
0 00
AB
ABC
F= ABC + AB
得：
图形法化简函数
??
?
?
?
??
?
?
?
0)15 14 12 11(
)10 8 6 4 3 2 0( mD)CBF( A
、、、约束条件
、、、、、、、、、
例,已知函数,
求其最简与或式
01
00 01 11 10
00
11
10
CD
AB解：
? 填函数的卡诺图 1 11
1 1
1 1?
? ??
0
0
0
0
0? 化简
不考虑约束条件时：
CBADBDAF ???
DA
DB
CBA
考虑约束条件时：
CBDF ??
01
00 01 11 10
00
11
10
CD
AB
1 11
1 1
1 1?
? ??
0
0
0
0
0
D CB
例,将 F(A,B,C,D) ACBCADCBABDCA ?????
化为最简与非 —与非式
解：
01
00 01 11 10
00
11
10
CD
AB
1
1
1 1 1 1
1
1
1 1
1 1
ACAD
BC
BD
A B C
化简得：
CBADBADBCACF ?????
最简与非 —与非式为：
CBADBADBCACFF ??????
CBADBADBCAC ?????
图形法化简函数
§ 1-1 数制与编码
§ 1-2 逻辑代数基础
§ 1-3 逻辑函数的标准形式
§ 1-4 逻辑函数的化简
小结
§ 1-1 数制与编码
进位计数制
数制转换
数值数据的表示
常用的编码
§ 1-2 逻辑代数基础
逻辑变量及基本逻辑运算
逻辑函数及其表示方法
逻辑代数的运算公式和规则
§ 1-3 逻辑函数的标准形式
函数表达式的常用形式
逻辑函数的标准形式
§ 1-4 逻辑函数的简化
代数法化简函数
图解法化简函数
逻辑函数简化中的几个实际问题
进位计数制
1、十进制
=3? 102 + 3? 101+ 3? 100+ 3? 10-1 +3? 10-2
权 权 权 权 权
特点,1)基数 10,逢十进一,即 9+1=10
3)不同数位上的数具有不同的权值 10i。
4)任意一个十进制数, 都可按其权位
展成多项式的形式
(333.33)10
位置计数法 按权展开式
(N)10=(Kn-1 ? K1 K0,K-1 ? K-m)10
?
?
??
?
1n
mi
i10
iK
2)有 0-9十个数字符号和小数点，数码 K i从 0-9
=Kn-1 10n-1+? +K1101+K0100+K-1 10-1+? +K-m 10-m
返 回
数基
表示相对小数点
的位置
返 回
二进制
任意进制
1）基数 R,逢 R进一,
3）不同数位上的数具有不同的权值 Ri。
4） 任意一个 R进制数，都可按其权位
展成多项式的形式
(N)R=(Kn-1 ? K1 K0,K-1 ? K-m)2
=Kn-1 Rn-1+? +K1R1+K0R0+K-1 R-1+? K-m R-m
?
?
??
?
1n
mi
iR
iK
2) 有 R个数字符号和小数点,数码 K i从 0~(R-1)
1）基数 2,逢二进一,即 1+1=10
3）不同数位上的数具有不同的权值 2i。
4）任意一个二进制数，都可按其权位
展成多项式的形式
(N)2=(Kn-1 ? K1 K0,K-1 ? K-m)2
=Kn-1 2n-1+? +K121+K020+K-1 2-1+? K-m 2-m
?
?
??
?
1n
mi
i2
iK
2)有 0-1两个数字符号和小数点,数码 K i从 0-1
十 二 八 十六 十 二 八 十六
0 0 0 0 0 0 0 8 1 0 0 0 10 8
1 0 0 0 1 1 1 9 1 0 0 1 11 9
2 0 0 1 0 2 2 10 1 0 1 0 12 A
3 0 0 1 1 3 3 11 1 0 1 1 13 B
4 0 1 0 0 4 4 12 1 1 0 0 14 C
5 0 1 0 1 5 5 13 1 1 0 1 15 D
6 0 1 1 0 6 6 14 1 1 1 0 16 E
7 0 1 1 1 7 7 15 1 1 1 1 17 F
常用数制对照表
返 回
数 制 转 换
十进制 非十进制
非十进制 十进制
二进制 八、十六进制
八、十六进制 二进制
十进制与非十进制间的转换
非十进制间的转换
返 回
? 整数部分的转换
十进制转换成二进制
除基取余法,用目标数制的 基数 （ R=2） 去除 十
进制数, 第一次 相除所得余数为目的数的 最低位
K0,将所得 商 再除以 基数, 反复执行上述过程,
直到商为, 0‖,所得余数为目的数的 最高位 Kn-1。
例：（ 81） 10=（？） 2
得：（ 81） 10 =（ 1010001） 2
81402010520 ?2?2?2?2?2?2?2
1
K0
0
K1
0
K2
0
K3
1
K4
0
K5
1
K6
1
返 回
? 小数部分的转换
十进制转换成二进制
乘基取整法, 小数 乘以目标数制的 基数 （ R=2）, 第
一次 相乘结果的 整数 部分为目的数的 最高位 K-1,将其小
数部分再乘基数依次记下整数部分, 反复进行下去, 直
到小数部分为, 0‖,或满足要求的 精度 为止 （ 即根据设
备字长限制, 取有限位的近似值 ） 。
例,（ 0.65） 10 =(? )2 要求精度为小数五位。
0.65 ?2
K-1
1
0.3 ?2
K-2
0
0.6 ?2
K-3
1
0.2 ?2
K-4
0
0.4 ?2
K-5
0
0.8
由此得,(0.65)10=(0.10100)2
综合得,(81.65)10=(1010001.10100)2
返 回
如 2-5,只要求到小
数点后第五位
十进制 二进制 八进制、十六进制
非十进制转成十进制
方法, 将相应进制的数按权展成多
项式, 按十进制求和
(F8C.B)16
= F× 162+8× 161+C× 160+B× 16-1
= 3840+128+12+0.6875
=3980.6875
例：
返 回
返 回
非十进制间的转换
? 二进制与八进制间的转换
从 小数点 开始, 将二进制数的整数和小数部分 每
三位 分为 一组, 不足 三位的分别在整数的最高位
前和小数的最低位后 加, 0‖补足, 然后每组用等
值的八进制码替代, 即得目的数 。
例 8,11010111.0100111 B =? Q1010 1.01 0 1 B = 327.234 Q
11010111.0100111
小数点为界
0 00
723 2 3 4
返 回
非十进制间的转换
? 二进制与十六进制间的转换
从 小数点 开始, 将二进制数的整数和小数部分 每
四位 分为 一组, 不足 四位的分别在整数的最高位
前和小数的最低位后 加, 0‖补足, 然后每组用等
值的十六进制码替代, 即得目的数 。
例 9,111011.10101 B =? H111011.10101 B = 3B.A8 H
111011.10101
小数点为界
00 000
B3 A 8
X1 = + 1101101 X2 = - 1101101
数值数据的表示
一,真值 与 机器数
数符（ +/-） +尾数
（数值的绝对值 ）
符号（ +/-）数码化
最高位,―0‖表示, +‖―1‖表示, -‖
二,带符号二进制数的代码表示
1,原码 [X]原,原码
反码
补码
变形补码
尾数部分的表示形式：
最高位,―0‖表示, +‖―1‖表示, -‖
符号位 +尾数部分（真值）
原码的性质：
? ―0‖有两种表示形式
[+00… 0]原 = 000… 0 而 [-00… 0]原 = 100… 0
? 数值范围,+（ 2n –1-1） ≤ [X]原 ≤ -（ 2n-1-1）
如 n = 8,原码范围 01111111～ 11111111,数值范围
为 +127～ -127
? 符号位后的尾数即为真值的数值
返 回
数值数据的表示
2,反码 [X]反,符号位 + 尾数部分
?反码的性质
正数：尾数部分与真值形式相同
负数：尾数为真值数值部分按位取反
X1 = +4
X2 = -4
[X1]反 = 00000100
[X2]反 = 11111011
3,补码 [X]补,符号位 + 尾数部分
正数：尾数部分与真值同即 [X]补 = [X]正
负数,尾数为真值数值部分按位取反加 1
即 [X]补 = [X]反 + 1
? ―0‖有两种表示形式
[+00… 0]反 = 000… 0 而 [-00… 0]反 = 111… 1
? 数值范围,+（ 2n –1-1） ≤ [X]反 ≤ -（ 2n-1-1）
如 n = 8,反码范围 01111111～ 10000000,数值范围
为 +127～ -127
? 符号位后的尾数是否为真值取决于符号位
返 回
补码的性质：
数值数据的表示
双符号位：正数 - ―00‖
负数 - ―11‖
符号位 + 尾数
应用：
两个符号位 （ S1S0） 都作为数值一起参
与运算, 运算结果的符号如两个符号位
相同, 结果正确；不同则溢出 。
判断是否有溢出
方法：
4、变形补码 [X]变补：例, 已知 X1 = -1110 B, X2 = +0110 B,求 X1+
X2 =？
[X1]补 = 1 0010 -1110B
+） [X2]补 = 0 0110 +1000B
[X1+X2]补 = 1 1000 -1000B
故得 [X1+X2]补 = 11000 即 X1+ X2 = -1000 B例：已知 X1 = 48,X2 = 31 求 X1 + X2 =？
X1 = +48 [X1]变补 = 00 110000
+） X2 = +31 +） [X2]变补 = 00 011111
X1 + X2 = +79 [X1+ X2]变补 = 01 001111
? ―0‖有一种表示形式
[+00… 0]补 = 000… 0 而 [-00… 0]补 = 1 000… 0
? 数值范围,+(2n-1-1） ≤ [X]补 ≤ -2n-1
如 n = 8,补码范围 01111111～ 10000000，
数值范围为 +127～ -128
? 符号位后的尾数并不表示真值大小
?用补码进行运算时，两数补码之和等于两
数和之补码，即
[X1]补 +[X2]补 = {X1+X2}补 （ mod 2n）
常用编码
?自然二进制码
?格雷码
?二 —十进制码
?奇偶检验码
? ASCII码等 。
常用的 编码,
用一组二进制码按一定规则排列起
来以表示数字、符号等特定信息。
（一）自然二进制码及格雷码
? 自然二进制码
常用四位自然二进制码, 表示十进
制数 0--15,各位的权值依次为 23、
22,21,20。
? 格雷码
2.编码还具有反射性, 因此又可称其
为反射码 。
1.任意两组 相邻码 之间只有 一位 不同 。
注：首尾两个数码即最小数 0000和最大
数 1000之间也符合此特点, 故它可称为
循环码
返 回
按自然数顺序
排列的二进制
码
?自然二进制码
?格雷码
?二 —十进制码
?奇偶检验码
? ASCII码等 。
常用的 编码, （ 二 ） 二 —十进制 BCD码
? 有权码
用四位二进制代码对
十进制数的各个数码
进行编码 。
有权码表示十进制数符：
D = b3w3 + b2w2 + b1w1 + b0w0 + c
偏权系数 c= 0时为有权码 。
1? 8421BCD（ NBCD）码
2 7 6, 8
↓ ↓ ↓ ↓
010 0111 0110 1000
例：（ 276.8） 10 =（？ ） NBCD
（ 276.8） 10 =（ 0010011101101000） NBCD
四位二进制数中的每一
位都对应有固定的权
常用编码
返 回
?自然二进制码
?格雷码
?二 —十进制码
?奇偶检验码
? ASCII码等 。
常用的 编码,
? 无权码
2.其它有权码
2421,5421,5211
1,余 3码
余 3码中有效的十组代码为
0011～ 1100代表十进制数 0-
-9
2,其它无权码
? 字符编码
ASCII码：七位代码表示 128个字符
96个为图形字符
控制字符 32个 。
常用编码
返 回
§ 1-2 逻辑代数基础
逻辑变量及基本逻辑运算
逻辑函数及其表示方法
逻辑代数的运算公式和规则
逻辑变量及基本逻辑运算
一、逻辑变量
取值：逻辑 0,逻辑 1。 逻辑 0和逻辑 1不代
表 数值大小, 仅表示相互矛盾, 相互对立
的 两种逻辑状态
二、基本逻辑运算
与运算
或运算
非运算 返 回
逻辑表达式
F= A ? B = AB
与逻辑真值表与逻辑关系表
与逻辑
开关 A 开关 B 灯 F
断 断
断 合
合 断
合 合
灭
灭
灭
亮
A B F
1 0
1 1
0 1
0 0
0
0
1
0
A
B F
?
逻辑符号
只有决定某一事件的 所有条件 全部具备，
这一事件才能发生
与逻辑运算符，也有用, ?”,
,∧,,, ∩,,, &‖表示
逻辑表达式
F= A + B
或逻辑真值表
或逻辑
A
B F
? 1
逻辑符号
只有决定某一事件的 有一个或一个以上 具
备，这一事件才能发生
A B F
1 0
1 1
0 1
0 0
1
1
1
0
N个输入：
F= A + B+,..+ N
或逻辑运算符，也有
用, ∨,,, ∪, 表
示
返 回
返 回非逻辑 当决定某一事件的条件满足时, 事件不发生；反之事件发生,
非逻辑真值表
逻辑符号
A F1
A F
0 1
1 0
逻辑表达式
F= A
―-‖非逻辑运算符
三、复合逻辑运算
与非逻辑运算
F1=AB
或非逻辑运算
F2=A+B
与或非逻辑运算
F3=AB+CD
异或运算
A B F
1 0
1 1
0 1
0 0
1
1
0
0 逻辑表达式
F=A?B=AB+AB
A
B F
=1
逻辑符号
A B F
1 0
1 1
0 1
0 0
0
0
1
1
同或运算
逻辑表达式
F=A B= A?B
A
B F
=1
逻辑符号
―?‖异或逻辑运
算符
―⊙ ‖同或逻辑运
算符
返 回
0V
3V
工作原理
? A,B中有一个
或一个以上为
低电平 0V
? 只有 A,B全
为高电平 3V，
二极管与门电路
0V3V
3V 3V
A B F
3V3V 3V
3V
0V 0V
0V
3V 0V
0V
0V
0V
返 回
（四） 正逻辑 与 负逻辑
则输出 F就为低
电平 0V
则输出 F才为
高电平 3V
A B F
VL VL
VL
VL
VH
VL
1 1 1
A B F
1 0
0 1
0 0
0
0
0
0
A B F
0 1
0 0
1 0
1 1
1
1
1
VL VH
VH VL
VH VH
电平关系 正逻辑 负逻辑
正与 = 负或
正或 = 负与
正与非 = 负或非
正或非 = 负与非
正、负逻辑间关系 逻辑符号等效
? 在一种逻辑符号的所有入, 出
端同时加上或者去掉小圈, 当一
根线上有两个小圈, 则无需画圈
? 原来的符号互换（与 ←→ 或、
同或 ←→ 异或 ）
高电平 VH用逻辑 1表示,
低电平 VL用逻辑 0表示
返 回（四） 正逻辑 与 负逻辑
（与门） （或门）高电平 VH用逻辑 0表示,低电平 V
L用逻辑 1表示
逻辑函数及其表示方法
一、逻辑函数
用有限个与, 或, 非逻辑运算符, 按某种逻辑关
系将逻辑变量 A,B,C,...连接起来, 所得的表
达式 F = f（ A,B,C,...） 称为逻辑函数 。
二,逻辑函数的表示方法
真值表 逻辑函数式 逻辑图 波形图
输入变量 不同取值组合 与 函
数值 间的对应关系列成表格 用 逻辑符号 来表示函数式的运算关系
输入变量
输出变量
取值：逻辑 0、逻辑 1。逻辑 0和逻辑 1不代表 数值
大小,仅表示相互矛盾、相互对立的 两种逻辑态反映 输入和输出波形变
化的图 形又叫时序图
A B C F
0 0 00
0 1
0 01
0 111 00
1 10
1 11 011
断,0‖
合,1‖
亮,1‖
灭,0‖
C开,F灭 0
0
0
0
C合,A,B中
有一个合,F亮
1
1
,均
断,F灭
0
逻辑函数式
?挑出函数值为 1的项
1
?每个函数值为 1的输入变量取值组合写成一个 乘积项
?这些乘积项作 逻辑加
输入变量取值为 1用 原变量 表
示 ;反之, 则用 反变量 表示
ABC,ABC,ABC
F= ABC+ABC+ABC 返 回
逻辑图
F= ABC+ABC+ABC
乘积项 用 与门 实现,
和项 用 或门 实现
波形图
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
返 回
逻辑代数的运算公式和规则
? 公理、定律与常用公式
公理
交换律
结合律
分配律
0-1律
重叠律
互补律
还原律
反演律
0?? 0 = 0
0?? 1 =1 ?? 0 =0
1?? 1 = 1
0?+ 0 = 0
0?+ 1 =1 + 0 =1
1?+ 1 = 1
A??B = B ??A A?+ B = B ?+ A
(A??B?)? C = A?? (B?? C)
(A+ B?)+ C = A+ (B+ C)
自等律 A??( B?+ C ) = A?? B+ A?? C
A?+ B ? C =( A?+ B)? (A+ C )
A? 0=0 A+ 1=1
A? 1=A A+ 0=A
A? A=0 A+A=1A?A=A A+ A=A
A? B= A+B A+ B=AB
A= A
吸收律
消因律
包含律
合并律A? B+ A? B =A (A+ B) ? (A+ B) =A
A+A? =A+B A ? (A+B)=A
A+ A? B =A+B A? (A+ B) =A ? B
AB+ A C +BC= AB+ A C
(A+B)( A+ C )(B+C)= ( +B)(A +C)
证明方法
利用真值表
例：用真值表证明反演律
A B AB A+ B A? B A+B
0 0
0 1
1 0
1 1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
? A? B= A+B A+ B=AB
返 回
??? BCCAAB
BCAA B CCAAB ????
B)C ( 1AC)A B ( 1 ????
??? CAAB 等式右边
由此可以看出：与或表达式中, 两个乘积项分别包
含 同一因子 的 原 变量和 反 变量, 而两项的剩余因子
包含在第三个乘积项中, 则第三项是多余的
CAABB C D ECAAB ????公式可推广：
例：证明包含律 CAABBCCAAB ???? 成立
BC)AA(CAAB ???
返 回利用基本定律
逻辑代数的运算公式和规则
? 三个基本运算规则
? 代入规则, 任何一个含有某变量的等式，如果 等
式 中所有出现此 变量 的位置均代之以
一个 逻辑函数式,则此等式依然成立
例,A? B= A+B
BC替代 B
得 ABC BCA ?? CBA ???
由此反演律能推广到 n个变量：
n 21n 21
n 21n 21
AAAAAA
AAAA A A
???
???
????
????
??
??
利用反演律
基本运算规则
? 反演规则,
对于任意一个逻辑函数式 F，做如下处理：
? 若把式中的运算符,,‖换成, +‖,―+‖ 换成,,‖;
? 常量, 0‖换成, 1‖,,1‖换成, 0‖；
? 原 变量换成 反 变量,反 变量换成 原 变量
那么得到的 新函数式 称为原函数式 F的 反函数式 。
注：
① 保持原函数的运算次序 --先与后或，必要时适当地加入括号
② 不属于单个变量上的非号有两种处理方法
? 非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换
? 将非号去掉，而非号下的函数式保留不变
例,F(A,B,C)
CBAB )C A(BA ??????
其反函数为 )CBA(BCA)BA(F ?????
???
或
)CBA(B)CA()BA(F ????? ???
返 回
基本运算规则
? 对偶式, 对于任意一个逻辑函数，做如下处理：
1）若把式中的运算符,,‖换成, +‖,,+‖换成,,‖；
2）常量, 0‖换成, 1‖,,1‖换成, 0‖
得到新函数式为原函数式 F的对偶式 F′,也称对偶函数
?对偶规则：
如果两个函数式相等, 则它们对应的对偶式也相
等 。 即 若 F1 = F2 则 F1′ = F2′ 。 使公式的
数目增加一倍 。
? 求对偶式时 运算顺序不变, 且它只 变 换 运
算符和常量, 其 变量 是 不变 的 。
注：
? 函数式中有, ?” 和, ⊙, 运算符, 求反
函数及对偶函数时, 要将运算符, ?” 换成
,⊙,,, ⊙, 换成, ?” 。
例,B1CAABF ????
其对偶式 )B 0() CA ()BA('F ????
??
返 回
§ 1-3 逻辑函数的标准形式
函数表达式的常用形式
逻辑函数的标准形式
函数表达式的常用形式
? 五种常用表达式
F(A,B,C) CAAB ?? ―与 ― 或, 式
)BA)(CA( ??? ―或 ― 与, 式
CAAB ?? ―与非 ― 与非, 式
BACA ????
―或非 ― 或非, 式
BACA ?? ?? ―与 ― 或 ― 非, 式
基本形式
?表达式形式转换
CA AB F ?? CAAB ?? CAAB ?? 返 回
利用还原律 利用反演律
逻辑函数的标准形式
最小项：
n个变量有 2n个最小项，记作 mi
3个变量有 23（ 8） 个最小项
CBA CBA
m0 m1
000 001
0 1
CBA BCA CBA CBA CAB ABC
m2 m3 m4 m5 m6 m7
010 011 100 101 110 111
2 3 4 5 6 7
n个变量的逻辑函数中, 包括 全部 n个变量
的 乘积项 （ 每个变量必须而且只能以原变
量或反变量的形式出现一次 ）
一,最小项 和 最大项
乘积项 和项
最小项
二进制数
十进制数
编号
最小项编号 i-各输入变
量 取值 看成 二进制数,
对应的 十进制数
0 0 1
A B C
0 0 0
m0
CBA
m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
CBA CBA BCA CBA CBA CAB ABC
?
?
?
1-n2
0i
imF
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
1
1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
三变量的最小项
最小项的性质：
? 同一组变量取值任意 两个不同 最小项
的 乘积 为 0。 即 mi?mj=0 (i≠ j)
? 全部 最小项之 和 为 1，即
??
?
?
12
0i
i 1m
n
? 任意一组变量取值,只有一个 最小 项
的值为 1，其它最小项的值均为 0
? 最大项
n个变量有 2n个最大项，记作 ??i
n个变量的逻辑函数中, 包括 全部 n个变量
的 和项 （ 每个变量必须而且只能以原变量
或反变量的形式出现一次 ）
? 同一组变量取值任意 两个不同 最大项
的 和 为 1。 即 Mi+Mj=1 (i≠ j)
? 全部 最大项之 积 为 0，即
? 任意一组变量取值, 只有一个 最大 项
的值为 0,其它最大项的值均为 1
最大项：
最大项的性质：
??
?
?
12
0i
i 0M
n
返 回
?? 最小项与最大项的关系
? 相同编号的最小项和最大项存在互补关系
即, mi = Mi Mi = mi
? 若干个最小项之和表示的表达式 F,其反函数 F可
用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示 。
例：
7531 mmmmF ????
7531 mmmmF ????
m1 m3 m5 m7= ? ? ?
7531 MMMM ???
=
返 回
逻辑函数的标准形式
? 标准积之和 ( 最小项）表达式
式中的每一个乘
积项均为最小项
F(A,B,C,D) D C BADCBADC B AD C B A ????
8510 mmmm ????
?? )8 5 1 0(m,、、
例,求函数 F(A,B,C,D) CB ABA ??? 的标准积之
和表达式
解,F(A,B,C,D) CB ABA ??? CB ABA ?? ?
CB A)CC(BA ??? CB ACBABCA ???
123 mmm ??? ?? )3 2 1(m,、
利用反演律 利用互补律，补
上所缺变量 C
A B C
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
mi
0
1
2
3
4
5
6
7
FMi
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
1
0
1
1
1
例,已知函数的真值表，写出该函数的标准积之和表达式
? 从真值表找出 F为 1
的对应最小项
解,
1 1 3 3 1
5 5 1
1 0 6 6 1
1 1 7 7 1
?然后将这些项逻辑加
F(A,B,C)
B CCABCBABCA ????
7653 mmmm ????
?? )7 6 5 3(m,、、
§ 1-4 逻辑函数的简化
代数法化简函数
图解法化简函数
逻辑函数简化中的几个实际问题
函数的简化依据
?? 逻辑电路所用门的数量少
?? 每个门的输入端个数少
?? 逻辑电路构成级数少
?? 逻辑电路保证能可靠地工作
降低成本
提高电路的工作
速度和可靠性
逻辑函数的简化
返 回
最简式的标准
? 首先是式中 乘积项最少
? 乘积项中含的变量少
? 与或表达式的简化
代数法化简函数
与门的输入端个数少
? 实现电路的与门少
? 下级或门输入端个数少
方法：
? 并项,利用 ABAAB ?? 将两项并为一项，
且消去一个变量 B
? 消项,利用 A + AB = A消去多余的项 AB
? 配项：利用 CAABBCCAAB ???? 和互补律、
重叠律先增添项，再消去多余项 BC
? 消元：利用 BABAA ??? 消去多余变量 A
代数法化简函数
CBDBDAACF ????例,试简化函数
解,CBDBDAACF ????
利用反演律
)BA(DCBAC ????
ABDCBAC ???
配项加 AB
ABDABCBAC ????
消因律
DABCBAC ????
消项 AB
DCBAC ???
? 或与表达式的简化
F（或与式） 求对偶式 F?（与或式） 简化 F?
（最简与或式） 求对偶式 F（ 最简 或与式）
返 回
图形法化简函数
? 卡诺图（ K图）
图中的 一小格 对应真值表中的 一行,
即对应一个 最小项,又称真值图
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
m0
m1
m2
m3 A
A
B B
AB BA
AB AB
A
B 10
1
0 m0 m1
m2 m3
mi
A
BC
0
1
00 01 11 10
00 01 11 10 00
01
11
10
m0 m1 m2m3
m4 m5 m6m7
m0 m1 m2m3
m4 m5 m6m7
m12 m13 m14m15
m8 m9 m10m11
AB
CD
二
变
量
K
图
三
变
量
K
图
四
变
量
K
图
K
图
的
特
点
图形法化简函数
? k图为方形图 。 n个变量的函数 --k图有 2n个小方
格, 分别对应 2n个最小项 ；
? k图中行, 列两组变量取值按循环码规律排列,
使变量各最小项之间具有 逻辑相邻性 。
上下左右几何相邻的方格
内，只有一个因子不同
? 有三种几何相邻,邻接, 相对 （ 行列两端 ） 和对
称 （ 图中以 0,1分割线为对称轴 ） 方格均属相邻
00 01 11 10
00
01
11
10
m0 m1 m2m3
m4 m5 m6m7
m12 m13 m14m15
m8 m9 m10m11
AB
CD
四
变
量
K
图
两个相邻格圈在一起，
结果消去一个变量
ABD
AD
A
1
四个相邻格圈在一起，
结果消去两个变量八个相邻格圈在一起，
结果消去三个变量
十六个相邻格圈在
一起，结果 ?mi=1
卡诺图化简函数规则：
? 几何相邻的 2i（ i = 1,2,3… n） 个小格 可合
并在一起构成正方形或矩形圈, 消去 i个变量, 而
用含 （ n - i） 个变量的积项标注该圈 。
动画 返 回
图形法化简函数
? 与或表达式的简化
步
骤
? 先将函数填入相应的卡诺图中, 存在的最小
项对应的方格填 1,其它填 0。
? 合并：按作圈原则将图上填 1的方格圈起来,
要求圈的 数量少, 范围大, 圈 可重复包围 但每
个圈内必须有 新 的最小项 。
? 每个圈写出一个乘积项。按取同去异原则
? 最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式
返 回
? 根据函数填写卡诺图
1,已知函数为最小项表达式, 存在的最小项对应的格
填 1,其余格均填 0。
2,若已知函数的真值表, 将真值表中使函数值为 1的
那些最小项对应的方格填 1,其余格均填 0。 例子
3,函数为一个复杂的运算式, 则先将其变成 与或式,
再用直接法填写 。 例子
? 作圈的步骤
1,孤立的单格单独画圈
2,圈的 数量少, 范围大, 圈 可重复包围 但每个圈内必
须有 新 的最小项
3、含 1的格都应被圈入，以防止遗漏积项
图形法化简函数
返 回
例 1：直接给出函数的真值表求函数的最简与或式。 见例 1
例 2：直接给出函数的复杂的运算式。 见例 2
例 4,含有无关项的函数的化简 。
图形法化简函数
返 回
? 含有 无关项 的函数的化简
? 填函数的卡诺图时只在无关项对应的格内
填任意符号, Φ‖,,d或, × ‖。
处理方法：
无关项 对于变量的 某些取值组合, 所对应的 函数值
是不定 。 通常 约束项和任意项 在逻辑函数中
统称为无关项
? 化简时可根据需要视为, 1‖也可视为, 0‖，
使函数化到最简 。 例子
图形法化简函数
返 回
逻辑函数简化中的几个实际问题
? 具有多输出端电路的简化
? 只允许原变量输入的逻辑电路的简化
返 回
小 结
? 几种常用的数制：二进制, 八进制, 十六进制和十进
制以及相互间的转换
? 码制部分：自然二进制码, 格雷码, 和常用的 BCD码
任意一个 R进制数按权展开,?
?
??
1-n
m- i
i
iR RkN)(
? 带符号数在计算机中的三种基本表示方法：原码, 反
码和补码,
运算结果的正确性以及溢出的性质：利用变形补码可判
断机器 。
? 逻辑问题的描述可用真值表, 函数式, 逻辑图, 卡诺
图和时序图
? 分析和设计逻辑电路的重要数学工具：布尔代数
作业
1-2 1-3 1-5 1-6 1-8 1-10 1-11
1-12 1-13 1-15 1-17 1-19 1-21
例,将 F(A,B,C,D) ACBCADCBABDCA ?????
化为最简与非 —与非式。
解：
01
00 01 11 10
00
11
10
CD
AB
AB
1
1
1 1 1 1
B CD
1
1ACD
ABC
1 1
AC
1 1
m14,m15
两次填 1
0
0
00
图形法化简函数
例：图中给出输入变量 A,B,C的真值表, 填写函数的卡
诺图
A B C F
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
0
1
1
1
0
0
0
A
BC
0
1
00 01 11 10
11
1
0 0
0 00
图形法化简函数
例：图中给出输入变量 A,B,C的真值表, 填写函数的卡
诺图
A B C F
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
0
1
1
1
0
0
0
A
BC
0
1
00 01 11 10
11
1
0 0
0 00
AB
ABC
F= ABC + AB
得：
图形法化简函数
??
?
?
?
??
?
?
?
0)15 14 12 11(
)10 8 6 4 3 2 0( mD)CBF( A
、、、约束条件
、、、、、、、、、
例,已知函数,
求其最简与或式
01
00 01 11 10
00
11
10
CD
AB解：
? 填函数的卡诺图 1 11
1 1
1 1?
? ??
0
0
0
0
0? 化简
不考虑约束条件时：
CBADBDAF ???
DA
DB
CBA
考虑约束条件时：
CBDF ??
01
00 01 11 10
00
11
10
CD
AB
1 11
1 1
1 1?
? ??
0
0
0
0
0
D CB
例,将 F(A,B,C,D) ACBCADCBABDCA ?????
化为最简与非 —与非式
解：
01
00 01 11 10
00
11
10
CD
AB
1
1
1 1 1 1
1
1
1 1
1 1
ACAD
BC
BD
A B C
化简得：
CBADBADBCACF ?????
最简与非 —与非式为：
CBADBADBCACFF ??????
CBADBADBCAC ?????
图形法化简函数
